第4章 频域分析法4

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四、频域分析法

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第4章 频域分析法4

机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 1 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 2 张家港校区 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 3 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 4 张家港校区 机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 5 张家港校区机电与汽车工程学院 2011年11月18日星期五 6 张家港校区

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连续信号的频域分析

1 / 20 第四章 连续信号的频域分析 将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。 本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。 4.1 基本要求 1．基本要求 ? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质； ? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点 ? 傅里叶变换的性质及其应用 4.2 知识要点 1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式 三角形式：∑∑∞ =∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1） 指数形式： ∑∑∞ -∞ =+Ω∞ -∞ =Ω= =n t n n n t n n n F F t f )j(j e e )(? （4-2） 其中 ? +Ω= T t t n t t n t f T a 00 d cos )(2 ，n =0，1，2，? （4-3）

? +Ω= T t t n t t n t f T b 00 d sin )(2，n =1，2，? （4-4） 且 n n n n n n a b b a A a A arctg , ,2 200-=+==? （4-5） ?+Ω-= T t t t n n t t f T F 00 d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系 0)( e 2 1 j ≥=n A F n n n ? （4-7） 并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即 ||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义 通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ≥0），即n Ω，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率Ω（即n =1）的分量称为基波分量。 2．周期信号的频谱 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n Ω）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。 A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n Ω）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。 但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。 所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度 非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为 ?∞ ∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9） ?∞ ∞ -= ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。

第四章 连续系统的频域分析例题详解

第四章 连续系统的频域分析例题详解 1．一带限信号的频谱图如下图1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A 、B 、C 三点处的信号频谱。理想低通滤波器的频率函数为 )15()15()(--+=ωεωεωj H ，如图3所示。 解：设A 处的信号为：A f ，B 处的信号为：B f ，C 处的信号为：C f )30cos()(t t f f A = )30cos(t f f A B = )]] 30([)]30([[2 1 )()]]30([)]30([[21 )(++-=++-= w j F w j F jw F w j F w j F jw F A A B A

1. 如图2（a ）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图2（b ）所示，其相频特 性()0?ω=，若输入 sin(2) (),()cos(1000)2t f t s t t t π==，求输出信号()y t 。 f () H j ω()0 ?ω=1/(.) rad s ω--1001 -999 0 999 10011 -1000 1000 图（b ） 图2

解 4sin(2)1 ()[ ]()22 t F j F g t ωωπ== [cos(1000)][(1000)(1000)]F t πδωδω=++- 441 [()cos(1000)][()][cos(1000)]21 [(1000)(1000)] 4 F f t t F f t F t g g πωω= ?*=++- 则系统输出信号的傅里叶变换为 ()[()cos(1000)]()Y j F f t t H j ωω= 由()H j ω的波形图及相频特性可得 22()(1000)(1000)H j g g ωωω=++- 所以可得 2221 ()[(1000)(1000)] 4 1 ()[(1000)(1000)]4 Y j g g g ωωωωδωδω=++-=*++- 由此可得输出信号为 1 ()()cos(1000)2y t Sa t t π = 3．一理想低通滤波器的频率响应如图3示，其相频特性φ(ω)=0。若输入信号 t t t f ππ) sin()(= ，求输出信号的频谱函数，并画出其频谱图。 图 3 解：信号t t t f ππ) sin()(= 的频域表达式为 )(2)(2ωπωg j F =

第四章 连续时间系统的频域分析

第四章 连续时间系统的频域分析 本章主要内容：本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制。系统函数H (j ω)及傅里叶变换分析法；理想低通滤波器模型；系统的物理可实现条件；调制／解调的原理与实现；频分复用与时分复用;无失真传输条件。 4.1引言 实质上，在时域分析方法是把信号分解为无穷多个冲激信号分量的和；傅里叶分析法是 把信号分解为无穷多个无时限虚指数信号之和，即单元信号是 j t e ω，先求取各个单元信号作用于系统的响应，再叠加。 一般信号f (t )作用于LTI 系统的响应 ()j t j t e H j e ωωω→；11 ()()()22j t j t E j d e E j H j d e ωωωωωωωππ →； 11()()()22j t j t E j e d H j E j e d ωωωωωωωππ∞∞?∞?∞→∫∫；1()()[()()]e t r t H j E j ωω?→=F ；()()()R j H j E j ωωω= 频域分析法： (需要先介绍卷积定理，因为上次课忘记讲了： 卷积定理 1)时域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则1212()()()()f t f t F j F j ωω??? 证明： 1212() 1212()()()()()()()() j t j t j j t f t f t e dt f f t d e dt f e d f t e dt F j F j ωωωτ ωτττττττωω∞ ∞ ∞ ???∞ ?∞?∞ ∞ ∞ ????∞ ?∞ ?=? =?=?∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2)频域卷积定理 若1122()()()()f t F j f t F j ωω??， ，则12121 ()()()()2f t f t F j F j ωωπ ??? 时域：r (t )=e (t )*h (t )，则依卷积定理有()()()R j E j H j ωωω=?。 频率响应：() (j )() R j H E j ωωω=。 ()()()e j H j H j ?ωωω=。()~H j ωω：系统的幅频特性；()~ ?ωω：系统的相频特性。 4.2 系统函数 利用系统函数H (j ω)求响应 主要内容：非周期信号激励下系统的响应 ；余弦信号激励下的响应 一．非周期信号激励下系统的响应 以RC 低通网络为例，讨论用系统函数求解的过程，此题求v 2(t )。 + + ? ? )(1t v )(2t v R C E 0 t τ ) (1t v 分析： 无储能------零状态，v 2(t )的结果用时域分析法可以得到下面用频域分析——系统函数法再讨论求解过程 解:1.列方程 低通网络为一阶电路，其时域方程为

第四章频域分析解析

第4章频域分析 前面三章中，我们已介绍了信号处理技术的理论基础。从本章开始，我们将具体介绍信号分析的方法。 信号分析和处理的目的是要提取或利用信号的某些特征。而信号既可以从时域描述，也可以从频域描述，因此，按分析域的不同，信号分析方法可分为时域分析法和频域分析法。在多数情况下，信号的频域表示比起其时域表示更加简单明了，容易解释和表征。因此，我们首先介绍信号的频域分析法。 4.1概述 一、频域分析法 1.定义 所谓信号的频域分析 ．．．．．．．，就是根据信号的频域描述（如DFT、FFT等）对信号的组成及特征量进行分析和估计。 2.频域分析的目的 （1）确定信号中含有的频率组成成份（幅值、能量、相位）和频率分布范围； （2）分析各信号之间的相互关系； （3）通过系统的输入与输出频谱，求得系统的传递函数，识别系统的动力学参数；（4）通过频谱分析，寻找系统的振动噪声源和进行故障诊断； 二、频谱 1.定义 所谓频谱，也就是信号的频域描述。 2.分类 对于不同的信号和分析参数，我们可以用不同类型的频谱来表示。 （1）周期信号：离散的 ．．．幅值谱、相位谱或功率谱 （2）非周期信号：连续的 ．．．幅值谱密度、相位谱密度或功率谱密度 （3）随机信号：具有统计特征 ．．．．的功率谱密度 3.功率谱 （1）自功率谱：一个信号的能量（功率）沿频率轴的分布； （2）互功率谱：分析两个信号的互相关情况； 注意：由于互谱是从互相关的角度来描述信号的，所以互谱本身并不含有信号功率的意义。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.倒频谱 所谓倒频谱，是指对功率谱再作一次“谱分析”以研究功率谱中的周期现象（如谐波引起的周期性功率谱峰值）。 5.相干分析 所谓相干分析，是指通过求解两个频谱的相干函数来研究它们之间的相关程度（如系统输出频谱与输入频谱的相关程度）。 三、谱估计 1.定义 由于我们所研究的实际信号通常是含有确定性信号的随机信号，且信号的测试只能在有

第四章 频域分析

第四章 频域分析法 1．选择题 （1）若系统输入ω为不同频率的正弦t A ωsin ,其稳态输出响应为),sin(Φ+t B ω,则该系统的频率特性可表示为( C ) A. t A t B ωωsin )sin(Φ+ B. Φj e B A C. Φj e A B D. jwt e A B （2）一阶微分环节Ts s G +=1)( ，当频率T 1 = ω时，相频特性为)(ωj G ∠为（ A ） A. 045 B. 045- C. 090 D. 0 90- （3）已知系统的频率特性为 1 5 +ωj ,则该系统可表示为( B ) A.ω 15-jtg e B. ω ω1 1 5 2 --+jtg e C. ω 15--jtg e D. ω ω1 1 5 2 -+jtg e （4）已知系统频率特性为 1 51+ωj ,当输入为2sin2t 时,系统的稳态输出为( A ) A. )52sin(125212ωω--+tg t B. )52sin(125212ωω-++tg t C. )52sin(1 25212ωω--+-tg t D. )52sin(1 25212ωω-++-tg t （5）在瞬态响应与频率响应中,当阻尼比ζ=0----0.707,则无阻尼自然频率n ω,阻尼自然频率 d ω和谐振频率r ω之间的关系为( A ) A. n ω>d ω>r ω B. n ω>r ω>d ω C. d ω>r ω>n ω D. r ω>n ω>d ω

（6）下列开环传递函数所表示的系统,属于最小相位系统的是( C ) A. )12)(15(1++-s s s B. )0(111>+-T s T Ts C. )5)(2(14+++s s s s D. )2)(3(2-++s s s s （7）系统开环对数幅频特性曲线低频段的形状与闭环系统的（ C ）有关。 A. 抗干扰性能 B. 动态性能 C. 稳态性能 D. 动态性能与稳态性能 （8）积分环节的幅频率特性,其幅值与频率成( C ) A. 指数关系 B. 正比关系 C. 反比关系 D. 不定 （9）如图所示几个系统的开环伯德图，属于I 型系统的是 ( B) L( L(ω L( ω A ． B ． C ． （10）下面列出了四个系统的相角裕度和幅值裕度，只有( B )系统是稳定。 A ．γ=150 kg=0 B ．γ=350 kg=26dB C ．γ=-200 kg=30dB D ．γ=450 kg=-5dB 2．应用频率特性来描述系统（或元件）特性的前提条件是什么？ 答：频率特性又称为频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。对线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出响应也将是同频率的正弦量。但是其幅值和相位一般都不同于输入量。 3．频率特性有哪几种分类方法？ 答：以坐标分为直角坐标（实频特性和虚频率特性）和极坐标（幅频特性和相频特性） 以图形分为幅相极坐标图和对数频率特性（对数幅频特性和对数相频特性） 以研究角度分为开环频率特性和闭环频率特性。 4．系统的稳定状况有几类情况？ 答：大致有三类情况：（1）稳定系统：其特点是不论系统的参数怎么改变，系统总是稳定的。（2）不稳定系统：其特点是不论系统的参数怎样调整，系统仍然将是不稳定的。 （3）系统可能是稳定的，也可能是不稳定的。 5．试求图(a)、(b)网络的频率特性。

第四章 线性时不变离散时间系统的频域分析实验报告南昌大学

南昌大学实验报告 学生姓名：罗族学号: 6103413001 专业班级：生医131班 实验类型： 验证□综合□设计□创新实验日期：实验成绩：第四章：线性时不变离散时间系统的频域分析 一、实验目的： 1、学会用MATLAB在时域中产生一些基本的离散时间信号，并对这些信号进行一些基本的运算。 2、学会使用基本的MATLAB命令，并将它们应用到简单的数字信号处理问题中。 二、实验要求： 1、学习并调试本章所给的例子。 2、回答书后给出的问题。 3、实验报告仅回答偶数信号的例子。 三、实验程序及结果 Q4.2使用修改后的程序P3.1，计算并画出当0时传输函数 的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。它表示哪种类型的滤波器？ 程序： w=0:pi/511:pi; num=[0.15 0 -0.15]; den=[1 -0.5 0.7]; h=freqz(num,den,w); subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(h)); grid; title('H(e^{j\omega})幅度谱'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('振幅'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(h)); grid; title('相位谱 H(e^{j\omega})'); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('以弧度为单位的相位');

由上图可知，它表示带通滤波器。 Q4.4使用MATLAB计算画出当0时因果线性是不变离散系统的群延迟。系统的传输函数为 函数impz可引来计算因果线性是不变离散时间系统的冲激响应的开始部分。因此可使用习题Q3.50中你编写的程序。 这是一个窄阻带的带阻滤波器，在大多数的带通滤波器中，群延迟是恒定的。 Q4.6使用zplane分别生成式（4.36）和式（4.37）确定的两个滤波器的机零点图。讨论你的结果。 程序： clf; fc = 0.25; n = [-6.5:1:6.5]; y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5; stem(k,y);title('N = 13');axis([0 13 -0.2 0.6]); xlabel('时间序号n');ylabel('振幅');grid;

第四章连续系统的复频域分析习题解答2

— P3-1 — 第四章 连续系统的复频域分析习题解答 4-1. 根据拉氏变换定义，求下列函数的拉普拉斯变换。 . )()cos( )4( , )(3)1(2 )3( , )()e e ( )2( , )2( )1(22t t t e t t t at t t εθεδεε+--+---ω 解：s st st s t t t s F 2 2 1e e e 1d d )2()( ---== -= ? ? ∞+ ∞- ε 22 0 4 0 3 0 222sin cos d )sin sin cos (cos d )cos()(3 2d 32d )](3)1(2[)(2 121d )e e ()( )(ω ωωωωεδ+-=-= += +- =- =--=++-= +=? ? ? ? ?∞- ∞- ∞+ ∞- ∞- ----+-----s s t t t t t s F a s t t t t s F s s t s F st st s t a s s st t a st e e e e e e e e t t θθθθθ 4-2. 求下列函数的拉氏变换。 . )(e 2 )4( , )1(e 2 )3( , )1(e 2 )2( , )(e 2 )1() 1(55) 1(55t t t t t t t t εεεε-------- 解：.5 e 2)( )4(,5e 2)( )3(,5e 2)( )2(,52)( )1( 5 ) 5( += +=+=+=+--s s F s s F s s F s s F S S 4-3. 利用拉变的基本性质，求下列函数的拉氏变换。 ) 12 1( )10( )22( )9( )]( 2[sin d d )8()2()1(e e )7( )4 cos(e 5 )6( )]2()([e )5(e )4( e )2(1 )3( )4 sin( )2( 2 )1( )1(2222---+-++---+++-------t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t a t δεδππεεωεεω 解：. e 2)2(2 )10( e )1( )9( 4 2022)( )8(e 1 e 21)( )7( )2()2(25.2)( )6(1e 11)( )5( )(2)( )4( 12)1(11)( )3() (2)( 2)( , )cos (sin 22)( )2( 22)( )1(22) 1(2 222 2 2 3 22 223s s s s s t s t s s s s s F s s s F s s s F s s s F a s s F s s s s F s s s F t t t f s s s F ----+-?-?-+=-+=++++=++-+= +-+=+=+-++=++=+=+= δεω ωωωωω 4-4. 求图示信号的拉氏变换式。 解：