二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算

1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算

对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数

(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若

D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy ??σ=???

?

； （1）

若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有

21()

()

(,)(,)d

y c

y D

f x y d dy f x y dx ψψσ=??

??

．[1]

（2）

例1 计算2

2

D

y dxdy x ??

，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ??

≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以

利用公式（1）进行求解．

解 积分区域为x 型区域

()1D=,12,x y x y x x ??

≤≤≤≤????

则

22

2

1221x

x D

y y dxdy dx dy x x =???? 32

121

3x

x

y dx x ??= ????

y y=x

xy=1 D2

D1

x

O 2

1

1 2

图3

图1

2

51

133x dx x ??

=- ????

22

1

412761264

x x ??=+=

???

1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算

当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积

分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式

1

2

3

(,)(,)(,)(,)D

D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3）

进行计算，

例2 计算二重积分D

d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．

分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是

y 型区域，但是将可D 划分为

()(){}

12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤??

??=≤≤≤≤-均为x 型区

域，进而通过公式

（3）和（1）可进行计算．

解 D 划分为

()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤????

，

(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-

则

12

D D D d d d σσσ=+??????12230122x x x x dx dy dx dy -=+???? 120112322x x dx x dx ????

=-+-- ? ??????? 12

22013333442x x x ???

?=+-=???????

?

1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算

二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后

y

图

4

例 3

计算二重积分D

，其中D 为区

域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能

直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发

现当我们把积分区域划分为21211x y D x ?≤≤=?-≤≤?，2

2011y x D x ?≤≤=?-≤≤?两部分后，

被积函数在每一个积

分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．

解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中

21211x y D x ?≤≤=?

-≤≤?，2

2011

y x D x ?≤≤=?-≤≤? 由公式（3）则

1

2

D

D D =+

2

212

1

1

1

5

23

x x

dx dx π

--=+=

-????

2 利用变量变换法计算

定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域?一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在?内分别具有一阶连续

偏导数且它们的雅克比行列式()()()

,,0,x y J u v u v ?=≠?，(),u v ∈?．则

()()()()(,),,,,D

f x y d f x u v y u v J u v dudv σ?

=???? （4）

（4）式叫做二重积分的变量变换公式，

2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化

当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．

例4 求x y x y

D

e

dxdy -+??，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）

分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像?如图8所示，

根据二重积分的变量变换公式，

积分计算就简单了．

解 做变换()()

12:12x u v T y u v ?=+????=-?? ()1,02J u v =>

所以

1

2x y

u

x y

v

D

e

dxdy e dudv -+?

=????1012u v v v du e du -=??

()11

012

v e e dv -=

-? 1

4

e e --=

2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分

当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且

,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域?，然后根据二重积

分的变量变换公式（4）进行计算．

例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．

分析 D 的面积()D

D dxdy μ=??．实际是计算二重积分D

dxdy ??，其被积函数很简单，但是积分区域

却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y y

x x

αβ==，如果设2,y y u v x x ==，则有

,m u n v αβ≤≤≤≤，

解 D 的面积()D

D dxdy μ=??

作变换

2:u x v T v y u ?=????=??

，[][],,m n αβ?=? ()()4,,,.u

J u v u v v

=

∈? 所以

()()()22334433=6n m D n m u

dv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ?

--===??????． 例6 求23

3D

x dxdy y xy

+??

．22

:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2

,y u xy v x

==，它把xy 平面上的区域D 对

应到uv 平面上的矩形区域?．

解 令

2:u xy T y v x =???=

??

在变换T 作用下，区域D 的原像

(){},13,13u v u v ?=≤≤≤≤， ()1

,03J u v v

=

≠ 所以

233113D

x dxdy dudv y xy v uv v ?

=?++??

??()3311du

dv v v uv =+??2ln 23=．

2.3 利用极坐标变换计算二重积分

当被积函数含有()22f x y +、x f y ??

???

或

y f x ??

???

形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换

cos :sin x r T y r θ

θ

=??

=?，0,02θθπ≤<∞≤≤

但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .

（1）如果原点0D ?，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为

()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．

则有

()()()

()

21,cos ,sin r r D

f x y dxdy d f r r rdr β

θα

θθθθ=??

??

（5）

类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为

()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤

那么

()()()

()

2

21

1,cos ,sin r r r r D

f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=???

?

（6）

（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则?可表示成

()0r r θ≤≤，0θπ≤≤

则有

()()()

20

,cos ,sin r D

f x y dxdy d f r r rdr π

θθθθ=??

??

（7）

（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则?为

()0r r θ≤≤，αθβ≤≤

那么

()()()

,cos ,sin r D

f x y dxdy d f r r rdr β

θα

θθθ=??

??

（8）

例7

计算D

I =，其中D 为圆域：221x y +≤

分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐

标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤??=≤≤?

，可以达到简化被积函数的目的．

解 作变换

图 8

cos ,01

:sin ,02x r r T y r θθθπ

=≤≤??

=≤≤?， 则有

D

I =

21

d πθ=??

1

20

d π

θ?=??

202d π

θπ=

=?． 例8 计算二重积分D

ydxdy ??，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==

，以及曲线x =的平面区域．

积分区域D 与1D 分析 首先根据题意，画出积分区域，由于一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化

被积函数．

解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区

域，则有

1

1

D

D D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-????

??，

而

1

22

2

4D D ydxdy dx dy -+==????，

又

1:02sin ,

2

D r π

θθπ≤≤≤≤

故原式

1

2sin 0

2

sin D ydxdy d r rdr πθ

πθ=?????

4

2

8sin 3d ππθθ=

? 281cos 212cos 23422

ππθ

π

θ+??=-+=

?????． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分

与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：

cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞

??

=≤≤?

并且雅可比行列式(),J u v abr =

同样有

()(),cos ,sin D

f x y dxdy f ar br abrdrd θθθ?

=???? （9）

例9

计算D I =??，其中(

),0D x y y x a ????

=≤≤≤≤??????

分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换

cos ,01

:sin ,02

x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．

解 作广义极坐标变换

cos ,01

:sin ,02

x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，(),J u v abr =

由（9）知

D

I =

??12

00d π

θ=??

1

20

6

abc d abc ππ

θ==

??

3 某些特殊函数的计算

3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算

如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有

如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么

(),0D

f x y d σ=??

如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么

()()()1

2

,2,2,D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ

==??

????[3]

例10 计算2D

x ydxdy ??，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．

域，观察到

对称，且(),f x y 在值恒相等，然后再化限内的部分，D 关于

y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有

1

222D

D x ydxdy x ydxdy =???? 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式

1

22

2D

D x ydxdy x ydxdy =??

??1

200

2dy ydx =?

()31220213y y dy =+?(

)()

5

21

20

22

1115

15

y =+=

．

3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算

分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．

被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．

例11 求224D

x y dxdy +-??，其中D 为229x y +≤围成的区域．

分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得

22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．

解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即

221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤

在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式

224D

x y dxdy +-??

()()1

2

222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-????，

利用极坐标计算有

()()1

22

2

2

20

448D x

y dxdy d r rdr πθπ--=-=????

()()2

23

2

2

20

1

25442

D x

y dxdy d r rdr πθπ+-=-=

???? 故原式2541

822

πππ=+

=．

例12 求(),D

f x y dxdy ??,其中

()(),0,0,0,x y e

x y f x y -+?>>?=?

??其他

,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成

()0b a >>.

分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重

积分对区域的可加性再相加即得.

解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =U U . 在1D 上有 (),0f x y =,则

()1

,0D f x y dxdy =??.

因而

()

()

2

3

x y x y D D I e

dxdy e

dxdy -+-+=+????

()

()0

a b x

a

b x

x y x y a x

a

dx e

dy dx e dy ---+-+-=+??

??

a b a b ae be e e ----=-+-

12

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数 (,)f x y 在积分区域D 上连续时，若 D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=??? ? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2 D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 22 2 1221x x D y y dxdy dx dy x x =???? 32 121 3x x y dx x ??= ???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1

2 51 133x dx x ?? =- ???? 22 1 412761264 x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积 分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是 y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){} 12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 12 D D D d d d σσσ=+??????12230122x x x x dx dy dx dy -=+???? 120112322x x dx x dx ???? =-+-- ? ??????? 12 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后 y 图 4

计算下列二重积分

习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1) ??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1) ??D d y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域; (2)?? -+D d x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域. 3. 化二重积分??=D d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二 次积分), 其中积分区域D 是: (1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; (2)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域; (3)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}. 4. 改换下列二次积分的积分次序: (1)??y dx y x f dy 01 0),(; (2)??---221110),(y y dx y x f dy ; (3) ??--21222),(x x x dy y x f dx ; (4)??e x dy y x f dx 1ln 0),(; 5. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 6. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积. 7. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积. 8. 画出积分区域, 把积分??D dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D

二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月

二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.

二重积分(习题)

1 第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+= 1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 3222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有????=1 ),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 22R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分,

2 (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

二重积分(习题)

第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+= 1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 3222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标

欢迎下载 面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0+y x ,2 )][ln()ln(y x y x +<+,

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要 将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法

本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3． 例题解析 例1 计算??D xydxdy ,其中D 是由直线x y y x ===,1,2所围成的区域. 解:作出积分区域D 的图形 在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选 择先对 先定下 的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其

二重积分计算方法

1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区

域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为

高等数学习题详解-第8章 二重积分

习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3 ()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+? ?????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()23 01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域； (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域； (4) 2D x yd σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln D x yd σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σ y ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111 1 1 1 ()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 20 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-???? ? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 00193()()( )248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113.9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D x yd σ=?? (5) 4420104 1ln ln (ln ln )2(1)2110e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-= =-?????. (6) 1222241113 11 122222 119()()124642 x D x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=?? ????.

计算二重积分的几种方法

计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法. 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法 1 引言 本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。 2 积分的计算方法 2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法 定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ?∈，定积分 ()(),d c I x f x y dy =?存在，则累次积分 (),b d a c f x y dy dx ?????? ??也存在，且(,)(,)b d a c R f x y dxdy f x y dy dx ??=???? ?? ?? 证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是 011011i i n k k m a x x x x x b c y y y y y d --=<

6.9 在极坐标系下二重积分的计算-习题

1．把 (,)D f x y dxdy ??表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是 ⑴2 222 a x y b ≤+≤，其中0a b <<； 【解】如图，积分区域2 2 2 2 a x y b ≤+≤是圆环， 作变换cos sin x r y r θθ=??=? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 积分区域D 的边界2 2 2 2 a x y b ≤+≤变换为02θπ≤≤，a r b ≤≤， 即得 (,)D f x y dxdy ?? 20 (cos ,sin )b a d f r r rdr πθθθ=??。 ⑵22 2x y x +≤ 【解】如图，积分区域为圆心在(1,0)，半径为1的圆， 作变换cos sin x r y r θ θ=?? =? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 积分区域D 的边界2 2 2x y x +≤转换为2 2 ππθ- ≤≤ ，02cos r θ≤≤， 即得 (,)D f x y dxdy ?? c 22 2os (cos ,sin )a d f r r rdr θ π πθθθ-=?? 。 2．化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： ⑴ 2 3220 (x x dx f x y dy +? ； 【解】由二次积分 2 3220 (x x dx f x y dy +? 得积分区域D 的边界为X 型区域：

上曲线3y x =，下曲线y x =，左直边0x =，右直边2x =。 据此作出图形如下： 作变换cos sin x r y r θθ =?? =?，得积分函数22 ()()r y f x f =+， 上曲线3y x =转换为sin 3cos r r θθ=，即为3 πθ=， 下曲线y x =转换为sin cos r r θθ=，即为4 πθ=， 右直边2x =转换为sin 2r θ=，即为2 sin r θ =， 于是，积分区域D 的边界转换为 4 3 ππθ≤≤ ，2 0cos r θ ≤≤ ， 即得 2 322 ()x x dx f x y dy +? ? 23cos 0 4 ()d f r rdr π θπθ=?? 。 ⑵ 2 1 10 1(,)x x dx f x y dy --?? 【解】由二次积分 2 1 10 1(,)x x dx f x y dy --?? ，知积分区域D 的边界为X 型区域： 上曲线2 1y x =-，下曲线1y x =-，左直边0x =，右直边1x =， 据此作出图形如下： 作变换cos sin x r y r θ θ=?? =? ，得积分函数(,)(cos ,sin )f x y f r r θθ=， 上曲线2 1y x =-2 sin 1(cos )r r θθ=-，即为1r =， 下曲线1y x =-转换为sin 1cos r r θθ=-，即为1 sin cos r θθ = +，

二重积分习题

精心整理 第九章 二重积分 习题9-1 1、设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有????=1 ),(2),(D D d y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ;(II)??--D d y x R y σ2 2 2 ;(III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??=D d y x f I σ),(,??=1 ),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称, 且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0