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高等代数试题

第一章多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是

(6) 2

22)()()(x xh x xg x f +=，

那么.0)()()(===x h x g x f

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：

)...(1()1(!)

1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n

---=+---+--+

§1.2 多项式的整除性

1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：

( i )

;13)(,14)(2

34--=--=x x x g x x x f (ii)

;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k

x f x )(|必要且只要).(|x f x

3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且

()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g

4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n

n a x -

6．考虑有理数域上多项式

()()

()(),121211

n k n

k x x x x x x f ++++++=-++

这里k 和n 都是非负整数．证明：

()()()

.11|1

n k 1+++++-x x f x x k

7．证明：1-d x 整除1-n

x 必要且只要d 整除.n

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

( i )

()();32103,3432

3234-++=---+=x x x x g x x x x x f (ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2

234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=

2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和

()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．

3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且

0≠-bc ad

证明：

()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++

4．证明：

（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

5．设

()()22,2422

34234---+=---+=x x x x x g x x x x x f 都是有理数域Q 上的多项式。求()()][,x Q x v x u ∈使得

()()()()()()).,(x g x f x v x g x u x f =+

6．设1),(=g f ,令n 是任意正整数，证明：1),(=n g f 由此进一步证明，对于任意正整数n m ,，都有1),(=n m g f .

7．设1),(=g f 证明：

1),(),(),(=+=+=+g f fg g f g g f f .

8．证明：对于任意正整数n 都有),(),(n n n g f g f =.

9．证明：若是)(x f 与)(x g 互素，并且)(x f 与)(x g 的次数都大于0，那么

定理3.3.2里的)(x u 与)(x v 可以如此拔取，使得)(x u 的次数低于)(x g 的次数，

)(x v 的次数低于)(x f 的次数，并且这样的)(x u 与)(x v 是独一的。

10．决意k ，使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2

+++的最大公因式是一

次的。

11．证明：如果1))(),((=x g x f 那么对于任意正整数m ，

()()()1,=m

x g x f

12．设)(x f ,)(x g 是数域P 上的多项式,)(x f 与)(x g 的最小公倍式指的是

][x P 中满足以下条件的一个多项式)(x m ：

()

a )(|)(x m x f 且)(|)(x m x g ；

()b 如果][)(x P x h ∈且)(|)(),(|)(x h x g x h x f ，那么)(|)(x h x m .

()i 证明：][x P 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式

的差别外，是独一的。

()ii 设)(x f ,)(x g 都是最高次项系数是

1的多项式，令[])(),(x g x f 暗示)(x f 和

)(x g 的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明

()()()()()()()[]x g x f x g x f x g x f ,,=

13．设)()(|)(1x f x f x g n 并且1))(),((=x f x g i ,1,,2,1-=n i 证明：

)(|)(x f x g n .

14．设][)(,),(),(21x P x f x f x f n ∈ 证明：

()i ()()()()()()()()()()()().11,,,,,,,,12121-≤≤=+n k x f x f x f x f x f x f x f x f n k k n ()

ii )

(,),(),(21x f x f x f n 互素的充要条件是存在多项式

][)(,),(),(21x P x u x u x u n ∈ 使得

()()()()()()12211=++x u x f x u x f x u x f n n

15．设][)(,),(1x P x f x f n ∈ ,令

()()()()(){}.1],[11n i x F x g x g x f x g x f I i n n ≤≤∈+=

比照定理1.4.2，证明：)(,),(1x f x f n 有最大公因式．[提示：如果)(,),(1x f x f n 不全为零，取)(x d 是I 中次数最低的一个多项式，则)(x d 就是)(,),(1x f x f n 的一个最大公因式．] §1.4 多项式的分化

1. 在有理数域上分化以下多项式为弗成约多项式的乘积：

()i ;132+x ().12223+--x x x ii

2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分化多项式14

+x 为弗成约因式的乘

积.

3. 证明： )(|)(22x f x g 当且仅当)(|)(x f x g .

()i 求 ()1222345-++--=x x x x x x f 在][x Q 内的典型分化式；

()ii 求()61416161022345-+-+-=x x x x x x f 在][x R 内的典型分化式

5.证明：数域P 上一个次数大于零的多项式)(x f 是][x P 中某一弗成约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意][)(x P x g ∈,或者1))(),((=x g x f ,或者存在一个正整数m 使得)(|)(x g x f m .

6．设)(x p 是][x P 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

][)(),(x F x g x f ∈只要)()(|)(x g x f x p 就有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p 那么)(x p 弗成

约.

§1.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

()i ()()()()();x g x f x g x f '+'='+ ()ii ()()()()()()().x g x f x g x f x g x f '+'='

2. 设)(x p 是)(x f 的导数)(x f '的1-k 重因式.证明：

()i )(x p 未必是)(x f 的k 重因式；

()ii

)(x p 是)(x f 的k 重因式的充分且必要条件是)(|)(x f x p .

3. 证明有理系数多项式

()!!212n x x x x f n

+++=

没有重因式.

4.b a ,应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

()i ;33b ax x ++ ()ii

.44b ax x ++

5. 证明：数域P 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分且必要

条件是

()()n

b x a x f -=，

这里的b a ,是P 中的数

§1.6 多项式函数多项式的根

1．设1532)(3

45+--=x x x x f ,求

)

2(),3(-f f .

2．数环R 的一个数c 说是][)(x R x f ∈的一个k 重根,如果)(x f 可以被k

c x )(-整除,但不能被1)(+-k c x 整除.判断5是不是多项式

5057422243)(235+++-=x x x x x f

的根.如果是的话,是几重根?

3．设

d x c x b x a x x x +-+-+-=-+-)2()2()2(5322

323 求d c b a ,,, [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式)(x f 表成a x -的多项式.

)(i 1,)(5==a x x f ;

)(ii 2,32)(24-=+-=a x x x f .

5．求一个次数小于4的多项式)(x f ,使

2)5(,0)4(,1)3(,3)2(==-==f f f f

6．求一个2次多项式,使它在ππ

0=x 处与函数x sin 有相同的值.

7．令)(),(x g x f 是两个多项式,并且)()(33x g x f +可以被12

++x x 整除.

证明

.0)1()1(==g f

8．令c 是一个复数,并且是][x Q 中一个非零多项式的根,令

}0)(|][)({=∈=c f x Q x f J

证明:)(i 在J 中存在独一的最高次项系数是1的多项式)(x p ,使得J 中每一多项式

)(x f 都可以写成)()(x q x p 的形式,这里][)(x Q x q ∈. )(ii )(x p 在][x Q 中弗成约.

如果32+=c ,求上述的)(x p [提示:取)(x p 是J 中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

9．设][x C 中多项式0)(≠x f 且)

(|)(n

x f x f )(|)(n

x f x f ,n 是一个大于1的整数.

证明:)(x f 的根只能是零或单位根.

[提示:如果c 是)(x f 的根,那么 ,,,3

n n c c c 都是)(x f 的根.]

§1.7 复数和实数域上多项式

1．设n 次多项式

n n n n a x a x a x a x f ++++=--11

10)( 的根是n ααα,,,21 .求 )(i 以n ca ca ca ,,,21 为根的多项式,这里c 是一个数;

)(ii 以n ααα1

1 (假定n ααα,,,21 都不等于零)为根的多项式.

2．设)(x f 是一个多项式,用)(x f 暗示把)(x f 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

)(i 若是g )(x |f )(x ,那么)(|)(x f x g ;

)(ii 若是)(x d 是)(x f 和)(x f 的一个最大公因式,并且)(x d 的最高次项系数是1,那

么)(x d 是一个实系数多项式).

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有分歧类型的典型分化式.

4．在复数和实数域上,分化2-n

x 为弗成约因式的乘积.

5．证明:数域F 上任意一个弗成约多项式在复数域内没有重根. §1.8 有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上弗成约:

)(i 108234-+-x x x ;

)(ii ;66182245+++x x x )(iii 32234-+-x x x ; )(iv 136++x x .

2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数而n 是一

个大于1的整数,那么n

t p p p 21是一个无理数.

3．设)(x f 是一个整系数多项式.证明:若是)0(f 和)1(f 都是奇数,那么)(x f 不能有整数根.

4．求以下多项式的有理根:

)(i 1415623-+-x x x ; )(ii 157424---x x x ;

)

(iii 321

2252345--+-

-x x x x x .

§1.9多元多项式

1．写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式. 2．设),,(1n x x f 是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明

),,(),,(11n r n x x f t tx tx f =.

3．设),,(1n x x f 是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果

),,(),,(),,(111n n n x x h x x g x x f =,则h g ,也是n 元齐次多项式.

4．把多项式

xyz z y x 3333-++写成两个多项式的乘积. 5．设F 是一个数域.],,[,1n x x F g f ∈是F 上n 元多项式.如果存在

],,[1n x x F h ∈使得gh f =,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g 整除f . )(i 证明,每一多项式f 都可以被零次多项式c 和cf 整除,0,≠∈c F c .

)(ii ],[1n x x F f ∈说是弗成约的,如果除了)(i 中那两种类型的因式外,f 没有其

它的因式.证明,在],[y x F 里,多项式

y x y x y x -+2

,,,都弗成约. )(iii 举一反例证明,当2≥n 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.

)(iv ],,[,1n x x F g f ∈说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零

的公共因式.证明],[,y x F y x ∈是互素的多项式.能否找到]

,[),(),,(y x F y x v y x u ∈

使得1),(),(=+y x yv y x xu ? §1.10 对称多项式

1．写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式.

2．令],,,[21n x x x R 是数环R 上n 元多项式环,S 是由一切n 元对称多项式所组成的],,[1n x x R 的子集.证明:存在],,[1n x x R 到S 的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立],,[1n x x R 到S 的一个双射]

3．把下列n 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：

)(i ∑23

1x x ；)

(ii ∑4

；)(iii ∑32

1x x x ．

4．证明：如果一个三次多项式c bx ax x +++2

3的一个根的平方等于其余两

个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：

2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-

5．设n ααα,,,21 是某一数域Ｆ上多项式

n n n n a x a x a x ++++--111

在复数域内的全部根．证明：n αα,,2 的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于

1α的多项式．［提示：只需证明n αα,,2 的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于1

α的多项式即可．］

第二章行列式

§2.1行列式定义

1．计算下列分列的反序数：

)(i 523146879；

)(ii ;1,2,,1, -n n

)(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +-

2．假设n 个数码的分列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么分列121,,,,i i i i n n -的反

序数是多少？

3．写出4个数码的一切分列． §2.2 n 阶行列式

1．确定六阶行列式

D=666261262221

161211a a a a a a a a a

中以下各乘积的符合：

()().;

466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i

2．写出下列四阶行列式

411411a a a a

中一切带有负号且含元素23a 的项。

3．证明：n 阶行列式

nn n n n a a a a a a a a a a

33323122211100

0000000nn

a a a 2211=

4．考察下列行列式：

nn n n n n

a a a a a a a a a D 21

2222111211

，

n n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D

21212221111=

，

其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个分列。这两个行列式间有什么关系？

5．计算n 阶行列式a x a

a x a a

a a a x a a a a a x ----

6．计算行列式

()()()()()()()()()()()()2

22222222222222

2321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

7．证明：行列式

111

21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++

8．设在n 阶行列式

nn n n n n

a a a a a a a a a D

22221

11211

中，

0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当

§2.3 子式和代数余式行列式的依行依列展开

1．把行列式01

111

101

101------d c b

依第三行展开，然后加以计算．

2．计算以下行列式:

()()()()()()();0

32131

0122210113

210;

1111)2(;0000000000000

00000000;11

0000100

00001100001100001;

4936251636

25169

169416941;20

104110

3143211111;32142143143243213

321321321132

211

-------++++--------n n n n n n n vii a a a a a a a a a a a a a a a a vi n a

a b a b b

b a b a v a a a a a a a a iv iii ii i n

n n

n n 阶

提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。

3．令

.)(1,11ii i i i i i io i a x a x a x a x f ++++=--

计算行列式)()()()()()()()()(121111*********n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f ---

。

§2.4 克拉默轨则

1．解以下线性方程组：

().

232,232,232,0,0)(.432,632,423,

132543432321543243214321432143214321=++-=++=++=+++=+++-=-++-=--+-=---=+++x x x x x x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x x x x x i

2．设121,,,+n a a a 是1+n 个分歧的数, 121,,,+n b b b 是任意1+n 个数,而多项式

n n x c x c c x f +++= 10)(

有以下性质: i i b a f =)(,1,,2,1+=n i .用线性方程组的理论证明, )(x f 的系数

n c c c ,,,10 是独一确定的,并且对2=n 的情形导出拉格朗日插值公式

3．设n

n x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明,若是)(x f 有1

+n 个分歧的根,那么)(x f 是零多项式.

第三章线性方程组

§3.1 消元法

1．解以下线性方程组：

6133,34,053,332)(;52,12,12)(321321321321432143214321-=-+=+-=-+=+-=++--=-+-=++-x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x i

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

3．设n 阶行列式

nn n n n n

a a a a a a a a a D

22221

11211

≠0.

证明：用行初等变换能把n 行n 列矩阵⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛nn n n n n a a a

a a a a a a 2

222

2111211化为

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛100010001 列矩阵行n n 。

4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把列矩阵行n n

⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a

2222111211化为⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛D n n 000010000100001 列矩阵行．

§3.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

;.6512556411140121112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛161154113943110732175

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1． 4．证明：含有n 个未知量1+n 个方程的线性方程组

1,111,11111111,,+++=++=++=++n n n n n n n nn n n n b x a x a b x a x a b x a x a

有解的必要条件是行列式

,11,11

1111

=+++n n

n n n nn

n n b a a b a a b a a

这个条件不是充分的，试举一反例．

5．方程组取怎样的数值时，线性

λ ,12,123,23243213432124321-=-+--=++-=-++x x x x x x x x x x x x λλλ

有解？

6．λ取怎样的数值时，线性方程组

2321321321,

,1λλλλλ=++=++=++x x x x x x x x x

有独一解，没有解，有无穷多解？ §3.3 线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

,242131,243121b x x b x x a x x a x x =+=+=+=+

这里3.2121秩是，并且它的系数矩阵的证明：这个方程组有解b b a a +=+．

2．组：用公式解法解线性方程

.552,12,12432143214321=++--=-+-=++-x x x x x x x x x x x x

3．设线性方程组：

（9） ,,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++

有解，并且添加一个方程：

,2211b x a x a x a n n =+++

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中m 个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

0,0,0221122221211212111=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a

的系数行列式0=D ，而D 中某一元素

a 的代数余子式

≠ij A ．证明：这个方程

组的解都可以写成

in i il kA kA kA ,,,2

的形式,此处k 是任意数.

5．设行列式

2222111211=nn

n n n

n a a a a a a a a a

令

A 是元素

a 的代数余子式.证明:矩阵

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛nn n n

n n A A A A A A A A A 212221212111

的秩1≤．

第四章矩阵

§4.1 矩阵的运算

1．计算

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421421421963642321； ⎪⎪

⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---41250331023141022013；

()⎪

⎪⎪

⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛n n b b b a a a 2121,,,；

()n n b b b a a a ,,2121⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛；

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113210121121011132113210121．

2．证明，两个矩阵A 与B 的乘积AB 的第i 行等于A 的第i 行右乘以B ，第j 列等于B 的第j 列左乘以A ．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律： (i) 设B=(

b )是一个n ⨯p 矩阵．令

β=

()'nj

j b j b b ,,2,1 是B 的第j 列，

j=1,2,…,p ．又设()'

=p x x x ,,,21 ξ是任意一个p ⨯1矩阵．证明：

B ξ=

p x x x βββ+++ 211．

(ii)设A 是一个m ⨯n 矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：

A(B ξ)=(AB)ξ．

(iii)设C 是一个pxq 矩阵．利用(ii)，证明：

A(BC)=(AB)C ．

4．设

A=⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛0000100001000010

证明：当且仅当

B=⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝

⎛a b a c b a d c

b a 000000 时，AB=BA 。

5．令

E 是第i 行第j 列的元素是1而其余元素都是零的n 阶矩阵．求

ij E kl

E ．

6．求满足以下条件的所有n 阶矩阵A (i)

E AE ij ij =i,j=1,2,…,n,

(ii)AB=BA

这里B 是任意n 阶矩阵。

7．举例证明，当AB=AC 时，未必B=C ．

8．证明，对任意n 阶矩阵A 和B ，都有AB-BA ≠I ．[提示，考虑AB-BA 的主对角线上的元素的和]

9．令A 是任意n 阶矩阵，而I 是n 阶单位矩阵，证明：

(A I -)(12-++++m A A A I )=m

A I -

10.对任意n 阶矩阵A ，必有n 阶矩阵B 和C ，使A=B+C ，并且C C B B '-='=, §4.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式

1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？

2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵． 3．求下列矩阵的逆矩阵：

.32sin 32cos ,1111

cos sin sin cos ;135********ππααααi w w w w w +=⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---

4．设 A 是一个n 阶矩阵，并且存在一个正整数m 使得O A m

(i) 证明A I -可逆，并且

11)(--+++=-m A A I A I

(ii)求矩阵

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10000110

00211003211043211

的逆矩阵。

5．设

1,=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=bc ad d c b a A

证明，A 总可以表成)(12k T 和)(21k T 型初等矩阵的乘积．

6．令*

A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，证明

.)(det det 1-*=n A A

(区别detA ≠0和detA=0两种情形)

7．设A 和B 都是n 阶矩阵．证明，若AB 可逆,则A 和B 都可逆． 8．设A 和B 都是n 阶矩阵．证明，若AB=I,则A 和B 互为逆矩阵． 9．证明，一个n 阶矩阵A 的秩≤1必要且只要A 可以表为一个n ⨯1矩阵和一个1⨯n 矩阵的乘积．

10.证明：一个秩为r 的矩阵总可以表为r 个秩为1的矩阵的和． 11．设A 是一个n ⨯n 矩阵，),,,(,),,,(2121'='=n n x x x b b b ξβ都是n ⨯1

矩阵．用记号

)(β−−←i

A 暗示以β代替A 的第i 列后所获得的n n ⨯矩阵． (i)线形方程组βξ=A 可以改写成

,,,2,1),()(n i A I A i

i =−−←=−−←βξI 是n 阶单位矩阵．

(ii)当detA ≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默轨则． §4.3 矩阵的分块

1．求矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------32142343193100230012

的逆矩阵．

2．设A ，B 都是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵，证明

.⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛BA B O O I O A I

I O

A I O

B O AB

3．设

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=s r s r

I O K I T I K

O I S ,

都是n=r+s 阶矩阵，而

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43

A A

A A A

是一个n 阶矩阵，并且与S,T 有相同的分法．求SA,AS,TA 和AT.有此能得出什

么规律？

4．证明，2n 阶矩阵

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-1A O O A

总可以写成几个形如

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I Q O I I O P I ,

的矩阵的乘积．

5．设

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=s A O O O A O O O A A 21

是一个对角线分块矩阵．证明:

)(det ))(det (det det 21s A A A A =

6．证明，n 阶矩阵

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A

的行列式等于(detA)(detB)

7．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，其中detA ≠0并且AC=CA ，证明

).det(det CB AD D C B A -=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

第五章二次型

§5.1 习题

1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．

2．对下列每一矩阵A ，分别求一可逆矩阵P ，使AP P '是对角形式：

(i)

;

311112121⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=A

高等代数试题

第一章多项式 §1.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 2 22)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： !) )...(1()1(!) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §1.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(2 34--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k 7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §1.3 多项式的最大公因式

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021

高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a . 2．行列式1 3 4 02324a --中元素a 的代数余子式是 . A 、 0324-. B 、0324--. C 、14 03 -. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中,线性无关的是 . A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 . A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关. C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组. D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出. 6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分. 1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题 1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组： \[ \begin{cases} 2x - 3y + z = 7 \\ 4x + y - 2z = -1 \\ 3x - 2y + 2z = 5 \end{cases} \] 其中，x、y、z为实数。求解该线性方程组的解。 1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[ \begin{cases} x - \frac{12}{7}z = 5 \\ y - \frac{5}{7}z = 2 \\

0 = 0 \end{cases} \] 由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。令z为任意实数，可以得到： \[ \begin{cases} x = 5 + \frac{12}{7}z \\ y = 2 + \frac{5}{7}z \\ z = z \end{cases} \] 因此，该线性方程组的解为： \[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + \frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix} \] 2. 填空题 2.1 题目：求行列式的值

计算行列式的值： \[ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \] 2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。选择第一行进行展开计算： \[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \] 计算上述三个二阶行列式的值，得到： \[ D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0 \] 因此，行列式的值为0。 3. 解答题

高等代数期末考试题库及答案解析

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分） 1.高等代数是一门研究什么的数学学科？ a.研究高等数学 b.研究代数学 c.研究线性代数 d.研究数论 –答案：b 2.什么是矩阵的秩？ a.矩阵中非零行的个数 b.矩阵中非零列的个数 c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数 d.矩阵的行数与列数的乘积

3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？ a.0 b.1 c.方阵A的行数 d.方阵A的列数 –答案：a 4.什么是特征值和特征向量？ a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积 b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积 c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积 d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？ a.矩阵A所有元素的和 b.矩阵A中所有元素的乘积 c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积 d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵 A所表示的线性变换的倍数比例。 –答案：d 6.什么是矩阵的逆？ a.矩阵的行向量与列向量交换位置 b.矩阵A的转置矩阵 c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I （单位矩阵） d.矩阵的所有元素取倒数

7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？ a.矩阵A的行列式为0 b.矩阵A的行列式不为0 c.矩阵A的特征值为0 d.矩阵A的特征值不为0 –答案：b 8.什么是矩阵的转置？ a.矩阵的行与列互换 b.矩阵的行与行互换 c.矩阵的列与列互换 d.矩阵的所有元素取相反数 –答案：a

高代试题

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立； B . 甲不成立, 乙成立； C .甲, 乙均成立； D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 A . 奇数次实系数多项式必有实根； B . 代数基本定理适用于复数域； C ．任一数域包含Q ； D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?= 8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则 11 21112222 12..................... n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。 A . D B . D - C ./ D D ． (1)n D -

大学_高等代数模拟试题及答案

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一) 26.如果矩阵rankAr,则 ( ) A. 至多有一个r阶子式不为零; B.所有r阶子式都不为零 C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零; D.所有低于r阶子式都不为零 27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。 A. |A|0 B. |A|0 C. |A|k,k1 D. |A|k,k1 28. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。 A. kA; B. kA; C. knA D. |k|nA 29. 设A、B为n阶方阵，则有( ). A.A，B可逆，则AB可逆 B.A，B不可逆，则AB不可逆 C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆 D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆 30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。 2 A.A B.AI C.AI DA2I 31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。 A.BO; B.R(B)0; C.BAO; D.R(A)R(B)n 32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。 A. ACBI; B. BACI; C.CABI D. CBAI 33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3; B.R(A__)2; C.R(A__)1; D.R(A__)0 34. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ). A.BO B.B0或A0 C.BAO D.ABA2B2 2 00400000 35. 设矩阵A1000，则秩A=( )。 00000200 A.1 B.2 C.3 D.4 36. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。 A.mn; B.R(A)n; C.mn D.R(A)m 37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。 A.ABOAO且BO; B. A0AO; C.AB0AO或BO; D. AI|A|1 高等代数模拟试题及答案(二) 38. 设A为n阶方阵，且RAr A.必有r个行向量线性无关 B.任意r个行向量线性无关 C.任意r个行向量构成一个极大无关组 D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。 A.BCA B.ACB C.BAC D.ABC 40.设A是n阶方阵，那么AA是( )

高等代数试卷及答案一

一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。 1．多项式可整除任意多项式。 2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。 4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A * = 。 5．实数域上不可约多项式的类型有种。 6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1) () k f x -的重因式。 7．写出行列式展开定理及推论公式。 8．当排列12 n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过数次对换变成12 n 。 9．方程组12312322232 1 21x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=?? ++=??++=?，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。 10．若2 4 2 (1)1x ax bx -∣ ++，则a = ，b = 。二、判断题（共10 题，每题1分，共 10分）。 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3．设12 n ααα是n P 中n 个向量，若n P β?∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。（） 4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。（） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（） 6 秩()A B +＝秩 A ，当且仅当秩0 B =。（） 7．向量α线性相关?它是任一向量组的线性组合。（） 8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())f x g x f x g x +=。（） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（） 10．若,,,n n A B C D P ?∈，则 A B AD BC C D =-。（）三、选择题（共 5 题，每题2分，共10分）。 1．A 为方阵，则 3A =（）

高等代数习题及答案

高等代数习题及答案高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，

并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ；③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等；②D 中两行互换，则行列式不变符号；③若0 D ，则D 中必有一行全是零；④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零；②A 中每个r 阶子式都不为零；③A 中可能存在不为零的1 r 阶子式；④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设 n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则 n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（）①负惯性指数=f 的秩；②正惯性指数=0；③符号差=n ；④f 的秩=n 。 5、设 m ,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 m i i i k 10 ； ②任一组数m k k k ,,,21 ，有 m i i i k 1 0 ； ③当021 m k k k 时，有 m i i i k 1 0 ； ④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 m i i i k 1 0 。

高等代数试题库

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6 2 4 2 ()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 A .甲成立, 乙不成立； B . 甲不成立, 乙成立； C .甲, 乙均成立； D ．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 A . 奇数次实系数多项式必有实根； B . 代数基本定理适用于复数域； C ．任一数域包含Q ； D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?= 8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则 11 21112222 12............ ... ... ...n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。 A . D B . D - C ./ D D ． (1)n D -

高等代数考研试题精选

高等代数考研试题精选高等代数是数学专业研究的一门重要基础课程，也是考研数学科目中的一项重要内容。本文将为大家精选一些高等代数考研试题，涵盖了代数结构、线性空间、线性变换、特征值与特征向量等多个方面的知识点。 1. 代数结构： 1.1 群的定义及性质：群是一个集合G与一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四个性质： (1) 封闭性：对于任意的a,b∈G，有a*b∈G。 (2) 结合律：对于任意的a,b,c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。 (3) 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有 a*e=e*a=a。 (4) 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得 a*a'=a'*a=e。 1.2 环的定义及性质：环是一个集合R与两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下八个性质： (1) (R, +)构成一个交换群。

(2) *运算封闭于R，即对于任意的a,b∈R，有a*b∈R。 (3) *运算满足结合律，即对于任意的a,b,c∈R，有(a*b)*c=a*(b*c)。 (4) *运算对于+运算满足左分配律，即对于任意的a,b,c∈R，有 a*(b+c)=a*b+a*c。 (5) *运算对于+运算满足右分配律，即对于任意的a,b,c∈R，有 (a+b)*c=a*c+b*c。 (6) 存在加法单位元0，使得对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。 (7) 对于任意的a∈R，存在加法逆元-a，使得a+(-a)=(-a)+a=0。 (8) *运算满足交换律，即对于任意的a,b∈R，有a*b=b*a。 2. 线性空间： 2.1 线性空间的定义及性质：线性空间是一个非空集合V，配备了两种运算：加法和数乘。满足以下性质： (1) 对于任意的u,v∈V，有u+v=v+u。 (2) 对于任意的u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。 (3) 存在加法单位元0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=0+v=v。 (4) 对于任意的v∈V，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=(-v)+v=0。 (5) 对于任意的a∈F（F为纯量域），v∈V，有a(v+u)=av+au。

高等代数试卷

高等代数试卷一一、填空题（每小题2分，共10分） 1．多项式22009320101 ()(2)()2 f x x x =+-的常数项为。 2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a b c b c a c a b = 。 3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。 4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪ -- ⎪ ⎪-⎝⎭ ＝，则1A -的秩为。 5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是。二、单选题（每小题2分，共10分） 1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（）。 a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件 2．行列式11 12 13 2122 23313233a a a a a a d a a a =，则33 2313 32221231 21 11 a a a a a a a a a =（）。 a) d - b) d c) 0 d) 不确定 3．λ=（），非齐次线性方程组123232321 32(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪ -=-⎨⎪-=--+-⎩ 有无穷多解。 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（）。 a) A b) A - c) E d) 0 5．矩阵（）合同与200010005-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 。

高等代数第一学期试卷及答案(A)

高等代数第一学期试卷及答案(A) 1. 若 $b_1c_1=b_3m$，则 $a_2=$B. $-15m$ 2. $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 A. $\vert A\vert\neq0$ 3. 下列说法不正确的是 B. 如果 $f(x)\mid g(x)$，$g(x)\mid h(x)$，则 $f(x)\mid h(x)$ 4. 设向量组 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关， $\alpha,\beta,\delta$ 线性相关，则() D. $\mathrm{\delta}$ 一定不能由 $\mathrm{\alpha,\beta,\gamma}$ 线性表示 5. 对于 $n$ 元方程组，下列命题正确的是 B. 如果 $Ax=0$ 只有零解，则 $Ax=b$ 也只有零解 6. 若 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&6&7\end{pmatrix}$，则$\vert A\vert=$ $-3$ 7. $f(x)=x^4+x^3-1$，则 $f^\prime(x)=4x^3+3x^2$ 8. 已知 $\vert A\vert=-113$，则 $A_{12}-A_{22}+A_{32}-A_{42}=$ $-1145$

9. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$，则$(A^{- 1})^*=$ $\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix} $ 10. 若 $\alpha_1=(1,0,5,2)^T,\alpha_2=(3,-2,3,- 4)^T,\alpha_3=(2,4,1,0)^T$，则 $\alpha_3$ 可以由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，且线性表示为 $\alpha_3=- \alpha_1+2\alpha_2$。 2.解：根据行列式的性质，交换第1行和第2行，再交换第3行和第4行，得到： $$ \begin{vmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 8 & 9 & 7 \\ 6 & 8 & 4 \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix}

高等代数(一)考试试题及参考答案

一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24 分）二、判断题（正确的打：错误的打X, 5小题，每小题2分，共10分）.1 •若A 为 n 阶矩阵，k 为非零常数，贝则kA=k| A. 3 •对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4 •正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5 •任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）. 1.以下乘积中（）是4阶行列式〃二aij 展开式中取负号的项. A a a a a A 、 11 22 33 44 • B> &14&23 為 42 ・ C 、耳 2*23*3£44 ・ a a a a 23 4i 32 i4 . 1 2.行列式 o 4 3中元素a 的代数余子式是（ 0 3 0 3 1 4 A. R.- C.- D. -2 4 -2 4 0 3 3 •设A,B 都是n 阶矩阵, A 、r (A) +r (B) < n. C 、A=0 或 B=0. 则正确的是 B 、A=0. D 、 4•下列向量组中，线性无关的是（）. A 、 {0}・ B> {0a, P}. C 、 {01,02, 11) ,%},其中％ =m D 、 {a 1。2, | | ,% },其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合 5. 设A 是n 阶矩阵且r （A ） =r c n,则A 中（）・ A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关. C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组. D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出. 6. 同的特征值是A 与对角阵相似的（ n 阶矩阵A 具有n 个不）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 2.若两个向量组等价, 则它们包含的向量个数相同. 若 AB =0, ) 1 4 0 3

(完整word版)高等代数期中考试题答案

高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、___1___，__1/a__ 2、______3_． 3、若 4、 (n+1)类 5、___n-r__ 二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A 三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=101110111A 于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分) （2）⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC 即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。 3、所以解空间的维数是2，它的一组基为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2；而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。

2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示，则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ，若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ，这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。于是11111-----=r r r r r r a a a a a ααβα 。故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示，即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示，从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。 3、证：设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基。显然)(),...,(),(21n L L L ααα都是V 的一维子空间，且 ),...,,()(...)()(2121n n L L L L αααααα=+++＝V 又因为)dim ())(dim (...))(dim ())(dim (21V L L L n =+++ααα 故 )(...)()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=。 4、证：因为1V ，2V 非平凡的子空间，故存在1V ∉α，如果2V ∉α，则命题已证。设2V ∈α，则一定存在2V ∉β，若1V ∉β，则命题也得证。下设1V ∈β，于是有21,V V ∈∉αα及1V ∈β，2V ∉β，因而必有21,V V ∉+∉+βαβα。若1V ∈+βα，又1V ∈β，则由1V 是子空间，必有1V ∈α，这与假设矛盾，即∉+βα1V ，同理可证2V ∉+βα，证毕。

高等代数1期末考试试卷

第一学期高等代数Ⅰ(A 卷) 一、选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1. 设()[],f x P x ∈ 假如α是()f x 的一阶导数()f x '的m 重根, 则（） A . α是()f x 的1m +重根 B . α不是()f x 的1m +重根 C . α也许是()f x 的1m +重根 D . α是()f x 的单根 2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵*732537425A --⎛⎫ ⎪ =- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A =（） A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对 3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（） A . 0A ≠ B . ()R A n = C . 方程组0Ax =有非零解 D . A 的行（列）向量组线性无关 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（） A . A B A B +=+ B . AB BA = C . ()T T T AB B A = D . ()T T T A B A B +=+ 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不一样的解向量，则 0AX = 的通解为（）

A . 1k α B . 2k α C . 12()k αα+ D . 12()k αα- 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 . 2. 设,A B 均为3阶方阵，且1 ,12 A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵, 则12A B *-= . 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=通过初等行变换化为103120 11010001100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ，那么向量组 12345,,,,ααααα的秩为，它的一种极大线性无关组为 . 4. 当x = 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=- 线性表出. 5. 若二次型222 123123121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的，则t 的取值范围为 . 三、鉴别题（本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”） 1. 每一种多项式均有唯一确定的次数. （） 2. 有理系数多项式()f x 没有有理根，则()f x 在有理数域上不可约. （） 3. n 级排列中奇排列的个数为 2 ! n 。（） 4. 下列矩阵中: 100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101, ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛100110101, ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-200011001,

高等代数试题附答案

科目名称：高等代数姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题每小题5分,共25分 1、在[]X P 中,向量21x x ++基23,1,12+--x x x 的坐标为 ; 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为 ,一个最大无关组为 .; 3、维数公式如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间,那么 ; 4、假设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ,特征向量分别为 ; 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题每小题2分,共20分 1、如果r a a a ,,,21 线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合; 2、在][x P 中,定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0,是一固定的数,那么变换A 是线性变换; 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间; 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数; 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量,那么δ是4R 到自身的线性变换;其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ; 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量; 7、若矩阵A 与B 相似,那么A 与B 等价; 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; 9、在)(2R M 中,若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成,那么W 是)(2R M 的子空间; 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量; 三、明证题每小题××分,共31分

高等代数试题

复习提纲一、填空题 1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是 2. 实二次型()()31212 3222 13212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为 3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是 4．设q p ,是两个实数，在2 R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为 2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是 5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2 R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为 ()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为 7．设A 是实对称矩阵，且E A =2 ，则A 是矩阵. 已知二次型31212 322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 . 8．设有3 R 的子空间(){} R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= . 9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2 R 中的两组基，则从基2 1,ηη到基21,εε的过渡矩阵为，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 10. 在欧式空间4 R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα, = ，两向量的夹角 β,= . 11. 设3 R 的子空间(){} R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .

高等代数试题

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