合约决策条件下的一种二层报童问题模型精.doc
合约决策条件下的一种二层报童问题模型+ 万仲平1，侯阔林1，2，程露1 (1武汉大学数学与统计学院，湖北，武汉，430072；2黎明职业大学公共教学部，福建，泉州，362000 摘要：本文研究了以供应商为领导层、零售商为从属层的合约决策下报童问题的二层规划模型，并讨论了它在合约谈判中的作用。考虑到顾客需求和市场价格具有高度的不确定性，供应商和零售商为了回避风险而达到最大的期望利润，双方通常可以采用签订合约的方式来进行交易。为此，我们建立了一个合约决策条件下报童问题的二层规划模型并计算了数值结果。供应商和零售商可以依据该模型的最优解通过谈判确定合约决策变量值以获取较高的期望利润。关键词：报童问题，二层规划，合约谈判，不确定性中国分类号：C931.1, O221.2,
O227. 0引言报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem, 是供应链管理中最重要的模型之一，其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth应用它解决银行的现金流(cash-flow问题，1955年，Whitin首次建立了受价格影响的报童问题模型（详见Petruzzi等[1]）。目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用。有关报童问题及其扩展问题的研究见Silver [2] 和Khouja [3]给出的综述报告。与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为：报童每天早晨以单位批发价从报社买进报纸，然后以单位零售价出售，晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格（）处理掉。同时假设：（1）报童拥有购买足够多报纸的资金；（2）报纸过剩只能以低于零售价的价格处理；（3）报纸供应不足，会遭受缺货惩罚。报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢？显然，报童应该根据市场需求量来确定订购量，而市场需求量是随机的。假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律，我们就可以建立优化模型来求解报童问题了。由于市场价格和顾客需求具有高度的不确定性，供应商和零售商（即报童）面临来自于市场价格和顾客需求两方面的风险。而合约能够为零售商提供购买量和价格的双重保护，同时供应商也有了最低利益保障。因此，在供应链管理领域, 合约问题得到了广泛的关注和研究。然而, 目前对合约报童问题的研究都是将合约订购量(或合约价格作为协调参数考虑的，这是一种带有决策者的主观意识的决策，并不能真正反映客观实际中的一些问题,可能会使供应商
与零售商遭受一定的损失。为此我们将合约订购量、合约价格等作为决策变量，根据市场需求量情况，供应商既考虑市场价
格也要对合约价格作出决策，同时，零售商决策市场订购量与合约订购量。由此，基于二层规划模型的思想，我们将建立具有合约决策的二层报童问题模型。数值结果表明，该问题的研究既能够为供应商和零售商提供谈判的依据也有助于提高供应链渠道（channel）的利润。 1 经典报童问题经典报童问题研究在概率需求下零售商的决策问题，零售商寻找产品的最优订购量以获取最大的期望利润。经典报童问题中,零售商的利润函数为：（1）其中随机变量是市场需求量，是单位产品的零售价格，是单位产品的批发价格，是订购量，是单位产品的缺货惩罚，是单位产品的处理价格。由于是随机变量，零售商的期望利润为：（2）其中是市场需求量的概率密度函数，是市场需求量的分布函数，记。设最优订购量是，容易证明是凹函数，再由一阶最优性条件可以得到:
（3）上式被称为临界分位点公式, 我们可以通过它求出最优解。 2二层报童问题目前在一些行业（如电力）中，市场的激烈竞争使得市场格局发生了很大的变化, 供应商与零售商之间既有合作又有竞争，不能再作为一个垂直统一的经济个体去研究。而经典报童问题没有考虑供应商与零售商决策之间的相互影响，因此，有必要对供应商与零售商之间的层次递阶关系及其决策的相互影响加以研究。二层报童问题是二层规划在报童问题中的应用，二层规划是一种具有二层递阶结构的系统优化问题。上下层决策者在约束条件下各自优化其目标函数，上层的决策影响下层，但不能控制下层；下层通过其最优解(或目标最优值反馈给上层而影响上层的决策。Dempe[4]、Colson等[5]和王广民等[6]综述了二层规划问题的理论、方法和应用。二层报童问题的研究已经有20余年的历史， 1985年，Pasternack[7]首次提出了具有二层结构的报童问题来研究供应商与零售商利益关系，Iyer和Bergen[8]，Emmons和Gilbert[9]分别考虑了以供应商为领导层，零售商为从属层，目标函数是各自的期望利润的二层报童问题。他们考虑的都是一个供应商和一个零售商的情形，Yang等[10]考虑了一个供应商和两个零售商情况下的二层报童问题，分析了零售商之间的一些竞争行为。Lau 等[11]研究了不对称市场信息对供应商和零售商的影响，随后研究了需求为随机变量时多零售商的二层报童问题模型（见文
[12]），后来他们研究了随机不对称信息对供应商和零售商的影响(见文[13]。最近，Ji和Shao[14]针对需求是模糊变量时的报童问题，建立了相应的
二层报童问题模型. 这些成功的应用使得报童问题得到了更多的关注，二层报童问题在建立模型和应用过程中也出现了许多尚待研究的问题，所以报童问题的研究不仅具有理论意义而且还具有重要的实用价值，是一项具有发展前途的研究课题，需要我们更加深入地去研究和总结。文[14]还分析了供应商不同的批量折扣策略以及零售商相应的最优策略，零售商的订购量达到一定的数量后可以享受优惠价格，从而零售商能够用更低的批发价格购买产品，供应商的产品销售量也增加了。可见，折扣措施使交易双方受益，合约也有这样的作用，下面将研究需求是随机变量时合约决策下的二层报童问题。 3合约决策条件下的二层报童问题现货价格受需求的影响具有高度的不确定性，供应商和零售商面临顾客需求量和市场价格两方面的风险。合约规定了产品的单价、购买数量、违约惩罚、交易时间和交易地点等，能够为零售商提供订购量与价格的双重保护，而作为拥有合约价格决策权的供应商也有了最低利益保障。万仲平等[15,16]研究了合约决策在电力市场中的应用，首次提出了一个用于合约交易竞价策略的随机二层规划模型。李善良和朱道立[17]利用委托--代理理论考虑了两类不对称信息--逆向信息和道德风险并存下的供应链线性合约。Sethi, Yan和Zhang[18]研究了供应链管理和库存论中的合约问题，对数量柔性合约问题利用二阶段规划的思想作了一定的描述。在一个交易周期内，数量柔性合约(quantity-flexibility contracts允许零售商在两个阶段订购产品。第一个阶段发生在销售季节开始之前的一段时期，我们称之为交货期（lead time），供应商与零售商签定合约价格为订购量为的订购合约；第二个阶段发生在销售季节开始的时候，此时零售商获得了新的市场信息之并对需求预测作更新。零售商确定实际订购量，若实际订购量大于，合约允许零售商再以价格追加订购单位产品，其中。文[18]建立了该问题的二阶段规划模型，第一个阶段以订购量为决策变量，最大化零售商整个周期的利润；第二个阶段以追加订购量和现货市场购买量为决策变量，最大化零售商在第二阶段的利润。本文选取供应商为领导层，零售商为从属层，利用二层规划研究合约决策下的二层报童问题，供应商和零售商在决策相互影响的情况下，通过求解模型确定最优决策变量值，以此作为依据，通过谈判确定对自己最
为有利的合约。下面介绍下文将要用到的符号：现货市场单位产品批发价格随机变量单位产品合约批发价格决策变量单位产品合约保留价
格零售商的现货市场购买量决策变量零售商的合约订购量决策变量零售商的合约执行购买量决策变量模型的设计者通常假设签订合约的双方都具有良好的信誉，从而确保合约的执行。事实上，理性的签约者在利益的驱动下可能会违约, 一方的违约对另一方的利益会构成侵害，我们需要设计一个合适的惩罚机制来避免违约, 根本目的是为零售商提供购买量和价格的双重保护，同时使得供应商也有最低利益保障。因此, 我们规定: 在合约签订之后, 零售商向供应商支付"定金", "定金"以单位保留价格根据合约订购量来支付,在日后的合约交易中,零售商可以灵活选择合约执行购买量，并再次为合约执行购买量支付单位合约价格, 假设供应商不能够违约。本文的模型考虑到了现货市场交易的存在,它是对合约市场交易的补充。 3.1 模型Ⅰ--现货市场模型在现货市场中，现货价格是随机变量，假设是市场需求量的函数。零售商根据决定订购量。如果不签订合约而只在现货市场交易，供应商与零售商的最优决策可以通过求解如下的模型Ⅰ而得到：供应商的利润函数为： (4a 其中，是零售商的最大期望利润函数问题的解： (4b 其中，是供应商生产能力的上限或者市场需求量上限。 3.2供应商问题假设供应商面对的市场需求量和市场批发价格是不确定的，并且产品易腐烂或无法储存。我们假设供应商不回收已经售出的产品。要研究的问题是供应商如何确定适当的合约价格以获取最大利润。为了简化模型，我们假设产品的单位生产成本为常数，可以简单看作需求的函数，并假设合约执行之后供应商生产的产品恰能满足零售商的现货市场需求量，供应商的利润函数为：（5）其中第一项是供应商在现货市场中的收入，第二项与第三项是合约交易的收入, 第四项是生产成本，是生产上限或市场需求量上限。由于是市场需求量的函数，对（5）求期望，得到供应商的期望利润函数：（6） 3.3 零售商问题零售商为了获取最大利润，根据现货市场单位产品批发价格的分布规律，确定最优的合约订购量，合约执行订购量和现货市场购买量。这里假设零售商可以将过剩的产品以价格处理（此处"处理"不是指供应商的回收）。零售商的利润函数为：（7）当供不应求时，第一项是现货市场
收入，第二项是合约收入，第三项﹑第四项和第五项是成本，最后一项是缺货惩罚；当供过于求时，第一项是零售商的收入
，第二项是处理过剩产品收入，第三项﹑第四项和第五项是成本。对（7）求期望，得到零售商的期望利润函数：（8） 3.4模型Ⅱ--合约决策下的二层规划模型我们采取供应商为领导层，零售商为从属层，使用3.2和3.3中的定义以及约束条件，可以建立如下的二层规划模型Ⅱ：（9）其中，，的定义见(5式与(7式。模型Ⅱ的上层目标函数和约束函数有下层的决策变量，下层的目标函数和约束函数也有上层的决策变量。上层首先决策，下层根据上层的决策做出反应。 4 数值结果例1 考虑2001年Lau[12](第663页给出的一个算例：某种不可储存产品的市场需求量服从上的均匀分布，零售价格元，供应商成本元，处理价格元，缺货惩罚元。为研究本文的问题的方便我们对此例做改动，假设：生产或市场需求量上限，单位保留价格元，考察现货市场的逆需求函数为不同情形（见表1）时，供应商与零售商依据模型Ⅱ签订合约的最优决策与最大期望利润各为多少？计算结果见表1：表1 模型Ⅱ与Lau[12]的决策及其结果比较表 Lau[12] － 4.64 －－ 63.00 － 21.70 情形1 3.63 1 0 63.18 63.18 228.40 22.10 情形2 3.65 1 11.86 50.89 50.89 228.30 21.72 情形3 4.68 1 80.95 0 0 209.60 95.96 情形4 3.11 1 18.25 54.02 54.02 223.38 57.56 ：Lau[12]考虑的是一个供应商与两个零售商的情形，其是与两个零售商交易之和，本文为了比较的方便，计算了供应商单独与这一个零售商交易所得收入。通过表1可以看出，模型Ⅱ能够结合现货、合约两个市场作出最优决策，而Lau[12]没有研究现货市场。我们发现随着给出的现货价格的降低，供应商的最大期望利润也有所降低，令人高兴的是此时零售商的期望利润有了大幅的增加，从而提高了渠道(channel的利润。
下面的例子研究引入合约交易与只在现货市场进行交易相比有何变化。例2 假设市场需求量服从[50,200]上的均匀分布，零售价格元，供应商的成本元，处理价格元，缺货惩罚元，生产或市场需求量上限，单位保留价格元，考察现货市场的逆需求函数为不同情形（见表2）时， 1 供应商与零售商只在现货市场交易的最优决策与最大期望利润各为多少? 2 供应商与零售商依据模型Ⅱ签订合约的最优决策与最大期望利润各为多少? 计算结果见表2：表2 模型Ⅰ与模型Ⅱ的决策及其结果比较
表逆需求函数模型模型Ⅰ -- 72.50 -- -- 236.80 46.17 模型Ⅱ 2.83 0 85.08 85.08 242.04 79.38 模型Ⅰ -- 87.50 -- -- 241.82 86.26 模型Ⅱ 2.75 11.67 75.81 75.81 241.90
86.37 模型Ⅰ -- 102.50 -- -- 231.78 134.10 模型Ⅱ 2.32 102.50 0 0 231.78 134.10 从表2可以得出以下下结论： 1）现货市场价格高的时候对供应商有利，反之则对零售商有利； 2）如果现货市场价格很高，零售商将不从现货市场购买产品而全部选择合约交易；如果现货市场价格很低，零售商将选择只在现货市场交易； 3）当现货市场价格很低时，模型Ⅰ与模型Ⅱ的效果是相同的，但是当现货市场价格很高时，模型Ⅱ能够使得供应商与零售商的利润均比不签约时有所提高；现实生活中，受企业规模和供需关系等因素的影响，供应商与零售商在市场中的力量未必均衡。市场力量大的主体必然在谈判时充分利用自己的优势而争取更高的利润。下文研究我们的模型如何为谈判提供客观依据。例3考虑供应商在市场中占主导地位的情形下，尽管双方已经将合约价格定为，供应商仍然可以利用自己的市场力量，通过谈判要求零售商订购一定数量的产品以使得供应商的期望利润有所提高。但是，当供应商提出的订购要求偏离零售商的最优订购量太多的时候，零售商会因为利润太低或无利可图而拒绝交易。而零售商的利润低到多少会拒绝签约，就要看双方在市场中的影响力和一些主观因素了。表3列出了当市场的逆需求函数为时可能的谈判结果，此时合约价格为，零售商的最优订购量为。谈判过程中，供应商提出不同的订购要求会对双方的利润产生不同的影响，零售商的订购量越大供应商的利润越高，实际订购要求偏离最优订购量越多，零售商的利润越低。表3 供应商占主导地位的谈判结果表 80 85.08 90 95 100 105 110 226.4 242.04 254.7 268.85 283 297.15 311.3 78.6 79.38 78.63 77.4 75.34 72.44 68.7 如果零售商在市场中占主导地位，他可以通过谈判影响供应商的合约定价，而自己则根据定价作出最优的反应以获得最高的利润。供应商为了获得订单，也将妥协把批发价格降低到一个自己可以接受的水平，降低的程度与零售商的影响力有关。表4列出了逆需求函数为时的一些可能的谈判结果：表4 零售商占主导地位的谈判结果表 3.3 3.1 2.9 2.83 2.7 2.5 2.3 2.1 71 77 83 85.08 89 95 101 107 234.3 238.7 240.7 242.04 240.3 237.5 232.3 224.7 67.11 70.13 73.52 79.38 77.56 82.56 88.80 96.56 如例3所描述的那样，供应商和零售商为了获取更高的利润，市场力量大的主体在谈判过程中将向对方提出对自己有利
的条件。而这些条件要基于二层报童问题模型的最优解提出，如果偏离最优解的程度很大，另一方会因为利润太低或无利可图而拒绝交易。可见研究二层报童问题模型，对供需双方的签约谈判有重要意义。
5 结论本文提出了具有合约决策报童问题的二层规划模型，该模型的最优解可以作为供应商与零售商谈判的依据。供应商和零售商以最优解为依据通过谈判而签定合约，供应商和零售商的利润比不签合约时有所提高。尽管本文考虑的情况比较简单，但是具有一定的理论意义和实际价值，该问题还可以在多供应商多零售商问题、多周期问题做更为深入的研究。参考文献 [1]. N.C.Petruzzi, M.Dada. Pricing and Newsvendor Problem: A Review with Extension [J], Operations Research, 1999,
47(2, 183-149. [2]. E.A.Silver, D.F.Pyke, R.P.Peterson. Inventory Management and Production Planning and Scheduling[M],3rd ed. New York: John Wiley, 1998. [3].
M.Khouja. The Single-Period (news-vendor Problem: Literature Review and Suggestions for Future Research[J], Omega, 1999,27,537-553. [4]. S.Dempe. Annotated Bibliography on Bilevel Programming and Mathematical Programs with Equilibrium Constraints[J], Optimization, 2003,52,333-359. [5]. B.Colson, P.Marcotte, G.Savard. Bilevel Programming: A Survey[J], 4OR A Quarterly Journal of Operations Research, 2005, 3, 87－107. [6]. 王广民，万仲平，王先甲，二层规划综述[J]，数学进展, 2007,
36(6:513-529. [7]. B.A.Pasternack. Optimal Pricing and Return Policies for Perishable Commodities[J], Marketing Science, 1985, 4,166-176. [8]. A.V.Iyer, M.E.Bergen. Quick Response in Manufacturer-Retailer Channels[J], Management Science, 1997, 43, 559-570.
[9]. H.Emmons, S.M.Gillbert. The Role of Returns Policies in Pricing and Inventory Decisions for Catalogue Goods[J], Management Science, 1998,44,276-283. [10]. Shanlin Yang, Yongwu Zhou. Two-Echelon Supply Chain Models: Considering Duopolistic Retailer's Different Competitive Behaviors[J], Inter. J. Production Economics, 2006, 103, 104-116. [11]. https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u, https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u. Some Two-Echelon Style-Goods Inventory Models with Asymmetric Market Information[J], European Journal of Operations Research, 2001, 134, 29-42. [12]. https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u, https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u. Comparative Normative Optimal Behavior in
Two-Echelon Multiple-Retailer Distribution Systems for a Single-Period Product[J],
European Journal of Operations Research, 2003, 144, 659-676. [13]. https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u, https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html,u. Some Two-Echelon Supply-Chain Games: Improving from Deterministic-symmetric-information to Stochastic-Asymmetric-Information Models[J], European Journal of Operations Research, 2005, 161, 203-223 [14]. Xiaoyu Ji, Zhen Shao. Model and Algorithm for Bilevel Newsboy Problem with Fuzzy Demands and Discounts[J], Applied Mathematics and Computation, 2006,172,163-174. [15]. 万仲平等. 不确定市场下的一种二层规划最优竞价模型[J], 电力系统自动化，2003, 28(19, 12-16. [16]. 万仲平等. 基于二层规划的不确定电力市场交互式模糊竞价策略[J], 武汉大学学报(工学版, 2006, 39(5，85-90. [17]. 李善良，朱道立. 逆向信息和道德风
险下的供应链线性激励契约研究[J], 运筹学学报， 2005, 9(2, 21-29. [18]. Suresh P.Sethi,Houmin Yan, Hanqin Zhang. Inventory and Supply Chain Management with Forecast Updates[M], Springer, 2005. Research of Bilevel Newsboy Problem with Contract Making-Decisions Wan Zhongping1, Hou Kuolin1，2,Cheng Lu1 1School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan, Hubei, 430072, China 2Faculty
of Foundational Education, LiMing Vocational University, Quanzhou, Fujian, 362000,China Abstract: A bilevel programming model for the newsvendor problem with contract making-decision is presented in this paper, in which the supplier is considered as the leader while the retailer is the follower. We also study the model's effect when the supplier and retailer negotiate a contract. In order to obtain the maximal profit and avoid the risks that are caused by the uncertain market demand and market price, the supplier and the retailer prefer to sign purchase contract. The supplier and the retailer can compute the optimal contract decision variables by using model analysis, and the optimum solution can be obtained through the negotiation to gain higher expect profit. Key words: newsvendor problem, bilevel programming, contract negotiation, uncertainty. +国家自然科学基金资助项目(70771080 作者简介：万仲平，男，教授，博士生导师，主要研究方向为最优化理论与算法及其系统决策科学等. ?? ?? ?? ?? 2 侯阔林、程露、万仲平 1 2 侯阔林、程露、万仲平
报童数学建模
报童卖报 国贸系报关班：王曦 法学系行政法务一班：何国泽 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型建立： 假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n), 如果这天的需求量r<=n, 则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。需求量为r 的概率是f(r),则 问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。 四、模型求解： 购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) 计算 令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ??∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n --=??∞ n 应满足上式。()10=?∞ dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为 ()c a b a dr r p n --=?0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别
报童问题
关于报童问题的分析 摘要 本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛（MC ）算法、插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计的背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的进货量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。 在问题一中，首先对题目中给出的报童159天的报纸需求量进行概率分布计算，得出报纸需求量的概率分布)(r f ，...2,1,0=r ，代入建立好的报童收益模型中求出平均收益的最大值7358.33)(=n MaxG ，n r r f = )(，200=n 。 在问题二中，即将第一问中的概率分布)(r f 转化为概率密度)(r p ，在Matlab 工具箱子CFtool 中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量n 。其中 2 ) 98 .54)1.190(( )(--=x e r p ，=)(n G （ ） ，=n 关键词 随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益
1、问题重述 1.１问题背景 在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。 １.２报童获利途径 报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。 １.３问题提出 现在需用数学建模解决以下问题： 问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？ 问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？ ２、模型假设 （１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失 （３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用 （４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量 ３、符号说明 r报纸需求量 f报纸需求量概率分布（离散型） (r ) p报纸需求量概率密度（连续性） (r ) G报童每天购进n份报纸的平均收入 ) (n
报童 数学建模
报童诀窍 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型建立： 假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n), 如果这天的需求量r<=n, 则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。需求量为r 的概率是f(r),则 ()()()()[]()()()∑∑=∞ +=-+----= n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 0 1 问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。 四、模型求解： 购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) ()()()()[]()()()??∞ -+----= n n dr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0 计算 ()()()()?-- -=n dr r p c b n np b a dn dG 0()()()()dr r p b a n np b a n ?∞ -+ -- 令0=dn dG 得 dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ??∞-+---=0 2 得到 ()()c b b a dr r p dr r p n n --= ? ?∞ n 应满足上式。()10 =?∞ dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为 ()c a b a dr r p n --= ? 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的
报童问题模型
§2 报童问题模型 [问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为a>b>c．这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入． [问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是) f．有了) (r r f和a，b，c， ,2,1,0 )( r ( 就可以建立关于购进量的优化模型了． 假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入． [模型的建立及求解] 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是) f，所以 (r 问题归结为在) f，a，b，c已知时，求n使G(n)最大． (r 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率) f转化为概率密度函数) (r (r p，(1)式变成 计算
令0=dn dG .得到 使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为?∞ =01)(dr r p ，所以(3)式又可表为 根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作 因为当购进n 份报纸时，?=n dr r p P 01)(是需 求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率： ?∞=n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完 的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖 不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.
报童模型newsboy
报童模型 某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。未售出的树只能按$1出售。如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？ 一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。那么，他应当订购多少份报纸呢？ 假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？ 基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。 （1）期望损失最小法 比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。 已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则：单件机会成本：Cu=P – C 单件超储成本：Co=C-S 当订货量为Q时，期望损失为： 式中P(d)为实际需求量为d时的概率 某商店挂历需求的分布率： 已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。降价处理S=30元/每份。求该商店应该进多少挂历为好。 （2）期望利润最大法 比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则： 单件收益：Cu=P - C 单件超储成本：Co=C-S 当订货量为Q 时，期望利润为： 式中P(d)为实际需求量为d 时的概率 某商店挂历需求的分布率： （3）边际分析法 考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。 当增加到第D 个产品时，如果下式成立: D 为订货量，P(D)为需求量大于等于D 的概率 从满足需要的最小可能订货量开始，随着订货量的增加，P(D)便随之下降。在某一点上，P(D)可以使上式两个期望值相等，将此时的P(D)记为P*(D)，并称之为临界概率: 已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则： 单件机会成本：Cu=P - C 单件超储成本：Co=C-S 计算临界概率P （D*）： P （D*） Cu =[1-P （D*）] Co P D C P D C u o ()(())?>-?1P D C P D C P D C C C u o o u o ***()(())()?=-?=+1
报童模型下的批发价契约
报童模型下的批发价契约 1 基本模型 1.1 前提 在该模型下存在单个供货商和单个零售商，零售商面临着报童模型问题：零售商必须在有随机需求的单个销售季节来临之前选择一个订购数量。假设双方都是风险中性，即双方都以最大化己方的利润为目标。并且双方都知道所有成本、参数及规则 。该模型发生在两种遵从机制下：自愿遵从机制和被迫遵从机制。 假设市场需求为D （0>D ），期望需求用μ表示，即][D E =μ，需求分布函数和概率密度函数分别为)(x F 、)(x f 。)(x F 为严格的单调递增函数，有0)0(=F ， )(1)(x F x F -=。假设市场零售价格为p ，供货商产品的成本价和零售商的边际成本分别 为s c 和r c ，其中零售商的边际成本发生在零售商购买商品的过程中。令r g 为零售商单位缺货损失成本，s g 为由于零售商单位缺货而导致供应商的惩罚成本，其中r s g g g +=为供应链上单位缺货的总惩罚成本。在销售季节末，零售商可以获得未售出的商品的每单位残值为 v ，其中c v <。 1.2 事件发生顺序 首先，供应商向零售商提供一个合约，零售商可以选择接受或者拒绝，假设零售商接受合约，零售商向供应商提交一个数量为q 的订单，接着供应商在销售季来临之前生产并向零售商转交产品。随后需求发生，最终转移支付按照两方公司的订立的合约进行转移。如果零售商拒绝合约，本次合约结束。 1.3 利润函数 设零售商的订购数量为q ，零售商订购数量为q 时的期望利润用)(q r π表示，期望销售用)(q S 表示，期望剩余库存用)(q I 表示，期望销售损失用)(q L 表示。则期望销售)(q S 为订购量与市场需求的极小值，即)],[min()(D q E q S =，当q D >时的数学期望为 ))(1()(x F q dx x f q q -?=?? ∞ ，q D <时的数学期望为??q dx x f x 0 )(，即：
报童问题模型
§2 报 童 问 题 模 型 [问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a >b>c ．这就是说，报童售出一份报纸赚a -b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入． [问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f ．有了)(r f 和a ，b ，c ，就可以建立关于购进量的优化模型了． 假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入． [模型的建立及求解] 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以 问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大． 通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成 计算
报童问题模型
§ 2报童问题模型 ［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设 报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就 是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c ?报童每天如果购进的报纸太少， 不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱?请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入. ［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量?需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范 围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) ?有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了. 假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于 n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每 天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入. ［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以 问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大. 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成 计算 第163页
^ = (a-b)npM-f
报童模型――物流案例
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言： 报童模型的引入： 公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。 一、已知数据： 年销量/产量output=5000 吨;年产值sales=14250 万；利税B=777 万；年库存总费用H=700 万；单位原蜜购买成本c=9000 元/吨； 需求及采购情况见下表： 项目 需求/t 预计到货 量/t月份 6789 300
40011 60012 6001 8002 5300月初库存/t1000 月末库存/t1200 平均库存 水平=（洋槐花蜜）00 二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设： 1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。依据： 虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。 2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失； 3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分： 一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。 三、无预算约束的报童模型
F(q*)=c u/(c u+c o) 其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。 根据假设： 欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x ); 超储成本=库存维持费用(h) 处理后的报童模型公式： F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h) -1 即q*=F[(p-c+x) /( p-c+x+h)] 单位库存费用h= 年库存总费用/平均库存水平=4098 元/(年*吨)；
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题 摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型. 关键词：存贮管理；预期理论；期望损失 1、引言 1不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。因而，当报纸不够卖的时候，报童也就失去了更多赚取利润的机会，这相对于报童来说也是一种损失，往往这种损失就相当于卖一份报纸所获得的利润。这种利润也往往大于报童因报纸卖不完时的处理价。因而，报童更不愿意看到这种情况发生。尤其在市场竞争极其激烈的今天，多数报童宁愿有部分报纸剩余，也不愿意每天过早的退出市场。一个简单的例子，两个报童A和B，市场共需要100份报纸，两个人平分的话一个可以卖50份，但是如果A预定了45份，B预定了60份，根据假设，A不够卖，而B剩余5份。假如报纸定价都是0.2元，每卖出一份赚0.3元，卖 ?=元，而B赚了剩一份赔0.1元。那么对A而言，他赚了450.313.5 ?+?-?=元，比A就多赚了2.5元。而显然在A的订购量不变的前550.550.1600.2 ?=元，比上述两种情况都要优。故导提下，B的最佳订购量是55份，此时赚550.316.5 致报童损失有两种情况，一种是脱销而造成的损失，另一种是报纸有剩余造成的损失。这种类似报童的单阶段存贮问题中，不缺货的情况下还应考虑租赁仓库存储时的费用。此文为讨论方便，我们先不讨论这部分费用所造成的损失。 由于市场需求的随机性，导致了报童在决策订购量时难以把握。当订购量大于销售量时，会因买不出去而导致损失；当订购量小于销售量时会因缺货而造成损失。因而只有当销售量等于需求量时，报童才不会有损失，此时的报童也获得了最大利润。那么，报童决策的核心就是如何去使得订购量接近于销售量，如何最大限度去减少自己的损失。本文同样在预期理论框架下基于损失最小的角度出发对报童问题进行了探讨，得到了报童问题的最优解。２、连续模型 关于预期理论与期望效用理论的主要区别在[6-10]中已做了详细阐述。在不确定性决策中，我们通过上例可以看出：报童要想获得更多利润，要想抓住更多获取利润的机会，他们
报童问题模型matlab实现
《系统仿真与Matlab》综合试题 题目：报童问题模型 编号：（1） 难度系数： 姓名XXXX 班级自动化1306 学号XXXXXXX 联系方式XXXXXXX 成绩
目录 一． 问题描述 (2) 二． 数学建模 (2) 三． 关键难点 (4) 四． 程序运行指南 (4) 五． 程序运行实例分析 (7)
一． 问题描述 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a b c 。这就是说，报童售出一份报纸赚a b ，退回一份赔b c 。报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 二． 数学建模 【模型假设】 1. 众所周知，应该根据需求量确定购进量。需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经 验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f 。有了)(r f 和a ，b，c，就可以建立关于购进量的优化模型了。 2. 假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使 报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，即平均收入。 【模型的建立与求解】 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n),如果这天的需求量r≤n,则他售出r 份,退回n-r 份；如果这天的需求量r>n，则n 份将全部售出，考虑到需求量为r 的概率是f(r)，所以 1 (n)[()(b c)(n r)]f(r)(a b)nf(r)n r r n G a b r (1) 问题归结为在f(r),a,b,c 已知时，求n 使G(n)最大。
11-报童模型_黑背景_
运营管理 报童模型及应用 邱灿华 同济大学经济与管理学院 chqiu@https://www.sodocs.net/doc/ff14243008.html, 报童问题的共性
报童问题 ?一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后再以0.50元的零售价格出售。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而只是根据以前的经验，知道需求量具有均值为50份、标准偏差为12份的正态分布。那么他应当订购多少份报纸呢？ 约会问题 ?您要与您的女朋友/男朋友晚上六点钟在她/他家附近的一个地方约会。您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞，因此还会有一些偏差。路程所用时间的标准偏差估计为10分钟。虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到1分钟要比早到1分钟付出十倍的代价。那么您应当什么时候从办公室出发呢？
超额预售机票问题 ?一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登 机（“不露面”）的人数具有平均值为20人、标 准偏差为10人的正态分布。根据这家航空公司的 测算，每一个空座位的机会成本为100美元。乘 客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估 计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超 额预订”。飞机上共有150个座位。确认预订的 截止上限应当是多少？ 报童问题的共性 ?决策变量X(报纸供应量；出发时间；多预售的座位） ?随机变量Y(报纸需求量；实际路程时间；持票而未登机 人数）。 ?X大于Y 的单位成本（过量成本）(未售出的报纸；一名 因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。 ?Y大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸；一个空 座；晚到一分钟）。 ?都需要测算Y的概率分布。
报童模型
关于报童卖报的问题 摘要 报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。报童模型中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性决策。 本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。 本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。 关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散 引言 在报童模型中，有限理性决策主要面对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。本文首先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进行研究的部分文献成果。再得出有报童模型有限理性的发展。 一、问题重述 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一
数学建模报童问题
计算机模拟 实验目的： 1.学习计算机模拟的基本过程与方法； 2.会做简单的计算机模拟。 实验内容： 一、了解什么是模拟 模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。 模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息 模拟的方法： 1、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。 2、数学模拟 在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。 二、报童问题 某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为 已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数
量,使报童的平均总收入为最大? [1] 系统的假设： （1） 模拟时间充分大； （2） 报童购买报纸量介于销售量最小值与最大值之间； （3）不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。 [2] 问题分析 报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。我们可以应用计算机模拟的方法 在模拟时间充分大的条件下（例如10000天），模拟每天的销售量，因而确定每天应买进多少报纸才能使平均总收入达到最大值。 设该问题的销售量为离散型随机变量η，η有分布列i i p x P ==)(η)62,1( =i 。所谓对离散型随机变量η的模拟, 其实质就是通过计算机上的模拟试验来取得在真实试验下的样本值 U ,由分布列知U 只取数值1x , 2x 中的某一个.对离散型随机变量η的一般模拟方法如下: (1) 在直线上将[0 ,1]区间划分成若干个子区间, 其分点记为1A , 2A 6A ,分点i A 的坐标 k i k k p p =∑=1 )6,2,1( =i 如下图所示： （2）在计算机上取伪随机数rand ； （3）判定rand 在x 轴上所落的位置，若),(1 1 1 ∑∑=-=∈i k k i k k p p rand ，则可以认为η的一次真实试验样本 值取i x 。 [3] 符号假设 BUYMIN ：每天的最小购买量 BUYMAX ：每天的最大购买量 SIMUDAY ：模拟时间 sell_amount ：报童销售量 buy_amount ： 报童购买量 percentage ：销售百分率 ave_profit ：总平均利润 loop_buy ：当天购买量 loop_day ：当天时间
数学建模之报童收益最大期望问题
报童收益期望最大问题 教程 一：复习期望求解公式 ， 二：报童问题 报童进报纸每份价格a 元，卖价b 元，退还c 元，市场需求m 份报纸概率m p (假定平均需求λ份), 可以只考虑500≤m , 若报童进报n 份，求收益平均Income(n) 解答： 对应市场需求m 份报纸，报童收益为 [][]()[][]()m I m a b m I m n c a m a b n n ∞+-+----,1,0)())(()(，对应概率为m p 因此，收益平均 Income(n)= [][]()[][](){}∑=∞+-+----5000,1,0)())(()(m m n n p m I m a b m I m n c a m a b 例题：若a=0.4, b=0.6, c=0.3, ! 200200m e p m m -=，求Income 对n 表达矩阵 Income(n)= [][]()[][](){}∑=∞+-+----5000,1,0)())(()(m m n n p m I n a b m I m n c a m a b a=0.4;b=0.6;c=0.3; lamda=200; for n=1:500 for i=1:500; %忽略i=0情况 gailv(i)=exp(-lamda+i*log(lamda)-sum(log(1:i))); Income(i)=((b-a)*i-(a-c)*(n-i))*(i<=n)+(b-a)*n*(i>n); end ExpectationIncome(n)=sum(gailv.*Income); end plot(ExpectationIncome)
合约决策条件下的一种二层报童问题模型精.doc
合约决策条件下的一种二层报童问题模型+ 万仲平1，侯阔林1，2，程露1 (1武汉大学数学与统计学院，湖北，武汉，430072；2黎明职业大学公共教学部，福建，泉州，362000 摘要：本文研究了以供应商为领导层、零售商为从属层的合约决策下报童问题的二层规划模型，并讨论了它在合约谈判中的作用。考虑到顾客需求和市场价格具有高度的不确定性，供应商和零售商为了回避风险而达到最大的期望利润，双方通常可以采用签订合约的方式来进行交易。为此，我们建立了一个合约决策条件下报童问题的二层规划模型并计算了数值结果。供应商和零售商可以依据该模型的最优解通过谈判确定合约决策变量值以获取较高的期望利润。关键词：报童问题，二层规划，合约谈判，不确定性中国分类号：C931.1, O221.2, O227. 0引言报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem, 是供应链管理中最重要的模型之一，其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth应用它解决银行的现金流(cash-flow问题，1955年，Whitin首次建立了受价格影响的报童问题模型（详见Petruzzi等[1]）。目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用。有关报童问题及其扩展问题的研究见Silver [2] 和Khouja [3]给出的综述报告。与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为：报童每天早晨以单位批发价从报社买进报纸，然后以单位零售价出售，晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格（）处理掉。同时假设：（1）报童拥有购买足够多报纸的资金；（2）报纸过剩只能以低于零售价的价格处理；（3）报纸供应不足，会遭受缺货惩罚。报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢？显然，报童应该根据市场需求量来确定订购量，而市场需求量是随机的。假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律，我们就可以建立优化模型来求解报童问题了。由于市场价格和顾客需求具有高度的不确定性，供应商和零售商（即报童）面临来自于市场价格和顾客需求两方面的风险。而合约能够为零售商提供购买量和价格的双重保护，同时供应商也有了最低利益保障。因此，在供应链管理领域, 合约问题得到了广泛的关注和研究。然而, 目前对合约报童问题的研究都是将合约订购量(或合约价格作为协调参数考虑的，这是一种带有决策者的主观意识的决策，并不能真正反映客观实际中的一些问题,可能会使供应商