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2018年广东省高考数学二模试卷(理科)

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知x，y∈R，集合A={2,?log3x}，集合B={x,?y}，若A∩B={0}，则x+y=()

A.1

B.0

C.1

D.3

2. 若复数z1=1+i，z2=1?i，则下列结论错误的是（）

A.z1?z2是实数

B.z1

是纯虚数

C.|z14|=2|z2|2

D.z12+z22=4i

已知a→=(?1,?3)，b→=(m,?m?4)，c→=(2m,?3)，若a→?//?b→，则b→?c→=( )

A.?7

B.?2

C.5

D.8

4. 如图，AD^是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（）

A.π16

B.3

C.π

D.1

5. 已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠?1，且a5+a4=3(a3+a2)，则√a1a2a3?a9

9=()

A.?9

B.9

C.?81

D.81

6. 已知双曲线C:x2

a2?y2

=1(a>0,?b>0)的一个焦点坐标为(4,?0)，且双曲线的两条

渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（）

A.x2

8?y2

B.x2 16?y2

C.y2

8?x2

D.x2

8?y2

=1或y2

?x2

7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.8π+6

B.6π+6

C.8π+12

D.6π+12

8. 设x ，y 满足约束条件{xy ≥0

|x +y|≤2

，则z =2x +y 的取值范围是（）

A.[?2,?2]

B.[?4,?4]

C.[0,?4]

D.[0,?2]

9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人–宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（） A. B.

C. D.

10. 已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1=15，且满足(2n ?5)a n+1=(2n ?3)a n +4n 2

16n+15，已知n，m∈N+，n>m，则S n?S m的最小值为（）

A.?49

4B.?49

C.?14

D.?28

11. 已知菱形ABCD的边长为2√3，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A?BD?C的余弦值为?1

，则该四面体ABCD外接球的体积为（）

A.28√7

3π B.8√6π C.20√5

π D.36π

12. 已知函数f(x)=e x?ln(x+3)，则下面对函数f(x)的描述正确的是（）

A.?x∈(?3,?+∞)，f(x)≥1

B.?x∈(?3,?+∞)，f(x)>?1

C.?x0∈(?3,?+∞)，f(x0)=?1

D.f(x)min∈(0,?1)

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π

个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．

已知a>0，b>0，(ax+b

x )6展开式的常数项为5

，则a+2b的最小值为________．

已知函数f(x)=log2(4x+1)+mx，当m>0时，关于x的不等式f(log3x)<1的解集为________．

设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=

8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则

S△ABQ

S△ABO

=________．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=60°，c=8．

（1）若点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=1

3BC，AN

=2√3，求AM的值；

（2）若b=12，求△ABC的面积．

如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．

（1）证明：平面ABCD⊥平面EDCF；

（2）求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．

经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：

为了研究该商品购买单价的情况，调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．

已知某经销商下一年购买该商品的单价为x （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率．

（1）求

x 的平均估计值．

（2）该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购买单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为

已知椭圆C 1:

x 28

+y 2

b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点F 2也为抛物线C 2:y 2=

8x的焦点．

（1）若M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为(1,?1)，求直线MN的斜率；（2）若过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线

段AB，CD的长分别为m，n，证明1

m +1

是定值．

已知f′(x)为函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+2f(0)e x?f′(0)x．

（1）求f(x)的单调区间；

（2）当x>0时，af(x)

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3

+√3t

y=a+√3t

（t为参数），圆C的标准方程

为(x?3)2+(y?3)2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和圆C的极坐标方程；

（2）若射线θ=π

与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．

[选修4-5：不等式选讲]

已知f(x)=|mx+3|?|2x+n|．

（1）当m=2，n=?1时，求不等式f(x)<2的解集；

（2）当m=1，n<0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．

参考答案与试题解析

2018年广东省高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

【答案】

【考点】

交集及其运算

【解析】

根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】

A∩B={0}；

∴0∈A，0∈B；

∴log3x=0；

∴x=1，y=0；

∴x+y=1．

【答案】

【考点】

复数的运算

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．

【解答】

∵z1=1+i，z2=1?i，

∴z1?z2=1?i2=2，故A正确；

z1 z2=1+i

1?i

=(1+i)2

(1?i)(1+i)

=?i，故B正确；

|z14|=|z1|4=4，2|z2|2=4，故C正确；

z12+z22=(1+i)2+(1?i)2=0，故D错误．

【答案】

【考点】

平行向量的性质

【解析】

根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法则，计算即可．【解答】

解：a→=(?1,?3)，b→=(m,?m?4)，c→=(2m,?3)，

若a→?//?b→，则?1×(m?4)?3×m=0，

解得m =1， ∴ b →

=(1,??3)

c →=(2,?3)，

b →

?c →

=1×2+(?3)×3=?7．

故选A . 4.

【答案】 D

【考点】

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】

根据图象的关系，求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】

连结AE ，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，

将弓形①移动到②的位置，则阴影部分将构成一个直角三角形，

则阴影部分的面积为正方形面积的1

4，则向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率P =1

4， 5.

【答案】 B

【考点】

等比数列的性质【解析】

等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠?1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)，可得a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+?…+8=q 4×9，代入√a 1a 2a 3?a 99=q 4．即可得出．【解答】

等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠?1，且a 5+a 4=3(a 3+a 2)， ∴ a 2q 3+a 2q 2=3(a 2q +a 2)，化为：q 2=3．

由等比数列的性质可得：a 1a 2……a 9=q 1+2+?…+8=q

8×(8+1)

=q 4×9

则√a 1a 2a 3?a 99=√q 4×99

=q 4=9．

【答案】 A

【考点】双曲线的特性【解析】

由题意可得c =4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为?1，可得a =b ，解方程可得a ，b 的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】

双曲线C:x 2

a 2?y 2

b 2=1(a >0,?b >0)的一个焦点坐标为(4,?0)，

可得c =4，即有a 2+b 2=c 2=16，

双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y =b

a x 和直线y =?b

a x 垂直，可得a =

b ，

解方程可得a =b =2√2，则双曲线的方程为x 28

y 28

=1．

【答案】 B

【考点】

由三视图求体积【解析】

由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的表面积即可．【解答】

几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径相同为1，圆柱的高为3，

几何体的表面积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π． 8.

【答案】 B

【考点】简单线性规划【解析】

作出约束条件{

xy ≥0

|x +y|≤2 所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y =2x 可得结论．【解答】

作出约束条件{

xy ≥0

|x +y|≤2

所对应的可行域（如图阴影）变形目标函数可得y =?2x +z ，平移直线y =?2x 可知当直线经过点A(?2,?0)时，目标函数取最小值?4 当直线经过点B(2,?0)时，目标函数取最大值4，故z =?2x +y 的取值范围为[?4,?4]． 9.

【答案】 C

【考点】程序框图【解析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】

由已知中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，

由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n ≤64，

而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n =2n ?1得：S n+1=2n+1?1=2S n +1，故循环体内S =1+2S ， 10.

【答案】 C

【考点】数列递推式【解析】

由等式变形，可得{a

2n?5}为等差数列，公差为1，首项为?5，运用等差数列的通项公式

可得a n ，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n ，讨论n 的变化，S n 的变化，僵尸可得最小值．【解答】

∵ (2n ?5)a n+1=(2n ?3)a n +4n 2?16n +15，

∴ a n+1

2n?3

?a n 2n?5=1，a

1?3

=?5．可得数列{a

2n?5}为等差数列，公差为1，首项为?5．

∴ a n

2n?5=?5+n ?1=n ?6，

∴ a n =(2n ?5)(n ?6)=2n 2?17n +30．

∴ S n =2(12+22+……+n 2)?17(1+2+……+n)+30n =2×n(n +1)(2n +1)6?17×n(n +1)

+30n

4n 3?45n 2+131n

．

可得n =2，3，4，5，S n 递减；n >5，S n 递增，

∵ n ，m ∈N +，n >m ，

S 1=15，S 2=19，S 5=S 6=5，S 7=14，S 8=36， S n ?S m 的最小值为5?19=?14， 11.

【答案】 B

【考点】

二面角的平面角及求法【解析】

正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】

如图所示，取BD 中点F ，连结AF 、CF ，

则AF ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴ ∠AFC 是二面角A ?BD ?C 的平面角，过A 作AE ⊥平面BCD ，交CF 延长线于E ，

∴ cos∠AFC =?1

3，cos∠AFE =1

3，AF ＝CF =√(2√3)2?(√3)2=3， ∴ AE ＝2√2，EF ＝1，

设O 为球，过O 作OO′⊥CF ，交F 于O′，作OG ⊥AE ，交AE 于G ，

设OO′＝x ，∵ O′B =2

3CF ＝2，O′F =1

3CF =1，

∴ 由勾股定理得R 2＝O′B 2+OO ′2＝4+x 2＝OG 2+AG 2＝(1+1)2+(2√2?x)2，解得x =√2，∴ R 2＝6，即R =√6，

∴ 四面体的外接球的体积为V =4

3πR 3=4

3π×6√6=8√6π．

12.

【答案】 B

【考点】

利用导数研究函数的单调性【解析】

本题首先要对函数f(x)=e x ?ln(x +3)进行求导，确定f′(x)在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x ∈(a,?b)时，利用f′(a)f′(b)<0确定导函数的极值点x 0∈(?1,??1

2)从而．得到x =x 0时是函数f(x)的最小值点．【解答】

因为函数f(x)=e x ?ln(x +3)，定义域为(?3,?+∞)，所以f′(x)=e x ?1

x+3，易知导函数f′(x)在定义域(?3,?+∞)上是单调递增函数，又f′(?1)<0，f′(?1

2)>0，

所以f′(x)=0在(?3,?+∞)上有唯一的实根，不妨将其设为x 0，且x 0∈(?1,??1

2)，则x =x 0为f(x)的最小值点，且f′(x 0)=0，即e x 0

x 0+3

，两边取以e 为底的对数，

得x 0=?ln(x 0+3) 故f(x)≥f(x 0)=e

x 0

?ln(x 0+3)=1

x 0+3

+x 0，因为x 0∈

(?1,??1

2)，所以2

2，

故f(x)≥f(x 0)=1

x 0

+3+(x 0+3)?3>2+12?3=?1

，即对?x ∈(?3,?+∞)，都有f(x)>?1

2．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】 ?π 【考点】

函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】

根据三角函数图象平移法则，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】

函数f(x)=2sin(2x +φ)(φ<0)的图象向左平移π

3个单位长度，得f(x +π

3)=2sin[2(x +π

3)+φ]=2sin(2x +φ+

2π3)的图象，

∴ g(x)=2sin(2x +2π3

+φ)；

又g(x)是偶函数，

∴ 2π

3+φ=π

2+kπ，k ∈Z ； ∴ φ=?π

6+kπ，k ∈Z ；又φ<0，∴ φ的最大值是?π

6．【答案】 2

【考点】二项式定理的应用【解析】

写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，可得ab =1

2，再由基本不等式求a +2b 的最小值．【解答】

(ax +b

x )6展开式的通项为T r+1=C 6r ?(ax)6?r ?(b

x )r =a 6?r ?b r ?C 6r

?x 6?2r ，

由6?2r =0，得r =3．

∴ a 3b 3?C 63=5

2，即ab =1

2．

∴ a +2b ≥2√2ab =2，当且仅当a =2b ，即a =1，b =1

2时，取“=”． ∴ a +2b 的最小值为2．【答案】 (0,?1) 【考点】

对数函数的图象与性质【解析】

利用单调性求解即可．【解答】

函数f(x)=log 2(4x +1)+mx ，

当m >0时，可知f(x)时单调递增函数，当x =0时，可得f(0)=1，

那么不等式f(log 3x)

x >0

log 3x <0 ，解得：0

【考点】抛物线的求解【解析】此题暂无解析【解答】

解：方法一：画出对应的图，

设AB 与OP 的夹角为θ，

则△ABQ 中AB 边上的高与△ABO 中AB 边上的高之比为

PQsin θ

OPsin θ=PQ

OP ， ∴ S △ABQ

△ABO =PQ OP =

y Q ?y P y P

y Q y P

?1．

设P (y 1

22p ,y 1)，则直线OP:y =y 1

y 1

22p

x ，

即y =

2p y 1

x ，

与y 2=8px 联立，可得y Q =4y 1，

从而得到面积比为4y

y 1

?1=3．

故答案为：3．

方法二：

记d(X,YZ)表示点X 到线段YZ 的距离，则S △ABQ

△ABO

d(Q,AB)d(O,AB)

|PQ||OP|

，

设|OQ|

|OP|=m ，P (x 0,y 0)，则OQ →

=mOP →

，

即Q (mx 0,my 0)．

于是y 02

=2px 0，(my 0)2=8pmx 0，故m =4，则|PQ|

|OP|=|OQ|?|OP||OP|

=4?1=3，

从而S △ABQ

△ABO

=3．

故答案为：3．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

【答案】

∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8

点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=1

3BC，AN

=2√3，

∴设BM=x，则AN=2√3x，

在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2?2×8×2xcos60°，解得x=4（负值舍去），则BM=4，

∴AM=√82+42?2×8×4×cos60°=4√3．

在△ABC中，由正弦定理得b

sinB =c

sinC

，

∴sinC=csinB

b =8×

√3

=√3

，

又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√6

，

则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√3

2×√6

×√3

=3√2+√3

，

∴△ABC的面积S=1

2bcsinA=48×3√2+√3

=24√2+8√3．

【考点】

三角形求面积

【解析】

（1）设BM=x，则AM=2√3x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．

（2）由正弦定理得b

sinB =c

sinC

，从而sinC=√3

，由b=12>c，得B>C，cosC=√6

，

从而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3√2+√3

，由此能求出△ABC的面积．【解答】

∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8

点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=1

3BC，AN

=2√3，

∴设BM=x，则AN=2√3x，

在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2?2×8×2xcos60°，解得x=4（负值舍去），则BM=4，

∴AM=√82+42?2×8×4×cos60°=4√3．

在△ABC中，由正弦定理得b

sinB =c

sinC

，

∴sinC=csinB

b =8×

√3

=√3

，

又b=12>c，∴B>C，则C为锐角，∴cosC=√6

，

则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=√3

2×√6

×√3

=3√2+√3

，

∴△ABC的面积S=1

2bcsinA=48×3√2+√3

=24√2+8√3．

【答案】

因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ?平面ABCD ，且AD ∩CD =D ，所以DE ⊥平面ABCD ．

又DE ?平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ．由已知DC?//?EF ，所以DC?//?平面ABFE ．

又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB?//?CD ．所以四边形ABCD 为等腰梯形．

又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ，令AD =1，

如图，以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ，则D(0,?0,?0)，A(1,?0,?0)， F(?12,?

√3

,?1)，B(0,?√3,?0)， ∴ FA →

2,??√3

2,??1)，DB

→=(0,?√3,?0)，DF →

=(?1

2,?√

2,?1)．

设平面BDF 的法向量为n →=(x,?y,?z)，

则{n →

?DB →

=√3y =0n →?DF →=?12x +√3

2y +z =0 ，取x =2，得n →

=(2,?0,?1)， cos

，n →

FA →

→|FA →|?|n →

=2×

√

=√5

．设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√5

．

所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√5

．

【考点】

平面与平面垂直直线与平面所成的角【解析】

（1）推导出AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ．由此能证明平面ABCD ⊥平面EDCF ．

（2）以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ，利用向量法能求出直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值．【解答】

因为AD ⊥DE ，DC ⊥DE ，AD 、CD ?平面ABCD ，且AD ∩CD =D ，所以DE ⊥平面ABCD ．

又DE ?平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ．由已知DC?//?EF ，所以DC?//?平面ABFE ．

又平面ABCD ∩平面ABFE =AB ，故AB?//?CD ．所以四边形ABCD 为等腰梯形．

又AD =DE ，所以AD =CD ，由题意得AD ⊥BD ，令AD =1，

如图，以D 为原点，以DA 为x 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ，则D(0,?0,?0)，A(1,?0,?0)， F(?12,?

√3

,?1)，B(0,?√3,?0)， ∴ FA →

=(32

,??√32

,??1)，DB →

=(0,?√3,?0)，DF →

=(?12

,?√32

,?1)．

设平面BDF 的法向量为n →

=(x,?y,?z)，

则{n →

?DB →

=√3y =0n →?DF →=?12

x +√3

y +z =0

，取x =2，得n →

=(2,?0,?1)， cos

FA →

→|FA →

|?|n →

=2×

=√5

．设直线与平面BDF 所成的角为θ，则sinθ=√5

．

所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为√5

．

【答案】解：（1）由题可知：

a ×0.2+0.9a ×0.36+0.85a ×0.24+0.8a ×0.12+ 0.75a ×0.1+0.7a ×0.04=0.873a ．

（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为 0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=1

2．

Y 的所有可能取值为5000，10000，15000，20000． P(Y =5000)=1

2×3

4=3

8，

P(Y=10000)=1

2×1

×3

=13

，

P(Y=15000)=1

2×C21×1

×3

，

P(Y=20000)=1

2×1

×1

．

∴Y的分布列为

E(Y)=5000×3

8+10000×13

+15000×3

+20000×1

=9375．

【考点】

离散型随机变量的期望与方差

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：（1）由题可知：

a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+ 0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．

（2）购买单价不高于平均估计单价的概率为

0.24+0.12+0.1+0.04=0.5=1

．

Y的取值为5000，10000，15000，20000．

P(Y=5000)=1

2×3

，

P(Y=10000)=1

2×1

×3

=13

，

P(Y=15000)=1

2×C21×1

×3

，

P(Y=20000)=1

2×1

×1

．

∴Y的分布列为

E(Y)=5000×3

8+10000×13

+15000×3

+20000×1

=9375．

【答案】

（1）解：因为抛物线C2:y2=8x的焦点(2,?0)，则c=2，b2=a2?c2=4，

所以C1：x2

8+y2

=1，

设M(x 1,?y 1)，N(x 2,?y 2)，则{x 1

+y 1

24=1,

x 2

y 224

=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2?x 2)

(y 1+y 2)(y 1?y 2)

=0，

由MN 的中点为(1,?1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，所以y 2?y 1

2?x 1

=?1

显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为?1

2. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2,?0)，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1

m +1

n =

√

=3√2

. 当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x ?2)(k ≠0)，

设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，联立{y =k(x ?2)

x 2

+2y 2=8 ，消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2?8k 2x +8k 2?8=0， Δ=(?8k 2)2?4(1+2k 2)(8k 2?8)=32(k 2+1)>0，所以x 1+x 2=

8k 21+2k

，x 1x 2=8(k 2?1)1+2k 2

，

所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=4√2(1+k 2)

1+2k 2

，同理可得n =4√2(1+k 2)

k 2+2. 所以1

n =

4√2

(

1+2k 21+k 2

k 2+21+k 2

3√2

，为定值. 【考点】椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】

（1）解：因为抛物线C 2:y 2=8x 的焦点(2,?0)，则c =2，b 2=a 2?c 2=4，所以C 1：

x 28

y 24

=1，

设M(x 1,?y 1)，N(x 2,?y 2)，则{x 1

+y 1

24=1,

x 2

y 224

=1, 两式相减得(x 1+x 2)(x 2?x 2)

(y 1+y 2)(y 1?y 2)

=0，

由MN 的中点为(1,?1)，所以x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，所以y 2?y 1

2?x 1

=?1

显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为?1

2. （2）证明：由椭圆的右焦点F 2(2,?0)，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1

m +1

n =

√

=3√2

当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k(x ?2)(k ≠0)，

设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，联立{y =k(x ?2)

x 2

+2y 2=8 ，消去y 化简整理得(1+2k 2)x 2?8k 2x +8k 2?8=0， Δ=(?8k 2)2?4(1+2k 2)(8k 2?8)=32(k 2+1)>0，所以x 1+x 2=8k 2

1+2k 2

，x 1x 2=

8(k 2?1)1+2k 2

，

所以m =√1+k 2√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=4√2(1+k 2)

1+2k 2

，同理可得n =

4√2(1+k 2)

k 2+2. 所以1

m +1

n =

√

2(1+2k 21+k 2

+k 2+2

1+k 2)=3√2

，为定值. 【答案】

由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=?1．因为f′(x)=2e 2x ?2e x ?f′(0)，

所以f′(0)=2?2?f′(0)，解得f′(0)=0．所以f(x)=e 2x ?2e x ，f′(x)=2e x (e x ?1)，

当x ∈(?∞,?0)时，f′(x)<0，则函数f(x)在(?∞,?0)上单调递减；当x ∈(0,?+∞)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0,?+∞)上单调递增．令g(x)=af(x)?e x +x =ae 2x ?(2a +1)e x +x ，根据题意，当x ∈(0,?+∞)时，g(x)<0恒成立． g′(x)=(2ae x ?1)(e x ?1)．

①当0

2，x ∈(?ln2a,?+∞)时，g′(x)>0恒成立，

所以g(x)在(?ln2a,?+∞)上是增函数，且g(x)∈(g(?ln2a)，+∞)，所以不符合题意；

②当a ≥1

2，x ∈(0,?+∞)时，g′(x)>0恒成立，

所以g(x)在(0,?+∞)上是增函数，且g(x)∈(g(0)，+∞)，所以不符合题意； ③当a ≤0时，因为x ∈(0,?+∞)，所有恒有g′(x)<0，故g(x)在(0,?+∞)上是减函数，

于是“g(x)<0对任意x ∈(0,?+∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0，即a ?(2a +1)≤0，解得：a ≥?1，故?1≤a ≤0．综上，a 的取值范围是[?1,?0]．【考点】

利用导数研究函数的单调性【解析】

（1）求出函数的导数，计算f(0)，求出f′(0)的值，求出函数的单调区间即可；

（2）令g(x)=af(x)?e x +x ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．【解答】

由f(0)=1+2f(0)，得f(0)=?1．因为f′(x)=2e 2x ?2e x ?f′(0)，

所以f′(0)=2?2?f′(0)，解得f′(0)=0．所以f(x)=e 2x ?2e x ，f′(x)=2e x (e x ?1)，