定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用
摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余
引言
积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有
dx x u u x u x
)()0()(0?'+=
例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本
C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。
解 总成本函数
dx x c c x c x ?'+='0)()0()(
=dx x x x )100143(1000002+-+?
=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+
2 利用定积分由变化率求总量问题
如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。
解 所求的总产量为
dt t Q Q ?'=0
5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10
5210
5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值
例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
10000=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。
解 总成本函数为)0()2100()(0c dt t x c x
++=?
=10001002++x x
总收益函数为R( x ) = 500x
总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 10004002--x x
L '= 400- 2x 令L '= 0, 得x= 200
因为L '' ( 200) < 0
所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 ?200-2200-1000=39000( 元) 。
例4 某企业生产x 吨产品时的边际成本为3050
1)(+='x x c ( 元/ 吨) 。且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低? 解： 首先求出成本函数 90030100
1900)30501()()(2000++=++=+'=??x x dx x c dx x c x c x x , 得平均成本函数为 x
x x x c x c 900301001)()(++== 求一阶导数 2
9001001)(x x c -=' 令0='c , 解得3001=x (2x = - 300 舍去) 。
因此, c ( x) 仅有一个驻点1x = 300, 再由实际问题本身可知c ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。
例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t 的追加成本和增加收益分别为 232
3//()62()18C t t
R t t =+=-（百万元/年）
试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？
解： 有极值存在的必要条件 //()()0R t C t -=，即 223318(62)0t t --+=
可解得 t=8 132
////
3////24()()33()()0R t C t t t R t C t ---=---<
故*t =8时是最佳终止时间，此时的利润为 2233
538
//0808
0[()()]20[(18)(62)]209(12)|205
38.420
18.4L R t C t dt t t dt t t =--=--+-=--=-=??
因此最大利润为18.4百万元
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P 的单调递减函数。
同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品
价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P 的单调递增函数。
由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=)(1Q f -与P= )(1Q g -, 此时函数P=)(1Q f -也称为需求函数, 而P=)(1Q g -也称为供给函数。
需求曲线(函数) P=)(1Q f -与供给曲线(函数) P=)(1Q g -的交点A( P* , Q* )称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P* 称为均衡价格, 即对某商品而言, 顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品, 由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。 假设消费者以较高价格P= )(1Q f -购买某商品并情愿支付, Q* 为均衡商品量, 则在[ Q, Q+Q ?]内消费者消费量近似为Q Q f ?-)(1, 故消费者的总消费量为dQ Q f Q )(*
01?-,它是需求曲线P=)(1Q f -在Q 与
Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap 的面积, 如图
如果商品是以均衡价格P* 出售, 那么消费者实际销售量为P* Q* , 因此, 消费者剩余为
**0)(*
Q p dQ Q f Q -'?
它是曲边三角形1*AP P 的面积。
如果生产者以均衡价格P* 出售某商品, 而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1Q g P -=出售该商品, 由此所获得的额外收入, 称它为生产者剩余。
同理分析可知: P* Q* 是生产者实际出售商品的收入总额, dQ Q g Q ?-*
01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总
额, 故生产者剩余为
dQ Q g Q P Q )(*
01*
*?-- 它是曲边三角形*0Ap p 的面积。
例6 设某产品的需求函数是P=Q 2.030-。
如果价格固定在每件10元, 试计算消费者剩余。
解 已知需求函数P=Q Q f 2.030)(1-=-,
首先求出对应于P* = 10 的Q*值, 令Q 2.030- = 10, 得Q* = 10000。
于是消费者剩余为
**01)(*
Q P dQ Q f Q -?- = 1000010)2.030(10000?--?dQ Q =(30Q-)15223Q 100000|100000- =66666.67(元)。
例7 设某商品的供给函数为P= 250+ 3Q +0. 012Q , 如果产品的单价为425元, 计算生产者剩余。
解 首先求出对应于*p = 425 的*Q 的值,
令425= 250+ 3Q + 0. 012Q , 得一正解Q*=50,于是生产者剩于为
dQ Q g Q p Q )(*
01**?-- =dQ Q Q )01.03250(504252500++-?? =???????++-?323101.023*********Q Q 500|
=4583.339(元)。
5 利用定积分决定广告策略问题
例8 某出口公司每月销售额是1 000000美元, 平均利润是销售额的10%. 根据公司以往的经验, 广告宣传期间月销售额的变化率近似地服从增长曲线t e 02.06101??( t 以月为单位) , 公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为5103.1?美元的广告活动. 按惯例, 对于超过6101?美元的广告活动, 如果新增销售额产生的利润超过广告投资的10%, 则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告? 解 由公式知, 12 个月后总销售额是当t= 12时的定积分
即总销售额= |12002.012002.002
.010000001000000t t e dt e =? =135600015000000024.0≈-e ( 美元)
公司的利润是销售额的10% , 所以新增销售额产生的利润是 156000)1200000013560000(10.0=-?(美元)
156000 美元利润是由花费130000 美元的广告费而取得的, 因此, 广告所产生的实际利润是156000- 130000= 26000( 美元) 这表明赢利大于广告成本的10%, 故公司应该做此广告。
6 利用定积分计算资本现值和投资
若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r
计息, 从而总现值y=dt e t f rt T -?0)(。
例9 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:
( 1) 该投资的纯收入贴现值;
( 2) 收回该笔投资的时间为多少?
解 ( 1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为 Y=)1(0rt T rt e r a dt ae ---=?
从而投资所获得的纯收入的贴现值为 A e r a A y R rT )1(--=-=
( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由A e r a rT =--)1(得T =Ar a a r -ln
1 即收回投资的时间为T=Ar
a a r -ln 1
例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为05
.0800200200ln 05.01?-=T =25.1ln 20
46.4≈( 年)
由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.
例10 有一个大型投资项目, 投资成本为A= 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值(或称为投资的资本价值) .
解 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) ,年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现
dt ae y rt ?+∞-=0
=dt e t ?+∞-005.02000
=dt e Lim b t b ?-∞+005.02000 =[]b b e Lim 05.0105.02000-∞
+- =05
.012000? =40000（万元）
从而投资为无限期时的纯收入贴现值为R= y-A= 40000-10000= 30000( 万元) = 3亿元.
例11? 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?
解 设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A 元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式得50000)10(02.010
0=-?dt e A t 又02
.012.0100)10(02.0-=?-Ae dt Ae t
得45171
02.0500002.0≈-?=e A (元)。 即这对夫妇每年应等额地存入4517元, 10年后才能为孩子攒够5万元的学费。
总结
定积分在数学中占主导地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。
参考文献
［1］ 误传生，《经济数学—微积分》，高等教育出版社，2003 ［2］ 侯风波，《经济数学基础》，高等教育出版社，2004
［3］ 华东师范大学数学系，<<数学分析>>，高等教育出版社, 1990 ［4］ 王向东，<<数学分析概念与方法>>，上海科技文献出版社，
1989
［5］ 陈锡璞，<<工程经济>>，机械工业出版社，北京，1994.10 ［6］ Г. М. 菲赫金哥尔茨, 《微积分学教程》, 高等教育出版
社,2006
［7］ 白银凤 罗蕴玲,《微积分及其应用》, 高等教育出版社
The application of definite integral in the economics Abstract:Definite integral is an essential of calculus,and it is also an importantmeans to solve many practical problems Definite integral is applied in economics widely, and is abundant in content .In this paper, the application of definite integral in such cases as aggregate productions function, investment strategy, consumers surplus and producers surplus, is illustrated with specific examples.
Key Words: definite integra;the orginal function; margrnal functions;minimum and maximum; aggregate production funcion, invest ment; surplus.
微积分在生活中的应用
龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/0111038578.html, 微积分在生活中的应用 作者：曹红亚 来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期 【摘要】微积分产生于十七世纪后期，完善于十九世纪。在现代社会中，微积分是高等数学中至关重要的组成部分，在数学领域中扮演着不可替代的角色，与此同时，微积分在现实生活中的应用也越来越广泛。本文将就微积分在生活中的应用进行深入的分析与探究。 【关键词】微积分;现实生活;实际应用 众所周知，微积分建立的基础是实数、函数以及极限。关于微积分的定义，其指的是微分学和积分学二者的总称，其更代表着一种数学思想。微积分的发展与现实生活的发展是密切相关的，现在的微积分已经广泛存在于诸多自然科学当中，如天文学、生物学、工程学以及经济学等等，在现实生活着发挥着越来越重要的作用。以下笔者结合自己多年的相关实践经验，就此议题提出自己的几点看法和建议。 一、微积分在日常工作中的应用 微积分不仅仅应用在科研领域，其更实实在在地存在于我们的生活当中。例如日常生活中，我们需要装修或者从事装修工作，都需要进行工程预算，这时我们便会不自觉地应用微积分原理，首先将整个装修工程科学划分成为多个小单元，然后对应用到的材料和工时进行计算，最终得出总的造价。再比如，现在很多人特别是年轻人都希望创造一份属于自己的事业，那么其在创业时可能会应用到微积分。如对所选地址处的车流量以及人流量进行了解，在一天的几个时间段，做一分钟的调查，测出经过的人数或车数，再通过计算得出每天或每月的人流量或车流量，这将是我们创业的一个重要参考面。 二、微积分在曲线领域中的应用 在微积分的现实应用中，最具代表性的便是求曲线的长度、切线以及不规则图形的面积。 如在当前社会中，相关数字音像制品或者正流行的数字油画，其都需要将图像和声音分解成为一个个像素或者音频，利用数字的方式来进行记录、完成保存。在重放的时候，再由设备用数字方式来解读还原，使我们听到或看到几乎和原作一模一样的音像。再比如，中央电视台新闻频道的时事报道中常看到地球转向某一点，放大，现出地名，播送最新动态的新闻画面。它的整体概貌是拼装的，是由卫星将地球分成一个个小区域进行拍照，最后拼接成地球的形状，才让我们形象地、跨时空地欣赏新闻报道的同步魅力。 三、微积分在买卖中的应用
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
定积分的应用
定积分的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
定积分在生活中的应用
PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏
定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。
浅谈定积分的应用
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)( a F b F dx x f b a -=?
微积分在现实中的应用
微积分的应用 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛
的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 微积分作为一种实用性很强的数学方法和根据，在数学发展中的地位是十分重要的。例如，微分可以解决近似计算问题。比如：求sin29°的近似值，求不规则图形面积或几何体体积的近似值等。通过微积分求极限、利用微分中值定理，能够及时的放缩多项式，有利于不等式的化简和证明。极限求和、导数求和、积分求和也都是解决求数列前n项和的好方法。其次，数理化不分家。而且微积分在不等式中也有很大的运用，我们可以运用微积分中值定理，泰勒公式，函数的单调性，极值，最值，凸函数法等来证明不等式。在物理问题上，通过解微分方程研究物体运动问题、气体问题、电路问题也是非常普遍的。已知位移——时间函数计算速度，已知速度——时间函数计算加速度（即生活中交通管理方面的应用）；运动学中的曲线轨迹求解（即生活中在篮球投篮训练中的应用）；求不规则物体的重心；力学工程中计算变力和非恒力做功等等。在化学领域，用气相色谱仪和液相色谱仪做样品化学成分分析时，我们得到的并不是直观的数字结果，而是一张色谱图。色谱图是由一个一个的峰组成的，而我们进行定量计算的根据，就是这些峰的面积。而求这些峰的面积，就需要用到积分。现在的仪器里都集成了自动积分仪，只要选定某一个峰，它就能把积分计算出来。最终得到的成分含量就是基于积分原理计算出来的 微积分的应用不仅仅遍及各个学科，也渗透到了社会的各个行业，甚至深入人们日常生活和工作。利用微积分进行边际分析（经济函数的
应用数学论文---定积分在生活中的应用
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 定积分概述 (2) 1.1定积分的定义 (2) 1.2定积分的性质 (2) 1.3定理及方法 (3) 2定积分的应用 (4) 2.1 定积分在平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用 (4) 2.2定积分在物理中的应用 (8) 3总结 (11) 致谢 (11) 参考文献 (11)
定积分在生活中的应用 数学与应用数学专业学生郑剑锋 指导教师徐玉梅 论文摘要：本文简要的讨论了定积分在生活中的基本应用。数学方面包括应用定积分计算平面曲线的弧长、平面图形的面积以及立体图形的体积和物理应用。 关键词：微元法定积分数列极限 The Definite Integral in Our Life of Application Student majoring in mathematics and applied mathematics Jianfeng Zheng Tutor Yumei Xu Abstract：This paper discussed the definite integral in our life of basic applications. Mathematics including application of definite integral calculation plane curve arc length, the plane figure of the area and volume of three-dimensional graph and physical applications. Key words: Micro element method definite integral sequence limit 引言 本文主要介绍了定积分在生活中的应用，定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用，微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
定积分的应用本科毕业论文开题报告
一、选题的性质 二、选题的目的和意义 选题目的：定积分作为函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的重要基础。通过典型问 题，从不同角度，对定积分的特点进行整体把握，探讨定积分在几何学、物理学、以及经济学中 的应用，加强对定积分思想的认识，提供用定积分分析解决实际问题的方法 。 选题意义：定积分是与应用联系发展起来的，是微积分中的一个重要基本概念，是从实际问 题中抽象出来的数学概念，是解决许多实际问题的工具。 在数学方面如求解复杂图形，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面，正是由于定积分 的产生与发展，才使得物理学中的精确计算成为可能，从而使物理学得到长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用的到积分；把定积分应用到经济 管理学中，可以使一些经济现象更明确，使管理更科学化。 三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 研究现状：牛顿，莱布尼茨以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了 微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠 定了坚实的基础。定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论和困扰，对于培养人 的思维方法，提高分析、解决问题方面有极好的促进作用。定积分作为微积分的重要组成部分， 在几何、物理、经济等方面有着广泛的应用，目前，探究定积分应用的文章非常之多，研究范围 也是相当广泛的。在几何学方面，可以用来计算平面图形面积，立体、旋转体的体积，弧长等； 在物理学方面，压力、引力，变力做工，运动轨迹的计算，运动状态分析等也都用到定积分知识； 在经济学方面可以用来解决消费过剩，收入流等实际问题。也正是因为这些应用，推动着积分学 的不断发展和完善。 预计创新方面：通过典型例题，从定积分的公式、性质及定积分中值定理出发，来介绍定积 分在几何、物理、经济等领域的应用，在前人的基础上对定积分的典型应用进行研究讨论，寻找 简单的用定积分解决实际问题的方法。 四、课题研究的可行性分析 定积分是函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的基础，对定积分的一些公式、性质、 定积分中值定理已有深刻的理解，通过常见的定积分例题，从不同角度分析、研究定积分的特点，更容易把握和理解。再看近几年的几何、物理，经济等方面的研究，尤其是几何学，定积分在这 些研究中扮演着相当重要的角色，而事实也证明定积分的思想确实给相关研究带来很大的方便。 所以研究好定积分不单是数学界的问题，更是整个学术界共同的任务。而对其分析研究的结果也 必将给以后各方面的课题研究带来意想不到的便捷之处。
定积分在实际问题中的应用
第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral 教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截 面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题. 内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积. 教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容: 一、定积分的几何应用 1. 平面图形的面积 设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积. 分析求解如下: (1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性. (2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为 12[()()]dS f x f x dx =- (3) 所求图形的面积 22[()()]b a S f x f x dx =-? 图6-3 【例1】 求曲线x y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积. 解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x x f x g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元 x dS e dx = 于是所求面积 1 10 1x x S e dx e e ===-? 【例2】 求曲线2y x =及2 2y x =-所围成的平面图形的面积.
定积分在经济中的应用习题解答
定积分在经济中得应用习题解答 1．设商品的需求函数1005Q p =-（其中：Q 为需求，p 为单价）、边际成本函数 ()150.05C Q Q '=-且()012.5C = 问：当p 为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润. 解 收益函数为 R (p ) = 100 p -5 p 2 成本函数为 0()(150.05)(0)Q C Q t dt C =-+? 21 1512.540 Q Q =-+ 由已知将Q = 100 - 5p 代入上式，得 25()501262.58C p p p = -+ 于是利润函数为 L (P )= R (p ) - C(p ) 2451501262.58 p p =- +- 令245'15004L p =-+= 12012045120,'()07727 p L ==-?<得 且 故当1207 p = 时利润达到最大，且最大利润 max L (1207)=23.12. 2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数 ()231833C Q Q Q '=-+ 且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求： (1) 成本函数与平均成本函数； (2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？ 解 (1) 因为 20()(31833)Q C Q Q Q d Q =-+? 32933Q Q Q C =-++ 由已知当产量Q 为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是 成本函数为
32()93310C Q Q Q Q =-++ 平均成本函数为 2()10()933C Q C Q Q Q Q Q ==-++ (2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是 ?C (Q ) = C (10) – C (2) = 392. 3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分 别为 '()338R Q Q =-，2()31836C Q Q Q '=-+ (1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？ (2) 求产量为多少时, 总利润最大？ (3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润. 解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为 4 1(338)39Q dQ -=?(万元) 421(31836)36Q Q dQ -+=? (万元) (2)由极值存在的必要条件： 边际收益'()R Q ＝边际成本()C Q ' 即 338Q -＝231836Q Q -+ 解得121,33 Q Q ==，又由极值存在的充分条件： "()(338)'8R Q Q =-=-,2()"(31836)'618C Q Q Q Q =-+=- 显然，3Q =满足充分条件，即获得最大总利润的产量是3Q =百台. (3) 由公式得最大总利润总收益与总成本 3 0(338)63Q dQ -=? (万元) 320(31836)60Q Q dQ -+=? (万元) 所以
经济数学基础——定积分在经济学中的应用
河北省高等教育自学考试 定积分在经济学中的 应用 ——定积分在经济学中的应用 地市:沧州市 专业:投资管理 姓名:郭梦帆 准考证号:1 身份证号: 联系电话:
内容摘要 经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则,根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑,以知识介绍为重点,详略得当;叙述上力求简明、通俗,又不失科学性。 关键词: 定积分微分经济学边际函数投资 经济数学基础知识点 1、一元函数极值 设函数f(x)在X0的一个邻域内有定义,若对于该邻域内异于X0的X 恒有:f(x)
定积分在经济学中的应用
论文题目 定 积 分 在 经 济 学 中 的 应 用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 学号：2007101208 姓名：卢欢
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(100000 2 +-+ ? =x x x x 2_ 3|]1007[10000++ =x x x 100710000 2 3 +-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ? '= 5 )( 650 )150200()600400(|)640()1220(10 52 10 5 =+-+=+=+= ? t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
定积分在经济中的应用(可编辑修改word版)
? ? ? ? ? ? ? 250 250 定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 x 的变动区间[a , b ] 上的 改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a , b ] 上的定积分： R (b ) - R (a ) = b R '(x )dx a C (b ) - C (a ) = b C '(x )dx a L (b ) - L (a ) = b L '(x )dx a （1） （2） （3） 例 1 已知某商品边际收入为-0.08x + 25 （万元/t ），边际成本为 5（万元/t ），求产量 x 从 250t 增加到 300t 时销售收入 R (x ) ，总成本 C (x ) ，利润 I (x ) 的改变量（增量）。 解 首先求边际利润 L '(x ) = R '(x ) - C '(x ) = -0.08x + 25 - 5 = -0.08x + 20 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： R (300) - R (250) = ? 300 R '(x )dx = ?300 (-0.08x + 25)dx =150 万元 C (300) - C (250) = 300 C '(x )dx = 300 dx =250 万元 250 250 L (300) - L (250) = 300 L '(x )dx = 300 (-0.08x + 20)dx = - 100 万元 250 250 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为 f (t ) ，则称 t 2 f (t )dt t 1 t 2 - t 1 为该经济函数在时间间隔[t 2 , t 1 ] 内的平均变化率。 例 2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数： ?
应用数学论文---定积分在生活中的应用
定积分在生活中的应用 引 言 通过学习了定积分后，我了解到定积分在生活中有很重要的应用。定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用；微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点 011n n a x x x x b -=<<<<= ， 把区间[],a b 分成n 个小区间： 有[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x - 且 各个小区间的长度依次为110x x x ?=-，221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ?（1,2,,i n = ） ，并作出和()1 n i i i S f x ξ== ?∑。记{}12max ,,,n P x x x =??? ，如果不论对[],a b 怎样分法， 也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作 () b a f x d x ? ，即 ()b a f x dx ? =I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 2．定积分的性质. 设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积， 并且
微积分在生活中的应用
微积分在生活中的应用 工管A102 王彦超2010110116 微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。 微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦
微积分在生活中的应用
?微积分在生活中的应用 (何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二83０) 一.摘要 牛顿、莱布尼兹发明微积分以后,人们才有能力把握运动与过程。有了微积分,就有了工业革命,就有了大工业生产,也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都就是在微积分的帮助下制造出来的。微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。? 微积分就是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。从数学的角度讲,就是研究变量在函数中的作用。从物理的角度讲,就是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。“变”这个字就是微积分最大的奥义。因此,了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。 二、关键词:物理,经济,应用。? 三.引言:通过研究微积分在物理,经济等方面的具体应用,得到微积分在现实生活中的重要意义,从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。获取资料的途径主要就是互联网。 四(一)在物理中的应用 例1,研究物体做匀变速直线运动位移问题时; 对于匀速直线运动,位移与速度之间的关系我们都清楚,x＝vt,但如果物体的速度大小时刻发生变化,那么物体的位移如何求解呢？此时,微积分就成了我们有利工具。我们可以把物体运动的时间无限细分。在每一份时间内,速度的变化量非常小,可以忽略这种微小变化,认为物体在做匀速直线运动,因此根据已有知识位移可求;接下来把所有时间内的位移相加,即“无限求与”,则总的位移可以知道。现在我们明白,物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积; 例２,研究匀速圆周向心加速度的方向问题时; 根据牛顿第二定律,我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心;同时利用极限思想,也可以加速度的方向。当圆周上的两个点无限靠近时,速度变化量也无限的小,因此由V A VB△V围成的等腰三角形的底角接近９0,因此速度变化量与速度垂直,而速度又与半径垂直,因此,匀变速圆周运动中,加速度的方向始终指向圆心。 例3、研究变力做功问题时; 对于恒力做功,我们可以利用公式直接求出;但对于变力,我们不能利用公式;这种情况下,我们要借助于微积分,我们可以把位移无限细分,在每一个小位移上,力的变化很小,可以瞧作就是恒力,根据公式算出力所作的功;然后把每一个小位移上的功无限求与,那么就可以求出变力做的总功就是多少。 (二)在经济上的应用 1、1边际分析在经济分析中的的应用 1.1.１边际需求与边际供给 设需求函数Ｑ=f(p)在点ｐ处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其
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