角的概念的推广及弧度制

第一节：角的概念的推广及弧度制

一、基础知识

1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转）

2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”）

3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α

4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角

'18573.571801

==∏

=rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式

R l l

||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2

1||21||R 222==?=∏∏αα

二、重要题型剖析

1、常用的角的集合表示法

（1）终边相同的角

例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合

例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合

③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合

（2）区域角和对顶角

例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合

③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合

⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合

（3）对称角

2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限

例1、若θ为第三象限，求

32θθ、所在象限并在该象限表示出来

3、旋转角度的应用题

例1、当12点过4

1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？

例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？

4、弧长扇形面积有关问题

例1、扇形的周长为6，面积为2，则中心角用弧度表示

例2、已知弧度为α的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为（）

5、

三、

角的概念推广(一)

课 题：4.1 角的概念推广（一） 教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念； 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 教学过程： 一、复习引入： 1．复习：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[0 0，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” 2．生活中很多实例会不在改范围]360,0[00 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 这些例子不仅不在范围]360,0[0 0，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动） 二、讲解新课：

角的概念的推广

技工学校教案用纸 教学过程 一、引入课题 通过生活中常见现象的解释来引入知识点，如螺 丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，确定“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握。 二．知识点 1、角的概念 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α． 学 科 数 学 角的概念的推广 授课班级 ２０１５级机 械二班 授课时数 6课 授课时间 第二周 教学目的 使学生了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要 如何让学生用数学的观点分析、解决实际问题 教学重点 和 难 点 1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念； 2．理解“正角” 、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含 义； 3．掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法 复习提问 B A O 始边 终边

2100 -1500 旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660° （3）．象限角与终边相同角 1.“象限角” 为了方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、60是第Ⅳ象限角 585 、1300是第Ⅲ象限角， 135、2000 是第Ⅱ象限角等 6600

任意角的概念与弧度制

任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广： 角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角： 与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制 弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单

位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算： 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则 所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式： ；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；

(完整版)角的概念的推广教学设计

角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题：角的概念推广（第一课时） 教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点：终边相同的角的表示。 设计理念： 本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。 教学过程： 一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0°

高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；-330?是第 象限角 300? ； -60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 -2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.

①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.

角的概念的推广及弧度制

第一节：角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 （1）终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 （2）区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 （3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？ 例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？

(完整版)角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.

【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为；

任意角的概念和弧度制

任意角的概念和弧度制 一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分) 1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间， 3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( ) A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次 2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( ) A．α＋β＝π B．α－β＝π 2 C．α－β＝π 2 ＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π 3.已知α为第二象限的角，则π－a 2 所在的象限是 ( ) A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 4.集合{α|kπ＋π 4≤α≤kπ＋π 2 ，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( ) A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D 5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( ) A． 1 B． 4 C．Π D． 1或4 6.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( ) A． 1 B． 2 C． 3 D．1 2 7.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( ) A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm 8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a 2 )的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )

A ． 3∶4 B ． 2∶3 C ． 1∶2 D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z } B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z } C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z } D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3 的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( ) A ． －α为第二象限角 B ． 180°－α为第二象限角 C ． 180°＋α为第一象限角 D ． 90°＋α为第四象限角 二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________. 13.若角α的终边与角8 5π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4 的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm. 15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________. 三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。

三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

(新)教案1：5.1角的概念的推广

5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角．

角的概念的推广经典练习题

4.1 角的概念的推广 【知识归纳】 一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别） 所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。 二、象限角： 第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?<

角概念推广优秀教案

【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

0°（1）（2）

终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时

终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为

角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合．

(1)角的概念·弧度制

1、角的概念·弧度制 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是 （ ） A ． π2 k 与)(2Z k k ∈+ ππ B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5 (cos π π ，则α等于 （ ） A ． 5 π B ．5 cot π C ．)(10 32Z k k ∈+ππ D ．)(5 92Z k k ∈- ππ 5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－6 π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2 Z k ∈-= βπ α B ．)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 7．集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα， B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ， 则A 、B 之间关系为 （ ） A ．A B ? B ．B A ? C ．B ?A D ．A ?B ≠

高中数学角的概念的推广

角的概念的推广 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行 角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到 推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过 几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解 例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的 观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度； 让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同 学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一 下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？ 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)． 我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作 任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。 过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是

数学：任意角和弧度制必修

三角函数 １．１任意角和弧度制 一、 教学目标： （１）推广角的概念、引入大于360? 角和负角； （２）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （３）理解任意角以及象限角的概念； （４）掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 二、教学重、难点 重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点：终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了５分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了１．２５ 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 １．初中时，我们已学习了0360?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图１．１—１，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点

O 叫做叫α的顶点. ２．如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体２周），“转体1080?”（即转体３周）等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题？又该如何区分和表示这些角呢？ [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角（positive angle ）,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角（negative angle ）.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角（zero angle ）. [展示课件]如教材图１．１．３（１）中的角是一个正角,它等于750? ；图１．１．３（２）中，正角210α?=，负角150,660βγ?? =-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. ３．在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（quadrant angle ）.如教材图１．１—４中的30?角、210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角. ４．[展示投影]练习: （１）（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

任意角与弧度制教案

任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x

一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ

《角的概念的推广与弧度制》1

《角的概念的推广与弧度制》 、复习要求： 1. 理解正角、负角、零角这三个概念，关键是终边的旋转方向。 2. 象限角、区间角、终边相同的角和轴线角这几个概念的区别与联系。 3. 正确理解几个有特殊含义的角，如： “ 00到 900的角”、“第一象限的角”、“锐角” 和“小于900的角”。 4. 角度制与弧度制的区别与联系（角度与弧度的相互转化） 。 二、 复习重点： 1. 识别、理解并能正确表示各种角，理解弧度制概念的建立及弧度与角度的换算。 2. 能按不同的要求写出符合条件的角的集合和有符号语言正确地表示它们。 三、 复习过程： 1 ?知识及重要方法落列： 正角、负角、零角；象限角、区间角、终边相同的角和轴线角；角度与弧度的相互 转化。 方法：例举法，特殊值法，分类讨论，几何法，数形结合。 2 ?典型例题分析： 例1 .若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？ 解：2小时40分=8 小时，dJ 6 - 3 ' P 3 3 练习1： 将钟表上的时针作为角的始边，分针作为角的终边，那么当钟表上显示 8点5分时，时 针与分针构成的最小正角是 ________ （逆时针旋转为正，顺时针旋转为负） 例2.自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，当大链轮转过一周时，求小链转 过的弧度 数。 解：当大链轮转过一周，即转过 48个齿时，小链轮也必须同步转过 48个齿, 故小链轮转过了 兰=12周。 20 5 所以，小链轮转过的弧度数为 空2二二空二。 5 5 练习2: 直径为10cm 的 滑轮上有提条长为 6cm 的弦，P 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的 角速度旋 转，则 经过5秒钟后，点P 经过的弧长等于 __________________ 。 例3?弧度为2的圆心所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是多少？这个圆心 角所夹 的扇形的面积是多少？ 解：如图，过 O 作OD_AB 于D 。有垂径定理知 D 为AB 的中点， 所以，扇形的半径 ：OA — si n1 有弧长公式l=|a|r ，得| =2 — sin1 .AD =丄 AB =1, 2 AOD g "Ed 故分针走过的角为 16 2 sin 1 O

《角的概念的推广》——说课稿

《角的概念的推广》——说课稿 惠安中学王辉 各位评委、老师：大家好! 今天我说课的课题是高一必修4第一章第二节《角的概念的推广》。我现就教材研究，教学方法，学情学法，教学程序，板书设计，教材设计六个方面进行说明，恳请在座的各位专家,同仁批评指正。 一、说教材研究 1．教材内容：本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角.从而来完善初中角的定义。 2．地位和作用：本节内容是高中数学三角函数这一大章的第一节，是在学了集合和函数之后的又一重要章节,是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数，也是对集合与函数的知识的又一渗透.所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。 3．教学目标： 知识教学点： ⑴.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 ⑵.掌握所有与α角终边相同角的集合(包括α角)的表示方法。 ⑶.体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 能力培养点： ⑴.借助实物演示、绘制图形等手段，让学生充分体会数与形结合对探究数学问题的作用。 ⑵.在老师引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。德育渗透点： ⑴.通过本节的学习，体验生活中处处有数学，培养学习数学的兴趣。 ⑵.体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物. ⑶.通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，逐渐形成独立思考、合作交流、自我反思的学习精神，敢于坚持正确观点，勇于修正错误的品质。 4．重点与难点： 教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 教学难点：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示 二、说教学方法 本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过实例教具展示，在教师的带领下，学生发现就概念、方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性较强的新课. 三、说学情学法 (1)分类法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 (2)观察分析：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题新。 (3)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。 四、说教学程序 1．创设问题，激发兴趣：