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高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题

一、

单项选择题

1、若幂级数

(1)n

n a x ∞

=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然（ ) （A ）绝对收敛; (B) 条件收敛; （C ）发散； (D) 收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（ )。

（A) 1(1);210

n n n

n ∞

=-+∑

（

B) 1

n n -∞

= (C) 1

(1)();2n

n n ∞

-=-∑ （D ）

(1)n n ∞

-=-∑ 3、若数项级数

n a

∞

=∑收敛于S ,则级数

()121

n n n a

a a ∞

++=++=∑( )

（A ） 1;S a + （B) 2;S a + （C ） 12;S a a +- （D) 21.S a a +- 4、设a

为正常数，则级数

21sin n na n ∞

=⎡⎢⎣

∑（ )。

(A ）绝对收敛; （B ）条件收敛；（C ）发散; (D ）收敛性与a 有关. 5、设2

(),01f x x x =<≤，而1

()sin π,n

n S x b

n x x ∞

==-∞<<+∞∑，

其中10

()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1

()2

S -等于（） (A) 1;2- （B) 1;4- （C) 1;4 (D ） 12

。

二、

填空题

1、设

14n n u ∞

==∑，则1

()22n n

n u ∞

=-=∑（） 2、设

()

1n n n a x ∞

+=-∑的收敛域为[)2,4-,则级数

()

n na x ∞

=+∑的收敛区间为（）

3、设3

2,10

(),01x f x x x -<⎧=⎨

<⎩

≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ） 4、设2

()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为

()01

cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 则3b =（ )

5、级数()1(1)221!

n n n

n ∞

=-+∑的和为( ）

三、计算与应用题 1、求级数

()1

13;3n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域 2、求

()211

n n ∞

=-⋅∑的和 3、将函数()

2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)

0n f

4、求20

12!n

n n x n ∞

=+∑的和函数 5、已知()n f x 满足1()()e n x

n n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e

(1)n f n

，求函数项级数()1

n n f x ∞

=∑的和函数.

6、设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α>

时,级数

n n x α∞

=∑收敛。

四、证明题

设π40

tan d n n a x x =

⎰

（1）求

()211

n n n a a n

∞

+=+∑ （2）试证：对任意常数0λ>,级数

n a n λ∞

=∑收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n

∞

+=+=∑.

因为2

11n n a a n ++=+，所以11

1n a n n <<+，1111n n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑ 第十一章无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、B;

4、C;

5、B. 二、

1、1;

2、()4,2-;

3、32；

4、2π3

;5、cos1sin1-。三、

1、答案：[)0,6。

2、答案:

ln 284

- 提示：原式为级数()

211n n x n ∞

=-∑的和函数在1

2x =点的值。

而()

22221121211n n n

n n n x x x n n n ∞

∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可。 3、答案：110

(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞

+=--⎡⎫

=∈-⎪⎢+⎣⎭∑

()1

(1)

(1)20!1

n n n f

n n ++--=⋅

+。提示： ()

()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++

4、答案：222

011e 1,2!42x

n n

n n x x x x n ∞

=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭

∑ 提示：()2011112!1!2!2n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑∑∑,

而()1011e ,e 1!!

n x

n n n x x x n n ∞

∞

====-∑∑

5、答案：

()()[)1

e ln 1,

1,1x

n n f x x x ∞

==--∈-∑

提示:先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x

n x f x n

()1

11e e x x

n n n n x x f x n n ∞

∞

∞=====∑

∑∑，记1()n x S x n

∞

==∑，则可得()ln(1)S x x =--

6、提示:设()1n

n f x x nx =+-，则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正

根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知，

00110n x x n n -<=<，故当1α> 时,级数1

n n x α

∞

=∑收敛。

四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()211

1n n n a a n

∞

+=+=∑。

因为211n n a a n ++=+,所以11

1n a n n <<+，1111n n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑

第十章曲线积分与曲面积分测试题

一、单项选择题

1、已知()()

d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于（ ) （A ） 1;- （B ） 0; （C ） 1; (D ） 2。

2、设闭曲线c 为1x y +=的正向,则曲线积分

d d c

y x x y

x y

-++⎰

的值等于（）

(A ） 0; (B ） 2; （C ） 4; （D) 6.

3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为

{}cos ,cos ,cos n αβγ=,则()cos cos cos d x y z s αβγ∑

++⎰⎰等于（ )

（A) 29π;a （B) 26π;;a (C ） 2

3π;a （D) 0。

4、设曲线c 为2222

0x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩,则d c

x s ⎰等于（ )

（A ） 2

3;a (B ） 0； (C ） 2

;a （D ）

a 。 5、设∑为下半球z =的上侧,Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域,则

d d z x y ∑

⎰⎰不等于（ )

(A ） d ;v Ω

⎰⎰⎰

（B ） 2π

d d

r θ⎰

⎰

;

（C) 2π

d d ;a

r θ-⎰

⎰

(D)

()d d z x y x y ∑

++⎰⎰.

二、填空题

1、设c 是圆周222

x y a

+=,则

()2

d c

x y s -=⎰( )

2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2

44x y +=的逆时针方向运动

一周，则F 所做的功等于( )

3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面2

1x y +=所截下的部分，则d z s ∑

⎰⎰等于( )

4、设∑是球面2

1x y z ++=的外侧，则

()

2d d x

y z x

y z

∑

++⎰⎰

等于（）

5、设

22()

d ()d 1c

xf x y x f x y x -++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ）三、计算与应用题 1、求()()x

y sin d cos d L

I e

y b x y x e y ax y ⎡⎤=

-++

-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点

()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.

2、计算2

d L

I y s =⎰，其中L 为圆周2222

x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.

3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

222

1x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值。

4、设S 为椭球面22

2122

x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求

()

d ,,S

s x y z ρ⎰⎰

。

5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑

=++⎰⎰，其中∑为曲面()2

1014y z x x =--≤≤的上

侧.

6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，

2()d d ()d d e

d d 0x

xf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的

一阶导数，且0

lim ()1x f x +

→=，求()f x 。答案:()e ()e 1x x

f x x

=- 提示：由题设和高斯公式得

220()d d ()d d e d d ()()()e d x x

xf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω

'⎡⎤=

--=±+--⎣⎦⎰⎰

⎰⎰⎰

由S 的任意性，知2()()()e 0x

xf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可。

四、

证明题

已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界,试证：

(1）

sin sin sin sin e d e d e d e d y x

y x

x y y x x y y x ---=-⎰⎰; （2）

2sin sin 5πe

d e d 2

x L

x y y x --⎰≤

第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示

一、

1、D ；

2、C ；

3、A;

4、B;

5、B 。二、

1、3πa -；

2、4π-;

3、；

4、4π3;

5、2

+。三、

1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式。 2、答案:3

2π3

I a =

。提示：利用变量“对等性"22231

d d d d 3L

I y s x s z s a s ====

⎰

⎰⎰⎰。 3、答案:

ξηζ=

max 9

W abc =

。提示:直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1,功W 为 1

d d d 3d OM

W yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=

++==⎰

⎰

再求W ξηζ=在条件222

2221x y z a b c

++=下的最大值即可。

4、答案：

()3d π,,2

z s x y z ρ=⎰⎰

。

提示:曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，

切平面方程为：

022

x y

X Y zZ ++=, 点()0,0,0O 到平面π的距离()1

2,,44x y

x y z z ρ-

⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

。 5、答案:d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑

++=⎰⎰.

提示:添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()2

1014

y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1

d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰的积分等于3d d D

xy x y ⎰⎰为0.

6、提示：（1）左边=

()π

0π

sin sin sin sin 0

πe d πe d πe +e d y x x x y x x ---=⎰

⎰⎰,同理，

右边=()π

sin sin 0

+e d x x x -⎰

（2）由（1）得

sin sin e

d e

d y

x y y x --⎰=()π

sin sin 0

πe +e d x x x -⎰，而由sin e x 和sin e x -泰勒展开

式知道

()π20

π2sin d x x +⎰≤()π

sin sin 0

πe +e d x x x -⎰，

而()π

2sin d π2

x x +=⎰。

第九章重积分测试题

一、选择题

1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )D

xy x y dxdy +=⎰⎰（ )。

（A ） 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰;（B ） 2cos sin D

x ydxdy ⎰⎰

（C ） 1

(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（D) 0

2、设(,)f x y 连续,且(,)(,)d d D

f x y xy f x y x y =+

⎰⎰

,其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==

和1x =所围区域，则(,)f x y 等于( ）。

(A) xy ；（B) 2xy ; （C ） 1xy + ；（D ） 18

xy + 3

、设22222

123d ,cos()d d ,cos()d d ,D

I x y I x y x y I x y x y =

=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(){}

2,1D x y x

y =

≤+，则（）。

(A ） 321I I I >>; （B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ； (D) 312I I I >>

4、设空间闭区域Ω由222

1x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分，则（ ).

（A ） 1

d 4d x v x v Ω

Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ） 1

d 4d y v y v Ω

Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;

(C ）

d 4d z v z v Ω

Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (D ） 1

d 4d xyz v xyz v Ω

Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

5、设空间闭区域(

{,,z x y z Ω=

，d I z v Ω

=⎰⎰⎰，则下列将I

化为累次积分中不正确的是（ )。（A ）

2π

00d d d r

I r r z θ=

⎰

⎰；

（B ）

2π

d d cos sin d I θϕϕρϕρ=⋅⎰⎰；（C ） 1

πd π(2)d I z z z z z =+-⎰⎰

; （D ）

4d d x y I x y z +=⎰

二、填空题

1、设区域D 为2

x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭⎰⎰的值等于（）

2、设(){}22,1D x y x y =

≤+，则2

1lim ln(1)d d πx y r D

e x y x y r -→++⎰⎰的值等于（ )

3、积分2

d e d y

I x y -=⎰⎰的值等于（ )

4、积分2

222

222()d x y z R I f x y z v ++=

++⎰⎰⎰≤可化为定积分0

()d R

x x ϕ⎰，则()x ϕ等于( )

5、积分2

2221

()d x y z I ax by v ++=

+⎰⎰⎰

≤的值等于( )

三、计算与应用题 1

、求)

d d D

I y x y =

⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平

面区域。 2、求{

}22

max ,e

d d x y D

I x y

⎰⎰，其中(){},1,1D x y x y =

≤≤≤≤00。

3、计算2

()d I x y z v Ω

=++⎰⎰⎰，其中Ω由曲线220y z

x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面

与平面4z =所围的立体。

4、计算()d I x z v Ω

+⎰⎰⎰，Ω由z =

z =确定.

5、计算1121112

d e d d e d y y

I y x y x =

+⎰

⎰⎰.

6、设有一高度为()h t （t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

222()

()()

x y z h t h t +=-(设长度单位为厘米，时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积

成正比（比例系数为0.9)，问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？

四、证明题

设函数()f x 在[]0,1上连续，并设

()d f x x A =⎰

,证明11201

d ()()d 2

x I x f x f y y A ==⎰⎰。

第九章重积分测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、A;

4、C ；

5、B 。二、

1、22222πR 4x y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

;2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b 。

三、 1、答案：()16

3π-29

I =

。提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性,利用极坐标计算便可。 2、答案：e 1I =-

提示：为确定{}

22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可。 3、答案：256

π3

I =

提示：旋转曲面的方程为2

2x y z +=，用柱面坐标计算22π

d d ()d r I r r z z θ=+⎰

⎰

⎰即

可。 4、答案：π

I =

. 提示:

d 0x v Ω

=⎰⎰⎰，

π1

240

d 4d d cos sin d z v θϕρϕρϕρΩ

=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

、答案：3e 8I =

提示：交换积分次序。 6、答案:100t =小时

提示:先利用三重积分求出雪堆的体积222()

()()2πd d d ()4

h t x y h t h t z V z

x y h t ⎡⎤

+-⎣

⎦=

=⎰

⎰⎰

≤;

再求出雪堆的侧面积2

()

13πd ()12

x y h t S x y h t +=

⎰⎰

≤; 由题意

d 0.9d V S t =-，所以d ()13

d 10

h t t =-，解出()h t 并令其等于0,则可得结果。四、提示：交换积分次序，并利用1

01d ()()d d ()()d d ()()d 2y

y f x f y x x f x f y y x f x f y y ==⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰.

第八章多元函数微分法及应用测试题

一、选择题

1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x

f t dt x ∂=∂⎰（）

。 (A)(sin )(cos )f x f y - （B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - （C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y

2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡(常数）的（）.

（A ）充要条件；（B ）充分条件; （C ）必要条件；（D ）。既非充分又非必要条件

3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在,则( ）

（A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；（B ）(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；

（C) (,)f x y 在D 内可微分; （D)以上结论都不对

4、4200

2lim

3x y xy

x y →→+的值为( ）

（A ）∞ ；（B ）不存在; （C ）

；（D ） 0. 5、设有三元函数ln e

1xz

xy z y -+=,据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域,在此邻

域内该方程（）。

（A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；

（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =；（C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =；（D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

二、填空题

1、设(,)cos(

)(2

xy f x y e x y π

=+-，则(1,1)x f 的值为（ )。 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b ''===，令

[]{}(),,(,)x f x f x f x x ϕ=，则(1)ϕ'的值为（）

。 3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数,则

(0,1,1)x f '-=（）.

4、曲线2223

x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点()1,1,1M 处的切线方程为( ）。

5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（）方向的方向导数最大？三、计算和应用题

1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求

a 和

b 的值

2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0≡/''g ,如果

2222242f y

y x z x z ''=∂∂+∂∂∂+∂∂，求常数k 的值。 3、在椭球222

2221x y z a b c

++=内嵌入一中心在原点的长方体，问长宽高各是多少时长方体的

体积最大？

4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求

d d z

5、设

),(y x f 有二阶连续偏导数， ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且

))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=，证明),(y x g 在)0,0(取得极值，判断此极值

是极大值还是极小值, 并求出此极值.

6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面,其底部所占的区域为

(){}

2,75D x y x

y xy =

≤+-,小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+

（1）设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导

数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式。

（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀

登的起点，试确定攀登起点的位置。

四、证明题

设(,)F u v 可微，试证曲面(

,)0x a y b

F z c z c

--=--上任一点处的切平面都通过定点。第八章多元函数微分法及应用测试题答案与提示

一、

1、C ；

2、A ；

3、D ；

4、B ；

5、D 。

二、 1、πe 2-

；2、23(1)a b b b +++;3、1；4、111101

x y z ---==-;5、326o gradu i j k =--。三、

1、答案:2,2a b ==-。

提示: 利用xy

yx f f ''''=这一条件。 2、答案:1k =-。提示:

g f f x

'+'+'=∂∂21，g k f f y z '+'+'-=∂∂21， g f f f x z ''+''+''+''=∂∂221211

222，g k f f f y

''+''+''-''=∂∂2221211222, g k f f y x z ''+''+''-=∂∂∂22112,()

g k k f y z

y x z x

z ''+++''=∂∂+∂∂∂+∂∂222

222222142，又因为0≡/''g ，所以0212=++k k ，1-=k .

3、答案,,。提示:设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件

222

2221x y z a b c

++=下的极值就可。

4、答案：

1221

122

d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-。

5、答案:故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.

提示：由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f f

x f y e f g xy

x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy y 221

⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xy

xy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy

xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''

2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y

'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22

-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22

-='=''=f g C y 032>=-B AC ，且0

00(,)g x y =

= 攀登起点的位置： ()()125,5,5,5M M --。

提示：沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值即为梯度的模。然后再求(,)g x y 在条件2

750x y xy --+=下的极大值点就可. 四、答案：通过定点(),,M a b c .

第六章微分方程测试题

一、选择题

1、设()y f x =是240y y y '''-+=的解，若0()0f x >且0()0f x '=,则在0x 点()f x （）。

（A) 取极大值；（B ）取极小值；（C) 在0x 某邻域内单增； (D ）在0x 某邻域内单减.

2、微分方程2448x

y y y e

'''-+=的一个特解应具有形式（ ) （,,,a b c d 为常数）。

1sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（）。

(A) *2

(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ （B ） *

(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ （C ） *

sin ;y ax bx c d x =+++ （D ） *

ecos .y ax bx c x =+++

4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，

12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（）。

(A) 11223;c y c y y ++ (B ） ()1122123;c y c y c c y +-+ （C ） ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--

5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为（ )。

（A ） 2

1;xy = （B ） 2

2;x y = (C) 2;xy = （D ） 1.xy =

二、填空题

1、已知微分方程23e

y y y -'''--=有一个特解1e 4

y x *-=-

,则其通解为（ )。 2、以12e ,e x x

y y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ）.

3、若连续函数()f x 满足()

()e x

f t f x dt =⎰，则()f x 等于( ).

4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2

1y x

y x

α∆∆=

++，其中α是比x ∆(0)x ∆→高阶的无穷小，且(0)πy =,则(1)y 等于（）。 5、2e x

y y y x '''++=的通解为( )。三、计算和应用题 1、设2e

(1)e x

x y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解，

求该微分方程的通解.

2、设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函

数.

(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()3

的解. 3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x

y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微

分方程的解，试求此微分方程 4、已知连续函数()f x 满足320

()()d e 3

x t

f x f t =+⎰

,求()f x . 5、已知连续函数()f x 满足()10

()()d e 2()d x

x f x x u f u u x f xu u +

-=+⎰

⎰，求()f x .

6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正，若曲线()y f x =,直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3

t f t f ⎡⎤-⎣⎦,试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2

(2)9

f =的特解。四、证明题

证明方程()y y f x ''+=（其中()f x 连续)的通解为

()120

cos sin ()sin d x

y c x c x f t x t t =++-⎰，其中为任意常数。

x c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +;4、π

4πe ;

5、()()121

e 1e 4

x x y c c x x -=++-. 三、 1、答案：2212e

x y x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,αβγ的值，然后再去求

解微分方程.

2、答案: （1） sin y y x ''-=；

y y y y --=-是对应齐次微分方程的特解，从而可得出对应齐次微分方

程为20y y y '''--=，设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入，得出()e 2e x

f x x =-。 4、答案： 32()3e

t t f t f f x x ⎡⎤-=⎣⎦⎰，然后两边求导。四、略.

（A) 依赖于s 和t ； (B ）是一个常数；

（C ）不依赖于s 但依赖于t ；（D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中，等于零的是( )。（A ）

3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>，令()[]()1231

()d ,(),()()2

S f x x S f b b a S f a f b b a ==-=

+-⎰

，则（）

。

（A) 321S S S >>； (B ） 312S S S >>； (C ） 213S S S >> ；（D) 132S S S >>。

20sin d x x x +∞⎰的值等于（）. (A ） π;2

（B ） π; （C ） 2

π;4 (D ） π-1.

5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限0

()dt lim

x f x t x

→-⎰的值等于（）。

（A)不存在； (B) 0; （C ） (0);f ' （D) 1

(0).2

f ' 二、填空题 1、设()f x 连续，31

()dt x f t x -=⎰

，则(7)f 等于( )。

、定积分

3π43π4(1arctan x x -+⎰

2y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( )。三、计算和应用题 1、已知(π)1f =，且[]0

()()sin d 3f x f x x x π

20sin ()d 12cos t f x t x t x =++⎰，求(1)

()ln ()d xf x x f x x =+

⎰

，求()f x 。

6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1

()()d f x xf xt t +⎰与x 无关,求()f x .

四、证明题

设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内()0f x '>,证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线

()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3

112；2、2；3、2；4、2；5、3712

。三、

1、答案：(0)2f =。提示:用分部积分。

2、答案:4π-.

提示：利用奇偶对称性。 3、答案:1.

提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可。 4、答案:

00sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x

F x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =

+=+=+⎰⎰

⎰，

由()0F x '=得()()0f x f x '+=，所以e ()0x

t a b S t t a f t f x x ∀∈=--

⎰

，()()2()d ,b

S t f x x b t =--⎰

令()()12()3t S t S t ϕ=-，用零点定理和单调性证明即可。

第一章综合测试题

一、单项选择题

1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0

lim ()x x f x →存在的（ )条件。

（A) 充分；（B ）必要；（C ）充要; （D ）无关. 2、设222

12lim(

)n n

n n n →∞+++= （）.

（A ） 22212lim lim lim 0n n n n

n n n →∞→∞→∞+++=； (B ） ∞;

（C) 21+2+1

lim 2

n n n →∞+=; （D ）极限不存在。 3、设()=232x

f x +-，则当0x →,有 ( ).

（A ） ()f x 与x 是等价无穷小； (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小；

（C ） ()f x 是比x 高阶的无穷小；（D ） ()f x 是比x 低阶的无穷小.

4、设11e 1()e 1

f x -=

+，则0x =是()f x 的( ).

（A) 可去间断点; （B ）跳跃间断点；（C) 第二类间断点； (D ）连续点。 5、方程4

10x x --=至少有一个根的区间是（）.

(A) 1(0,)2；（B) 1(,1)2

； (C) (1,2)； (D ） (2,3)。

=⎨=⎪⎩在0x =连续,则a = ( )．

x x x x x x →+=+- （）． 5、已知25

lim 232n a bn n →∞++=-，则a = （），

b = （）．

三、计算与应用题 1、设0, 0(), 0x f x x x ⎧=⎨

>⎩≤，20, 0

(), 0x g x x x ⎧=⎨->⎩≤，求函数项级数[()]f f x ，

[()],g g x

[()],[()]f g x g f x 。

2、设21sin ,0(),0

x x f x x

a x x ⎧>⎪

=⎨⎪+⎩≤,要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设1

1e , 0()ln(1), 10

x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<⎩≤,求()f x 的间断点,并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π

++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22

f x f x ++-的定义域. 四、证明题

证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ

(,)22

内至少有一个根。第一章综合测试题答案与提示

1、答案：[()] = (),f f x f x

[()]0,g g x = [()]0,f g x = [()]()g f x g x =。

2、答案:0a =．

3、答案: 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．

ax x f x b x x ⎧<=⎨+⎩≥在0x =处可导，则a b 、的值应为（ )。

（A ） 2,1a b ==； (B ） 1,2a b ==; （C ） 2,1a b =-=；（D ）

2,1a b ==-.

2、设222, 1

() 1 , 1

x x x f x x ⎧-+>=⎨⎩≤ （）.

（A)不连续; （B ）连续，但不可导；

(C ）连续，且有一阶导数；（D ）有

任意阶导数.

3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数,则()f x ' ( ）。

（A ）必为(,)l l -内的奇函数；（B ）必为(,)l l -内的偶函数;

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完整)高等数学考试题库(附答案) 高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。 1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。 A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnx B）f(x)=|x|和g(x)=x^2 C）f(x)=x和g(x)=x^2/x D）f(x)=2|x|和g(x)=1/x 答案：A 2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。 A）1 B）0 C）-1 D）2 答案：A

3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。A）y=x-1 B）y=-(x+1) C）y=(lnx-1)(x-1) D）y=x 答案：C 4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。 A）连续且可导 B）连续且可微 C）连续不可导 D）不连续不可微答案：A 5.点x=0是函数y=x的（）。 A）驻点但非极值点 B）拐点 C）驻点且是拐点 D）驻点且是极值点

答案：A 6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。A）只有水平渐近线 B）只有垂直渐近线 C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B 7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。 A）f(1/x)+C B）-f(x)+C C）f(-1/x)+C D）-f(-x)+C 答案：C 8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。 A）arctan(e^x)+C B）arctan(e^(-x))+C C）ex-e^(-x)+C

D）ln(ex+e^(-x))+C 答案：D 9.下列定积分为零的是（）。 A）∫π/4^π/2 sinxdx B）∫0^π/2 xarcsinxdx C）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dx D）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx 答案：A 10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。 A）f(1)-f(0) B）f(2)-f(0) C）f(1)-f(2) D）f(2)-f(1) 答案：B 二．填空题（每题4分，共20分）。 1.设函数f(x)=e^(-2x-1)，x≠0，x在x=0处连续，则a=1.

高等数学测试题及解答(分章)2

第七单元空间解析几何与向量代数一、填空题 1、已知→ a 与→ b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→ →||b a _________。 2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。 3、→ → → → → → → → → → → ?-+?+++?++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。 4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。 5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。 6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。 7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面 032=+-z y x 成?45角，则__________=k 。 8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。 9、若直线 531123-=++=-z k y k x 与2 2 531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。 10、设,2)(=??→ → → c b a 则___________ )()]()[(=+?+?+→ → → → → → a c c b b a 。 11、过点)1,2,1(-M 且与直线?? ? ??-=-=+-=1,43, 2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。 12、已知两条直线的方程是,1 1122:,130211: 21z y x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。二、选择题 1、下列命题，正确的是（） (A)→ → → ++k j i 是单位向量； (B)→ -j 非单位向量； (C)2 2 ||→ →=a a ； (D)→→→ →→=?b a b a a 2 )(。

高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内,每题3分，共30分）。 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）。 (A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B)()||f x x = 和 ( )g x =(C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=⎨⎪ =⎩ 在0x =处连续，则a =（ ). （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D)2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- (B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- (D ）y x = 4．设函数()||f x x =,则函数在点0x =处（）。（A ）连续且可导 (B ）连续且可微（C ）连续不可导 (D)不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的( )。 (A)驻点但非极值点（B ）拐点 (C)驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B)只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D)既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰ 的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫ -+ ⎪⎝⎭ （B)1f C x ⎛⎫ --+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫ + ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫ -+ ⎪⎝⎭ 8． x x dx e e -+⎰的结果是（）。（A)arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ). （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+⎰ （B ）44 arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '⎰等于（ )。（A ）()()20f f - (B ） ()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1 202 f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分,共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -⎧-≠⎪ =⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a = 。 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条。 4． ()21ln dx x x = +⎰。 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ⎰.

高等数学基础综合练习题及答案

高等数学基础综合练习题及答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

试卷代号：7032 上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题 1．函数2sin(4)2()2 2 x x f x x k x ?-

高等数学测试及答案(第三章)

高等数学测试（第三章）一. 选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（） A ．x y e = B ．ln y x = C ．2 1y x =- D ．2 1 1y x = - 2．曲线3 (1)y x =-的拐点是（） A ．(1,8)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(2,1) 3．已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（）实根 A ．一个 B ．两个 C ．三个 D ．四个 4．设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的（） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．无关条件 5．如果00()0,()0f x f x '''=>，则（） A ．0()f x 是函数()f x 的极大值 B ．0()f x 是函数()f x 的极小值 C ．0()f x 不是函数()f x 的极值 D ．不能判定0()f x 是否为函数()f x 的极值 6．下列说法正确的是（） A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点 C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点 D. 以上说法都不对 7．若在[]1,1-上有()()2 1-='x x f ，则曲线()x f 在区间[]1,1-内是（） A ．单调减少且下凹 B ．单调减少且上凹 C ．单调增加且上凹 D ．单调增加且下凹 8．曲线6 2 12--++ =x x x y 的垂直渐近线共有（）A ．一条 B ．两条 C ．三条 D ．四条 9．设()x f '在点0x 的某个邻域内存在，且()0x f 为()x f 的极大值，则()() =-+→h x f h x f h 000 2lim （） A ．０ B ．１ C ．２ D ．-２ 10．设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义，若()() () 133lim 2 3 -=--→x f x f x ，则在3=x 处（）

大一高数考试题库资料__另附_高数学习方法+高数公式库(大一必看)

学年第二学期期末考试试卷（同济大学版）附答案一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=???Ωdxdydz z y x f ）． 21 2 0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? 4． 4．若 1 (1) n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）． A ．条件收敛 B ．绝对收敛 C ．发散 D ．敛散性不能确定 5．曲线22 2 x y z z x y -+=??=+? 在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设220x y xyz +-=，则' (1,1)x z = . 2．交换ln 1 (,)e x I dx f x y dy = ? ? 的积分次序后，I =_____________________． 3．设2 2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 . 4. 已知0! n x n x e n ∞ ==∑，则x xe -= .

高数考试试题及答案

高数考试试题及答案一、选择题 1. 在三角形ABC中，边长AB=3，AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积为： A) 1.5 B) 2 C) 2.5 D) 3 答案：B) 2 2. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(-1) 的值为： A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 答案：C) 2 3. 若 loga x = 2，loga y = 3，则 loga (x^2y) 的值为： A) 2 B) 3

C) 4 D) 5 答案：D) 5 二、计算题 1. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 在 x = 2 处的导数。解答： f'(x) = 4x - 5 f'(2) = 4(2) - 5 = 3 2. 求函数 g(x) = e^x 的不定积分。解答： ∫g(x) dx = ∫e^x dx = e^x + C 三、应用题 1. 在一个圆形花坛周围修建一条宽3米的小道，小道的面积占整个花坛面积的1/4，求花坛的半径。解答：设花坛的半径为 r，则整个花坛的面积为πr^2 小道的宽度为3米，即内圆的半径为 r - 3 小道的面积为π(r^2 - (r - 3)^2)

根据题意，小道的面积占整个花坛面积的1/4，因此有： π(r^2 - (r - 3)^2) = 1/4 * πr^2 化简得：9r - 36 = 0 解得：r = 4 因此，花坛的半径为4米。 2. 一枚硬币重2克，真币和假币放在一起共有20枚，其中假币的重量比真币轻0.5克。用天平称重，最少称几次一定能找到假币？解答：将硬币分成两堆，每堆各取出一个硬币称重。若两堆硬币重量相等，则假币在剩下的18枚硬币中，重量比真币轻，用天平称重一次即可找到假币。若两堆硬币重量不等，则假币必然在较轻的一堆中。将较轻的一堆硬币分成两堆，用天平称重一次即可找到假币。因此，最少需要称重 2 次就能找到假币。总结：本文介绍了高数考试中可能出现的选择题、计算题和应用题，并提供了相应的答案和解答过程。通过练习这些题目，可以提高高数的理解和解题能力。希望本文对您的学习有所帮助！

高数题库及答案

高数题库及答案【篇一：大学高等数学上考试题库(附答案)】 >一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （a）f?x??lnx 和 g?x??2lnx （b）f?x??|x| 和 g? x?? 2 （c）f?x??x 和 g? x?? 2 （d）f?x?? |x|x 和 g?x??1 22．函数f? x???ln?1?x? ? a? x?0x?0 在x?0处连续，则a?（）. （a）0 （b） 14 （c）1 （d）2 3．曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程为（）. （a）y?x?1 （b）y??(x?1)（c）y??lnx?1??x?1?（d）y?x 4．设函数f?x??|x|，则函数在点x?0处（）. （a）连续且可导（b）连续且可微（c）连续不可导（d）不连续不可微 5．点x?0是函数y?x4的（）. （a）驻点但非极值点（b）拐点（c）驻点且是拐点（d）驻点且是极值点 6．曲线y? 1|x| 的渐近线情况是（）. （a）只有水平渐近线（b）只有垂直渐近线（c）既有水平渐近线又有垂直渐近线（d）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．?f??

?2dx的结果是（）. ?x?x?? 1??1??1 （b）（c）?c?f??cf???? x??x??x ?x （a）f??8．? dxe?e x ??1 （d）?c?f????x? ??c ? 的结果是（）. x ?x （a）arctane?c （b）arctane?c （c）e?e x?x ?c （d）ln(e?e x?x )?c 9．下列定积分为零的是（）. ? （a）? 4? arctanx1?x 2 ? ? 4 dx （b）? 4? ? 4 xarcsinxdx （c）? 1 1?1 e?e 2 x?x

高等数学下考试题库(附答案)

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10） 1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）. A.a∥b B.a⊥b C.a,b= D.a,b= 3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）. A.{(x,y)|1

A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）. A.2/√2 B.-2/√2 C.2 D.-2 7.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）. A.p1 D.p≥1 8.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）. A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-1,1) D.(-1,1] 9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）. A.1/(1-x) B.2/(1-x)^2 C.2/(1+x) D.1/(1+x) 10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）. A.y=cx B.y=e^x C.y=cxe^x D.y=ex 二、填空题（4分×5）

1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________. 2.函数z=sin(xy)的全微分是 ______________________________. 3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=- ___________________________. 三、计算题（5分×6） 4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y. 2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求 ∂z/∂x. 3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量 i+j的值. 4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.

高数上习题前三章

高等数学（上）第一章练习题一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞ ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1 2． lim 9x x x a x a →∞+⎛⎫ = ⎪-⎝⎭ ，则__________.a = ln3 3．若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == -7,6 4． 02 lim __________.2x x x e e x -→+-= 0 5． 1(12)0 ()ln(1)0x x x f x x k x ⎧-<=⎨++≥⎩ 在0x =连续，则k = e^-2 6．已知当0x →时，( ) 1 2 3 11ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7．设21 ()cos 1x k x f x x x π⎧+≥=⎨ <⎩ 处处连续, 则__________.k = -2 8．设20()sin 0 a bx x f x bx x x ⎧+≤⎪ =⎨>⎪⎩ 在0x =处间断,则常数a 和b 9．( ) 1lim 123 n n n n →∞ ++= 10 ．lim x →+∞ ⎡=⎣ 11 ．lim x ax b →+∞ ⎤-=⎦ 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第类间断点二．单项选择题 13．当0x →时, 变量 2 11 sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15．如果0 lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. A. 0 lim ()x x f x →存在且0 lim ()x x f x →0()f x =, B. 0lim ()x x f x →不一定存在, C. 0 lim ()x x f x →存在但不一定有0 lim ()x x f x →0()f x =, D. 0 lim ()x x f x →一定不存在. 16．当0x →时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量._________.

大一高数试题和答案与解析

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。１－ｘ4 １６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（），

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1 ① ０② １③ ２④ ３

完整版)高等数学测试题及答案

完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’） 1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。（×） 2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。（×） 3、函数的极大值一定是它的最大值。（×） 4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。（√） 5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√） 6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。（√）

二、选择题（4’×5=20’） 7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（） A、单调函数 B、有界函数 C、无界函数 D、周期函数答案：C 8、设$y=1+2x$，则$dy$=（） A、$2xdx$ B、$2x\ln2$

C、$2x\ln2dx$ D、$(1+2x\ln2)dx$ 答案：A 9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向 A、上升且为凹弧 B、上升且为凸弧 C、下降且为凹弧 D、下降且为凸弧答案：B 10、下列等式正确的是（）

A、$\int f'(x)dx=f(x)$ B、$\int f(x)dx=f'(x)$ C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$ D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$ 答案：C 11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则 int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$ A、$P