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常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结

一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式

如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3

(,2)2

当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x -->

的解为(,1(1)-∞?+∞

当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）

如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围又如243

x ax >+

，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式

解法步骤总结：

如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ?

?=∈≠-??

???>-∞?+∞?

又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所

以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为22

01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)

a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠??

<<-∞?+∞??<>-∞?+∞?

又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成

(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根

和2的大小关系，这样做是有问题的。事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。所以此不等式的解集应该是： 0,(,2)20,(,2)

21,(,)(2,)1,{|2}201,(,2)(,)a a a a a a x R x a a =-∞??

??>-∞?+∞?

?=∈≠?

?<<-∞?+∞??

注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式

这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）

步骤：

①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。

②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为

为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根

法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x -是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。

三、解分式不等式

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另

一边为含x 的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()

0()

f x

g x <（或

,,>≤≥的形式），此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解

()

0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤??

≠?

即可。

例如228

x x x -≤--，移项化简得22

3206x x x x -+≥--，使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：一道比较复杂的题，求

(1)

1(1)2

a x a x ->≠-的解集，现写出此题的完整解题过程。解：原不等式通过移项通分可化为

(1)(2)

a x a x --->-，由于1a ≠，所以可以进一步化

为2

(1)()

102a a x a x ---

->-，两根为21

a a --和2。当1a >时，解集为两根的两边，显然有

221a a -<-，所以此时解集为2

(,)(2,)1

a a --∞?+∞- 当1a <时，解集为两根中间，此时必须根据a 的取值判断两根范围。

①当01a <<时，221a a ->-，此时解集为2

(2,)1

a a -- ②当0a =时，2

a a -=-，此时解集为? ③当0a <时，

221a a -<-，此时解集为2

(,2)1

a a --

至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了

当然，如果这道题不给1a ≠的限制条件，只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可。补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题

①求

>的解集

②求1

<的解集 ③求1

<-的解集 ④求

>-的解集 ⑤求1

32x

<的解集

解答：①(0,1)②(,0)(1,)-∞?+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-?+∞⑤11

(,)(,)32

-∞-?+∞，注

意①②的区别四、绝对值不等式

对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ①直接脱去绝对值符号 ()()()()()f x g x g x f x g x ?><-或

②构造函数，数形结合

③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见）

④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）

例：图形法某经典问题，解不等式11a x -<，先画出1

()1f x x

=-的图像如下，然后分

①当0a ≤时，()y f x =的图像在y a =的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解

②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1

(,)2+∞

③当01a <<时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为

11a a

-+，此时解集为11(,)11a a

④当1a >时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为

11a a

-+，此时解集为11(,),(,)11a a

-∞+∞-+

当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x

1a a x

-<-

<，只是在讨论的时候需要细心，考虑到a 的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧

例如125x x -++≥，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点

分段讨论

①当1x ≥时，原不等式化为215x +≥，解得2x ≥ ②当21x -≤<时，原不等式化为35≥，显然无解

③当2x <-时，原不等式化为125x --≥，解得3x ≤-

综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集？），(,3][2,)-∞-?+∞

技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将1x -看成数轴上点x 到点1的距离，将2

x +看成x 到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]-的点（绿色点）到区间端点的距离之和为3，位于区间[2,1]-之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令x 继续远离区间[2,1]-，发现距离之和大于5。

也就是说12x x -++的取值范围是[3,]+∞

同理，遇到减号的情况，例如31x x +--，发现其取值范围是[4,4]- 此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。

例1：若存在实数x 使得不等式11x x a ++-≤成立，则a 的取值范围是？（答案

[2,0]-）

例2：不等式212x x +--≤的解集是？（答案1

(,]2

-∞）

五、无理不等式

无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。

对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。

()0

()()0g x g x f x

()0()[()]g x f x g x ≥??>?

（注意这里为什么没有写()0f x ≥？）

2()0()()0

()[()]

g x g x f x f x g x ?>?

?≥??

其他不等式的解法

主题其他不等式的解法教学内容 1. 掌握分式不等式的解法； 2. 掌握含绝对值不等式的解法。一、分式不等式：解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？（1）0)3)(2(>-+x x （2）0)2(<-x x （3）)(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的，最终大家会发现，无论是哪种理解方法，最终的结论是一样的，当二次项系数为正时，小于零是两根之间，大于零是两根之外。（1） ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？（2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点2不能取等。

练习：解不等式（1） 073<+-x x （2）025152≤+-x x 解：（1）07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同，解(3)(7)0x x -+<得：73x -<< 所以原不等式解集为：(7,3)- （2）025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得：51522x -<≤ 二、绝对值不等式： 1. a x >与a x <型的不等式的解法。当0>a 时，不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<；引导学生结合绝对值的几何意义，通过数轴求解当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是； φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0+的解集是{}R x x ∈