高二数学同步辅导教材(第2讲)

高二数学同步辅导教材（第2讲）

一、本讲进度

6.2 算术平均数与几何平均数

二、本讲主要内容

基本不等式：a ，b>0时，2

b a +≥ab 的运用。 三、学习指导 1、本节给出的两个基本不等式为：①a ，b ∈R 时，a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）；②a ，

b ≥0时，a+b ≥2ab （当且仅当a=b 时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：

ab ≤2b a 22+，ab ≤2)2

b a (+。对不等式ab ≤2b a 22+，还有更一般的表达式：|ab|≤2b a 22+。 由高一学习可知，

2

b a +称为a ，b 的等差中项，ab 称为a ，b 的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。 同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a ，b ，c>0时，a+b+

c ≥3abc ，当且仅当a=b=c 时，等号成立，……乃至n 元基本不等式；当a i >0（i=1，2，…，n ）时，a 1+a 2+…+a n ≥n n 21a a a Λ。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，b a a b +≥2，a+a

1≥2等。 当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+

a 1≤-2。 基本不等式中的字母a ，

b 可代表多项式。

2、利用二元基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。在高一已学过了用单调性求函数最大值或最小值。利用二元基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数。

四、典型例题

例1、已知a>1，0

解题思路分析：

由对数函数可知：b log 1a log a b =，log b a<0，因此由b

log 1b log a a +的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。

∵ log a b<0

∴ -log a b>0

∴ b log 1b log a a -+

-≥2b log 1)b log (a a -?-=2 ∴ log a b+b

log a 1≤-2 即 log a b+log b a ≤-2 当且仅当b

log 1b log a a -=-，log a 2b=1，log a b=-1时，等号成立，此时ab=1。 例2、已知x ，y ，z 均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。

解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz 和x+y+z 。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。

(x+y)(y+z)=xy+xz+y 2+yz=(xy+y 2

+yz)+xz=y(x+y+z)+xz 。

将y(x+y+z)，xz 分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2xz )z y x (y ?++=2)z y x (xyz ++=2

当且仅当???=++=++1)z y x (xyz xz )z y x (y 时等号成立 讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的a ，b 不仅指数、字母、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。

例3、（1）已知x>1，求3x+1

x 4-+1的最小值； （2）已知x ，y 为正实数，且2

y x 2

2+=1，求2y 1x +的最大值； （3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W y 2x 3+=的最值；

（4）已知x>0，求函数f(x)=4x+2

x 9

的最小值； （5）已知a>b>0，求函数y=a+b )b a (1-的最小值； （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0

3

14）的最大值； （7）求函数y=sin 2θcos θ，θ∈(0，2

π)的最值。 解题思路分析： 这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1）在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3

原式=(3x-3)+3+1x 4-+1=3(x-1)+1x 4-+4≥241x 4)1x (3+-?-=43+4

【人教B版】高中数学必修一(全册)同步练习全集 (含本书所有课时)

（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总 1．下列所给对象不能构成集合的是()． A．平面内的所宥点 B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点 C．清华大学附中高三年级全体学生 D．所宥高大的树 2．下列语句中正确的个数是()． ①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．3 3．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()． A．1 B．－2 C．6 D．2 -.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈?, ④3N ()．

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -, 3 3x 爲元素所构成的集合中最多 含宥( )． A ．2个元素 B ．7个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyz x y z x y z xyz +++ 的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素． 7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和?填空． (1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A , 2________A , (－1)0________A ； (2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ； (4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D . 9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素? 10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11a M a +∈-(a ≠± 1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．

高中数学必修一全册同步练习含参考答案

高中数学必修一同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 课后作业· 练习案 【基础过关】 1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是 A.1= B.0 C.1 D.1 2．集合的另一种表示形式是 A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有 ①集合，用列举法表示为{1,0,l}； ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为 A. B. C.

D. 5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数； (2)满足方程的所有x的值构成的集合B. 【能力提升】 集合，，，设，则与集合有什么关系？

详细答案 【基础过关】 1．D 【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“?”的关系，故1∈A正确. 2．B 【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}. 3．D 【解析】对于①，由于x∈N，而－1?N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误. 4．C 【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0. 5． 【解析】由于P，Q相等，故，从而. 6．(2，5) 【解析】∵a∈A且a∈B， ∴a是方程组的解， 解方程组，得∴a为(2，5).

高二数学 排列与组合同步练习(含答案)[原创]

班级姓名 1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（） A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛５，7，9｝，则x·y的不同值有（） A.2个 B.6个 C.9个 D.3个 3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（） A.34 B.43 C.A3 D.44 4 4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（） A.54 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4 5.集合M={}3,2,1的子集共有（） A.8 B.7 C.6 D.5 6.设集合A={}4,3,2,1，B={}7,6,5，则从A集到B集所有不同映射的个数是（） A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确 7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法. 8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种. 9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法. 10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有种可能的结果. 11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项. 12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从一楼去五楼，共有种不同的走法. 13．某车间生产一个零件，该零件需经车、钳、铣三道工序。该车间有车工5人，钳工8人，铣工6人，加工这个零件有种不同的派工方式；技术改造后，生产这种零件只需冲压一道工序，且任何一人均可加工，这时不同的派工方式有种。

人教A版高中数学同步辅导与检测必修1全集

第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时集合的含义 A级基础巩固 一、选择题 1．已知集合A中的元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有( ) A．－1∈A B．0∈A C.3∈A D．1∈A 解析：－5≤x≤5，且x∈N*， 所以x＝1，2，所以1∈A. 答案：D 2．下列各对象可以组成集合的是( ) A．中国著名的科学家 B．2017感动中国十大人物 C．高速公路上接近限速速度行驶的车辆 D．中国最美的乡村 解析：看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A，C，D选项没有一个明确的判定标准，只有B选项判断标准明确，可以构成集合． 答案：B

3．由x2，2|x|组成一个集合A中含有两个元素，则实数x的取值可以是( ) A．0 B．－2 C．8 D．2 解析：根据集合中元素的互异性，验证可知a的取值可以是8. 答案：C 4．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为a∈M，且2a∈M，又－1∈M， 所以－1×2＝－2∈M. 答案：C 5．由a2，2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：因A中含有3个元素，即a2，2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证可知答案选C. 答案：C 二、填空题 6．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)． ①不超过10的所有正整数； ②高一(6)班中成绩优秀的同学； ③中央一套播出的好看的电视剧；

2019年人教版 高中数学【选修 2-1】1.1.1课时同步练习

2019年编·人教版高中数学 第1章 1.1.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列语句中命题的个数是( ) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②③④都是命题． 答案： D 2．下列说法正确的是( ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 答案： D 3．下列语句中假命题的个数是( ) ①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题． 答案： A 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是( ) A．①②B．①③

C ．③④ D ．②④ 解析： 显然①是正确的，结论选项可以排除C ，D ，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________． 解析： ①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4 个单位， 得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π2的图象． 答案： ①②③ 6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数； (2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数． 8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0

高中数学必修5数学同步练习题(精编)

（数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．0 90 B ．0 120 C ．0 135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 22_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

最新高中数学必修4数学同步练习题(精编)

第一章 三角函数（上）[基础训练A 组] 一、选择题 1．设α角属于第二象限，且2 cos 2 cos α α -=，则 2 α 角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．给出下列各函数值：①)1000sin(0 -；②)2200cos(0 -；③)10tan(-；④ 9 17tan cos 107sin πππ .其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 3．02120sin 等于（ ）A ．23± B ．23 C ．23- D ．2 1 4．已知4 sin 5 α= ，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43- B .34 - C .43 D .34 5．若α是第四象限的角，则πα-是（ ） A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 6．4tan 3cos 2sin 的值（ ） A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 二、填空题 1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限． 2．设MP 和OM 分别是角 18 17π 的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<

高中数学选修2-1各章节课时同步练习及详解

第1章1.1.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列语句中命题的个数是( ) ①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①②③④都是命题． 答案： D 2．下列说法正确的是( ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题 解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D. 答案： D 3．下列语句中假命题的个数是( ) ①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数． A．2 B．3 C．4 D．5 解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题． 答案： A 4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中为真命题的是( ) A．①②B．①③ C．③④D．②④ 解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，

即可得出结果，①③为真命题．故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是________． 解析： ①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π 4个单位， 得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π2的图象． 答案： ①②③ 6．命题“一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题． 答案： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根 假 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数； (2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数． 解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数． 8．已知命题p ：lg(x 2 －2x －2)≥0；命题q ：0

【北师大版】高中数学选修2-1同步练习全集(打包53份,含答案)

第一章1 命题1 [基础达标] 1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为() A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2b C．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b 解析：选B.把条件和结论分别加以否定． 2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是() A．x＞－1 B．x＞0 C．x＞1 D．x＞2 解析：选D.x＞1?/ x＞2，故选D. 3.给出下列命题：①a＞|b|?a2＞b2；②a＞b?a3＞b3；③|a|＞b?a2＞b2.其中正确的个数是() A．0 B．2 C．1 D．3 解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确． 4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交 解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c， a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交” 是假命题． 5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是() A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数 C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数 解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”． 6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)． ①北京是中国的首都；

高一数学同步辅导

对数函数及其性质 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是 ()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当00，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为对 数的换底公式． 要点四、反函数 1．反函数的定义

高中数学必修数学同步练习题

（ 数 学5必修）第一章：解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

2019人教版 高中数学 选修2-2同步练习1.2.2【1】含答案

2019人教版精品教学资料·高中选修数学 选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数 公式及导数运算法则 一、选择题 1．曲线y ＝13x 3－2在点? ????－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．60° [答案] B [解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°. 2．设f (x )＝ 13 x 2 － 1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－1 6 B.56 C ．－76 D.76 [答案] B 3．若曲线y ＝x 4 的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 [答案] A [解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3 ，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4 ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0. 4．已知f (x )＝ax 3 ＋9x 2 ＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.19 3 B.16 3 C. 10 3 D. 133

[答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3ax 2 ＋18x ＋6， ∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝16 3. ∴选B. 5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2 (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0 的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D [解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2 －12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D. 6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3 －2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2 [答案] A [解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题． 由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3 －2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2 －2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3 －2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A. 7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A. π 2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 [答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4 sin(4＋π4)<0，故倾斜角 为钝角，选C. 8．曲线y ＝x sin x 在点? ?? ??－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( ) A.π 2 2 B ．π2

高二数学圆锥曲线同步练习题

高二(理科）数学（圆锥曲线)同步练习题 一、选择题 1．下面双曲线中有相同离心率,相同渐近线的是( ) A.错误!－y 2 ＝1，错误!－错误!＝1 B.错误!未定义书签。-y ２ ＝1,y 2 －错误!＝1 C.y 2 －x 2 3＝1,x 2 －ｙ2３＝1 D ．x 2 3 -ｙ2 =1,错误!-错误!=１ 2.椭圆错误!未定义书签。＋错误!未定义书签。=1的焦点为F 1、F 2，ＡB 是椭圆过焦点Ｆ1 的弦,则△ABF 2的周长是( ) A ．20 B.12 Ｃ．1０ D ．6 3．已知椭圆错误!+错误!=１的长轴在ｙ轴上,若焦距为4，则m 等于( ） A.４ B.5 C ．7 Ｄ．8 4.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上,两顶点分别是（４,0),(０,2）,则此椭圆的方程是( ) A.错误!未定义书签。＋ y 2１6＝1或错误!未定义书签。+y 2 4 =1 Ｂ.错误!未定义书签。＋＼f （ｙ2 ，1６)=1 C ．错误!＋错误!=1 ?D ．错误!＋错误!未定义书签。=1 ５.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A ．错误! B.错误!未定义书签。 C.错误!未定义书签。 D.错误!未定义书签。 ６、 双曲线与椭圆4x 2 +ｙ２ ＝６4有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为( ) A ．y 2 －３x ２ ＝３６ B.x ２ -3y ２ =3６ C.3y 2 －ｘ2 ＝36 D.3x 2-y ２ =3６ 7、双曲线ｍx ２ +ｙ２ ＝1的虚轴长是实轴长的２倍,则m 的值为( ) Ａ．－错误!未定义书签。 B.-4 C ．4 Ｄ．＼ｆ(1，4) ８．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(０，2）,则双曲线的标准方程为( ) A.错误!未定义书签。- ｘ24=1 B ．错误!未定义书签。－y 2 4 =１ C ．错误!未定义书签。－错误!未定义书签。=1 Ｄ．错误!未定义书签。－错误!＝1 ９．已知双曲线错误!未定义书签。-错误!未定义书签。=1(a >0,ｂ>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e 为（ ) A.2 B.3 C ．错误!未定义书签。 D.＼f(５，3) １0、已知P (8，a )在抛物线y 2 ＝4ｐｘ上，且P 到焦点的距离为1０,则焦点到准线的距离为( ）

【推荐】2020年苏教版高中数学必修二(全册)同步练习汇总

【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有()

A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()

解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．

解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各

【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全书)同步练习全集 (史上最全版)

（湘教版）高中数学选修2-2（全册）同步练习汇总 第4章导数及其应用 4．1导数概念 4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度 一、基础达标 1．设物体的运动方程s＝f(t), 在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时, 其中时间的增量d

() A．d>0 B．d<0 C．d＝0 D．d≠0 答案 D 2．一物体运动的方程是s＝2t2, 则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量爲 () A．8 B．8＋2d C．8d＋2d2D．4d＋2d2 答案 C 解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2. 3．一物体的运动方程爲s＝3＋t2, 则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度爲 () A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1 答案 D 解析v＝3＋2.12－3－22 0.1＝4.1. 4．一木块沿某一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程爲 s＝1 8t 2, 则t＝2时, 此木块水平方向的瞬时速度爲 () A．2 B．1 C.1 2 D. 1 4 答案 C 解析Δs Δt＝ 1 8(2＋Δt) 2－ 1 8×2 2 Δt＝ 1 2＋ 1 8Δt→ 1 2(Δt→0)． 5．质点运动规律s＝2t2＋1, 则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间的变化率爲________． 答案4＋2d 解析v＝2(1＋d)2＋1－2×12－1 1＋d－1 ＝4＋2d. 6．已知某个物体走过的路程s(单位: m)是时间t(单位: s)的函数: s＝－t2＋1. (1)t＝2到t＝2.1；

(2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001. 则三个时间段内的平均速度分别爲________, ________, ________, 估计该物体在t ＝2时的瞬时速度爲________． 答案 －4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s 7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时, 需在2 s 内完成刹车, 其位移 (单位: m)关于时间(单位: s)的函数爲: s (t )＝－3t 3＋t 2＋20, 求: (1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度． 解 (1)刹车后1 s 内平均速度 v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201 ＝－2(m/s)． (2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度爲: v 2＝s (2)－s (1) 2－1 ＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1 ＝－18(m/s)． (3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度爲: v 3＝s (1＋d )－s (1)d ＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d ＝－7d －8d 2－3d 3 d ＝－7－8d －3d 2 →－7(m/s)(d →0) 即t ＝1 s 时的瞬时速度爲－7 m/s. 二、能力提升 8．质点M 的运动方程爲s ＝2t 2－2, 则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度爲

(人教版)数学高中选修2-3同步练习 (全书完整版)

（人教版）高中数学选修2-3（全册）同步 练习汇总

章末复习课 整合·网络构建] 警示·易错提醒] 1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏． 2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题． 4．二项式定理的通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k是第(k＋1)项，而不是第k项，注意其指数规律． 5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围． 6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．

专题一两个计数原理的应用 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，高考中时有出现，一般是与排列、组合相结合进行考查，难度中等．例1]现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有() A.144种 C．64种D．84种 解析：法一根据所用颜色的种数分类 第一类：用4种颜色涂，方法有A44＝4×3×2×1＝24(种)． 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有C12C14 A23＝48(种)． 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A24＝12(种)．根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)． 法二根据“高”“学”是否为同色分类 第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C14种方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)． 根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)． 答案：D 归纳升华 应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成

高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题(文科)(学生版) -

高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题（文科） 一、填空题 1.下列说法中正确的是（ ） A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2． 由1＝12, 1＋3＝22, 1＋3＋5＝32, 1＋3＋5＋7＝42 ，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2 用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理 3．在证明命题“对于任意角θ，4 4 cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“4 4 cos sin θθ- ()()222222cos sin cos sin cos sin cos 2θθθθθθθ=+-=-=”中应用了（ ） A ．分析法 B ．综合法 C ．分析法和综合法综合使用 D ．间接证法 4.如果数列{}n a 是等差数列，则( ) A.1845a a a a +<+ B. 1845a a a a +=+ C.1845a a a a +>+ D.1845a a a a = 5. 下面使用类比推理正确的是（ ） A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c≠0）” D.“ n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ） 6． 下列推理正确的是 ( ) A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y B ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin (x ＋y )＝sin x ＋sin y C ．把a (b ＋c )与a x ＋y 类比，则有a x ＋y ＝a x ＋a y D ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 7． 下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°， 由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④ 8.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 9．下列推理是归纳推理的是( ) A ．A ， B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆

高中数学必修二同步练习含答案

1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征 练习一 一、选择题 1、下列命题中，正确命题的个数是（） （1）桌面是平面；（2）一个平面长2米，宽3米；（3）用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；（4）空间图形是由空间的点、线、面所构成。 A 、 1 B、 2 C、 3 D、 4 2、下列说法正确的是（） A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形 B、平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围来的部分 C、 100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚 D、平面是光滑的，向四周无限延展的面 3、下列说法中表示平面的是（） A、水面 B、屏面 C、版面 D、铅垂面 4、下列说法中正确的是（） A、棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 D、棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 5、长方体的三条棱长分别是AA/=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C/的最短距离是（） A、 5 B、 7 C、 D、 6、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（） A、三棱锥 B、四棱锥 C、五棱锥 D、六棱锥] 7、过球面上两点可能作出球的大圆（） A、 0个或1个 B、有且仅有1个 C、无数个 D、一个或无数个 8、一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（） A、 10 B、 20 C、 40 D、 15 二、填空题

9、用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是----------------条。 10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高是------------。 11、一个圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面面积是----------------。 12、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2倍，则这个圆锥的母线与底面所成的角为----------------，圆锥的侧面 展开图扇形的圆心角为----------------。 13、在赤道上，东经1400与西经1300的海面上有两点A、B，则A、B两点的球面距离是多少海里---------------。 （1海里是球心角1/所对大圆的弧长）。 三、解答题 14、一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求这 截面的面积。 15、圆锥底面半径是6，轴截面顶角是直角，过两条母线的截面截去底面圆周的1 6 ，求截面面积。 1.1.2 简单组合体的结构特征 练习一 一、选择题 1、平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念。 其中正确命题的个数是（） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 2、在空间中，下列说法中正确的是（） A、一个点运动形成直线 B、直线平行移动形成平面或曲面 C、直线绕定点运动形成锥面 D、矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 3、在四面体中，平行于一组相对棱，并平分其余各棱的截面的形状是（） A、等边三角形 B、等腰梯形 C、长方体 D 、正方形 4、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（） A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个 5、设有三个命题： 甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体