有效值和平均值的计算
《交变电流的有效值和平均值的计算》教学设计高中物理选修3-2（人教版）《交变电流》一章中列举了几种常见交变电流，即：矩形交流，锯齿形电流、正弦式交流电。交变电流的有效值和平均值是两个不同的概念，不少学生在解题中不能很好地区分，造成解题失误。交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间里产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫这一交流电的有效值；交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值。教材中只给出了正弦交变电流的有效值，没有给出其他几种交变电流的有效值，也没有给出平均值的大小。在这里给出它们供大家参考。
教学内容
一、矩形交变电流的有效值和平均值（此处教师板演）
1.有效值
若有一矩形脉冲电流正反方向的电流值不相等，分别为I1和I2，且正反向通电时间相等（如图所示）。
在一个周期里通过电阻R 产生的热量为： Q ＝2
22/2
T R I T
R I m m + 而等效电流I 在相等的时间产生的热 量为：Q ＝I 有2RT
则有：I 有＝
2
2212
2
I I +
2.平均值
若矩形脉冲电流正反向的电流值不相等，分别为I m 和I m ′，的正反向通电时间相等，在一个周期内电流的平均值为：)(2
1
)22(12121I I T I T I T T Q I -=-==
二、锯齿形交流电 （此处教师启发，引导，板演） 1.有效值
方法一：
I 有2RT=(kt)2Rt+(k2t)2Rt+……… =(kt)2Rt(1+4+9+……) =(kt)2Rtn(n+1)(2n+1)/6 =k 2t 3Rn 3/3 = k 2T 3R/3
= I 2m TR/3 I 有 ＝3
m
I
方法二：设有一锯齿波电流的最大值为I m ，周期是T ，且I m ＝2
T
k
，在半个周期内瞬时电流：i ＝kt ， 在dt 时间里通过电阻R 上产生热量为： dQ ＝（kt ）2Rdt
在t ＝T 时间通过电阻R 上产生热量为：Q ＝
3
20
2212
1RT k Rdt t k T
=
?
故有：I 有 2＝3
)2(1211212
2222m
m I T T I T k == 即锯齿波电流的有效值与最大值之间的关系为：I 有 ＝
3
m
I
2.平均值
T T/2 I 2
I 1 t
o
i
方法一：I =
)0(21+m I =m I 2
1 方法二：在半个周期内的电流的大小与时间成正比：i ＝kt ，其中2
T I k m
=
。 在半个周期内的电流平均值：?
?
==
=
=2
2
2
1
222
2
T
m m T
I tdt T I T
idt T T Q I
三．正弦式交变电流 （此处学生交流讨论，小组探究，派代表总结汇报） 1.有效值
方法一：（对称性，一个周期内，正弦和余弦产生的热量相等）
I 有2RT= R t I m 2)sin (ωt+R t I m 2
)2sin (ωt+R t I m 2)3sin (ωt………① I 有2RT= R t I m 2)cos (ωt+R t I m 2)2cos (ωt+R t I m 2
)3cos (ωt………②
①+②得 I 有 ＝
2
m
I
方法二：设有一直流电和一正弦交流电，分别通过同样的电阻R ，经过时间T （T 为该
交流电的周期）内产生的热量Q ＝I 有2RT
正弦交流电的瞬时功率： P ＝i 2R ＝t R I m ω22sin ＝)2cos 1(2
1
2
t R I m ω-?
＝
t R I R I m m ω2cos 2
12122- 画出p-t 图象，求面积得热量R I m 2
21T= Q ＝I 有2RT
可得： I 有＝2
m I
方法三：用积分的方法对于I ＝I m sin t ω，通过阻值为R 的电阻在dt 时间里产生的热量
dQ ，则有：dQ ＝i 2Rdt ＝（I m sin t ω）2Rdt 在1个周期内，t=T ，R 产生的热量： Q ＝
?
T
m Rdt t I 0
2)sin (ω＝?-T m dt t R I 02
)2sin 2121(ω＝RT I m 22
1
而等效电流I 在相等的时间产生的热量也为Q ，则有：Q ＝I 2RT 所以正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：I 有＝
m m
I I 707.02
=
2.平均值
对称交流电在一个周期内的平均值为零，显然失去了物理意义。但交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值，也等于对称交流电在半个周期内的平均值，这个平均值等于在该时间内通过的电量与时间的比值。
即：2
T Q
I =
方法一：在半个周期内平均电流：?
?==2
2
0sin 2sin 2T
m
T m t td T I tdt I T I ωωω
ω
＝
π
ωωωm m T m I T I t T I 2)11(2)cos (220=+=- 方法二：亦可和线圈磁场中匀速转动产生的平均电动势来计算：
m I R NBS t R BS BS N t R N R E I π
πωφ2
2)]([==?--=??==
总结说明: （此处教师重点总结）
1. I 有与电热相关,故与电流的方向无关, I 有=I m /2适用于正弦式电流的(2n+1)2
T
,
以及关键点起的4
T 内. I 有=I m /3适用于锯齿形电流的
nT 。
2. -
I 与电量相关,故与电流的方向有关, -
I = 2I m /π , 仅适用于正弦式电流的关
键点起2T 或4T .-I = I m /2仅适用于锯齿形电流的2T
。
3.数学手段解决物理问题，数理结合！
4.物理思想: P-t 图象所围面积为功(热量) i-t 图象所围面积为电量
布置作业：总结本节的类型和方法，应用数理结合进行计算，完成课件里的例题。
板书设计
5．2有效值和平均值的计算
一、矩形交变电流的有效值和平均值
1.有效值
I有＝2
2
2
1
2
2
I
I+
)
(
2
1
)
2
2
(
1
2
1
2
1
I
I
T
I
T
I
T
T
Q
I-
=
-
=
=
2.平均值)
(
2
1
)
2
2
(
1
2
1
2
1
I
I
T
I
T
I
T
T
Q
I-
=
-
=
=
二、锯齿形交流电
1.有效值：方法一：
方法二：
I有＝
3
m
I
2.平均值：方法一：
方法二：I=
m
I
2
1
三．正弦式交变电流
1.有效值：方法一：
方法二：I有＝
2
m
I
方法三：
2.平均值：方法一：
m
I
I
π
2
=
方法二：
T
T/2
I2
I1
t
o
i