1.二次函数与线段最值
第一讲 二次函数与线段最值 1．如图，已知二次函数223y x x -=-+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边），交y 轴于C 点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式； （2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作y 轴平行线交直线AC 于Q 点，求线段PQ 的最大值； （3）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），过点P 作x 轴平行线交直线AC 于M 点，求线段P M 的最大值； （4）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），求P 点到直线AC 距离的最大值； （5）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点（不与A ，C 重合），连接P A ，PC ，求△P AC 面积的最大值． y x A C O B 竖直线 y x B (x ,y 2) A (x ,y 1) O y x A (x 1,y ) B (x 2,y )O AB =|y 1-y 2|=y 1-y 2 (纵坐标相减)上减下 水平线 AB =|x 1-x 2|=x 2-x 1 (横坐标相减)右减左
2．如图，抛物线223y x x -=-+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．
二次函数面积最大值
二次函数面积最大值 教学目标： 1.通过本节课学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点 与最值的关系，会求解最值问题。 2.通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。 教学重点： 利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题 教学难点： 1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点与最值关系的理解与应用 教学过程： 一、复习旧知： 1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当 a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是_____；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是. 2.二次函数y=2x 2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x=时，函数有最值，是. 二、创设情境： 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ （设计意图：寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。） 三、讲解新知： 有一块三角形余料如图所示，∠A=90°，AM=30cm ，AN=40cm ，要利用这块余料截出一个矩形，怎样截取矩形的面积最大？
二次函数最值问题(含答案)
二次函数最值问题 一．选择题（共8小题） 1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（） A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（） A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3 4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在 5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（） A．B．2 C．D． 8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）
A．7 B．7.5 C．8 D．9 二．填空题（共2小题） 9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上， =6．当线段OM最长时，点M的坐标为． 点M在x轴负半轴上，S △ABM 三．解答题（共3小题） 11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编
M N B C x A O y 求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编 28．（ 甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840a b a b -+=??++=? ， 1分 解得：1 4 a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为 213 442 y x x =-++． 3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）, C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4，
∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ． 4分 ∵OA =4，BC =10， ∴1 14102022 ABC S BC OA =?=??=V ． 5分 11 22222 810ABN AMN ABN S BN OA n+n+S AM CN n , S AB CB = ?=?-===（）4=（）又V V V Q ∴2811 (8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+V V ． 6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大． 7 分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.= 8分 ∵AB = AC ∴12AB AC,= 9分 ∴1 4 OM AC =． 10分 24（ 海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = + 相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。
(完整版)二次函数的最值问题
典型中考题（有关二次函数的最值） 屠园实验周前猛 一、选择题 1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( ) A. ab D不能确定 答案：C 2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A、- 7 4 B、3或-3 C、2或-3D2或-3或- 7 4 答案：C ∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m. 当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 7 4 ， 2 765 y x 416 ?? =-++ ? ?? 此时，它 在－2≤x≤l的最大值是65 16 ，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符. 当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符. 综上所述，实数m的值为2或-3. 故选C． 3．已知0≤x≤1 2 ，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6 答案：C
解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而 增大．又∵0≤x≤1 2 ，∴当x= 1 2 时，y取最大值，y最大=-2（ 1 2 -2）2+2=-2.5．故选：C． 4、已知关于x的函数. 下列结论： ①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小； ④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。 真确的个数是（） A,1个B、2个 C 3个D、4个 答案：B 分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断； ②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假； ③根据二次函数的增减性，即可作出判断； ④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求 出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断. 解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0， 解得：k=0．运用方程思想； ②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法； ③假，如k=1， b5 -= 2a4 ，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法； ④真，当k=0时，函数无最大、最小值； k≠0时，y最= 22 4ac-b24k+1 =- 4a8k ， ∴当k＞0时，有最小值，最小值为负； 当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想． 二、填空题： 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是
二次函数中三角形面积最大值综合题
精心整理 2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题 28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）AB 于 点M （3∴ 810 AM NC n AB BC -== ．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11 4102022ABC S BC OA =?=??=V ．5分 ∴2811(8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -==-+=--+V V ．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点.
∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=， 22641645AC OC OA =+=+=， ∴12AB AC,=9分 ∴1 4 OM AC =．10分 24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()和点()。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = +相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。 【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长， 可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标． 【解答】解： （1）∵抛物线y=ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （5，0）， ∴，解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为y=x 2﹣x +3； （2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方， ∴可设P （t ，t 2﹣ t +3）（1＜t ＜5）， ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线C D 交于点M 、N ，
二次函数及三角形周长,面积最值问题
二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。
练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2
二次函数的线段最值问题
二次函数的线段最值问题
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例１:如图，抛物线经过了点Ａ(4，0），B(-4，-4）,C(０,2)，连接AB,ＢC,ＡC, （１）求抛物线解析式。 (2）点P是抛物线对称轴上的一点,求△ＰBC周长的最小值及此时P点的坐标。 2．已知如图，抛物线y=x2+bx+ｃ过点Ａ（3,0）,B(1,0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合）,过点P 作PD∥y轴交直线ＡＣ于点D． (1)求抛物线的解析式; （2）求点Ｐ在运动的过程中线段PＤ长度的最大值; (3)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MＡ﹣MＣ｜最大？若存在请求出点Ｍ的坐标，若不存在请说明理由. y F O B C A D E
3.如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点Ａ,B 是ＯＡ的中点.一个动点G 从点B 出发,先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点Ａ.如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程． ４.如图，菱形ＡB ＣD 的边长为6且∠DAB=60°,以点A 为原点、边AB 所在的直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系.动点P 从点D 出发沿折线D ＣB 向终点B 以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q 从点Ａ出发沿ｘ轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点Ｐ到达终点时停止运动,运动时间为t,直线PQ 交边AD 于点E ． （1)求出经过Ａ、D 、C 三点的抛物线解析式； （2）若F 、G 为ＤC 边上两点，且点ＤＦ=ＦＧ=１，试在对角线D Ｂ上找一点M 、抛物线ＡDC 对称轴上找一点N,使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一
若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 讲义参考答案
初三二次函数最值问题和给定范围最值(供参考)
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 二次函数中的最值问题重难点复习 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2 ()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 44222 2-+??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法． 第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值． 如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a ==- ； 第二步：讨论： [1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02m n x +≤ ，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++； ②对称轴02 m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧，在x m =处取最大值2max y am bm c =++ 小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
二次函数线段的最大值
二次函数专题训练 类型一与线段、周长有关的问题的导学案 一、考点聚焦 （一）与几何最值有关的知识点。 1.两点之间，线段最短； 2. 在直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短； 3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （二）求线段和的最小值，线段差的最大值 二、玩转重庆四年中考 （2016年B卷26（2）题，2015年A卷26（2）题，）（2014年A卷25题，2013年A卷25（2）题，B卷25（2）题）三、典例精讲 例1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、 1x－2经过 B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝ 点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标； (3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得 GD＋GB的值最小，若存在，求出点G的
(4)在直线l 上是否存在一点F ，使得△BCF 的周长最 小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF 周长的最小值； 若不存在，请说明理由； (5)在y 轴上是否存在一点S ，使得SD －SB 的值最大，若 存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由； (6)若点H 是抛物线上位于AC 上方的一点，过点H 作y 轴的平行线，交AC 于点K ，设点H 的横坐标为h ，线 段HK ＝d . ①求d 关于h 的函数关系式； ②求d 的最大值及此时H 点的坐标． 四、针对演练 与课后作业 （1、2、3题必作题， 4题选作） 1. 如图，抛物线y ＝－41x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)，B (－4，－ 4)，且抛物线与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ，AC . (1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线对称轴上的点，求△PBC 周长的最小值及此时点P 的坐标； (3)若E 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作y 轴的平
初中数学二次函数的最值问题专题复习
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．
二次函数线段、周长、面积最值问题
1. 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（-3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）若a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于 点D ，求线段QD 长度的最大值． 2．如图，二次函数y=ax 2-32 x+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛 物线上的一个动点，求△MBC 面积的最大值以及此时点M 的坐标． 3．如图，二次函数y=ax 2 +bx 的图象与一次函数y=x+2的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是-1，点B 的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值．
4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 5.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．求S与m的函数关系式。S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学题型专项训练：二次函数与最值问题(含答案)
二次函数与最值问题 1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于 A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D. (Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标; (Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为7 4 ,最大值为4,求a,b应 满足的条件; (Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3, 得－9＋6(m－2)＋3=0, 解得m=3, 则二次函数为y=－x2＋2x＋3,
∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4); (Ⅱ)把y=7 4 代入y=－x2＋2x＋3中, 得7 4 =－x2＋2x＋3, 解得x1=－1 2,x2= 2 5 , 又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－1 2 ≤a≤1. 当a=－1 2时,1≤b≤ 2 5 , 当－1 2＜a≤1时,b= 2 5 ; (Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,
∴点C坐标为(0,3). 当△PDC是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC=DP时, 由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称, ∴点P坐标为(2,3); ②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H, 过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N, ∵HD=HC=1,PC=PD, ∴HP是线段CD的垂直平分线. ∵HD=HC,HP⊥CD, ∴HP平分∠MHN,
二次函数中三角形面积最大值综合题
二次函数中三角形面积 最大值综合题 Revised by Petrel at 2021
2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题 28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点 ()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840 a b a b -+=?? ++=?，1分 解得：14a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为21 344 2 y x x =-++．3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）,C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4， ∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11 4102022 ABC S BC OA =?=??=．5分
∴2811 (8)(2)(3)510 55 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴1 2 OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=， 22641645AC OC OA =+=+=， ∴12AB AC,=9分 ∴1 4 OM AC =．10分 24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = +相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。 【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用P 点坐标，可 分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．
二次函数的最值问题总结
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时， 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1．当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
二次函数中线段和、差最值问题
2、如图，△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （-2，0）、B （6, 0）、C （0, -2 3 ），抛物线 y=ax 2+bx+c （a ^0）经过A 、B 、C 三点。（1）求直线AC 的解析式；（2）求抛物线的解析式； （3）若抛 物线的顶点为D,在直线AC 上是否存一点P ,使得△ BDP 的周长最小，若存在，求出 P 点的 坐标；若不存在，请说明理由。 线交于u A 、 1 x 1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线 1 x 2 bx c 与直 轴交于B 、 C 两点，且B 点坐标为（1, 0）。⑴求该抛物线的解析式； 动，当△ PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。⑶在抛物线的对称轴上 AM - MC|的值最大，求出点M 的坐标。 4、如图8,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A （-1 , 0）, C （ 0, 5）两点，与x 轴另一交点为B ,已知M （ 0, 1）, E （a , 0）, F （a+1, 0）,点P 是第一象限内的抛物线上的动点.（1） 求此抛物线的解析式.（2）当a=1时，求四边形MEFP 5积的 点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形 二次函数中线段和、差最值问题 姓名： __________________ 1、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线I 与抛物线交于点 C ,其中A 点的坐标是（1, 0），C 点坐标是（4, 3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在（1） 中抛物线的对称轴上是否存在点 D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不 存在，请说明理由；并求出周长的最小值；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位 于直线AC 的下方，试求△ ACE 的最大面积及E 点的坐标. y 3、、如图，已知直线 y ⑵动点 x 轴 找一点M , E 两点, 最大值，并求此时点P 的坐标.
中考二次函数面积最值问题(含答案)
二次函数最值问题 例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这 条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?21世纪教育网 解：（1）x 02x 21 2+-=S （2）∵a=21 -<0 ∴S 有最大值 ∴022120 2a 2b x =-?-=-=） （ ∴ S 的最大值为2002002202 1 2=?+?-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。 2.如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm ，AD =4cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值. 解：（1）∵S △PBQ =2 1 PB ·BQ, PB=AB －AP=18－2x ，BQ=x ， ∴y=2 1 （18－2x ）x ，即y=－x 2+9x （0
