函数奇偶性的定义与应用

函数2：函数的奇偶性

【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；

【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念；

难点：奇偶性的应用

一、函数的奇偶性

1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做

偶函数．

2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫

做奇函数．

3.判断函数奇偶性的方法：

（1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．

（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

○

3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

4.奇偶函数的简单性质：

（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为

增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.

（2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为

增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.

二、函数奇偶性的应用

1、利用定义判断函数奇偶性

例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2

432)(x x x f +=； （3）1)(2

3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ；

（6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2

x x g x x x ?+>??=??--

2、利用定义求函数解析式

（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；

（2）()x f 为R 上偶函数，当0

（3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式.

3、利用奇偶性求参数取值范围

（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；

（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，

求a 的取值范围.

（3） 已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数)(x f 是偶函数，并且在（－∞，0）上

是增函数，若0)3(=-f ，则不等式)

(x f x <0的解集是 . （4） 已知)(x f 是定义在（－3，3）上的奇函数且f (0)=0,当0

所示.那么不等式0)(≤x xf 的解集是（ ）

A ．]1,0(]1,3( --

B ． ]1,0()0,1[ -

C ．]1,0[]1,3( --

D ． [－1，1] (5) 设)(x f 为定义域在R 上的偶函数，且)(x f 在

)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（ ）

A ．)2()3()(->>-f f f π

B ．)3()2()(f f f >->-π

C ．)2()3()(-<<-f f f π

D ．)3()2()(f f f <-<-π

(6) ()y f x =在(0,2)上是增函数,(2)y f x =+是偶函数,则57(1),(),()22

f f f 的大小关系是 .

(7) 如果奇函数)(x f y =在区间[3, 7]上是增函数，且最小值为5，那么)(x f y =在区间[－7, －3]上是（ ）。

（A ）增函数且最小值为－5 （B ）增函数且最大值为－5

（C ）减函数且最小值为－5 （D ）减函数且最大值为－5

三、奇偶性练习

1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）

A ．0

B ．-5

C ．5

D ．不确定

2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）

A ． (())a f a ，-

B ． (())--a f a ，

C ． (())---a f a ，

D ．(())a f a ，-

3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）

A ．增函数，最小值是-5

B ．增函数，最大值是-5

C ．减函数，最小值是-5

D ．减函数，最大值是-5

4. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+?=是奇函数，则a 的值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．1

D ．2

5. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）

A.f(0)>f(5)

B.f(3)

C.f(-1)>f(3)

D.f(-3)>f(1)

6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）

A ．)()(21x f x f <

B ．)()(21x f x f >

C ．)()(21x f x f =

D ．无法确定

7. 下列函数为偶函数的是（ ）

A.()x x x f +=

B.()x x x f 12+=

C.()x x x f +=2

D.()2x

x x f = 8.已知函数())0(2

≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 即奇又偶函数 D.非奇非偶函数

9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）

A .最大值）（a -f

B .最小值）（a -f

C .最大值）（b -f

D .最小值）（b -f

10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()

223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）

A ．()2f -<()223f a a -+

B ．()2f -≥()

223f a a -+

C ．()2f ->()

223f a a -+ D ．与a 的取值无关若函数 11. 若函数f ( x )=ax 73++bx ,有f ( 5 )= 3则f(－5)= ；

12. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]

时,f(x)的图象如右图，则不等式()0

是 ； 13. 已知)(x f

是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数， （12题） （13题） 当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 ；

14. 62)23()(2-++-=k x k k x f 在R 上是增函数且为奇函数, K 的范围为

15 函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2>-+--a f a a f ，

试a 求的范围．

16 若函数)(x f y =对任意,,R y x ∈恒有)()()(y f x f y x f +=+。

（1）求证：)(x f y =是奇函数；

（2）若,)3(m f =-求).12(f

（3）如果0>x 时，0)(

=f ，试求)(x f 在区间[]6,2-上的最大值和最小值。

函数的奇偶性及其应用举例

函数的奇偶性及其应用举例 （湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚） 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心 内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。 【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用 一、奇、偶函数的定义： 若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者， 则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数） 二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数： 且非奇非偶函数偶函数奇函数 三、奇、偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数 偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 四、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。 五、 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：

第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数 （2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。， 六、函数奇偶性的应用： （1）函数奇偶性的判断 例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3 13 1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。 例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是 A ．2 ()1f x x =- B ．3 ()f x x = C ．5()3x f x ?? = ??? D ．2 ()log f x x = 析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域 为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且， 故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。 例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性： 析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞， ， ∵ 2()21f x x x =-+，

高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤

高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数() f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数() f x的解析式； f x的定义域，化简函数() （3）求() f x f x的 -与() f x之间的关系，判断函数() -，可根据() f x 奇偶性. 若() f x，则() f x是奇函数； f x -=-() 若() f x是偶函数； f x，则() -=() f x 若() f x f x既不是奇函数，也不是偶函数； ≠±，则() -() f x 若() -=-() f x既是奇函数，又 f x f x，则() f x f x -() =且() 是偶函数

函数的单调性及奇偶性(含答案)

函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1

C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案

一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ．

函数奇偶性在解题中的应用

函数奇偶性在解题中的应用 徐辉 函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。 1．用于求值 例１：已知奇函数，则 解：因为奇函数， 所以对任意，都有成立． 令，则有，从而可得； 令，则有， 从而 ． 故． 注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意， 都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有． 2．用于比较大小 例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较 的大小.

解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可． 又因在区间上单调递减，而且 所以，故． 注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解． 3．用于求最值 例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（） A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称, 故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值， 故选B. 注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质. 4．用于求参数的值 例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值.

解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)， 从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0. 又由f(1)=2，知，得a+1=2b①， 而由f(2)＜3，知，得② 由①②可解得－1＜a＜2. 又a∈Z，∴a=0或a=1. 若a=0，则b=，应舍去； 若a=1，则b=1∈Z. ∴a=1，b=1，c=0. 注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式 例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)2－2(－x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数， 于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x2+2x+2)=－x2－2x－2，

函数奇偶性的定义与应用

函数2：函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法； 【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念； 难点：奇偶性的应用 一、函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数． 2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫 做奇函数． 3.判断函数奇偶性的方法： （1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称． （2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4.奇偶函数的简单性质： （1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数. （2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性 例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2 432)(x x x f +=； （3）1)(2 3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；

函数奇偶性的应用

对应学生用书P106 基础达标 一、选择题 1．有下列4个命题： ①偶函数的图象一定与纵轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ④偶函数的图象关于纵轴对称． 其中正确的命题有() A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．答案：A 2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为() A．y＝[f(x)]2B．y＝f(2x) C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x) 解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称． 答案：C 3．设f(x)是定义在R上单调递减的奇函数．若x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则() A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0 B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0 C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0 D．f(x1)＋f(x2)>f(x3) 解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x1＋x2>0，∴x1>－x2. 又∵f(x)是定义在R上单调递减的奇函数， ∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0. 同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0. ∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0. 答案：B

4．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是() A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0) 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)， 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴f(－2)>f(1)>f(0)． 答案：B 5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. 答案：B 6．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是() A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数 C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数 解析：令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1，令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1， 所以f(x)＋1为奇函数． 答案：C 二、填空题 7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知． 答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3] 8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数． 答案：奇函数 9．若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，又在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集是________． 解析：

函数单调性与奇偶性教案

函数单调性与奇偶性 教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 教学建议 一、知识结构 （1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的 形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾 经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去 刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高 一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点 下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的 代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识 到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 三、教法建议 （1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一 次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增 减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义 靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以 从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角 度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的奇偶性的经典总结

函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是 考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3

函数的奇偶性问题练习题(含答案)

. .. 函数的奇偶性问题 一、选择题 1．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(?为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ＝f （x ）·)(x ?满足奇函数的条件． 答案：A 2．已知函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．3 1 = a ， b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3 1 =a ．故选A ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2 －2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2 －2x ，f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2 ＋2x ）＝－x 2 －2x ＝x （－x －2）． ∴(2) (0)()(2) (0),, x x x f x x x x ?? ?-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．已知f （x ）＝x 5 ＋ax 3 ＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5 ＋ax 3 ＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A 5．函数1 11 1)(22+++-++= x x x x x f 是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．若)(x ?，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ?在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 解析：)(x ?、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数． 又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 二、填空题 7．函数2 122)(x x x f ---= 的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数） ． 8．若y ＝（m －1）x 2 ＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____． 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2 ＋2mx ＋3为偶函数， ∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2 ＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2 ＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的 解析式为____1 1)(2 -= x x f ___． 解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，

函数的奇偶性

函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法

函数奇偶性的运用学案

1.2.11 函数奇偶性的运用 【学习目标】 1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想． 【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性． 【难点提示】函数奇偶性的综合运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题． （1）函数奇偶性的种类有 ； （2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ； （3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ． （4）奇（偶）函数的定义域特点是 ． 2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ； （2）函数奇偶性的价值在： （链接1）. 二、探究新知 1. 观察思考 已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图． （1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ； （2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ． ●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性

奇偶性的概念

奇偶性的概念 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点一函数奇偶性的几何特征 思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称． 梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义 函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上． 知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 2．重要性质 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性． (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．

1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f (x )是奇函数，f (1)＝2，则f (－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√) 类型一 证明函数的奇偶性 例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2 x －1既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数； (3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f (x )＝x 3－x 2 x －1 既非奇函数又非偶函数． (2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数． (3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，故函数f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1既是奇函数又是偶函数． 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x 2－x 既非奇函数又非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．