函数及其图像知识点和例题(华东师大版第17章)

17.1 变量与函数

变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

对于x的每一个值，y都有唯一的值与之相对应，称x是自变量，y是因变量，也称y是x 的函数。

函数关系的表示方法：1.解析法，即用函数表达式表示；2.列表法；3.图像法

会用解析法表示函数关系式。

17.2 函数的图像

直角坐标系，x轴，横轴，y轴，纵轴，坐标原点，两轴的正方向；横坐标，纵坐标，坐标；第一、二、三和四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限；直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

会作坐标系中的点和写点的坐标。

描点法画函数图像：列表→描点→连线

会函数曲线图

17.3 一次函数

Y=kx+b，其中k、b是常数，k≠0；若b=0（K≠0）也叫做正比例函数。

记住一个结论：若某一个点(a,b)在正比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点（-a,-b）也在该函数图像上；即正比例函数关于原点对称。

一次函数的图像是一条直线，正比例函数经过原点。由于两点确定一条直线，所以可以分别找出图像与坐标轴的两交点，画出过该两个点的直线即为所求图像。K为直线的斜率，b为图像在y轴上截距。

K＞0，增函数；k＜0，减函数。

用待定系数法求一次函数的表达式。由于表达式中需确定k，b两个系数的值，所以只要已知函数图像上的两个点即可列出二元一次方程组，解出两系数。

特殊值：两直线平行，则斜率k相同；两直线垂直，这斜率k值的乘积为-1.

17.4 反比例函数

Y=k/x（k≠0的常数）叫反比例函数，也叫双曲线；由于自变量x为分母，所以x不能取0；图像与坐标轴没有交点。

记住一个结论：若某一个点(a,b)在反比例函数图像上，那么该点关于原点对称的那个点（-a,-b）也在该函数图像上；即反比例函数关于原点对称。

K＞0，图像在一、三象限，减函数；K＜0，图像在二、四象限，增函数。

注意：在比较函数值的大小时，需要分段讨论，因为反比例函数只在某个象限内才是增函数或减函数，因为函数图像与x轴和y轴都没有交点。

要理解反比例函数的几何意义：反比例函数图像上的任意点与原点构成的对角线的矩形面积不变，面积都等于|k|。（见典型例题22题）。该结论常变形为，反比例函数图像上的点向x(y)轴作垂线，图像上的点、垂足和原点这三个点构成的Rt△面积为|k|/2

要记住一个结论：反比例函数y=k/x图像上的点到原点的距离，当|x|=|y|时取得最小值距离为|K|

17.5 实践与探索

1.图像的直观性特点；数形结合解方程，画出函数图像，交点即为方程组的解。

2.方程（不等式）与函数图像的关系：学会看图。

3.回归线

典型例题

1. 一次函数与一个反比例函数的图像交于P （-2,1）、Q （1，m ），求两个函数表达式。

思路：P 点→反比例函数表达式→确定Q 点中的m 值→一次函数表达式

要充分利用函数的表达式求点的坐标。

2. 将函数y=2x+3的图像平移，使其经过点（2,-1），求平移后的函数表达式。

说明：（1）由于是平移，故斜率k 不变，所以可以利用待定系数法确定截距b 值；

（2）此题可以水平平移，也可以垂直平移；

（3）此题可知，如果斜率k 确定了，直线平移可以扫描到坐标系中任意点；

如果截距b 确定了，直线旋转可以扫描到坐标系中任意点。

3. 直线y=2x/3-2，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 是原点。

（1） 求△AOB 的面积

（2） 过△AOB 顶点的直线把△AOB 分成面积相等的两部分，这样的直线有几条，这些

直线的函数表达式是什么？

说明：（1）要利用数形结合

（2）首先要知道过三角形顶点的直线如何把该三角形分为面积相等的两部分：等底等高的两个三角形面积相等，所以直线需要过底边的中点；

其次，如何找出该中点：中点的坐标等于两端点坐标和除以2，即X 中=（X 端点

1+X 端点2）

，Y 中=（Y 端点1+Y 端点2） 最后，两点确定一条直线，用顶点和底边中点即可确定该直线的函数表达式。 本题的延伸：1.两条相交直线与x （y ）轴围成的三角形面积。思路是先确定交点，其y （x ）坐标就是三角形的一个高；与x （y ）轴的两交点的横（纵）坐标之差的绝对值即可底边长。

2.两条相交直线与x （y ）轴围成的三角形，三条高线的函数表达式。思路是先确定斜率k 值，由于高线垂直于底边，所以底边直线与高线的斜率之积为-1；再把顶点带入利用待定系数法确定截距b 值。

4．已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)，直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为____．

分析：此题需要先在坐标系中做出四边形（矩形），并要分析出如何把一个矩形分成面积相等的两部分，有哪些直线能把该矩形分成面积相等的两部分，这些直线有什么共同点。此题的关键就是要找出这些均分面积的直线的共同特点：经过矩形对称中心点的直线都能将矩形的面积均分。对称中心的坐标为C 点坐标的一半，即（5,3），将该点坐标带入直线y ＝mx －3m ＋2即可求出m 的值为1/2。

5. 如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x

(k ＞0)交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4。若双曲线上一点C 的纵坐标为8，(1)求△AOC 的面积．(2)过原点O 的另一条直线l 交双曲线y ＝k x

(k ＞0)于P,Q 两点（P 点在第一象限），若由点A,B,P,Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

解：(1)∵点A 的横坐标为4，点A 在y ＝12x 上，∴点A 的纵坐标y ＝12

34＝2，即A(4，2)．

又∵点A(4，2)在双曲线y ＝k x

上，∴k ＝234＝8.

∵点C 在双曲线y ＝8x

上，且点C 纵坐标为8，∴C(1，8)． 如图，过点C 作CM ⊥x 轴于M ，过点A 作AN ⊥x 轴于N.

∵S △COM ＝S △AON ＝82

＝4， ∴S △AOC ＝S 四边形CMNA ＝12

3(|y A |＋|y C |)3(|x A |－|x c |)＝15. 上述的解法比较简便，主要是利用面积的割补法。若要利用通过常规解法计算S △AOC ，则比较法复杂，解题过程如下：

过点C 作OA 的垂线l 交底边于H ，∵CH ⊥OA ，∴垂线l 的斜率为K 3（1/2）=-1，K=-2，又∵垂线l 过点C ，所以可求出垂线l 的表达式为y=-2x+10，垂足H 为垂线l 和直线AB 的交

点，∴解得H 的坐标为H （4,2）。在Rt △OCH 中，OC 2=82+12，同理可解得OH ，利用勾股定理

可得△OCA 的高CH ，同理解出其底边OA 长，∴S △AOC ＝（1/2）3CH 3OA (2) ∵反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，∴OP=OQ ，OA=OB,∴四边形APBQ 是平行四边形

∴S △POA =14S 平行四边形APBQ =1

4324=6.

设点P 的横坐标为m （m>0且m ≠4），得P （m ，8m ）. 从（1）小题可知S 梯形PEFA =S △POA ，即S 梯形PEFA =6

过点P 、A 分别做轴的垂线，垂足为E 、F ， S 梯形PEFA =12 AF +PE ×EF =1

2(y A +y P )3|x F -x E |，

当x F ＞x E ，即当m ＜4时，123(2+8m )3(4-m)=6 解得m=2，m=-8（舍去）,∴P （2，4）

当x F ＜x E ，即当m ＞4时，123(2+8

m )3(m-4)=6

解得m=8，m=-2 （舍去）,∴P （8，1）

∴点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）。

6. 已知一次函数y ＝0.5x ＋3的图象过点A(2，4)，B(0，3)，

过点B 能不能画出一直线BC 将△AB O (O 为坐标原点)分成面

积比为1∶2的两部分？如能，可以画出几条？并求出其中

一条直线所对应的函数表达式，其他的直接写出函数关系式；

若不能，说明理由．

解：能，如图，直线BC 和BC ′都符合题意．

∵S △BOC ∶S △ABC ＝S △ABC ′∶S △BOC ′＝1∶2，∴OC ＝CC'＝AC ′，

则点C 的纵坐标是1334＝43，点C ′的纵坐标是2334＝83；同理得点C 的横坐标是23

，点C ′的横坐标是43，∴C(23，43)，C ′(43，83)．

设直线BC的表达式是y＝k2x＋3，把点C的坐标代入可得k2＝－2.5，

∴直线BC的表达式是y＝－2.5x＋3.同理求出直线BC′的表达式是y＝－0.25x＋3.

分析：本题解法根据高相等的三角形面积之比即为底边之比，得出C,C’为底边的三等分点，且巧妙地C和C’的坐标为点A坐标的1/3和2/3.

7. 如图，直线y=kx+b和y=mx都经过点A（-1，-2），则不等式mx＜kx+b的解集为( )

A. x<-2

B. x＜-1

C. x>-2

D. x>-1

分析：这样的题要结合图形，便可直观地得出正确答案。题

目中的不等式即是在x值（横坐标）相同时比较y值（纵坐

标），可以画平行于y轴的直线，这些直线与直线y=kx+b和

y=mx分别有一个交点，交点在上面的其y值就大，所以从图

上可直观的得出A点右边的满足题目要求。

同类型题如：如图，在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b

（k≠0）与正比例函数y=﹣2x的图象相交于点A，且与x轴

交于点B，则不等式kx+b＜﹣2x的解集为________

8. 函数y=4/x和y=1/x在第一象限内的图象如图，点P是y=4/x的图象上一动点，PC⊥x 轴于点C，PD⊥y轴于点D,分别交y=1/x的图象于点A点B．给

出如下结论哪些：①S△ODB= S△OCA；②PA与PB始终相等；③四边

形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP/3．

分析：根据第1页17.4的结论可知①③正确。

从图上可以直观的看出，随着P点右侧移动，PA逐渐减小，PB

逐渐增大。

根据第1页17.4的结论可知S△OAC=1/2，S△OPC=1/234=2，∴S△OPA=

S△OPC- S△OAC=2-1/2=3/2. S△OAC=1/23AC3OC，S△OPA=1/23PA3OC，

∴CA：PA= S△OAC：S△OPA=1:3。

此题充分利用了反比例函数的几何意义（图像上任意一点为对角线的矩形的面积为定值），在计算两线段的比值时，转化为计算两个三角形面积的比值。

9.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图像是（）

此题要考虑因变量和自变量的取值范围。

10.如图，在点M,N,P,Q 中，一次函数y=kx+2(k<0)的图象不可能经过的点是（）

A.M

B.N

C.P

D.Q

主要考虑斜率K<0的倾斜方向和函数的截距为2时，函数图像的大致位置。

11. 设函数y=1x 与y=2x+1的图象的交点坐标为（a ，b ），求1a ?2b 的值．

此题考查的是分式的计算1a ?2b =b?2a ab ，从函数y=1x

可知xy=1，从函数y=2x+1可知y-2x=1。∵坐标点（a ，b ）为两个函数的交点，∴该点满足两个函数，即ab=1，b-2a=1.∴1a ?2b =1

12..一次函数y=kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2），点M 在直线y=kx+4上且到y 轴的距离是3，求点M 的坐标．

分析：考虑到有两个点，到y 轴的距离为3，即是X 坐标为±3.

13. 若函数2

8)3(m x m y -+=是反比例函数，则m 的取值是 反比例函数的系数3+m ≠0，且8-m 2

=-1，∴m=3

14. 已知正比例函数y kx =的图像与反比例函数4k y x -=的图像有一个交点的横坐标是1-，那么它们的交点坐标分别为

∵根据方程kx=4?k x ,把x=-1带入可得k=2.正比例函数y kx =的图像是关于原点对称的，∴

另一个交点的横坐标是1，∴两个交点是（-1，-2）和（1,2）

15. 已知y1与x 成正比例(比例系数为k1)，y2与x 成反比例(比例系数为k2)，若函数y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，0.5)，则8k1+5k2的值为_____

设y1=k12x ，y2=k 2x ，∴y= k12x+k 2x ，带入两个点的坐标可得2=k1+k2①和12=2k1+k 2

x 2→1=4k1+k2②，①34+②可得9=8k1+5k2

分析：列出方程（组）后不要急于求解，要观察待求的表达式有何联系，是否有简便算法。

16. 直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线x

y 4=交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1＝？ 根据关于原点对称的点的坐标特点找出A 、B 两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答

∵y =＝kx 的两个交点A,B 关于关于原点对称，

∴x 1=-x 2，y 1=-y 2，

∴2x 1y 2－7x 2y 1＝2x 1(-y 1)－7(-x 1)y 1＝-2x 1y 1+7x 1y 1＝5x 1y 1

又∵点A 点B 在双曲线y=4/x 上，即∴x 1y 1=4

∴2x 1y 2-7x 2y 1=534=20．

注：要充分理解正比例函数和反比例函数图像关于原点的对称性。

17. 如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐

标为B （－3

20，5）， D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那

么该函数的解析式是 ∵点B 在直线OB 上，∴把B 点的坐标带入可得直线OB 的函数为y=-3

4x ① 设点E 的坐标为（x,y ）,根据翻折可知OE=OA=5，过E 点作x 轴的垂线垂足为H ，在Rt △OEH

中，OE 2=EH 2+OH 2，即25=y 2+x 2,把①带入该方程，解得x=±4，∵点E 在第二象限，∴x=-4 把x=-4带入①式可得y=3,∴E （-4,3）。再把E 点坐标带入反比例函数y=k/x ，可得k=-12

18.反比例函数k y

x

的图象过点A (3，2)。M (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点

A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线M

B 于点D 。当四边形OADM 的面积为

6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

根据第1页17.4的结论，可知S △AOC =S △BOM =3，

∴S 矩形OBDC =3+6+3=12，又∵OC=x A =3,∴OB=S 矩形OBDC ÷OC=12÷3=4

∴y B =4=y M ,带入反比例函数y=6/x 可得M 的坐标（3/2,4） ∴BM=3/2，DM=DB-BM=3-3/2=3/2

∴DM=BM

19. 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ）

A ．反比例函数

B ．正比例函数

C ．无法确定 D.反比例或正比例

∵y=a/m ，m=b/x ，∴y=a/(b/x)=ax/b ，为正比例函数

20. 函数y ＝－ax ＋a 与y=-a/x （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

可假设a>0，则y ＝－ax ＋a 将不经过第三象限，函数y=-a/x 图像在二四象限。当然也可以假设a<0

21. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=-8/x 与一次函数

交于A,B 两点，O 为坐标原点，则S △AOB =____

此题需作出草图（右图），S △AOB = S △AOC +S △COB =123OC 3h A +123OC 3

h B =123|x C |3(|y A |+|y B |)=12323(4+2)=6

22. 如图，A 、B 是函数k y x

=

图像上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A 、B 、O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6

，则长方形OEBF 的面积是( )。（分析见第1页17.4）

23.函数y=?1

|x |图象的大致形状是（ ）

知道函数值y 的取值范围，即可得出答案。

23.如图，直线y mx =与双曲线y=k/x 交于点A,B 。过点A 作AM ⊥x 轴，

垂足为点M ，连结BM ．若S △ABM =1，则k 的值是（）

根据第1页的结论，A ，B 两点关于原点对称，∴|y A |=|y B |，即有

S △AOM = S △BOM =1/2，若过A 点作y 轴的垂线，垂足为C ，则

S ACOM =2S △AOM =1，根据第1页17.4的结论，则|k|=S ACOM =1。又∵图像

在一三象限，∴k=1

24.若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是反比例函数y=2/x 图象上的两点，且x 1

注意：需要分段讨论，即需要考虑当x 1和x 2都在y 轴的同侧时的情况，也需要考虑x 1和x 2都在y 轴的异侧时的情况。

25.如图，在在第一象限的点A 既在双曲线y =12x 上，又在直线y=2x-2

上，且该直线与X 轴的交点为B 。y 轴上有C(0,b)、D(0,b+2)两点，

当四边形ABCD 周长取得最小值时，b=_____

分析：因为AB 两点是固定的，且CD 的长也是固定的，所以求四边

形ABCD 的周长最小值就是求AD+BC 的最小值。根据错题集上总结

的经验可知，以y 轴为对称轴，作A 的对称点A ’，连接A ’B ，则A ’B

与y 轴的交点即为C 点的位置。解方程可知B 点的坐标为（1,0），解方程组A 的坐标为（3,4），∴A ’的坐标为（-3,4）。过A ’点作x 轴的垂线，垂足为H ，则H 的坐标为（-3，0）。∴在Rt △A ’HB 中，A ’H=4，HB=4，∴∠A ’BH=45°，∴Rt △COB 中，OC=OB=1

2y x =-

+

26.（南山中学2016年招考）已知abc ≠0，且a +b c =b +c a =c +a b =p ，那么直线y=px+p 一定

经过（）

A. 一、二象限

B. 二、三象限

C. 三、四象限

D. 一、四象限 解：由已知得a+b=cp ①，b+c=ap ②，c+a=bp ③，把①+②+③得

2(a+b+c)=p(a+b+c)，∴有p=2或a+b+c=0

当p=2时，函数y=2x+2图像经过一、二、三象限；

当a+b+c=0时，p=-1,函数y=-x-1经过二、三、四象限；

所以函数一定经过二、三象限。

注：此题为第16章和第17章的综合题目。（1）要观察到已知条件中几个等式的特点，对于几个字母循环相加的情况首先要想到几个等式相加；（2）得到等式2(a+b+c)=p(a+b+c)后，切不可直接约去因式(a+b+c)，因为a+b+c 可能等于0，∴要分情况讨论；（3）当a+b+c=0时，a +b c =?c c =-1=p 。通过分析我们知道此题难点很多，且处处陷阱，上述分析的3个主要难点中，任意一个地方出错则满盘皆输。

27.如图，A 、B 是双曲线y =k x 上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为

OB 的中点，则k 的值为（）

分析：过B 作x 轴的垂线，垂足为H 。 ∵AC ⊥x 轴，BH ⊥x 轴，∴AC ∥BH ，又∵D 为OB 中点，∴

CD 为△OBH 的中位线，∴CD=BH/2，∴S △OCD =S △OBH /4，

根据17.4中的反比例函数的几何意义可知：S △OCA =S △OBH ，∴S △OCD =S △OAC /4=(S △ODA +S △ODC )/4=(1+S △ODC )/4

∴S △ODC =1/3，∴S △OCA =1+1/3=4/3

根据17.4中总结的公式S △OCA =k/2=4/3，∴k=8/3

28. 如图矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 从A 出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动。设PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（）

分析：当P 在AB 段时，即x<3时，y=4，∴排除A 选项；

当P 移动到C 时，x 取得最大值3+4=7，∴排除B 、C 选项。

但如何确定函数图像大致为D 呢？

当P 在BC 段时，即3

又∵S △ADP =xy/2，∴xy/2=6；即y=12/x 。∴函数图像为反比例函数y=12/x 的一部分。 29. 对任意实数k ，直线y=kx+(2k+1)恒过一定点，该定点的坐标为

_______

分析：既然对于任意的k 都成立，应该把k 作为自变量，即y=(x+2)k+1，与k 无关的话，需要k 的系数为0，即x=-2,y=1

华师大版八年级下册数学知识点总结

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八年级华师大版数学（下） 第16章 分式 §分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B A =0的条件是：A=0， B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。 分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ??????→? ???分式多项项单项式整式

用式子表示为：A B = A ·M B ·M = A ÷M B ÷M ，其中M （M ≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示： bd ac d c b a =? （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： bc ad c d b a d c b a =?=÷

2018年华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值

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数学知识点总结 七年级上 第二章 有理数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加

华东师范大学出版社九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1）=2)( a （a ≥0）；（2 ；（3） ?? ? ??<=>==)0___()0___() 0___(____2a a a a 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0) ___(0,0) a b a b ?=≥≥??=≥>?? 4. 概念： 1.2.?? ?最简二次根式：(1) (2) (3) 同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整

式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项 系数；c 叫做常数项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根 的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=， 当b <0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式22 2)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有22 2)(2b x b bx x ±=+±． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 中， ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

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华师大版初中数学知 识点总结

华师大版初中数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。2．正数和负数 像+，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。

（3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

华师大版七年级下册数学知识点总结

七年级数学下期期末复习提纲 第六章 一元一次方程 一、基本概念 （一）方程的变形法则 法则1：方程两边都或同一个数或同一个，方程的解不变。 例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x+3=4-7。 在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x ，得到新方程：8x=-6。 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意 移项要变号。 例如：(1)将方程x －5＝7移项得：x ＝7+5即 x ＝12 (2)将方程4x ＝3x －4移项得：4x －3x ＝－4即 x ＝－4 法则2：方程两边都除以或同一个的数，方程的解不变。 例如： (1)将方程－5x ＝2两边都除以-5得：x=-5 2 (2)将方程32 x ＝1 3 两边都乘以32得：x=9 2 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意： （1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数 为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。 （2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。 方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。 求不方程的解的过程，叫做解方程。 （二）一元一次方程的概念及其解法 1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是，未知数的次数是，这样的方程叫做 一元一次方程。 例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。 而这些方程5x 2－3x+1＝0、2x+y ＝l －3y 、1x-1 ＝5就不是一元一次方程。

2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a 、b 为常数，且a ≠0） 一元一次方程的一般式为：ax=b （其中a 、b 为常数，且a ≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。 注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括 号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。 （2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分 母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母） （三）一元一次方程的应用 1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的 应用；（4）公式变形等。 2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面 积问题等。 3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。 第七章 二元一次方程组 一、基本概念 （一）二元一次方程组的有关概念 1．二元一次方程的定义：都含有个未知数，并且的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元 一次方程。 一般形式为：ax+by=c （a 、b 、c 为常数，且a 、b 均不为0） 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数” 相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。 例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b 、2m+3n=0、1-s+t=2s 等都是二元一次方程。 而6x 2=-2y-6、4x+8y=-6z 、m 2=n 等都不是二元一次方程。 2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 例如：???-=+=-8532y x y x 、???=--=+12337b a b a 、???=-=+12n m n m 、? ??-=+=-1132t s t s 等都是二元一次方程组。

华师大七年级上数学知识点总结

77 七年级上册主要知识点复习 第二章 有理数 一．正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 二．有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2. (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ①按正、负分类: ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数正有理数有理数

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第二章 有理数 正分数负分数 正整数0 负整数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+ 2 1，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-4 3 等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。

4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． ?? ? ??<-=>=0,0 ,00,a a a a a a （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与0相加，仍得这个数。

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七年级上 有理数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零 下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+ 21 ，+12，，258 等大于0的数（“+”通常 不写）叫正数。 像-5，，-4 3 等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整 数 正整数 整 数 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分 数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数 集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小? 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。? 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。? 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。? （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）? （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。? （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。? （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简?? 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。? 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．? （3）绝对值的主要性质? 一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．?

初中数学知识点总结(华师大)

七年级上 有理数 1.相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降,买进和卖出。 2.正数和负数 像+ 21 ,+12,1.３,2５８等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5,－2.８，-43 等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3.有理数 (1)整数:正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 (2）有理数分类 按有理数的定义分类 ２）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 (３)数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集,类似的,有整数集,正数集，负数集,所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集,所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数. （２)在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2)由正、负数在数轴上的位置可知:正数都有大于0，负数都小于0,正数大于一切负数。 ５.相反数 (1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－５与５互为相反数。 （2）从数轴上看,位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义) (３）0的相反数是０。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （５）数a 的相反数是—a 。 （６）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负; 如果是偶数个,则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 ６.绝对值 (1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离,叫做数ａ的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零． ??? ??<-=>=0,0 ,00 ,a a a a a a (3)绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数,即ａ≥0,因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零. (4）两个相反数的绝对值相等. (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数,绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是: 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2)比较这两个绝对值的大小； 3)根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． ７．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。 ４)一个数与0相加,仍得这个数。 （2)有理数加法的运算律 加法交换律:a+b=ｂ+a 加法结合律：（ａ+ｂ)+c=a+（b+ｃ） ８． 有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。

最新华师大版七年级数学下册知识点

第六章一元一次方程 1．会对方程进行适当的变形解一元一次方程：解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一时方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。 2．正确理解方程解的定义，并能应用等式性质巧解考题：方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。 3．理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a≠0时，方程有唯一解x= ； (2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。 4．正确列一元一次方程解应用题：列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。 5.几种常见的问题：和差倍分问题、等机变形问题、劳力调配问题、比例分配问题、数字问题、工程问题。 第七章二元一次方程组 1．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。 会用代入消元法解含有未知数系数为1的二元一次方程组。会运用代入法解未知数系数都不是1的二元一次方程组。会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。学会使用方程变形，再用加减消元法解二元一次方程组。灵活运用代入消元法、加减消元法解题。 3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。 第八章一元一次不等式 1．判断不等式是否成立：关键是分析判定不等号的变化，变化的依据是不等式的性质，特别注意的是，不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，要改变不等号方向;反之，若不等式的不等号方向发生改变，则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数。因此，在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时，要认真观察不等式的形式与不等号方向。2．解一元一次不等式(组)：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同，应注意的是，不等式两边所乘以(或除以)的数的正负，并根据不同情况灵活运用其性质。一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题3．求不等式(组)的特殊解：不等式(组)的解往往是有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式(组)的解集，然后再找到相应的答案。注意应用数形结合思想。 4．列不等式(组)解应用题：注意分析题目中的不等量关系，考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题。 第九章多边形 1. 多边形：一般来说，多边形是由一些线段依次首尾相连围成的封闭图形。我们通常根据多边形的边数将它们分为三角形、四边形、五边形……

华师大版初中数学知识点总结

华师大版初中数学知识点总结

数学知识点总结 七年级上 第二章有理数 1．相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1)按有理数的定义分类2）按正负分类 正整数正整数 整数0 正有理数

有理数负整数有理数正分数 正分数0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个

数，右边的数总比左边的 数大。 2）由正、负数在数轴上的 位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大 于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5 互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等 的两点所表示的两个数叫 做互为相反数。（几何意 义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本 身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数a的相反数是—a。（6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做 数a的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对 值是它的相反数；零的 绝对值是零． （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一 个非负数，即a≥0，因 此，在实数范围内，绝 对值最小的数是零．

华师大版七年级数学知识点汇总

七年级数学所有知识点 1.有理数的分类：（注意0和非正整数） 2.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ; 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数 只有符号不同的两个数称互为相反数 在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0. 一个数的相反数就是在它前面添“--”号 在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 3.有理数的加法法则： (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3)互为相反数的两个数相加得0； (4)一个数同0相加，仍得这个数. 灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加；②符号相同的数，可以先相加；③分母相同的数，可以先相加；④几个数相加能得到整数，可以先相加。

4、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘. 任何数同0相乘，都得0. 几个:不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 5.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(b＋c)＝ab＋ac. 6. 有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 7、乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数； ④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 8、把一个大于10的数记成a×n10的形式，其中1≤a＜10，n=原数的整数位数-1，这种记数法叫做科学记数法. 9. 有理数混合运算的运算顺序规定如下： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左至右的顺序进行； 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括

华师大版八年级数学上册知识点总结

八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）

华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华师大版数学（下） 第16章 分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 2、对于分式概念的理解，应把握以下几点： （1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使B A =0的条件是：A=0，B ≠0。 5、有理式 整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。 分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式； 多项式：由几个单项式的和组成的代数式。 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零??????→????分式多项项 单项式整式

的整式，分式的值不变。 用式子表示为：A B = A ·M B ·M = A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。 2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则： （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示：bd ac d c b a =?

华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华师大版数学（下） 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： A=0的条当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B 件是：A=0，B≠0。 二、分式的基本性质 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再

约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用 式子表示：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项：（1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约b c a b c b a ±=±