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有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法)

●部分分式法

部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下

(1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式

=+被除式餘式

商式除式除式

將原分式化成帶分式的形態

(2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現

下面四種可能 ①ax b +

②2

bx c ++

③()n

ax b + ④2

()n ax

bx c ++

(3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的

11221122

()

()()

()

n n n n

A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b =

++++++

②重複的一次因式

122

()()()

()

n n

A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++

++++

③所有的因式都是二次不重複的

222

111222()

()()

()

n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++

1122

111222n n

n n n

A x

B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式

2()()n P x ax bx c ++112

2222

2()

()

n n

A x

B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++

++++++

例題1. 求21

x dx x +-?

Sol ：

24(2)(2

)x x x -=+- 令

1422

x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2

4(2)(2)x x x -+-或】

?1(2)(2)

x A x B x +=-++ 令2x =-代入?

41A -=-1

A ∴=

令2x =代入?43B =34

B ∴=

∴原式143413

()ln 2ln 22244

dx x x C x x =+=++-++-?

提示：公式 11

ln dx ax b C ax b a =+++?

例題2. 求32232

x x

dx x x -++?

Sol ：

【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把32232x x

x x -++化成帶分式】

【利用多項式的除法與公式=+被除式餘式

商式除式除式

】

得32232

x x

x x -++2

56332x x x x +=-+++ ∴原式=

(3)32

x x dx x x +-+

++? 【接下來依規定將256

x x x +++化成部分分式】

232(1)(2)

x x x x ++=++ 設

563212

x A B

x x x x +=+++++ 【等號兩邊同乘2

32(1)(2)x x x x ++++或】

?56(2)(1)x A x B x +=+++

令1x =-代入?1A =

令2x =-代入?

44B B -=-∴=

∴原式=

(3)32

x x dx x x +-+

++?

=14

(3)12

x dx x x -++++?

3l n 14l n 22

x x x x C

=-+++++

例題3. 求23

(1)

x x dx x +--? Sol ：

令23

(1)

x x x +--=231(1)(1)A B C x x x ++--- 【等號兩邊同乘3

(1)x -】

2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+

2(21)(1)A x x B x C =-++-+

2(2)()

A x

B A x A B

C =+-+-+ 【比較係數後，得到下面的聯立方程式】

1226A B A A B C =?

-=??-+=-?

?1,4,3A B C ===- ∴23

26(1)

x x dx x +--?23143()1(1)(1)dx x x x -=++---? =1

ln 14(1)(1)2

x x x K -----+-+

提示：23

()(1)(1)

dx x x -+--?的積分方法(代換法)

1u x d u d x

=-?= 23

43()(1)(1)dx x x -+--?2343

()du u u

=-?

(43)42

d u u u

----=-=-+

4(1)(1)2

x x --=--+-

【提示：其實利用綜合除法也可以求,,A B C (比較方便)】

1 2+ 6-

分式函数

第 1 页共 4 页一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质【教学过程】一、知识梳理： 1．一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2．一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数的图像与性质

y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质一、概念提出 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。二、学习探究探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当时为奇函数; (6)图象:如图所示问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间上就是增函数, 在区间上为减函数; (5)渐近线:以轴与直线为渐近线; (6)图象:如右图所示例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y

有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法) ●部分分式法部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下 (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式 =+被除式餘式商式除式除式將原分式化成帶分式的形態 (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現下面四種可能 ①ax b + ②2 ax bx c ++ ③()n ax b + ④2 ()n ax bx c ++ (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的 12 11221122 () ()() () n n n n n A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b = ++ + ++++++ ②重複的一次因式 122 ()()() () n n n A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++ ++++ ③所有的因式都是二次不重複的 222 111222() ()() () n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122 22 2 111222n n n n n A x B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式 2()()n P x ax bx c ++112 2222 2() () n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++ ++++++ 例題1. 求21 4 x dx x +-? Sol ： 24(2)(2 )x x x -=+- 令 2 1422 x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2 4(2)(2)x x x -+-或】 ?1(2)(2) x A x B x +=-++ 令2x =-代入? 41A -=-1 4 A ∴= 令2x =代入?43B =34 B ∴= ∴原式143413 ()ln 2ln 22244 dx x x C x x =+=++-++-? 提示：公式 11 ln dx ax b C ax b a =+++? 例題2. 求32232 x x dx x x -++?

有理函数及三角函数有理式的积分

§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如， ????+-31,,ln ,sin 2 x dx dx e x dx dx x x x ，被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。二、有理函数的积分有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即 =)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++= ----11101110) ()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,2 10Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，通常总假定分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b . 当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如 111122 234-++++=-+x x x x x x x .

有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质：（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是（） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是（） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是（） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为（） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为（） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为（） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是。

一次分式型函数学案

一次型分式函数图象的研究教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学重点用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学难点用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学过程一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识．二、基本函数作图例1．作下列函数图象（1）x y 3=；（2）x y 2-=．归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点．归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0

归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位，等等．练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象．例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系．归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．练习：作函数21++=x x y 的图象．四．“二线一点”法作图探究例4．已知函数4 23-+=x x y ．（1）作函数的图象；（2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即函数的值域）．（3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？（函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线）（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）（5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？（6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系．例5．作函数1 23--=x x y 的图象．归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法：（1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象．

有理函数积分方法的优化

有理函数积分的方法优化一、有理函数积分有理函数定义：形如n m m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R +??+++??++==--110110)()()(当n m ≤时，)(x R 为假分式；当n m >时，)(x R 为真分式有理函数?相除多项式+真分式，其中真分式?分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为：从上述定义可以看出，有理函数的积分是利用分式函数可拆分的性质解题的，即 C k a x A dx a x A k k +--=--?1)()(1，() c x P q px x B dx q px x N Mx ++++-=+++?)(222这种做法对于式子比较简单，即分母能拆解的项数是在三项或者三项以下的比较实用，但是对于三项以上，即要设三个未知数以上，最后通过求解多元一次方程组求解各个系数，最后通过简单的不定积分计算得出答案。对于有学过数学的朋友都知道，一旦涉及的未知数较多的时候特别考验计算能力，即使平时计算能力还不错得体同学，对于式子较多时，亦会存在不少的问题，以下列两道例题体现该方法的优势和劣势：例1dx x x x ?+-+6532解：())3(2652--=+-x x x x ，所以3 26532-+-=+-+x B x A x x x 所以可列二元一次方程得3)2()3(+=-+-x x B x A ，即?? ?=--=+3231 B A B A 解得65=-=B A ，，则c x x dx x dx x dx x x x +-+-=-+--=+-+???)3ln(6)2ln(5-3 6256532例2dx x x x x ?++-+)1()1(6322

高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例解原式

3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?

题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)

秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数）【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为。【秒杀题型二】：二次函数。『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明，

有理函数积分法精选

第21讲理函数的不定积分讲授内容一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 m m m n n n x x x x x Q x P x R βββααα++++++= =-- 110110)()()(， (1) 其中n ，m 为非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β．若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()() () ()t t t s q p x q x p x a x a x x Q μ μλλ ++++--=21 12 11 2 1 ，（2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且 .,,2,1,04;221 1 t j q p m j j s i t j j i =-=+∑∑==μλ 第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k a x -的因式，它所对应的部分分式是

()();22 1k k a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如() k q px x ++2的因式，它所对应的部分分式是 () () .2 2 22 2211k k k q px x C x B q px x C x B q px x C x B ++++ +++++ +++ 把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.) 第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8 42510 9422 345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252 345-+--+x x x x x ()()() .12222 +-+-=x x x x 部分分式分解的待定形式为()().1 22222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式 ()()121094222 0234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()() 121222 22 1+--++-+-x x x A x x x x A +()()()2 22+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组： ????? ?? ??-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解： .1 1 )2(12221)(22+---+-++-= x x x x x x x R 上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为

分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

有理函数积分法

第21讲理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 m m m n n n x x x x x Q x P x R βββααα++++++==-- 1 10110)()()(， (1) 其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β．若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：第一步对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()() () ()t t t s q p x q x p x a x a x x Q μ μλλ ++++--=21 12 11 2 1 ，（2）其中()t i j i ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且 .,,2,1,04;221 1 t j q p m j j s i t j j i =-=+∑∑==μλ 第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()k a x -的因式，它所对应的部分分式是 ()() ;22 1k k a x A a x A a x A -++-+- 对每个形如() k q px x ++2的因式，它所对应的部分分式是 () () .2 2 22 2211k k k q px x C x B q px x C x B q px x C x B ++++ +++++ +++ 把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.) 第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8 42510 9422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252 345-+--+x x x x x ()()() .12222 +-+-=x x x x 部分分式分解的待定形式为()().1 2222 2210+-++++++-= x x C Bx x A x A x A x R （3）

反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、理解分式函数的概念 2、掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、掌握反比例函数的性质【教学过程】一、知识梳理： 2、一次分函数的定义我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质图象：其图象如图所示.

第 2 页共 4 页定义域：_________________；值域：____________________；对称中心：___________________；渐近线方程：______________________；单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

分式函数求值域

分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如d cx b ax x f ++= )((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求2 312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x ∴其值域为}? ??≠32/y y 一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c d x -≠},则值域 }? ??≠c a y y / 例2：求2 312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x y 31 -=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为?? ? ??85,53 小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。

二、形如求x a x x f + =)(（)0≠a 的值域。分析：此类函数中，当0a 时，对函数求导，,1)(2'x a x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈?+∞,a ），0)('，则则函数241t t y t -+=的最小值为_______. 解：41142-+=+-=t t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y