傅里叶变换推导
2.3 快速傅立叶变换问题
1) 问题背景
在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。
那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：
∑-=--=-==1
0/21
,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π (1)
则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。 公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT 。现在我们来分析一下计算DFT 所需要的工作量。如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N 次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N 很大时，这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因，使得DFT 的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT 的计算时间？
1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT 的数学方法，大大减少了DFT 的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT 。鉴于DFT 的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT 结构的来源和FFT 的工作原理。
2） 傅立叶变换
如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出：
?∞
∞
---==1
,)()(/2i dt e t x f X T nift （2）
若对任意参数f ，上述积分都存在，则（2）式确定了一个函数X(f)，称为x(t) 的傅立叶变换。如果已知X(f) 则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x(t) ：
?∞
∞
--==1
,)()(/2i df e f X t x T nift （3）
若x(t) 和 X(f) 同时满足（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换对，记为)()(f X t x ?。。通常X(f) 是一个复函数，因此可以写成如下两部分：
i f I f R f X )()()(+= ， 1-=i （4）
式子中R(f) ，I(f) 分别是X(f) 的实部和虚部。将上式表示为指数形式：
)()()(f i e f X f X φ= 1-=i （5）
其中
)
()()(22f I f R f X += （6）
)
)()
((
)(1f R f I tg f -=φ
工程技术中，常将x(t) 看成一时间信号，相应的空间，称为时间域和空域；将其傅立叶变换X(f) 看成频率函数，相应的空间称为频域。)(f X 称为x(t) 的傅立叶谱，而)(f φ称为其相角，这在物理上是有良好背景的。的譬如此频率的的含义可以这样来理解：应用欧拉公式可将指数项表示成正弦-余弦的形式，如果把（2）式解释成离散项和的极限，则显然X(f)是包含了无限项正弦-余弦的和，而且f 的每一个值确定了所对应的正弦-余弦的频率。
在以后的叙述中，我们不妨用t 表示时间，用f 表示频率；同时用小写字母表示时间函数，并用相应的大写字母表示其傅立叶变换。
傅立叶变换可很容易地推广到二维情形。假设x(t , s)是连续的和可积的，且X(f , g)是可积的，则相应的傅立叶变换对如下：
?
?
∞
∞-∞
∞
-+--==1
,),(),(/)(2i dtds e s t x g f X T gs ft ni （7）
?∞
∞
-+-==1
,),(),(/)(2i dfdg e g f X s t x T gs ft ni （8）
3） 离散傅立叶变换
尽管傅立叶级数和傅立叶变换具有非常优美的数学结构，但并不实用，并为他们都无法用有限字长的计算机作逻辑上的运算。为此，我们必须建立傅立叶变换的数值方法，并由此导出DFT 数据结构的来源。
a. 傅立叶积分的离散化
由于傅立叶变换无法用数字计算机进行逻辑运算，工程分析中，通常采用抽样的方法，观测x(t)的一些离散值，然后利用数值积分将傅立叶变换离散化。 函数抽样是函数插值的逆过程，假定用取2N+1 个互相间隔为 t ?的节点的方法，当一个连续函数x(t) 离散化为的一个序列：
}),(),...,(),0(),(),...,({t N x t x x t x t N x ???-?-
于是当N 充分大时，有：
?
??--≈t
N t
N nift dt
e t x
f X 2)()( （9）
现在我们把（9）式中的求积函数当成周期为t N ?2的函数，以
N j t j ±±±=?,...2,1,0,为节点，对（9）式用复化梯形公式做数值积分得
∑-=?-??≈N
N
n t
nifn e
t n x t
f X 12)()( （10）
对f 进行离散化，取1,...2,1,0),/(-=?=N j t N j f ， 则上式可改写：
∑-=--=??≈?N
N n N nijn N j e t n x t t N j X 1/21,...,1,0,)()( （11）
这就是一维傅立叶积分的离散表达式。
b 离散傅立叶变换
在上面，我们普便的遇到了带有复指数乘积项的和式。实际上，这种特殊的
数据结构可利用以下更为一般的方式定义。
给定N 个实或复的数列{x(0), x(1),……x(N-1)}，定义
∑-=--=-==1
0/21
,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π （12）
为{x(k)}的离散傅立叶变换，简称DFT 。
我们指出，（11）式可以转化成上述一般形式。这说明（12）式与傅立叶变换之间存在内在的联系，渴望获得与连续傅立叶变换相类似的性质，事实上确实如此。下面我们就来做这件事。
首先说明，由（12）式确定的序列{X(n)}可以恢复为原序列{x(k)}。事实上，
在（12）式两边同乘以N
nijn e /2，并对n 从0 到n-1求和得：
∑∑
∑-=--=-==1
/)(21
1
/2)()(N k N
i k j n N n N n N
nji e k x e
n X π
π
∑∑-=--==1
/)(210
][)(N n n
N i k j n N k e k x π
N i k j n i
k j n N j
k k e e k x j Nx /)(2)(21
,011)
()(---≠=--+=∑ （13） 注意到（13）式的和式中分子部分为0，从而
∑-=-==1
/21
,...,1,0,)(1)(N n N nji N j e n X N j x π （14）
今后我们称（14）式是（12）式的逆变换，并称{x(k)}和{X(n)}为离散傅立叶变换对，简记为)()(n X k x ?离散傅立叶变换的这种可恢复性质，在工程技术中有着极为重要的应用。因为，可以通过抽样获得一组的离散值，并利用DFT 转换为另一组数据，通过对变换数据的修改以及逆变换，达到对原数据的修正。这也正是DFT 最具魅力的地方。
应用DFT 作数值分析，抽样也变得相当简单。这时，可以抽取函数的任一片断，而无需象傅立叶变换离散化那样做对称抽样。
4) 快速傅里叶变换
本节我们将把注意力集中在如何计算DFT 上。如果我们不考虑（12）式中的复指数部分的运算，则求解（12）式共需要N * N 次乘法和N * (N-1)次加法。显然当N 很大时，其工作量是相当可观的。为此，凯莱和卡柯提出了一种专门用于处理DFT 的快速算法(FFT), 大大减少了DFT 的计算时间。
充分理解FFT 的工作原理，这并不需要高深的数学知识，只要时刻的盯住DFT 的数据结构即可。为了便于理解，我们先从最简单的情形入手。
a FFT 直观发展
注意到（12）式可以表示成一个矩阵运算，而FFT 实际上是一个矩阵分解
算法，它对N 的要求有一定的限制，通常N 取成r
2，其中r 是正整数。
为了更加直观，这里我们假定r=2, N =4 ，并引进记号
1,/2-==-i e W N i N π （15）
则（12）式可改写为如下的矩阵形式：
??
??
???
????????? ??=??????? ??)3()2()1()0()3()2()1()0(946434
0464442
404
3
4241
40
404040404x x x x W W W W W W W W W W W W W W W W X X X X （16）
注意到1=kn
N W ，k 为整数，则（16）式还可简化为
???
???? ????????? ??=??????? ??)3()2()1()0(111111
1)3()2()1()0(1424
3424
04243
42414x x x x W W W W W W W W W X X X X （17） 上式以及以后的式子中没有把0
4W 写成1 ，完全是为了以后推广的需要。第二步
我们要做的是，把上述矩阵分解为两个矩阵的乘积：
??????? ????????? ?????????
?
?=??????? ??)3()2()1()0(0
1
00010
10
001
10010000100
1)3()2()1()0(24240
4043414240
4x x x x W W W W W W W W X X X X （18）
上述分解基于以后要讲到的FFT 算法理论，其中第一行和第二行的位置做了
变换，，这是FFT 本身所要求的。以后将会看到，这种交换有利于数据存储，成为输出倒置。今引进
??????? ????????? ?
?=??????? ??)3()2()1()0(0
1
0001010001)3()2()1()0(24240
4041111x x x x W W W W x x x x （19）
则
???????
?????????
?
?=??????? ??=??????? ??)3()2()1()0(10010000100
1)3()2()1()0()3()2()1()0(111134142
4
42222x x x x W W W W x x x x X X X X （20） 于是求解X(n)分成了两次矩阵运算。下面我们来分析一下这个过程的工作量。
计算)0(1x 需要的一个复数乘法和一个复数加法，即
)2()0()0(0
41x W x x += 这里没有用1代替0
4W 是因为在一般情况下这一项通常不为1。计算)1(1x 同样需
要一个复数乘法和一个复数加法。计算)2(1x 只需要一个复数加法，这是因为
0424W W -=，从而
)2()0()2()0()2(04241x W x x W x x -=+=
其中)2(0
4x W 在计算)0(1x 时已经计算过。同样的原因，计算)3(1x 只需要一个复数加法。
总结上述可知，计算)(1k x 共需4个复数加法和个2复数乘法。类似的，计算)(2k x 也需要4个复数加法和2个复数乘法。于是计算X(n) 共需要8个复数加法和4个复数乘法。
如果直接利用（12）式进行计算，则共需要16个复数乘法和12 个复数加法。显然，上述分解算法具有更高的效率，这正是FFT 算法的思想。
更一般的，对r
N 2=，FFT 算法将把原矩阵分解为r 个 N N ? 矩阵的乘积，每个因子矩阵具有最小数据的复数加法和复数乘法运算。如果推广上述结果，则
当r
N 2=时，FFT 需要Nr/2个复数乘法和Nr 个复数加法。相应的，直接算法需要2
N 个复数乘法和 N(N-1) 个复数加法，两者的工作量之比为：乘法2N/r ，加法 （7.N-1）/r ，如果N=1024 ，则FFT 算法的乘法运算次数将降低为直接法的二百分之一，显然工作量节省是相当可观的。
b 以2为底的FFT 算法。
假定 r
N 2=，则对任何不大于N 的数都可以用不超过r 位的二进制数表示。譬如，当N=4 时，则十进制数0，1，2，3 可以分别表示成二进制数00，01，10，11。更一般的，当n,k < N ，可以用二进制重记为
??
???+++==+++==------)2......2(),......,()2......2(),......,(11101101110110r r r r r r k k k k k k k n n n n n n n （21）
于是（12）式可以改写为
p
N k r k k r W k k k x n n n X r ∑∑
∑=-==--=
1
1101
10110110),......,(......),......,( （22）
其中
)2......2)(2......2(11
101110----++++++=r r r r k k k n n n p 。 利用b N a N b a N
W W W +=+，则p N W 可改写成 n
k N
n
k N
n
k N
p N W W W W r r r r 022
11
(22)
----= （23）
现在我们来考虑（23）式中的每一项，并利用
12==Nl
N l N W W r
以简化之。首先考虑（23）式中的第一项，得
)2......2(2211101111------+++=r r r r r r n n n k N
n k N
W W
)
2(22221211101......------=r r r r r r r r k n N
k n N
k n N
W
W W
1
01
2--=r r k n N
W
类似的，对于（23）式中的第二项，有
)
2
(22)2(22213
2
22
102
22
......--------+=r r r r r r
r r r r k n N
k n N
k n n N
n
k N
W W W W
2
102
)2(2
--+=r r k n n N
W
更一般的可得
)
2......2(221110------+++=j j j r j r j r j k n n n k N
n
k N
W W （24）
应用（24）式，（21）式可以改写为
∑∑
∑=-==--=
1
1101
10110110)
,......,(......),......,(r k r k k r k k k x n n n X
(2)
102
1
01
)2(22
----+?r r r r k n n N
k n N
W W
)
2......2(11
100--+++?r r n n n k N
W
利用分次求和，并对中间结果进行标号，上式可进一步改写为如下过程：
????
????
???
???
??
???=+==+==+==---+++----+++=----+--+=----=--------------∑∑∑).,......,,(),......,(),......,,1(),......,,0(),......,,(),......,,(.........
),1,,......,(),0,,......
,(),,......,(),,,......
,()1,,......,()0,,......,(),......,(),,......
,(012110)2......2(021021)2......2(100201012)
2(20310103101)2(21
00210013102221021
021
1100210111100
111001022
1022011
011n n n x n n n X W n n x n n x W n n k x n n n x W n k k k x n k k k x W n k k k x n n k k k x W k k k x k k k x W k k k x n k k k x r r r r n n n N r r r r k n n n N
k r r r r r n n N r r k n n N k r r n N r r k n N
k r r r r r r r r r r r r r r ， （25）
上述递推方程正是凯莱和卡柯关于FFT 算法的原始公式，注意到（25）式共有r 重和式，每重和式共有N 个方程，每个方程仅需一次乘法运算，因此FFT
算法的总计算量为Nr 次乘法和Nr 次加法。如果同时考虑到2
/N p N p N W W +-= ，则乘法的运算此书还可减少一半。
c FFT 的数据结构
在公式（25）中，我们引进了中间变量)(),......,(),(21k x k x k x r ，然而实际编程
运算时并不需要这些数组。譬如在（25）式中计算)0,,......
,(1101-r k k k x 和)1,,......,(1101-r k k k x 时，只用到了)0,,......,(110-r k k k x 和)1,,......,(110-r k k k x 的值，且在计算其他分量时将不再使用这两个数据点。一次，我们依然可以把
)0,,......,(1101-r k k k x 和)1,,......,(1101-r k k k x 存放在)0,,......,(110-r k k k x 和
)1,,......,(110-r k k k x 所在的单元内。对于其他中间变量的存储也是如此，并不需要辅助内存，但最终结果X(n) 将在第 'n 单元找到。其中
)2......2(1110--+++=r r n n n n ，)2......2('0121n n n n r r r ---+++=
例如当N = 4时，由于0，1，2，3 克表示成二进制数00，01，10，11 ，于是
??????
?============),3()1,1()1,1()3(),1()1,0()1,0()2(),2()0,1()0,1()1(),
0()0,0()0,0()0(22222222x x X X x x X X x x X X x x X X
这就是为什么（18）式中X(1)和X(2)错位的原因。
以上我们给出了以2为底FFT 算法。FFT 算法还可以以其他的自然数为底进行计算，读者可以自己推导。
5) 算例： 考虑函数：
令x(k)=y(0.5+0.25*k),k=0,1,2,3 ，则得到如下的离散抽样函数：
利用这四个抽样值进行傅立叶变换如下：
13
)3()2()1()0()()0(3
00=+++==∑=x x x x e k x X k
i
e e e e e k x X i i i k ki +-=+++==---=-∑24432)()1(2/32/0304/2ππππ
1
4432)()1(3203
04/4-=+++==---=-∑i i i k ki e e e e e k x X ππππ
i
e e e e e k x X i i i k ki --=+++==---=-∑24432)()1(2/932/303
4/6ππππ
编程计算请读者自己完成。
希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知
傅里叶变换推导
2.3 快速傅立叶变换问题 1) 问题背景 在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号 x(t)先通过取样离散化为一列数值脉冲信号x(0), x(1), …… ,然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此，传输这个编码信号就需要长时间的占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。 那么能否经过适当处理是使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？的经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理： ∑-=--=-==1 0/21 ,1,...,1,0,)()(N k N nki i N n e k x n X π (1) 则所得到的新序列X(0), X(1) , ……将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。 公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT 。现在我们来分析一下计算DFT 所需要的工作量。如果我们不考虑公式（7.1）中指数项的运算，那么计算其每一个点X (n) 需要N 次复数乘法和N-1次的复数加法。显然当N 很大时，这个工作量也非常巨大。正是由于这个原因，使得DFT 的应用范围在过去很长的时间里受到了严格的限制。注意到公式（1）是非常有规律性的，那么能否利用这种规律性来降低DFT 的计算时间？ 1965年，凯莱和塔柯的提出了一种用于计算DFT 的数学方法，大大减少了DFT 的计算时间，同时又特别适用于硬件处理，这就是所谓的快速傅里叶变换，简称FFT 。鉴于DFT 的数据结构可以通过傅立叶变换的离散化获得，亦可通过三角插值得到，而本质上又同连续傅里叶分析有着极为密切的关系。下面我们从傅立叶级数级数和傅立叶积分入手，导出DFT 结构的来源和FFT 的工作原理。 2） 傅立叶变换 如果x(t)是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅立叶变换可由下式给出： ?∞ ∞ ---==1 ,)()(/2i dt e t x f X T nift （2）
常用傅里叶变换表
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
二维傅里叶变换推倒及理解
2D 傅里叶变换理解心得 一、 目的 完整推倒2D 傅里叶变换公式，加深对2D 傅里叶变换公式的理解。 二、 内容 2维傅里叶变换，针对的信号函数是2维空间平面内的函数，2维傅里叶变换也有四种不同的形式。 1、 连续周期时域信号<---->非周期离散频谱。2D_CFS (,)XY f x y 表示2维周期连续信号，可以理解为一幅连续的图像信号（这里(,)XY f x y 可以为复数信号，但工程实践中常为实信号），(,)F k l 表示2维频谱信号，其中,k l 取-∞ +∞上的整数。 00000000002()2()00 00 2()2()0000 2()00 (,).(,).(,).1(,).,,-+X Y X Y j ku x lv y j ku x lv y XY XY X Y X Y j ku x lv y j ku x lv y X Y j ku x lv y XY f x y e dxdy f x y e dxdy F k l e e dxdy dxdy f x y e dxdy k l XY πππππ-+-++-+-+= = = ∞ ∞?? ?? ?????? 取上的实整数 其中X,Y 为(,)XY f x y 在x 坐标和y 坐标上各自的最小正周期。00,u v 表示在x 坐标和y 坐标上各自的基频率，这里有0011 ,u v X Y = =，,k l 取-∞+∞上的整数，对应不同的频率成分，(,) F k l 的图像为离散的，且在x 坐标和y 坐标上的频率间隔分别为0011 ,u v X Y = =。 002() (,)(,).,,-+j ku x lv y XY k l f x y F k l e x y π+∞ +∞ +=-∞=-∞ = ∞∞∑ ∑ 取上的实数 这里，(,)F k l 为复数。 所以得到2D_CFS （2维连续傅里叶级数） 00002() 002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+X Y j ku x lv y XY j ku x lv y XY k l f x y e dxdy F k l k l XY f x y F k l e x y ππ-++∞+∞ +=-∞=-∞????=∞∞???=∞∞?? ?? ∑∑取上的实整数 取上的实数
傅里叶变换的对称性证明
一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性 已知： [()]()j DTFT x n X e ω= **[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出) 共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和： ()()()()()()()()() **12 12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ???=+-????=+? ???=--? ??? ()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω ωωωωωωωω--???=+?? ??=+? ???=-? ??? 求证： [Re(())]() [Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω ?=?=? or [()]Re(()) [()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω ?=?=? [()]Re(()) [()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω ?=?=? or [Re(())]() [Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω ?=?=? 证明： ()()()[][] ** 1 21()()21 2Re(())2 Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-?? = +? ???= +??== ()()( )[][]* * 121()()2 1 2I m (())2 I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x n ωω ω- ??= -? ? ??= -??==
图像的二维傅里叶变换
图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义 图像傅立叶变换 图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示： 计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。 下面展示了一副图像的二维FFT变换：
频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。 将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。
上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。 行N/2和列N/2将频域分成四块。对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。 为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。 h和k的范围在-N/2到N/2-1之间。 通常I(n,m)是实数，F(0,0)总是实数，并且F(h,k)具有对偶性。 如果写成指数形式，即: -------------------------------- 图像傅立叶变换的物理意义
离散傅里叶变换性质证明
1. [][]()()j j ax n by n aX e bX e ωω+?+ Proof: ([][])[][]()() j n j n j n j j ax n by n e a x n e b y n e aX e bX e ωωωωω∞ --∞ ∞∞ ---∞-∞ +=+=+∑∑∑ 2. (1)[]()d j n j d x n n X e e ωω--? Proof: ()[][].()d d j n d n j n n j n d n j n j x n n e x n n e e X e e ωωωωω∞-=-∞∞---=-∞--=-=∑ ∑ (2) 00()[]()j n j e x n X e ωωω-? Proof: 000()()[][]()j n j n j n j n n e x n e x n e X e ωωωωωω∞∞ ----=-∞=-∞==∑ ∑ 3. []()j x n X e ω--? Proof: ()[][]()j n j n j n n x n e x n e X e ωωω∞∞ ---=-∞=-∞-=-=∑ ∑ if []x n is real ()j X e ω-=*()j X e ω 4. ()[]j dX e nx n j d ωω? Proof: ()[]() ()[]()[]j j n n j j n n j j n n X e x n e dX e jn x n e d dX e j nx n e d ωωωωωωωω∞-=-∞∞-=-∞∞-=-∞=?=-?=∑∑∑
5. (1)22 1|[]||()|2j n x n X e d πωπωπ∞ =-∞-=∑ ? Proof: 2*2221 |()|21 ()()21 [][]21 |[]|21 |[]| 2|[]|j j j j n j n n n n n n X e d X e X e d x n e x n e d x n d x n d x n πωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞=-∞ -∞=-∞ -∞=-∞ =====??∑∑?∑?∑ ?∑ (2) **1[][]()()2j j n x n y n X e Y e d π ωωπωπ∞=-∞-=∑ ? Proof: *****1 ()()21 ()()21 [][]21[][]21 [][] 2[][] j j j j j n j n n n n n n n X e Y e d X e Y e d x n e y n e d x n y n d x n y n d x n y n πωωππωωππωωπππππωπ ωπ ωπ ωπ ωπ---∞∞-=-∞=-∞-∞ =-∞-∞ ∞=-∞ =-∞-∞=-∞====??∑∑?∑?∑ ∑?∑ 6. []*[]()()j j x n y n X e Y e ωω? Proof:
傅里叶变换性质证明
2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是
图像傅里叶变换详解
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
傅里叶变换性质证明
２。6 傅里叶变换得性质 2。6.1线性 若信号与得傅里叶变换分别为与,??? 则对于任意得常数a与b,有? ? 将其推广,若,则??? 其中为常数,n为正整数。? 由傅里叶变换得定义式很容易证明线性性质、 ?显然傅里叶变换也就是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性与叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号得傅里叶变换也乘以相同得常数a,即 ???叠加性表明,几个信号之与得傅里叶变换等于各个信号得傅里叶变换之与?? ２．6．2 反褶与共轭性 设f(t)得傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号得傅里叶变换。 (1)反褶 ｆ(-t)就是ｆ(ｔ)得反褶,其傅里叶变换为 (２)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设ｇ(t)=f(-t),h(t)＝g*(t),则 在上面三条性质得证明中,并没有特别指明f(t)就是实函数还就是复函数,因此,无论f(t)为实信号还就是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质
2。6.3 奇偶虚实性 已知f(t)得傅里叶变换为。在一般情况下,就是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)得虚实性来讨论Ｆ()得虚实性、 (1) f(t)为实函数?对比式(２－33)与(2—34),由ＦT得唯一性可得 (1、1)f(t)就是实得偶函数,即ｆ(ｔ)=f(—t) X()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时X()=0,于就是??可见,若f(ｔ)就是实偶函数,则F()也就是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 (１、2)ｆ(t)就是实得奇函数,即-f(t)＝f(-t)?Ｒ()得积分项就是奇函数,而奇函数在对称区间内得积分为零,故 这时R()=0,于就是 可见,若ｆ(t)就是实奇函数,则F()就是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来瞧瞧一般实信号(即可能既不就是偶信号,又不就是奇信号,反正不清楚,或者说就是没有必要关心信号得奇偶特性)得FT频谱特点、
常用函数傅里叶变换
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
二维离散傅立叶变换
图像的二维离散傅立叶变换 一、实验目的 掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质 二、实验要求 1) 建立输入图像，在64?64的黑色图像矩阵的中心建立16?16的白色矩形图像点阵， 形成图像文件。对输入图像进行二维傅立叶变换，将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。 2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像（三维、中 心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。 3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸（40?40，4?4），再进行变换，将原始图像及变 换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。 三、实验仪器设备及软件 HP D538、MATLAB 四、实验原理 设),(y x f 是在空间域上等间隔采样得到的M ×N 的二维离散信号，x 和y 是离散实变量，u 和v 为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为 ∑∑-=-=+-=1010)],(2exp[),(1),(M x N y N yu M xu j y x f MN v u F π,1,0=u …，M-1；y=0，1，…N-1 ∑∑-=-=+=101 0)],( 2e x p [),(),(M x N y N uy M ux j v u F y x f π ,1,0=x …，M-1；y=0，1，…N-1 在图像处理中，有事为了讨论上的方便，取M=N ，这样二维离散傅里叶变换对就定义为,])(2exp[),(1),(1010∑∑-=-=+-=N x N y N yu xu j y x f N v u F π 1,0,=v u …，N-1 ,])(2exp[),(1),(1010∑∑-=-=+=N u N v N vy ux j v u F N y x f π 1,0,=y x ，…，N-1 其中，]/)(2exp[N yv xu j +-π是正变换核，]/)(2exp[N vy ux j +π是反变换核。 将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为),(y x f 的功率谱，记为
常用傅里叶变换
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大，则 会收缩到原 点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 | a | 趋向无穷 时，成为狄拉克δ 函数。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质
7 变换6的频域对应8 表示和 的卷积—这就是卷 积定理 9 变换8的频域对应。[编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数 11 变换10的频域对 应。矩形函数是理 想的低通滤波器， sinc函数是这类 滤波器对反因果 冲击的响应。
12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 J0(t)是0阶第一 类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推 广形式; T n(t)是第 一类切比雪夫多 项式。 22 U n (t)是第二类切 比雪夫多项式。[编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数 分布.这个变换展示了狄 拉克δ函数的重要性：该 函数是常函数的傅立叶 变换 24 变换23的频域对应
25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
常用傅里叶变换
常用傅里叶变换 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大， 则会收缩 到原点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 |?a?|?趋向无穷 时，成为。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质 7 变换6的频域对应
8 表示和 的卷积—这就是9 变换8的频域对 应。 []平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 和归一化的 11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器，是这类滤波 器对冲击的响 应。 12 tri?是 13 变换12的频域对 应
14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。 22 ???? U n?(t)是。
[]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表分布.这个变换 展示了狄拉克δ函数的 重要性：该函数是常函 数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应 用了:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个.δ(n)(ω)是 狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这个变换是根 据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使 用，我们可以变换所 有。
傅里叶变换的基本性质.
傅里叶变换的基本性质（一） 傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。 一、线性 傅里叶变换是一种线性运算。若 则 其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。 例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解因 由式(3-55)得 二、对称性 若则 证明因为 有 将上式中变量换为x，积分结果不变，即
再将t用代之，上述关系依然成立，即 最后再将x用t代替，则得 所以 证毕 若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56) 成为 可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如： 例3-7若信号的傅里叶变换为 试求。 解将中的换成t，并考虑为的实函数，有 该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为
根据对称性 故 再将中的换成t，则得 为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。 三、折叠性 若 则 四、尺度变换性 若 则 证明因a＞0，由
令，则，代入前式，可得 函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示 沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。 该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。 例3-8已知,求频谱函数。 解前面已讨论了的频谱函数，且 根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数 两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
常用函数傅里叶变换
常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在 i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
傅里叶变换
少将 图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示： （//实数DFT将时域内的N个点变换为频域中两组各N/2+1个点（分别对应实部和虚部）） 计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。 下面展示了一副图像的二维FFT变换：
频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。 将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。 上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心（//MATLAB中实现函数fftshift）。这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输
出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。 行N/2和列N/2将频域分成四块。对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反（//共轭？），这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。 为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。 h和k的范围在-N/2到N/2-1之间。 通常I(n,m)是实数，F(0,0)总是实数（//直流分量），并且F(h,k)具有对偶性。 如果写成复数形式，即: ------------------------------------------------------------- 图像傅立叶变换的物理意义
傅里叶变换性质证明
2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号「和J的傅里叶变换分别为「"和F』-, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广，若- - - 「出■,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒心?］的?卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 綁new九 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(幼 因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳 寻共觇提到积分之外根据傅里 叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 町(卯訂:厂(号叫fe 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则 *曾筍％芳遛凸■_苗苫 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
FLTH)] = F? 町甘D FLH 心FH) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相 位或者实部与虚部两部分，即 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t) 为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得 尺(耐=][/(f)cosaf 址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是 FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询) 根据定义，上式还可以写成 (2-33) 呎弊)=arc tan ［制 (曲)=2[