2019-2020海淀区高三年级数学第一学期期中练习试题
海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学 2019.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{|10}A x x =+≤，{|}B x x a =≥. 若A B =R ，则实数a 的值可以为（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）2-
（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ） （A ）y x = （B ）2
y x =
（C
）y x =+（D ）|1|y x =-
（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若33S a =，且30a ≠，则
4
3
S S =（ ） （A ）1 （B ）
5
3
（C ）83
（D ）3
（4）不等式
1
1x
>成立的一个充分不必要条件是（ ） （A ）102
x <<
（B ）1x > （C ）01x << （D ）0x <
（5）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P
点P 的横坐标为
35，则sin()2
απ
+的值为（ ） （A ）3
5-
（B ）3
5
（C ）4
5
-
（D ）4
5
（6）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ， AC AB AD λμ=+(λ，)μ∈R . 若λμ+=
32
， 则
||
||CD AB =（ ） （A ）
13
（B ）
12
（C ）1 （D ）2
（7）已知函数()32
2f x x x x k =+--. 若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值
范围是（ ） （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[0,)+∞ （D ）(,0]-∞
（8）设集合A 是集合*
N 的子集，对于i ∈*
N ，定义1, ,
()0, .i i A A i A ?∈?=???
给出下列三个结论：
①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈*
N 都满足()0i A B ?=且()1i A B ?=；
②任取*
N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*
N 都有()()()i i i A B A B ???=?； ③任取*
N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*
N 都有()()()i i i A B A B ???=+.
其中所有正确结论的序号是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③
（D ）①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量(1,2)=a ，(3,)t =b ，且//a b ，则t =_________.
（10
）函数()6f x x =-的零点个数为 .
（11）已知数列{}n a 的前n 项和2log n S n =，则1a =_____，5678a a a a +++=_______.
（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1. 从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向
量b 的始点和终点，则?a b 的最大值为 .
（13）已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =. 若存在p ∈R ，使得n a pn ≤对任意的*
n ∈N 都成立，则p 的取值范围为______.
（14
）已知函数()f x x ω=
，()g x x ω=，其中0ω>，A ，B ，C 是这两个函数图象的
交点，且不共线.
①当1ω=时，△ABC 面积的最小值为 ；
②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）
已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，23a =，3436a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n S <，求n 的最大值.
（16）（本小题满分13分）
已知函数()2sin cos()32
f x x x π=+
+
. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()0f x m +≤对[0,]2
x π∈恒成立，求实数m 的取值范围.
（17）（本小题满分13分） 已知函数32
1()3
f x ax x bx c =
+++. 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+. （Ⅰ）求b ，c 的值；
（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.
（18）（本小题满分13分）
在ABC △中，7a =，5b =，8c =． （Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设
AP
k PC
=. ① 求k 的取值范围；
② 直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得
AP
k PC
=.
（19）（本小题满分14分）
已知函数ln ()e x
x
f x =. （Ⅰ）判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）求证：1
()2
f x <.
（20）（本小题满分14分）
已知集合M ?*
N ，且M 中的元素个数n 大于等于5. 若集合M 中存在四个不同的元素a ，b ，c ，d ，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{,,,}a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.
（Ⅰ）分别判断集合{2,4,6,8,10}与{}1,2,3,5,8是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所．
有．
的“关联子集”； （Ⅱ）已知集合12345{,,,,}M a a a a a =是“关联的”，且任取集合{,}i j a a M ?，总存在M 的“关联子集”
A ，使得{,}i j a a A ?. 若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；
（Ⅲ）若集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得29
4
n n x -+>.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）