第一章 随机事件及其概率
第三节 事件的关系及运算
一、选择
1.事件AB 表示 ( C )
(A ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 与事件B 都不发生
(C ) 事件A 与事件B 不同时发生 (D ) 以上都不对
2.事件B A ,,有B A ?,则=B A ( B )
(A ) A (B )B (C ) AB (D )A
B
二、填空
1.设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为
C B A
第四节 概率的古典定义
一、选择
1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是( B )
(A )
21 (B )53 (C )103 (D )10
1 二、填空
1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概
率为11322
535
C C C = 2.把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为
!
10!
8!3 3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队
被分在不同组内的概率为1910
10
20
91812=C C C 。 三、简答题
1.将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率
(1)A ---任意3个盒子中各有一球;(2)B ---任意一个盒子中有3个球; (3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。
解:(1)834!3)(334==C A P (2)1614)(31
4==C B P (3)169
4)(3
132314==C C C C P
第五节 概率加法定理
一、选择
1.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C )
(A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P +=
(C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P
2.已知41)()()(=
==C P B P A P , 0)(=AB P , 16
1
)()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为( B )
(A) 82 (B) 8
3
(C) 85 (D) 86
3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =,且p A P =)(,则=)(B P ( A )
(A) p -1 (B) p (C)
2
p (D) 21p
-
二、填空
1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球,则其中至少有一只红球的概率为
3
33734
135
C C -=(0.97)
2.掷两枚筛子,则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25
3.袋中放有2个伍分的钱币,3个贰分的钱币,5个壹分的钱币。任取其中5个,则总数超过一角的概率是 0.5
三、简答题
1.一批产品共20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4件。从这批产品中任取3 件,求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率;
(2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解:设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品,其中i =1,2,3;
(1)所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件,由于这三个事件彼此互不相容,故
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)()()()(321321A P A P A P A A A P ++=++3
20
1
16
241132711129C C C C C C C ++==0.671 (2)设事件A 表示取出的3件产品中至少有2件等级相同,那么事件A 表示取出的
3件产品中等级各不相同,则779.01)(1)(3
20
14
1719=-=-=C C C C A P A P 第六节 条件概率、概率乘法定理
一、选择
1.事件,A B 为两个互不相容事件,且()0,()0P A P B >>,则必有( B )
(A) ()1()P A P B =- (B) (|)0P A B =
(C ) (|)1P A B = (D) (|)1P A B =
2.将一枚筛子先后掷两次,设事件A 表示两次出现的点数之和是10,事件B 表示第一次出现的点数大于第二次,则=)(A B P ( A )
(A)
31 (B) 41 (C ) 52 (D) 6
5 3.设A 、B 是两个事件,若B 发生必然导致A 发生,则下列式子中正确的是( A )
(A))()(A P B A P = (B))()(A P AB P = (C))()(B P A B P = (D))()()(A P B P A B P -=-
二、填空
1.已知事件A 的概率)(A P =0.5,事件B 的概率)(B P =0.6及条件概率)(A B P =0.8,则和事件B A 的概率=)(B A P 0.7
2.,A B 是两事件,()0.3,()0.4,(|)0.6,
===P A P B P B A 则(|)=P A A
B
577.026
15
= 三、简答题
1.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离便成为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射
击,这时距离变为200米。假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率。
解:设第i 次击中的概率为i p ,(i =1,2,3)因为第i 次击中的概率i p 与距离i d 成反比, 所以设i
i d k
p =
,(i =1,2,3); 由题设,知1001=d ,6.01=p ,代入上式,得到60=k 再将60=k 代入上式,易计算出4.0150602==
p ,3.0200
60
3==p 设事件A 表示猎人击中动物,事件i B 表示猎人第i 次击中动物(i =1,2,3),则所 求概率为:)()()()(321211B B B P B B P B P A P ++=
)()()()()()(2131211211B B B P B B P B P B B P B P B P ++= 3.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0?-?-+?-+=
832.0=
第七节 全概率公式
一、选择
1.袋中有5个球,3个新球,2个旧球,现每次取一个,无放回的取两次,则第二次取到
新球的概率为 ( A )
(A)
53 (B) 4
3
(C )
42 (D ) 10
3
2.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ,则以下结论中正确的是( C )
(A)A 和B 都发生的概率等于p -1 (B) A 和B 只有一个发生的概率等于p -1 (C)A 和B 至少有一个发生的概率等于p -1(D)A 发生B 不发生或B 发生A 不发生的概率等于p -1
二、填空
1.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为
6
1
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2.老师提出一个问题,甲先回答,答对的概率是0.4;如果甲答错了,就由乙答,乙答 对的概率是0.5;如果甲答对了,就不必乙回答,则这个问题由乙答对的概率为 0.3
3.试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有一个答案是正确的。任一考生如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为 0.85
三、简答题
1.玻璃杯成箱出售,每箱20只.假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。
解:设=i A “每箱有i 只次品” (),2,1,0=i , =B “买下该箱” . )|()()|()()|()()(221100A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
94.01.01.018.0420
418
420419≈?+?+?=C C C C
2.一工厂有两个车间,某天一车间生产产品100件,其中15件次品;二车间生产产品50
件,其中有10件次品,把产品堆放一起(两车间产品没有区分标志),求:(1)从该天生产的产品中随机取一件检查,它是次品的概率;(2)若已查出该产品是次品,则它是二车间生产的概率。
解:(1)设事件“取的产品来自1车间”为1A ,事件“取的产品来自2车间”为2A , “从中任取一个是次品”为B ,
()()()()()1122211||0.150.2336
=+=?+?=P B P B A P A P B A P A
(2) ()()()()()()2222|2
|5
=
==P A B P B A P A P A B P B P B
3.发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“?”及“-”。由于通信系统受到干扰,当
发出信号“?”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“?”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“?”。 求:(1)当收报台收到信号“?”时,发报台确系发出信号“?”的概率; (2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率。 解:设事件A 表示发报台发出信号“?”,则事件A 表示发报台发出信号“-”; 设事件B 表示收报台收到信号“?”,则事件B 表示收报台收到信号“-”; 根据题设条件可知:4.0)(,6.0)(==A P A P ;
1.0)(,8.0)(==A B P A B P ;9.0)(,
2.0)(==A B P A B P ; 应用贝叶斯公式得所求概率为: (1)1
.04.08.06.08
.06.0)()()()()()()()()(?+??=+==
A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P
=0.923
(2)2
.06.09.04.09
.04.0)()()()()()()()()(?+??=
+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P =0.75
第八节 随机事件的独立性
一、选择
1.设)(A P =0.8,)(B P =0.7,)(B A P =0.8,则下列结论正确的是( C )
(A) 事件A 与B 互不相容 (B) B A ?
(C) 事件A 与B 互相独立 (D) )()()(B P A P B A P +=
2.设B A 、是两个相互独立的随机事件,0>?)()
(B P A P ,则=)(B A P ( B ) (A) )()(B P A P + (B) )()(B P A P ?-1
(C) )()(B P A P ?+1 (D) )(AB P -1
二、填空
1.设A 与B 为两相互独立的事件,)(B A P =0.6,)(A P =0.4,则)(B P =
3
1
2.加工某一零件共需经过三道工序。设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的,则加工出来的零件的次品率是 0.09693
三、简答题
1.一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人看管的概率:第一台等于0.9,第二台等于0.8,第三台等于0.7。求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。
解:设事件i A 表示第i 台车床不需要照管,事件i A 表示第i 台车床需要照管,(i =1,2,3), 根据题设条件可知:
1.0)(,9.0)(11==A P A P
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2.0)(,8.0)(22==A P A P
3.0)(,7.0)(33==A P A P
设所求事件为B ,则)()(321321321321A A A A A A A A A A A A P B P +++= 根据事件的独立性和互不相容事件的关系,得到: )()()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P B P += ++)()()(321A P A P A P )()()(321A P A P A P
3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0??+??+??+??= =0.902
2.如下图所示,设构成系统的每个电子元件的可靠性都是p (0
(1) (2) 解:(1))2(33p p -;(2)32)2(p p -
第九节 独立试验序列
一、选择
1.每次试验成功率为)10(<
(A)64410)1(p p C - (B)6439)1(p p C - (C)5449)1(p p C - (D)6339)1(p p C -
二、填空
1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875,则这射手在一次射击中命中的概率为 0.5
2.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等.若已知事件A 至少出现一次的概率等于
27
19
,则事件A 在一次试验中出现的概率为 1
三、简答题
1.射击运动中,一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4,得9环的概率为0.3,得8环的概率为0.2,求该运动员在五次独立的射击中得到不少于
48环的概率。
解:设事件A 表示5次射击不少于48环,事件1A 表示5次射击每次均中10环,事件2A 表示5次射击一次中9环,4次中10环,事件3A 表示5次射击2次中9环,3次中10环,事件4A 表示5次射击一次中8环,4次中10环,并且4321,,,A A A A 两两互不相容,由于每次射击是相互独立的,
则所求概率∑====4
1
41
)()(
)(i i
i i
A P A P A P
411
5322541155)4.0()2.0()4.0()3.0()4.0()3.0()4.0(C C C +++=
1318.0≈
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第二章 随机变量及其分布
第二节 离散随机变量
一、选择
1 设离散随机变量X 的分布律为:
),,3,2,1(,}{ ===k b k X P k
λ )(0为,则且λ>b
1
1
)D (11
)C (1)B (0)A (-=
+=
+=>b b
b λλλλ的任意实数
).
()0(,111
11·,1,11)1(·lim lim 1)1(·
1
}{1
1
1
C b b
b b S b b S b k X P n n n n n n
k k
n k k
k 所以应选因所以时当于是可知即因为解><+==-<=--=--=====∞→∞→=∞
=∞
=∑∑∑λλ
λ
λλλλλλ
λλλ
二、填空
1 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
54, 失败的概率为5
1
, 将试验进行到出现一次成功为止, 以X 表示所需试验次数, 则X 的分布律是__ ___ ____.(此时称X 服从参数为p 的几何分布).
解:X 的可能取值为1,2,3 ,{}{}
.,1~1次成功第次失败第K K K X -== 所以X 的分布律为{} 1,2, , 5
4
)
5
1
(1
=?==-K K X P K 三、计算题
1 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X 表示取出的3个球中的最大号码, 试求X 的概率分布.
的概率分布是
从而,种取法,故
只,共有任取
中,,个号码可在,另外只球中最大号码是意味着事件种取法,故
只,共有中任取,,个号码可在,另外只球中最大号码是意味着事件只有一种取法,所以
只球号码分布为只能是取出的事件的可能取值为解X C C X P C X C C X P C X C X P X X 5
3
}5{624,321253},5{10
3
}4{2321243},4{1011}3{,3,2,13},3{.
5,4,3352
4223523233
5
=
=====
=====
==
X 3 4 5 P
101 103 53
P
21 221 321 32
1
第三节 超几何分布 二项分布 泊松分布
一、选择
1 设随机变量),3(~),,2(~p b Y p b X , {}{}=≥=
≥1,9
5
1Y P X P 则若______. 4
3)
A (
29
17)
B ( 27
19)
(C 9
7)
D ( 解: C
二、填空
1设离散随机变量X 服从泊松分布,并且已知{}{},21===X P X P
{}0902.0=4则=X P . 三、计算题
1.某地区一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为λ的泊松分布,即
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)(~λP X ,据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通
事故的概率的2.5倍.
(1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; (2)求1个月内至少发生1次交通事故的概率; (3)求1个月内至少发生2次交通事故的概率;
0620
.004462.001487.000248.0}
2{}1{}0{}2{04462
.0!
26}2{01487
.06}1{)3(9975.000248.01}0{1}1{00248
.0}0{)2(0413
.0!
106}10{1033.0!86}8{)1(6
,36!
105.2!8}10{5.2}8{.
,.
,2,1,0,!
}{),(~6
26106
10682108≈++≈=+=+==≤≈==≈==≈-≈=-=≥≈===≈==≈====?
====?==
=--------X P X P X P X P e X P e X P X P X P e e X P e X P e X P e e X P X P k k e k X P P X k λλ
λλ
λλλλλλλλ解出即
据题意有关键是求出是未知的这里题这是泊松分布的应用问解
第五节 随机变量的分布函数
一、 填空题
1设离散随机变量,216
1
3110
1~???
?
??-X 则X 的分布函数为 .
????
????
?≥<≤<≤--<==++=≤=≥=+=≤=<≤=
≤=<≤-=≤=-<1
,110,2101,311,0)(1
2
1
6131}{)(1;
21
6131}{)(103
1
}{)(01;
0}{)(1x x x x x F x X P x F x x X P x F x x X P x F x x X P x F x 当当当当整理,得
时,当时,当时,当时,当解
二、选择
1 设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为使
)()()(21x bF x aF x F -=是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取
5
2,53)A (-
==b a 3
2
,32)B (==
b a 2
3
,21)C (=
-=b a 2
3
,21)D (-==
b a ).
(1)(lim )(lim )(lim ,1)(lim 21A b a x F b x F a x F x F x x x x 故应选即因此有
根据分布函数的性质:分析
-=-==+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→
2. 设???????≥<<≤=2x
, 12x (*) , 4
x
(*)x
,0)(2x F 当(*)取下列何值时,)(x F 是随机变量的分布函
数.
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5
解: A 只有A 使)(x F 满足作为随机变量分布函数的三个条件.
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三.计算题
1 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,求B A ,的值. 解:由随机变量分布函数的性质
.
0)(lim =-∞
→x F x .
1)(lim =+∞
→x F x 知
.2
)2()a r c t a n (lim )(lim 0B A B A x B A x F x x π
π-=-?+=+==-∞→-∞→
.22)arctan (lim )(lim 1B A B A x B A x F x x ππ+=?+=+==+∞→+∞→ 解???
????
=+=-1
202B A B A ππ
得π
1,21==B A
第六节 连续随机变量的概率密度
一、选择
1.下列函数中,可为随机变量X 的密度函数的是( B )
(A ) sin ,
0()0,
x x f x π≤≤?=?
?其它
(B )sin ,
0()20,
x x f x π
?
≤≤?=?
??其它
(C ) 3sin ,
0()20x x f x π
?
≤≤
?=?
??,
其它
(D )()sin ,f x x x =-∞<<+∞ 二、填空
1.设连续随机变量X 的分布函数为
11
()arctan ,2F X x x π
=
+-∞<<+∞ (1)(11)P X -≤≤= 0.5 , (2)概率密度()f x =2
1
,(1)
x x π-∞<<+∞+
三、计算题
1. 设随机变量X 的概率密度
,10(),
010,1
c x x f x c x x x +-≤≤?
=-≤≤ >?
求:(1)常数c ;(2)概率(0.5)P X ≤; 答案 (1)1;(2)0.75; 2.已知随机变量X 的概率密度
1(),2
x
f x e x -=
-∞<<+∞, 求:分布函数()F x 。
答案 11,0
2
()1,0
2
x x e x F X e x -?-≥??=?
??
第七节 均匀分布、指数分布
二、选择
1.在区间[]1,2-上服从均匀分布的随机变量X 的密度函数是( B )
(A ) 3,
12()0,
x f x -≤≤?=?
?其它
(B )1,
12()3
0,
x f x ?-≤≤?=???其它
(C ) ()3,
f x x =-∞<<+∞ (D )1(),3
f x x =-∞<<+∞
2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X 的密度函数是( C )
(A ) 22,
0()0,
x e x f x x -?>=?
≤? (B ) 2()2,
x f x e x -=-∞<<+∞
(C ) 1
21,
0()2
0,0
x e x f x x -?>?=??≤?
(D )12
1(),
2
x f x e x -=-∞<<+∞
二、填空
1.设随机变量X 在在区间[]1,2-上服从均匀分布,则
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(1)(61)P x -<<-= 0 , (2) (41)P x -<<= 2
3
, ⑶ (23)P x -<<= 1 , (4) (16)P x <<=
1
3
, 三、计算 题
1.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:h )都服从同一指数分布,概率密度为
1600
1,0()600
0,0
x e x f x x -?>?
=??≤?
试求:在仪器使用的最初的200h 内至少有一只电子元件损害的概率。 答案 1
10.6321e
--≈
第八节 随机变量函数的分布
三、选择
1.设随机变量X 的概率密度为
22,0()0,
x e x f x x -?>=?
≤?
则随机变量2y X =的概率密度为( D )
(A ) 2,
()0,0y Y e y f y y -?>=?
≤? (B ) 22,
0()0,
0y Y e y f y y -?>=?≤?
(C ) 2,
()0,
0y Y e y f y y -?>=?
≤? (D ) ,
0()0,
0y Y e y f y y -?>=?≤?
(C ) 0,
0(),
Y y y f y e y >?=?
≤? (D ) 0,0(),
Y y y f y e y ->?=?
≤? 二、计算题
1.设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ,求2
Y X X =-的概率分布:
2.设随机变量X 的概率密度
2,01()0,
x x f x ≤≤?=?
?其它
求2
Y X =的概率密度 答案
1,
01()0,
Y y f y <=?
?其它
第九节 二维随机变量的联合分布
一、 选择题
⒈ 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 (),0,0;
(,)0,
.x y e x y f x y -+?>>=??其他
则()P X Y <= ( A ) (A )0.5 (B )0.55 (C ) 0.45 (D )0.6
二、填空
1. 下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部 分数值,试将其余值填入表中的空白处
2.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为
(,)(arctan )(arctan )23
x y
F x y A B C =++
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则系数A =
2
1
π
,B =
2
π
,C =
2
π
, (,)X Y 的联合概率密度为
2226
(,)(4)(9)
f x y x y π=
++ 。
三、计算题。
1、设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
(2),0,0;
(,)0,
.x y Ae x y f x y -+?>>=?
?其他 试求(1)常数A ; (2) 概率(01,02)P X Y ≤≤≤≤. 解:(1)由于(,)1f x y +∞+∞
-∞-∞
=??
,
故
(2)0
12
x y A
Ae dxdy +∞
+∞-+=
=??
,所以2A = (2)12(2)0
1
(01,02)2x y P X Y dx e dy -+≤≤≤≤=
?
?
14(1)(1)e e --=--
第十节 二维随机变量的边缘分布
一、计算题
⒈ 设二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为e ,0(,)0,y x y
f x y -?<<=??其他
,求X 的边
缘概率密度()x f x 。 解 0,()e d e ,0()0
y x X X x
x f x y x f x +∞-->=
=≤=?
时时,故e 0
()0,
0x X x f x x -?>=?≤?,
2. 已知二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为(2)2e ,0,0
(,)0,
x y x y f x y -+?>>=??其他.
求随机变量X 和Y 的边缘概率密度。
解 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?,, 22e 0
()0,0
y Y y f y y -?>=?≤?,。
第十一节 随机变量的独立性
一、计算题
1. 已知随机变量1X 和2X 的概率分布
1210101111114
2
4
2
2
X X P
P
- 而且12{0} 1.P X X ==问1X 和2X 是否独立?为什么? 解:因为12121
{0,0}0,[0}{0}0,4
P X X P X P X ======
≠所以1X 和2X 不独立。 2. 已知二维随机变量X Y (,)的联合概率密度为(2)2e ,0,0
(,)0,
x y x y f x y -+?>>=??其他.
随机变量X 和Y 是否独立?
解 由于 e 0()0,0x X x f x x -?>=?≤?,, 22e 0
()0,0
y Y y f y y -?>=?≤?,。
故(,)f x y =()X f x ()Y f y 所以随机变量X 和Y 独立。
第十二节 二维随机变量函数的分布
一、 填空题
1.设X 和Y 为两个随机变量,且3
{0,0},{0}{0}
P X Y P X P Y ≥≥=
≥=≥ 2. 设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律,且X 的分布律为
???
? ??2121
10~X ,则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 z=max{0,0}=0,p=0.25
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z=max{0,1}=max{1,0}=max{1,1}=1,p=0.75
因为z 是x,y 中最大的那个
当x=0,y=0时,z=0,p=0.5*0.5=0.25 当x=0,y=1时,z=1, p=0.5*0.5=0.25 当x=1,y=0时,z=1, p=0.5*0.5=0.25 当x=1,y=1时z=1, p=0.5*0.5=0.25 所以,z=0时,x,y 都只能取0,p=0.25
z=1时,就有三种情况了,把它们的概率相加,p=0.75 二、 选择题
1. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为()X F x ,()Y F y ,则
min{,}Z X Y =的分布函数是 (D )
(A )()Z F z =()X F x (B )()Z F z =()Y F y
(C ){}()min (),()Z X Y F z F x F y = (D )[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =--- 2. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其分布函数分别为()X F x ,()Y F y ,则
max{,}Z X Y =的分布函数是( B )
(A ){}()max (),()Z X Y F z F x F y = (B )()()()Z X Y F z F x F y =
(C ){}()min (),()Z X Y F z F x F y = (D )[][]()11()1()Z X Y F z F x F y =---
第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件§1.2 随机事件的概率 一、单选题 1.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( D ) (A ) “甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B )“甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品畅滞销” (D )“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 2.对于事件、A B ,有B A ?,则下述结论正确的是( C ) (A )、A B 必同时发生; (B )A 发生,B 必发生; (C )B 发生,A 必发生; (D )B 不发生,A 必发生 3.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C ) (A)()()P C P AB = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 二、填空题 1. 设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示 (1)仅A 发生为:ABC ; (2),,A B C 中正好有一个发生为:ABC ABC ABC ++; (3),,A B C 中至少有一个发生为:U U A B C ; (4),,A B C 中至少有一个不发生表示为:U U A B C . 2.某市有50%住户订日报,65%住户订晚报,85%住户至少订这两种报纸中的一种,则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是30%. 3. 设111 ()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC === ====则 ()P A B C ??= 7 16 ;()P ABC =9 16;(,,)P A B C =至多发生一个34 ;(,,P A B C = 恰好发生一个)316 .
第一章随机事件与概率 一、单项选择题 1.掷一枚骰子,设A ={出现奇数点},B ={出现1或3点},则下列选项正确的是 ( B ). A.AB ={出现奇数点} B. AB ={出现5点} C. B ={出现5点} D. A B =Ω 2.设A 、B 为任意两个随机事件,则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A += 3.将一枚匀称的硬币投掷两次,令A i ={第i 次正面向上}(i =1,2),则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ). A.1212A A A A B.12A A C.12A A D.12A A 4.某人向一目标射击3次,设A i 表示“第i 次射击命中目标”(i =1,2,3),则3次都没有命中目标表示为 ( A ). A.123A A A B.123A A A ++ C.123A A A D.123A A A 5.设A 与B 为互为对立事件,且()0,()0P A P B >>,则下列各式中错误的是 ( A ). A.(|)0P A B = B. (|)0P B A = C. ()0P AB = D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ). A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ).
A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB > 8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容 9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ?,则P (A |B )= ( C ). A. 0 B. 0.4 C. 0.8 D. 1 10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ). A.A B B. A B C. A B D. A B 11.设事件A B ?, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ). A. 0.3 B. 0.2 C. 0.5 D. 0.44 12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )= ( D ). A. 0.08 B. 0.4 C. 0.2 D. 0 13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ). A.()()P A B P A = B.A B ? C. P (A )=P (B ) D. P (AB )=P (A ) 14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ). A. 0.4 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.75 15.某学习小组有10名同学,其中6名男生、4名女生,从中任选4人参加社会活动,则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ). A. 3 7 B.0.4 C. 0.25 D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8,活25年的概率为0.6,现有一只该种动物已经活了20年,它能活到25年的概率是 ( B ). A. 0.48 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.8 17.将两封信随机地投到4个邮筒内,则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ).
第五章 数理统计的基本知识 一、选择 1. 设n X X X ,,,21 独立且服从同一分布),(2σμN ,X 是样本均值,记()∑=--=n i i X X n S 1 2 2111, ()∑=-=n i i X X n S 1 2 22 1, ()∑=--=n i i X n S 1 22 3 11μ, ()∑=-=n i i X n S 1 2 24 1μ,则下列服从)1(-n t 的是 ( A ). (A )n S X t 1μ-= (B )n S X t 2μ-= (C )n S X t 3μ-= (D )n S X t 4 μ -= (A) )(2n χ (B) )1(2-n χ (C) )1(-n t (D) )(n t 3. 设总体)4,2(~2N X ,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,则下面结果正确的 是( D ) (A) )1,0(~42N X - (B))1,0(~16 2 N X - (C) )1,0(~2 2N X - (D))1,0(~42 N n X - 二、填空 1.已知某总体X 的样本值为99.3,98.7,100.05,101.2,98.3,99.7,99.5,10 2.1, 100.5,则样本均值X = 99.93 ,样本方差2 S = 1.43 . 2.设总体)4,(~μN X ,1220,, ,X X X 为取自总体X 的一个容量为20的样本,则概率 20 21 P[46.8()154.4]i i X X =≤-≤∑= 0.895 . 3.从总体(63,49)N 中抽取容量为16的样本,则P[60]X ≤= 0.0436 . 2. 设总体),(~2 σμN X , 则统计量~)(1 1 22 2 ∑=-=n i i X X σ χ(B )
第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω,今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω,问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解:(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H , (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时,临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u , (5) 2 αu u <,落入否定域,故拒绝原假设,认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950(小时)。已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布, 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解:
{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得: 拒绝域: 本题中:0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ,其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时的μ相比, X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变,问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解: (1)提出假设0100::μμμμ>=H H , (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时,临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ,在否定域之外,故接受原假设,认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为
第一章 随机事件及其概率 第三节 事件的关系及运算 一、选择 1.事件AB 表示 ( C ) (A ) 事件A 与事件B 同时发生 (B ) 事件A 与事件B 都不发生 (C ) 事件A 与事件B 不同时发生 (D ) 以上都不对 2.事件B A ,,有B A ?,则=B A ( B ) (A ) A (B )B (C ) AB (D )A B 二、填空 1.设,,A B C 表示三个随机事件,用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC ⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为 C B A 第四节 概率的古典定义 一、选择 1.将数字1、2、3、4、5写在5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数是奇数的概率是( B ) (A ) 21 (B )53 (C )103 (D )10 1 二、填空 1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概 率为11322 535 C C C = 2.把10本书任意放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率为 ! 10! 8!3 3.为了减少比赛场次,把20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队 被分在不同组内的概率为1910 10 20 91812=C C C 。 三、简答题 1.将3个球随机地投入4个盒子中,求下列事件的概率
(1)A ---任意3个盒子中各有一球;(2)B ---任意一个盒子中有3个球; (3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。 解:(1)834!3)(334==C A P (2)1614)(31 4==C B P (3)169 4)(3 132314==C C C C P 第五节 概率加法定理 一、选择 1.设随机事件A 和B 同时发生时,事件C 必发生,则下列式子正确的是( C ) (A))()(AB P C P = (B))()()(B P A P C P += (C)1)()()(-+≥B P A P C P (D)1)()()(-+≤B P A P C P 2.已知41)()()(= ==C P B P A P , 0)(=AB P , 16 1 )()(==BC P AC P 。则事件A 、B 、C 全不发生的概率为( B ) (A) 82 (B) 8 3 (C) 85 (D) 86 3.已知事件A 、B 满足条件)()(B A P AB P =,且p A P =)(,则=)(B P ( A ) (A) p -1 (B) p (C) 2 p (D) 21p - 二、填空 1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取3只球,则其中至少有一只红球的概率为 3 33734 135 C C -=(0.97) 2.掷两枚筛子,则两颗筛子上出现的点数最小为2的概率为 0.25 3.袋中放有2个伍分的钱币,3个贰分的钱币,5个壹分的钱币。任取其中5个,则总数超过一角的概率是 0.5 三、简答题 1.一批产品共20件,其中一等品9件,二等品7件,三等品4件。从这批产品中任取3 件,求: (1) 取出的3件产品中恰有2件等级相同的概率; (2)取出的3件产品中至少有2件等级相同的概率。 解:设事件i A 表示取出的3件产品中有2件i 等品,其中i =1,2,3; (1)所求事件为事件1A 、2A 、3A 的和事件,由于这三个事件彼此互不相容,故
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 (B) 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2
第一次作业 一、填空题 1.解:应填 29 . 分析:样本空间含基本事件总数2 10C ,事件所含基本事件数为10个,即(1,2),(2,3)…, (9,10),(10,1)共10个,故所求概率为 210102 9 C =. 2.应填0.6. 分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3.应填1 3. 4. 应填172 5. 5.应填 23. 6 . 二、选择题 1.(D ).2.(C ).3.(B ).4.(C ).5.(C ).6.(A ). 三、计算题 1.将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中,设每个盒子都可以容纳n 只球,求:(1)每个盒子最多有一只球的概率1p ;(2)恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ;(3)n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p . 解:此题为古典概型,由公式直接计算概率. (1)1n N n P p N =. (2)2(1)m n m N n C N p N --=. (3)31 1 n n N p N N -= = .