集合章节详细知识点及题型分类练习(含课后作业)
1.1集合
【考纲解读】
◆ 理解集合的定义、元素与集合的属于关系、集合的表示方法； ◆ 理解集合之间的包含、相等关系，以及全集、子集、空集的含义；
◆ 理解补集的含义，以及集合之间的交集、并集的含义，会求补集、交集、并集，并且能用韦恩图表示；
【知识储备】
知识点1、集合与元素的概念
在小学和初中，其实我们已经学过一些集合，例如：自然数的集合，有理数的集合，不等式的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合......
思考？你还能想到哪些类似学过的集合？
集合、元素的定义：
一般地，我们把研究对象统称为“元素”，通常用小写字母a 、b 、c ...表示；把一些元素组成的总体叫做“集合”，简称“集”，通常用大写字母A 、B 、C ...表示。
知识点2、集合中元素的性质
?确定性：构成集合的对象具有明确的特征，即有明确的界线来区分元素是不是在这个集合中的，不能模
棱两可。给定一个集合，那么集合中的元素就确定了。如：“中国四个直辖市”（北京，天津，重庆，上海）、“东北三省”（辽宁、吉林、黑龙江）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较胖的人”，“解放碑附近”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ?互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。如：方程0)2()1(2=--x x 的解虽然有三个：,2,1,1321===x x x ，集表示为{}2,1,而不是{}2,11，。
?无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。如：{}2,1、{}12，表示同一个集合。
例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。 （1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；
（2）方程x 2
=4的实数根；
（3）平面内所有的直角三角形； （4）正方形的全体； （5）∏的近似值的全体；
（6）平面集合中所有的难证明的题； （7）著名的数学家；
（8）平面直角坐标系中x 轴上方的所有点。
【现炒现卖】
考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由： （1） 平面直角坐标系内x 轴上方的一些点；
（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内的所有的点；
（3） 一元二次方程x 2
+bx-1=0的根；
（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形
（5） x 2,x 2+1,x 2
+2；
（6） y=x,y=x+1,y=ax 2
+bx+c(a ≠0)；
（7） 2x 2+3x-8=0,x 2-4=0,x 2
-9=0；
（8） 新华书店中主题相同的小说全体。
知识点3、元素与集合的关系
例：集合A={y|y=x 2+1},集合B={(x,y)| y=x 2
+1},(A 、B 中x ∈R,y ∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）
A 、2∈A ，且2∈
B B 、（1,2）∈A ，且（1,2）∈B
C 、2∈A ，且（3,10）∈B
D 、（3,10）∈A ，且2∈B
【现炒现卖】 用?∈、填空。
3.1415 Q ； 0 R +
； 1 {（x,y ）|y=2x-3}； -8 Z ；
0______{0}， a ______{a }，
π_____Q ，
2
1_____Z ，－1______R ， 0_______N ， 0 ?．
知识点3、集合的表示方法
方法?、列举法：把集合的元素一一列举出来，元素间用逗号隔开，并用花括号{}括起来。例如：{}20-，。 方法?、描述法：在花括内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。格式：{}的特征x A x ∈或{}
的取值范围x x 。 例如：{
}012
=-∈x R x 、{}
100≤ 方法? 。 例； 1. 用列举法表示下列集合。 （1） 方程 x 2+y 2 =2d 的解集为 ； x-y=0 （2）集合A={y|y=x 2 -1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ； （3）集合B={ x +18 ∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ； （4）集合C={x|=a a ||+b b | |，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ； 2.用描述法表示下列集合。 （1）大于2的整数a 的集合； （2）使函数y= ()() 111 +-x x x 有意义的实数x 的集合； （3）{1、22 、32 、42 、…} 3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系： （1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}； （2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜 欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。 知识点4、数学中常用数集及其记法 A B 或B A B A ?例：若集合，，且满足，求实数的取值范围. 【现炒现卖】 1.已知，且，求实数p 、q 所满足的条件. 2. 若，则（ ）. A. B. C. D. 3. 已知集合P ＝｛x|x 2＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q ≠? P ，求a 的取值组成的集合A 。 知识点6、集合中子集的个数 由n 个元素组成集合A ，则有： ?A 的子集个数是n 2； ?A 的真子集个数是12-n ； ?A 的非空子集个数是12-n ； ?A 的非空真子集个数是22-n 。 {|}A x x a =>{|250}B x x =-≥A B ?a 2{|0}A x x px q =++=2 {|320}B x x x =-+=A B ?2 {1,2}{|0}x x bx c =++=3,2b c =-=3,2b c ==-2,3b c =-=2,3b c ==- 例1：判定以下关系是否正确 (2){1，2，3}＝{3，2，1} (4)0∈{0} （5）Φ={0} （6）Φ ∈{0} 例2：列举集合{1，2，3}的所有子集． 例3：已知{a 、b}?A ?{a 、b 、c 、d},则满足条件集合A 的个数为________． 例4：设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 。 【现炒现卖】： 。 A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 。 是 。 A ．8个 B.7个 C.6个 D.5个 4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则:①0_______A ②{0}_______B ③A_______B 5．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为 ． 6.已知集合A={1,3，a},B={1,a 2-a+1},且A ?B ，求a 的值。 7．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}， 8．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B 。 知识点7、并集、交集、全集、补集 (1){a}{a}?(3){0}??≠A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠???A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠ ≠ ???A A B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠???A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ???1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，≠ ??2}{120} 01{x|x {1???，，④∈⑤∈， {120} 01{x|x {12}}??，，④∈⑤∈，写法正确的个数有2A ={(x y)|y x =1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是A A =B B A B C A B D A B ．．．．≠≠???B B A B B D A B ．．≠≠???A =B B A B C A B D A B ．．．．≠≠ ???A =B B A B C A B D A B ．．．．≠≠???3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠??M A P B P ??≠ ，求满足条件的集合． 例1、设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B. 例2、设集合A={x|-1 例3、设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∩B. 例4、设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求C U A,C U B 知识点8、集合的运算定律 （一）交换律：A∩B=B∩A A∪B=B∪A （二）结合律：A∩（B∩C）=（A∩B）∩C A∪（B∪C）=（A∪B）∪C （三）分配率：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） （四）德摩根定律 C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B）C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B） 交集、并集练习 1．已知集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N的元素个数为几个．() A．0B．1 C．2 D．不确定 2．(江西理，2)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝() A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．? 3．(山东文)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为() A．0 B．1 C．2 D．4 4．(福建文，1)若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于() A．{x|2 5．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是() A．a＜2 B．a＞－2 C．a＞－1 D．－1＜a≤2 6．(08·山东文)满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 7．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{x|x＝a＋b，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}， Q＝{－1,1,6}，则P＋Q中所有元素的和是() A．9 B．8 C．27 D．26 8．已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，B＝{x|x＝k＋3，k∈N}，则A∩B等于() A．B B．A C．N D．R 【题型划归】 题型一、用列举法/数形结合法确定集合中元素的个数 例1、（16四川卷文数）设集合{} 51≤≤=x x A ，Z ） A.6 B.5 C.4 D.3 万能解题模板： 【现炒现卖】 （高考题改编）已知集合∣为实数，且，为实数，且， 则A ∩B 的元素个数为（ ） Ａ.０ B.１ Ｃ.２ Ｄ.３ 题型二、利用公式确定集合的子集/真子集个数 例2、（新课标文数）已知集合则的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 万能解题模板： 【现炒现卖】 （福建卷文数）集合{}{}4,3,13,2,1==B A ，，则A ∩B 的子集个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.16 题型三、集合的交集、并集、补集混合运算 例3、若且，则______。 万能解题模板： 【现炒现卖】 若集合，则有（ ） A ．B ．C ．D ． 历年高考集合练习 (){,A x y = ,x y }2 21x y +=(){,B x y =,x y }y x ={}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N ===P {}{} 2 1,4,,1,A x B x ==A B B =x ={} { } 22 (,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈M N M =M N N =M N M =M N =? 一、选择题 1.（浙江理）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱<4｝，则 （A ） （B ） （C ） （D ） 2.（陕西文）1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =（ ） (A){x x ＜1} （B ）{x －1≤x ≤2} (C) {x －1≤x ≤1} (D) {x －1≤x ＜1} 3.（2010辽宁文）（1）已知集合，，则 （A ） （B ） （C ） （D ） 4.（2010辽宁理）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},B ∩A={9},则A= （A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 6.（2010江西理）2.若集合 ， ，则=（ ） A. B. C. D. 8.（2010浙江文）设则 (A) (B) (C) (D) 9.（2010山东文）已知全集，集合，则= A. B. C ． D. 11.集合，则= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 12.(7)设集合则实数a 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 13.设集合A= 若A B,则实数a,b 必满足 （A ） （B ） （C ） （D ） 14.（2010广东理）1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩ B=（ ） 2 x p Q ?Q P ?R p Q C ?R Q P C ?{}1,3,5,7,9U ={}1,5,7A =U C A ={}1,3{}3,7,9{}3,5,9{}3,9u e{} A=|1x x x R ≤∈，{}2B=|y y x x R =∈，A B ?{}|11x x -≤≤{}|0x x ≥{}|01x x ≤≤?2{|1},{|4},P x x Q x x =<= <-{|21}x x -< M x x =-≤U C M {}22x x -<<{}22x x -≤≤{}22x x x <->或{}22x x x ≤-≥或2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤P M I {}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈?=?若， {}a |0a 6≤≤{}|2,a a ≤≥或a 4{}|0,6a a ≤≥或a {}|24a a ≤≤{}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈?||3a b +≤||3a b +≥||3a b -≤||3a b -≥x x x x {} 0A. {-1＜＜1} B. {-2＜＜1} C. {-2＜＜2} D. {0＜＜1} 16.（2010广东文）1.若集合，则集合 A. B. C. D. 20.（2010湖北文）1.设集合M={1,2,4,8},N={x|x 是2的倍数}，则M ∩N= A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D{1,2,8} 21.（2010山东理）1.已知全集U=R ，集合M={x||x-1|2},则 （A ）{x|-1 22.（2010安徽理）2、若集合，则 A 、 B 、 C 、 D 、 23.（2010湖南理）1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则 A ． B. C ． D. 24.（2010湖北理）2．设集合，，则的子集的个数是 课后作业 一、选择题:(每小题5分共60分) 1． 下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3）这些数组成的集合有个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集。 A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 2． 若全集，则集合的真子集共有（ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 x x x x x x x x {}3,2,1,0=A {}4,2,1=B =?B A {}4,3,2,1,0{}4,3,2,1{}2,1≤U C M=≤≤≤≥121log 2A x x ??? ? =≥ ????? ? A =R e2(,0] ,?? -∞+∞ ? ????+∞???? 2(,0][,)-∞+∞)+∞M N ?N M ?{2,3}M N ?={1,4}M N ?()22 {,| 1}416 x y A x y =+={(,)|3}x B x y y ==A B ?{}1|2 -=x y y (){} 1|,2 -=x y y x 361 1,,,,0.5242 - 5(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,0123{}{}0,1,2,32U U C A ==且A 3578 3． 若集合，，且，则的值为（ ） A ． B ． C ．或 D ．或或 4． 若集合，则有（ ） A ． B ． C ． D ． 5． 方程组的解集是（ ） A ． B ． C ． D ．。 6． 下列式子中，正确的是（ ） A ． B ． C ．空集是任何集合的真子集 D ． 7． 下列表述中错误的是（ ） A ．若 B ．若 C ． D ． 8． 若集合，下列关系式中成立的为（ ） A ． B ． C ． D ． 9． 已知集合则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．下列说法中，正确的是（ ） A.一个集合必有两个子集； B.有的集合没有子集 C.集合必有一个真子集； D.若为全集，且则 11．若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ） （1）若 （2）若 （3）若 A ．个 B ．个 C ．个 D ．个 12．设集合，，则（） A ． B ． C ． D ． 二、填空题(每小题4分,共16分) 13．某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐， 则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人_______。 }1,1{-=A }1|{==mx x B A B A =?m 11-11-11-0{} { } 22 (,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈M N M =M N N =M N M =M N =?? ??=-=+91 2 2y x y x ()5,4()4,5-(){}4,5-(){}4,5-R R ∈+ {}Z x x x Z ∈≤?-,0|{ }φφ∈A B A B A =? 则,B A B B A ?=，则 ) (B A A )(B A ()()()B C A C B A C U U U ={|1}X x x =>-0X ?{}0X ∈X φ∈{}0X ?{ } 2 |10,A x x A R φ=++==若，m 4 B S =,A B S ==U ()()U B C A C B A U U == 则,φ()()φ==B C A C U B A U U 则,φφ===B A B A ，则 0123},412|{Z k k x x M ∈+==},2 1 4|{Z k k x x N ∈+==N M =M N N M M N φ=5543344 14．若且，则______。 15．已知集合至多有一个元素，则的取值范围________；若至少有一个元素， 则的取值范围_________。 16.设全集,集合，,那么等于________________。 三、解答题: 17.(12分)设，集合，；若， 求的值。 18.(12分)全集，，如果则这样的实数是否存在？若 存在，求出；若不存在，请说明理由。 {}{} 2 1,4,,1,A x B x ==A B B =x =}023|{2 =+-=x ax x A a a {} (,),U x y x y R =∈2(,) 12y M x y x ? +? ==??-? ? {}(,)4N x y y x =≠-()()U U C M C N U R ={}2 |320A x x x =++={} 2|(1)0B x x m x m =+++=φ=B A C U )(m {}32 1,3,32S x x x =++{} 1,21A x =-{},0=A C S x x 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练] 第一章集合 §1．1集合 基础知识点： ⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 5.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国 古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其 元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构 成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解； ⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人； ⑺着名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 例如，（1）A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4?A ，等等。 （2）A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A. 典型例题 例1．用“∈”或“?”符号填空： ⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ； ⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 例2．已知集合P 的元素为2 1,,3m m m --, 若2∈P 且-1?P ，求实数m 的值。 第二课时 基础知识点 一、集合的表示方法 ⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…； 说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开； ⑵一般不必考虑元素之间的顺序； ⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； ⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等； ⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举 法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不 发生误解的情况下，也可以用列举法表示。 ⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示 清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,...... 例1．用列举法表示下列集合： (1) 小于5的正奇数组成的集合； (2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合； 集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数 集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5- 集合 集合的含义与表示 一集合与元素 1.集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。 2.集合中元素的属性 （1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。 （2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。 （3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 3.元素与集合的关系 （1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”； （2）元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 4.集合相等 如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。二集合的分类 1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合； 2.无限集：集合中元素的个数是不可数的； 3.空集：不含有任何元素的集合，记做?. 三集合的表示方法 1.常用数集 （1）自然数集：又称为非负整数集，记做N； （2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※； （3）整数集：全体整数的集合，记做Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q （5）实数集：全体实数的集合，记做R 3.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。 （2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。 注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。 （3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝. 注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”； ⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。 （4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。 韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。 4.列举法和描述法之间的相互转换 （1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。 （2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。 【随堂练一练】 一选择题 1.下列每组对象可构成一个集合的是（） （A）中国漂亮的工艺品（B）与1非常接近的数 （C）高一数学第一张的所有难题（D）不等式2x+3＞1的解 2.下列说法正确的是（） （A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合（B）0与｛0｝表示同一个集合∈N}是有限集（D）{x|x∈Q且x2+x+2=0}是空（C）{x∈Q|b x 集 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调，求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的 必修1 集合复习 知识框架： 1.1.1 集合的含义与表示 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______． 13．方程组?? ???=+=+=+321x z z y y x 的解集为______． 14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 15．用描述法表示下列各集合： 【考纲说明】 1. 理解集合,子集,补集,交集,并集的概念； 2. 了解空集和全集的意义； 3. 了解属于,包含,相等关系的意义。 4. 掌握有关术语和符号，并会使用它们表示一些简单的集合。 【趣味链接】 集合论是德国着名数学家康托于19世纪末创立的。十七世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。 一、定义： 1、 表示方法： （1）、列举法：{}1,2,3A = （2）、描述法：{} 13,A x x x Z =≤≤∈ （3）、V_N 图法 （4）、常见数集：*,,,,()R Q Z N N N + 2、 性质：确定性、互异性、无序性 3、 元素与集合的关系：属于（不属于）()∈? 4、 集合与集合的关系：包含（真包含）?(??) 5、 子集：若B A ?，B 叫做A 的子集 （1） 子集：2n （2）真子集：21n - （3）非空子集：21n - （4）非空真子集：22n - 6、 空集：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 7、 相等集合：若C A ?，且A C ?，则A=C 二、集合运算 1、 交集：A B ?公共部分 高中数学第一章-集合 考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 集合知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A?； ②空集是任何集合的子集，记为A φ； ? ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B B?，那么A = B. A?，同时A 如果C ? A? ，. ?，那么 A B C B [注]：①Z= {整数}（√）Z ={全体整数} （×） ②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N；A=+ N，则C s A= {0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A=集合B，则C B A=?，C A B =?C S（C A B）=D（注：C A B =?）. 3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集. ②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集. ③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集. 高中数学高考总复习高三数学总复习一—集合— 1 — 高中数学高考总复习 高三数学总复习一—集合 — 2 — [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ?? ?=-=+1 323y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ② 且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3 x = 1或y = 2. 2 1≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是2 1≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，?. 4. 集合运算：交、并、补. 【并集】 在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。 基本定义 ： 若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。 形式上：x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 x 是 A 的元素，或 x 是 B 的元素。 举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A ， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。 形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C 。 代数性质： 二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C 。事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 {} ∪A = A ，对任意集合 A 。可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。 【交集】 数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A 且 x 属于 B 。 例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11｝的交集。 若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。 更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A ，B ，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C ∩D ＝A ∩(B ∩(C ∩D))。交集运算满足结合律，即 A ∩(B ∩C)＝(A ∩B) ∩C 。 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是； 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 练习： 1.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A .1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3. ∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最 小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析 设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，Z 1Z 2＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求ZZ 3的最小值. 因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，Z 0Z 3＝1.故选A. 8.若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是 . 答案 1 解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z －1|min ＝1. 12.集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值. 解 (1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如 图所示. 数学集合知识点总结文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： ①.元素的确定性；②.元素的互异性；③.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 4、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR|x-3>2}或{x|x-3>2} 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 ：已知集合{0,2}=A ，{21012}=--， ，，，B ，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--， ，，， 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{3,5} D ．{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3：已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则（ ） A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =? C ．3 {|}2 A B x x =< D ．A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<，∴3 {|}2 A B x x =<， 选A ． 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4：设集合2 {|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1] 2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]． 【易错点】方程解错，对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5：设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则 0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6：设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ． 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7：设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 函数及其表示 （一）知识梳理 1．映射的概念 设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x). 2．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成 值域。 (3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 （二）考点分析 考点1：判断两函数是否为同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 考点2：求函数解析式 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ C ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f . A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸ 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1集合与简易逻辑知识点整理
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