第二节 与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角一、课标导航

二、核心纲要

1.三角形内角和定理及其应用

180

(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是.

(2)三角形内角和定理的应用

①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；

②证明角之间的关系．

2．三角形的外角

(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

(2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

360

(3)三角形外角和定理：三角形外角和是.

(4)三角形外角的性质的应用

①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；

②可证一个角等于另两个角的和；

③利用它作为中间关系式证明两个角相等；

④利用它证明角的不等关系．

3．几何模型

4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，

本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．

三、全能突破

基 础 演 练

1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )．

75.A o B 60. 65.C o D 55.

2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )．

36.A 72.B 108.C 144.D

3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40

则这个等腰三角形的顶角 为( )．

40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D

4．(1)在△ABC 中，若,4:3:2::=∠∠∠C B A 则=∠A =∠B , =∠C , (2)在△ABC 中，若,3

1

21C B A ∠=∠=

∠则=∠C (3)若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形按角分是 三角形．

5．已知：如图11-2 -3所示，AB CE ⊥于点BC AD E ⊥,于点,30,

=∠A D 则C ∠的度数为

6．已知：如图11—2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东,60

在B 处测得灯塔C 位于北偏东,25

则=∠ACB

7．如图11-2—5所示，已知D C B A F E EGF ∠+∠+∠+∠∠+∠=∠求,的度数．

8．(1)已知，如图11—2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，试说明：).(2

1

B C DAE ∠-∠=

∠

(2)如图11-2 -7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点,,BC IH I ⊥垂足为H ，

HIC BID ∠∠与是否相等？并说明理由．

能 力 提 升

9．在三角形中，最大角口的取值范围是( )．

900.<<αA 18060.<<αB 9060.<≤αC 18060.<≤αD

10.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是( )．

45.A 135.B 45.C 或 135 D ．都不对

11.如图11-2 -8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则21∠+∠∠与A 之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是( )．

21.∠+∠=∠A A )21(21.∠+∠=

∠A B )212(31.∠+∠=∠A C )21(3

2

.∠+∠=∠A D

12.已知△ABC 的三个内角为,C B A ∠∠∠、、且C A C B B A ∠+∠=∠+∠=∠+∠=γβα,,则γβα,, 中，锐角的个数最多为( )．

0.A 1.B 2.C 3.D

13.在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，C B ∠∠,越来越大，若A ∠减少B ∠,α

增加C ∠,β增加,γ则γβα,,三者之间的关系是

14.在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，,50

=∠A 则=∠BHC

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成

20角，则这个三角形的顶角是

16.如图11-2 -9所示，在△ABC 中，B A 1平分C A ABC 1,∠平分,ACD ∠B A 2平分C A BD A 21,∠平分

B A CD A 31,∠平分

C A B

D A 32,∠平分,2CD A ∠若,64 =∠A 则=∠3A ；依此类推，若=∠=∠n A A ,α

17．(1)如图11—2-10所示，在△ABC 中，么ABC 的咒等分线与么ACB 的咒等分线分别相交于,,21G G

,,,13-n G G 试猜想：C BG n 1-∠与A ∠的关系．（其中咒是不小于2的整数）．首先得到：当2=n

时，如图(a)所示，=∠C BG 1 ，当3=n 时，如图(b)所示，=∠C BG 2 ，…，如图(c)所示，猜想=∠-C BG n 1

(2)如图(d)所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是BCD ABC ∠∠,的角平分线，则D A P ∠∠∠,与 之间的数量关系为

18.如图11-2 -11所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分CG AE AG BAC ,,⊥∠是△ABC 的外角么ACF 的平分线，若,60

=∠-∠DAE G 则ACB ∠=

19.阅读材料：如图11-2 -12所示，AD 与CB 相交于0点，在△AOB 和△COD 中，=∠+∠+∠AOB B A

,180 ,180 =∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠所以,D C A B ∠+∠=∠+∠图形类似于数字

“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题如图11-2 -13所示，BE 平分DE ABC ,∠ 平分BE C A ADC ,46,48,

=∠=∠∠与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ． (1)仔细观察图11-2 -13中有 个“8”字形． (2)求BED ∠的度数．

(3)试探究C F A ∠∠∠,,之间的关系．（直接写出结论）

20.如图11-2 -14所示，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，

(1)若BAN ABM ∠∠,的平分线交于点C ．问：点B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改 变？若不改变，直接写出结论；若改变，说明理由． (2)如图11-2 -15所示，若BAN ABO ∠∠、的平分线所在的直线相交于点C ，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．

21.如图11-2 -16所示，在△ADE 和△ABC 中，=∠=∠=∠=∠=∠BAD BCA BAC AED EAD o

,45 BCF ∠

(1)求ECA DAC ECF ∠+∠+∠的度数；

(2)判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．

22.如图ll-2-17(a)所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分,DEQ ∠过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使,BDC ADE ∠=∠已知

),0,(),0,(n E m C 其中m ，n 满足.0)4(|3|2=++-n m

(1)求点C 、E 的坐标．

(2)若,30

=∠ABC 求Q ∠的度数．

(3)如图11-2-17 (b)所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D 作,AB DH ⊥交x 轴 于点G ，交y 轴于点H.直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①Q ∠的大小不变；②OHD

Q

∠∠的值不变，

选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．

中 考 链 接

23.（2011．四川绵阳）将一副常规的三角尺按图11-2 -18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为( )．

75.A 95.B 105.C 120.D

24.（2012．烟台）一副三角板叠在一起，按图11-2 -19所示方式放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰

直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．如果,100

=∠ADF 那么BMD ∠的度数为

巅 峰 突 破

25.如图11-2 - 20所示，在Rt△ABC 中，,31,90DAB DAF C ∠=

∠=∠

,3

1

EBA EBG ∠=∠则射线AF 与BG( )．

A ．平行

B ．延长后相交

C ．反向延长后相交

D ．可能平行也可能相交

26.如图11-2 - 21所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分,,βα=∠=∠∠B A AEB 若则=∠C ．（用βα、 表示）