1、(09年湖北仙桃)如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米).(sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70;sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)
2、(09年湖南怀化)如图,小明从
A 地沿北偏东 30方向走1003m 到
B 地,再从B 地向正南方向走
200m 到C 地,此时小明离A 地 m .
3、(09年山东潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A .25
B .253
C .10033
D .25253+
4、(09年山东济南)九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后,他为了测得右图所放风筝的高度,进行了如下操作: (1)在放风筝的点
A 处安置测倾器,测得风筝C 的仰角60CBD =?∠;
(2)根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米; (3)量出测倾器的高度 1.5AB =米.
根据测量数据,计算出风筝的高度CE 约为 米.(精确到0.1米,3 1.73≈)
5、(09年广东深圳、山东东营)如图,斜坡AC 的坡度(坡比)为1:3,AC =10米.坡顶有一旗杆BC ,旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连,AB =14米.试求旗杆BC 的高度.
6、(09年广东湛江)如图,某军港有一雷达站P ,军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处,另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向,与雷达站P 相距182海里.求: (1)军舰N 在雷达站P 的什么方向?(2)两军舰M N 、的距离.(结果保留根号)
第6题图
N
M
P
北 A B
C D 6米
52° 35°
(第1题图)
A
D
B E
C
60°
(第4题图)
第2题图
B
C A
D l
第3题图
A
B
C D
第5题图
7、(09年湖南常德)如图,某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ,向前走200米来到山脚A 处,测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,3 1.73≈,结果保留整数).
8、(09年湖南娄底)在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量?(精确到整数米)(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64, tan50°≈1.20,sin30°=0.50,cos30°≈0.87,
tan30°≈0.58)
9、(09湖南湘西)如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问:
(1) 未开始收绳子的时候,图中绳子BC 的长度是多少米? (2) 收绳8秒后船向岸边移动了多少米?(结果保留根号)
11、(09年湖北黄石)如图9,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m ,某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°,塔顶D 的仰角为23°,求此人距CD 的水平距离AB 。(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424)
12、(09年安徽芜湖)如图,一艘核潜艇在海面下500米
A 点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信
号发出,继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C 点处距离海面的深度?(精确到米,参考数据:2 1.414≈,3 1.732≈,
5 2.236≈)
13、(09年广西河池)如图8,为测量某塔AB 的高度,在离该塔底部20米处目测其顶A ,仰角为60,目高1.5米,试求该塔的高度(3 1.7)≈.
30° 60°
B A D C
海面
第12题图
1.5 第13题
D
B
C
60
A
1
.5
第7题
第9题图
第11题图
14、(09年广西柳州)如图8,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为?60,看这栋高楼底部的俯角为?30,热气球与高楼的水平距离为66 m ,这栋高楼有多高?(结果精确到0.1 m ,参考数据:73.13≈)
15、(09年湖北黄冈)如图,在海面上生产了一股强台风,台风中心(记为点M )位于海滨城市(记作点A )的南偏西15°,距离为612千米,且位于临海市(记作点B )正西方向60
3千米处.台风中心正
以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动(假设台风在移动过程中的风力保持不变),距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.
(1)滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭?请说明理由. (2)若受到此次台风侵袭,该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时?
16、(09年湖北十堰)如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P
处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离(结果精确到0.1米). (供选用的数据:2 1.414≈,3 1.732≈)
19、(09年江苏苏州)如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点A 到航线l 的距离为2km ,点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处.现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处. (1)求观测点B 到航线l 的距离;
(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h ).(参考数据:3 1.73≈,sin760.97°≈,cos760.24°≈,
tan76 4.01°≈)
20、(09年内蒙包头)如图,线段AB DC 、分别表示甲、乙两建筑物的高,AB BC DC BC ⊥,⊥,从B 点
C
A
B
第14题
第15题图
北
东
C
D
B E
A
l
60° 76°
第19题图
测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°,已知甲建筑物高36AB =米.
(1)求乙建筑物的高DC ;(2)求甲、乙两建筑物之间的距离BC (结果精确到0.01米). (参考数据:2 1.4143 1.732≈,≈)
21、(09年山东德州)亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼,两人准备用测量影子的方法测算其楼高,但恰逢阴天,于是两人商定改用下面方法:如图,亮亮蹲在地上,颖颖站在亮亮和楼之间,两人适当调整自己的位置,当楼的顶部M ,颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛
A 恰在一条直线上时,两人分别标定自己的位置
C ,
D .然后测出两人之间的距离 1.25m CD =,颖颖与楼之间的距离30m DN =(C ,D ,N 在
一条直线上),颖颖的身高 1.6m BD =,亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =.你能根据以上
测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗? 23、(09年山东青岛)在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度.他们首先从A 处安置测倾器,测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°,然后往塔的方向前进50米到达B 处,此时测得仰角
37CGE ∠=°,已知测倾器高1.5米,请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度.
(参考数据:3sin 375
°≈
,3tan 374°≈,9sin 2125°≈,3tan 218°≈
)
24、(09年山东烟台)腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C ,利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°,底部B 点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D ,利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图②).若已知CD 为10米,请求出雕塑AB 的高度.(结果精确到0.1米,参考数据3173.=).
M
N B A C
D
第21题图 C
G E D
B
A
F 第23题图
D
C
B A
②
①
(第
22题图) A
B
C
D F
E (第26题图)
α
β
D
乙
C
B
A 甲
第20题图
A
B
C D
E
F
60°
30°
第25题图
25、(09年山西太原)如图,从热气球C 上测得两建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD 为90米.且点A 、D 、B 在同一直线上,求建筑物
A 、
B 间的距离.
26、(09年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:
如示意图,小明边移动边观察,发现站到点E 处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度 1.2CD =m ,0.8CE =m ,30CA =m (点A E C 、、在同一直线上)
. 已知小明的身高EF 是1.7m ,请你帮小明求出楼高AB (结果精确到0.1m )
.
27、(09年四川成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度.如图,他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D ,又测得点A 的仰角为45°。请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)
A
B
C D
28、(09年四川眉山)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离。
29、(09年浙江嵊州)如图所示,A 、B 两地之间有一条河,原来从A 地到B 地需要经过桥DC ,沿折线A →D →C →B 到达,现在新建了桥EF ,可直接沿直线AB 从A 地到达B 地.已知BC =12km ,∠A =45°,∠B =37°.桥
DC 和AB 平行,则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km .参考数据: 1.412≈,
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)
第27题图
F
E
D C
B
A
45°
37°
第29题图
第28题图
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明,发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点:能够把数学问题转化成数学问题,能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点:能够把数学问题转化成解直角三角形问题,会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入,了解仰角俯角的概念。 提出问题:某飞机在空中A处的高度AC=1500米,此时从飞机看地面目标B的俯角为18,求A、B间的距离。 提问:1.俯角是什么样的角?,如果这时从地面B点看飞机呢,称ABC是什么角呢?这两个角有什么关系?
2.这个△ABC是什么三角形?图中的边角在实际问题中的意义是什么,求的是什么,在这个几何图形中已知什么,又是求哪条线段的长,选用什么方法? 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念,也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题,寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法,现在我们又学习了锐角三角函数,能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么?那么如果要测旗杆的高度,你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗? 学生分组讨论体会用多种方法解决问题,解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法,解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30,测量仪距古塔60米,则古塔高()米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点,俯角分别是45、30,已知C、D相距100米,那么山高()米。 ⑶要测量河流某段的宽度,测量员在洒一岸选了一点A,在另一岸选了两个点B和C,且B、C相距200米,测得ACB =45,ABC=60,求河宽(精确到0.1米)。 在这一部分的练习中,引导学生正确来图,构造直角三角形
锐角三角函数 1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 2.如图1,已知P 是射线OB 上的任意一点,PM ⊥OA 于M ,且PM :OM=3:4,则cos α的值等于( ) A .34 B .43 C .45 D .35 图1 图2 图3 图4 图5 3.在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=23 ,则tanB 等于( ) A .35 B C .25 D 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA=______,cosA=______,?tanA=_______. 6.如图2,在△ABC 中,∠C=90°,BC :AC=1:2,则sinA=_______,cosA=______,tanB=______. 7.如图3,在Rt △ABC 中,∠C=90°,b=20,,则∠B 的度数为_______. 8.如图4,在△CDE 中,∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D 的三个三角函数值. 9.已知:α是锐角,tan α=724 ,则sin α=_____,cos α=_______. 10.在Rt △ABC 中,两边的长分别为3和4,求最小角的正弦值为 10.如图5,角α的顶点在直角坐标系的原点,一边在x 轴上,?另一边经过点P (2,,求角α的三个三角函数值. 12.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BD ⊥AC 于D ,∠CBD=α,AB=3,?BC=4,?求sin α,cos α, tan α的值.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
锐角三角函数基础练习 一、选择题。 1.90,5,4,sin Rt ABC C c a A ?∠===在中,则的值为( ). A.35 B.45 C.34 D.43 2.12 90,tan ,5 ABC A ABC ?∠= ?的周长是60cm,若C=则的面积是( ). A.230cm B.260cm C. 2 120cm D. 2 240cm 3、在Rt △ABC 中,∠C=900 ,BC=4,sinA=54 ,则AC=( ) 、 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 4、若cosA=31,则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=( ) A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中,∠A :∠B :∠C=1:1:2,则a :b :c=( ) A 、1:1:2 B 、1:1:2 C 、1:1:3 D 、1:1:22 6、在Rt △ABC 中,∠C=900 ,则下列式子成立的是( ) A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是( ) $
A . sinB=23 B .cosB=23 C .tanB=23 D .tanB=3 2 8.点(-sin60°,cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( ) A .(32,12) B .(-32,12) C .(-32,-12) D .(-12,-3 2) 9.sin AOB AOB ∠∠正方形网络中,如图1放置,则等于 ( ). A. 55 B. 255 C. 12 D. 2 10、△如图,A .B .C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′,则tanB ′的值为( ) A . B . C . D . 11、如图,在Rt △ABC 中,△ACB=90°,CD 是AB 边上的中线,若BC=6,AC=8,则tan △ACD 的值为( ) A . B . C . D . 12.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们感受到了国旗的神圣.?某同学站在离旗杆12米远的地方,当国旗升起到旗杆顶时,他测得视线的仰角为30°,?若这位同学的目高1.6米,则旗杆的高度约为( ) A .6.9米 B .8.5米 C .10.3米 D .12.0米 ( : A O B
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
锐角三角函数的实际应用 1. 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO 长为40 cm ,与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°,由光源O 射出的边缘光线OC 、OB 与水平面所形成的夹角∠OCA 、∠OBA 分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC .(结果精确到 1 cm ,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73,3≈1.73). 第1题图 解:∵tan∠OBC =tan30°= 33OC BC ,∴OC =3 3 BC , ∵sin∠OAC =sin75°= OC OA ≈0.97, ∴3340 BC ≈0.97, ∴BC ≈67(cm). 答:该台灯照亮水平面的宽度BC 约为67 cm. 2. 某种三角形台历放置在水平桌面上,其左视图如图②所示,点O 是台历支架OA ,OB 的交点,同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心,现测得OA =OB =14 cm ,CA =CB =4 cm ,∠ACB =120°,台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6 cm.求点O 到直线AB 的距离.(结果保留根号 ) 第2题图 解:如解图,连接AB 、OC ,并延长OC 交AB 于点D ,
第2题解图 ∵OA =OB ,AC =BC , ∴OC 垂直平分AB ,即AD =BD ,∠CDA =90°, 又∠ACB =120°,∠ACD =60°, ∴在Rt△ACD 中,sin∠ACD =AD AC , ∴AD =AC ·sin60°=4× 3 2 =23cm , ∵在Rt△AOD 中,AD =2 3 cm ,AO =14 cm , ∴OD =AO 2 -AD 2 =142 -(23)2 =246 cm , ∴点O 到直线AB 的距离为246 cm. 3. 如图①是一台仰卧起坐健身器,它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成,靠背的角度α可以用档位调节器调节,将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②,已知OA =OD =81 cm ,OC =43 cm ,∠C =90°,∠A =20°.求BC 的长和点O 到地面的距离.(结果保留整数)(参考数据:sin20°≈0.3420,cos20°≈0.9397,tan20°≈0.3640;sin80°≈0.9848,cos80°≈0.1736,tan80°≈5.6713) 第3题图 解:根据题意可知AC =OA +OC =81+43=124 (cm), 在Rt△ABC 中,tan A =BC AC , ∴BC =AC ·tan A ≈124×0.3640≈45(cm), 如解图,过点O 作OE ⊥AB 于点E ,
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
锐角三角函数应用 1.(2015青岛)小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ,并测得B ,C 两点的俯角分别为45°和35°,已知大桥BC 与地面在同一水平面上,其长度为100m 。请求出热气球离地面的高度。 (结果保留整数,参考数据:12 735sin ≈?, 6535cos ≈?,10735tan ≈? 2.
3.(2014东营)热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(≈1.732,结果保留小数点后一位) 4.(2014?枣庄)如图,一扇窗户垂直打开,即OM⊥OP,AC是长度不变的滑动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置,此时,点A、C的对应位置分别是点B、D.测量出∠ODB为25°,点D到点O的距离为30cm. (1)求B点到OP的距离; (2)求滑动支架的长. (结果精确到1cm.参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
5.(2015济宁)在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即 sin sin sin a b c A B C ==.利用上述结论可以求解如下题目.如: 在ABC ?中,若45A ∠=,30B ∠=,6a =,求b . 解:在ABC ?中,sin sin a b A B = 16sin 6sin 30sin sin 45a B b A ?∴==== 问题解决: 如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处,且乙船从1B 处按北偏东 15方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到 甲船的北偏西120 方向的2B 处,此时两船相距. (1) 判断122A A B ?的形状,并给出证明 . (2) 乙船每小时航行多少海里?
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中,∠C=90°. (1)若cosA=1 2 ,则tanB=______;(?2)?若cosA= 4 5 ,则tanB=______. 例题2.(1)已知:cosα=2 3 ,则锐角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.45°<α<60° C.30°<α<45° D.60°<α<90° (2)当45°<θ<90°时,下列各式中正确的是() A.tanθ>cosθ>sinθ B.sinθ>cosθ>tanθ C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ>cosθ 例题3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,∠CAB=60°,?CD=3,BD=23,求AC,AB的长. 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC,有人已经测出∠A=30°,AC=40米,BC=25米,你能求出这块花园的面积吗? 例题5.某片绿地形状如图所示,其中AB⊥BC,CD⊥AD,∠A=60°,AB=200m,CD=100m,?求AD、BC的长.
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角,且cosA=sinA ,则∠A 的度数是( ) A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=450,∠C=1200,AB=8,则CD 的长为( ) A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中,∠C=900,AB=2AC ,在BC 上取一点D ,使AC=CD ,则CD :BD=( ) A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中,∠C=900,∠A=300,b=310,则a= ,c= ; 5.已知在直角梯形ABCD 中,上底CD=4,下底AB=10,非直角腰BC=34, 则底角∠B= ; 6.若∠A 是锐角,且cosA=5 3,则cos (900-A )= ; 7.在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=1,sinA= 23,求tanA ,BC . 8.在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,AB=22,AC=BC=52,求AD 的长. 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便两地师生交往,学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路,经测量在A 地北偏东600方向,B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么? B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
《锐角三角函数》A 姓名_____________ 1、在Rt △ABC 中,∠C =900,AB =13,BC =5,求A sin , A cos ,A tan , 2.在Rt △ABC 中,sin A =5 4 ,AB =10,则BC =______,cos B =_______. 3.在△ABC 中,∠C =90°,若cos A =2 1,则sin A =__________. 4. 已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______. 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角,且2cosB - 1=0,则∠B = . 7、等腰三角形中,腰长为5,底边长8,则底角的正切值是 . 8、如图,在距旗杆4米的A 处,用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60,已知测角仪AB 的高为1.5米,则旗杆CE 的高等于 米. 三、选择题 9、在Rt △ABC 中,各边都扩大5倍,则角A 的三角函数值( ) A .不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 10.在Rt △ABC 中,∠C = 90°,下列式子不一定成立的是( ) A .sinA = sin B B .cosA=sinB C .sinA=cosB D .∠A+∠B=90° 11. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,当已知∠A 和a 时,求c ,应选择的关系式是( ) A .c =sin a A B .c =cos a A C .c = a ·tanA D .c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于( ) A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 D E 60