第二章一元二次函数、方程和不等式知识点与综合提升题(原卷版)高一数学复习巩固练习(人教A版2019)
专题4人教A 版（2019）第二章一元二次函数、方程和不等
式知识点与综合提升题——寒假作业4（原卷版）
不等式的基本知识
不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,
bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘)
(5) 倒数法则：b
a a
b b a 110,
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n
n
且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?
>>n N n b a b a n n
且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式 基本不等式2
a b
ab +≤
1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有:a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2??
?
??+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S .
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：（12222211
a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，
取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则
b b m
a a m
+<
+（糖水的浓度问题）。
二次函数的知识归纳：
1、二次函数的性质
2、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中
的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
2214b ac
AB x x a
-=-=
推导过程：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，
x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,()
()
a a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB ?=
-=-??
? ??-=-+=
-=
-=44422
212
212
2121② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点； 当?<0时，图像与x 轴没有交点。
一、单选题
1．若a b >，0c <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22ac bc >
B ．
a b c c
> C ．a c b c +<+ D ．a b c >-
2．不等式220x kx k -->对于一切实数恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．()8,0- B ．()0,8
C ．()
(),80,-∞-+∞ D ．()(),08,-∞+∞
3．若关于x 的不等式2
x a x
+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()22,+∞ B ．
(,22-∞
C ．(),3-∞
D ．27,
5??-∞ ??
?
4．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19
a b
+的最小值为（ ） A ．6
B ．12
C ．16
D ．20
5．不等式2230x x +->的解集是（ ）
A ．{13}x
x -<<∣ B ．{31}x
x -<<∣ C ．{1x
x <-∣ 或3}x > D ．{3}x
x <∣ 6．设,,a b c ∈R ，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若22a b >，则a b > B ．若
11
a b
<，则a b > C ．若a c <，b c ≤，则a b ≤
D ．若a c b c +≥+，则a b ≥
7．关于x 的不等式2
2
630(0)x ax a a -+-≥>的解集为[]12,x x ，则1212
3a
x x x x ++的最小值是（ ） A ．4
B ．26
C ．2
D ．
26
3
8．已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2
2
211
24
x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12??
- ???
B ．3,12??
-
????
C ．()
2,1-
D ．()3,1,2??
-∞-
?+∞ ???
9．已知0x >，0y >，且260x y xy ++-=，则xy 的最小值为（ ） A ．16
B ．18
C ．20
D ．22
10．已知关于x 的不等式210x mx -+>在[2,4]上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)-∞+∞
B ．(,2)-∞
C ．5,
2?
?-∞ ???
D ．17,
4??-∞ ???
11．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．2
12a b +=
D ．2
2
12
a b -=
12．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)--
B ．11,,62????
-∞+∞ ?
?????
C ．11,26-
-??
???
D ．11,,26????-∞-
-+∞ ? ??
???
二、填空题 13．函数()16
22
y x x x =+
>-+取最小值时x 的值为______ 14．设x ∈R ，231M x x =-+，21N x x =+-，则M 与N 的大小关系为________. 15．已知命题p :[]1,2x ?∈，20x a -≥，命题q :x R ?∈，2240x ax -+=，若命题
p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围是___________.
16．已知函数2
()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1
()2
f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.
三、解答题
17．（1）已知1x >，求1
1
x x +
-的最小值；
（2的最大值.
18．已知函数2()()f x mx x m m =++∈R ．
（1）若x ?∈R ，()0f x =，求实数m 的取值范围； （2）当1
4
m =
时，解关于x 的不等式()0f x >． 19．已知不等式2520ax x -+<的解集是M . （1）若1M ∈，求实数a 的取值范围； （2）若122M x
x ??
=<
，求不等式()22360ax a x -++-<的解集. 20．已知x +y +2xy ＝4，x ＞0，y ＞0， （1）求x +y 最小值． （2）求xy 最大值．
21．设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.
（1）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；
（2）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22．已知关于x 的不等式2120x mx +-<的解集为(6,)n -. （1）求实数m ，n 的值；
（2）正实数a ，b 满足22na mb +=. ①求
11
a b
+的最小值； ②若2160a b t +-≥恒成立，求实数t 的取值范围.