有理函数部分分式的分解定理及其应用

万方数据

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有理函数部分分式的分解定理及其应用

作者：刘鸿基， 于涛， LIU Hong-ji， YU Tao

作者单位：商丘师范学院计算机科学系,河南,商丘,476000

刊名：

通化师范学院学报

英文刊名：JOURNAL OF TONGHUA NORMAL UNIVERSITY

年，卷(期)：2009，30(8)

被引用次数：0次

参考文献(3条)

1.同济大学数学系高等数学 2007

2.刘鸿基高等数学中的思想方法与创新教育 2007

3.G 波利亚.李志尧数学与猜想 1984

本文链接：https://www.sodocs.net/doc/aa14191453.html,/Periodical_thsfxyxb200908003.aspx

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下载时间：2010年8月7日

整式乘法与因式分解和分式测试题

八年级上册数学测验题 一、选择题（请把答案写到下面的框内，每题4分，共48分） 1. 下列各式 m 1、21、y x +15、π 2、y x b a --25、432 2 b a -、65xy 其中 5. 7. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 8.若x+m 与x+3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）。

A 、-3 B 、3 C 、0 D 、1 9.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值为（ ）。 A 、3 B 、-5 C 、7 D 、7或-1 10. A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千 米/时，则可列 11.把多项式n n x x 632-- 分解因式，结果为（ ）。 A 、)2(3+-n n x x B 、)2(32n n x x +- C 、)2(32+-x x n D 、)2(32n n x x -- 12. 已知b a b a b a ab b a -+>>=+则 且,0622的值为（ ） A 、2 B 、2± C 、2 D 、 2± 二、填空题（每题4分，共20分） 13. =?-201520145.1)3 2 ( 。 14. 用科学记数法表示：－0.0000002005＝ ． 15.边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积 是 。 16.若分式 y y --55 ||的值为0，则y= 。 17.若a>0，3,2==y x a a ，则=-y x a 。三、解答题（共32分） 18.计算（每题5分，共10分） （1） ））（（b a b a b )2(322-+-÷--b ab b a （2） 33223)()(----?ab b a 19.（8分）先化简再求值： )111 (3121 322+---++?--x x x x x x ，其中x=- 65。

分式函数

第 1 页 共 4 页 一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 【教学过程】 一、知识梳理： 1． 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 2． 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 2.1 图象：其图象如图所示. 2.2定义域： ? ?????-≠a b x x ； 2.3 值域：? ?????≠ a c y y ； 2.4 对称中心：??? ? ?- a c a b ,；

2.5 渐近线方程：b x a =- 和c y a =； 2.6 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad

因式分解与分式

因式分解与分式 （因式分解与分式） 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每题2分，共20分） 1、如果)3)(3)(9()81(2x x x x n -++=-，那么n= 。 2、已知0=+-c b a ，则=--+--+--+))(())((c a b c a b c b a c b a 。 3、化简：200220032)2(+-所得的结果为 。 4、下列多项式：①22n m -；②22b a +；③224y x +-；④ 22916b a --能用平方差公式因式分解的是 （填序 号）。 5、若2 241121161?? ? ??+=+-n x m xy x ，则m= ，n= 。 6、当x 时，分式 x x +710有意义。 7、若0352=--y x ，则=÷y x 324 。 8、0.0046用科学记数法表示为 。 9、如果1)1(0=-a ，则a 的取值范畴为 。 10、分式223c a b 、ab c 2-、3 5cb a 的最简公分母是 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、下列各数分解后素数种类最多的是（ ） A 、121 B 、256 C 、64 D 、100 2、下列关于因式分解讲法正确的是（ ）

A 、单项式也能够进行因式分解 B 、因式分解会改变式子的大小 C 、因式分解确实是进行多项式的乘法运算 D 、因式分解的结果只是将多项式化成几个整式的乘积形式 3、已知a 、b 差不多上素数，且a ＜b ，若ab 为偶数，则（ ） A 、a=2 B 、b=2 C 、a+b=2 D 、无法确定 4、代数式)(1553a b b a -，)(52a b b a -，))((2533b a b a b a +--的公因式是（ ） A 、)(5b a ab - B 、)5(22a b b a - C 、)(52a b b a - D 、 )(1202233b a b a - 5、下列各式为完全平方式的是（ ） A 、22n mn m +- B 、122--x x C 、4 1 22++x x D 、 ab b a 4)(2+- 6、在3a 、1+x x 、y x +5 1 、b a b a -+22中分式的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、若分式9 69 22++-x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 、3 B 、—3 C 、3± D 、4 8、下列分式化简后等于 1 21 +x 的是（ ） A 、144122+--x x x B 、144122---x x x C 、141 22-+x x D 、 1 441 22+++x x x 9、运算：3927÷÷m m 的结果为（ ）

分式函数的图像与性质

y ax =b a b a -2ab 2ab -x O y 高一数学选修课系列讲座(一) -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+,212x y x +=-,41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如 22 [()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如 22112x x y +=-,sin 23sin 3 x y x +=-,12x y -+=等。 二、学习探究 探究任务一:函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像就是怎样的？ 例1 画出函数21 1 x y x -=-的图像,依据函数图像,指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结:(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像的绘制,可以经由反比例函数的图像平移得到,需要借助“分离常数”的处 理方法。 分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)单调性:单调区间为 ; (4)渐近线及对称中心:渐近线为直线 ,对称中心为点 ; (5)奇偶性:当 时为奇函数; (6)图象:如图所示 问题2:(0)b y ax ab x =+ ≠的图像就是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像,绘制函数1 y x x =+的图像,并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结:分式函数(,0)b y ax a b x =+>的图像与性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)奇偶性: ; (4)单调性:在区间 上就是增函数, 在区间 上为减函数; (5)渐近线:以 轴与直线 为渐近线; (6)图象:如右图所示 例3、根据y x =与1y x = 的函数图像,绘制函数1 y x x =-的图像,并结合函数图像指出函数具 x O y x O y

有理函数之积分(部分分式法)

☆3一3 有理函數之積分(部分分式法) ●部分分式法 部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。其步驟與原則如下 (1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式 =+被除式餘式 商式除式除式 將原分式化成帶分式的形態 (2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現 下面四種可能 ①ax b + ②2 ax bx c ++ ③()n ax b + ④2 ()n ax bx c ++ (3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和 ①所有的因式都是一次不重複的 12 11221122 () ()() () n n n n n A A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b = ++ + ++++++ ②重複的一次因式 122 ()()() () n n n A A A P x ax b ax b ax b ax b =+++ ++++ ③所有的因式都是二次不重複的 222 111222() ()() () n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122 22 2 111222n n n n n A x B A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++

④重複的二次因式 2()()n P x ax bx c ++112 2222 2() () n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++ ++++++ 例題1. 求21 4 x dx x +-? Sol ： 24(2)(2 )x x x -=+- 令 2 1422 x A B x x x +=+-+- 【等號兩邊同乘2 4(2)(2)x x x -+-或】 ?1(2)(2) x A x B x +=-++ 令2x =-代入? 41A -=-1 4 A ∴= 令2x =代入?43B =34 B ∴= ∴原式143413 ()ln 2ln 22244 dx x x C x x =+=++-++-? 提示： 公式 11 ln dx ax b C ax b a =+++? 例題2. 求32232 x x dx x x -++?

有理函数及三角函数有理式的积分

§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分 教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如， ????+-31,,ln ,sin 2 x dx dx e x dx dx x x x ， 被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是 因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。 求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。 求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。 二、 有理函数的积分 有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即 =)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++= ----11101110) ()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,2 10Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，通常总假定 分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b . 当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如 111122 234-++++=-+x x x x x x x .

八年级数学因式分解与分式

八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2492323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 1 1 （ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2 22()a b a b +-

有理分式函数的图象及性质

有理分式函数的图象及性质 【知识要点】 1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d += ≠≠+ （1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠ 单调区间为(,),(,+)d d c c -∞-- ∞（4）直线,d a x y c c =- = ，对称中心为点(,)d a c c - （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b y ax a b x =+ >>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥≤或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间0)上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b y ax a b =+ ><的图象和性质：

【例题精讲】 1．函数1 1+- =x y 的图象是 （ ） A B C D 2．函数23 (1)1 x y x x += <-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2 2 2 2 x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++= <= ≠=<= ≠---- 3．若函数2()x f x x a +=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D -- 4．若函数21 ()x f x x a -=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .2 2 A a B a C a D a ≠-≠≠ ≠- 5．不等式14x x > 的解集为 （ ） 1111111. (,0)( ,) . (-,)( ,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0, ) 22 2 2 2 2 2A B C D - +∞∞- +∞-∞- 6．已知函数2 ()ax b f x x c += +的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c D b c a >>>>>>>> 7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。 8．函数2 34 x y x = +的值域是 。 9．若函数1 a x y x a -= --的反函数的图象关于点(1,4)-成中心对称，则实数 a = 。 10．函数11 x x e y e -= +的反函数的定义域是 。 11．不等式 2113 x x ->+的解集是 。 12．函数2 2 1 x x y x x -= -+的值域是 。

02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等 一、 方法技巧 1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了 多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等． 2. 使用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）； （3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知()22 52x a x bx c -=-?++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法． 3. 格式与步骤: (1)确定所求问题含待定系数的解析式. 上面例题中，解析式就是：()2 2a x bx c -?++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程. 在这一题中，恒等条件是： 210 5a b c -=??=??=-? (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决. ∴10 5a b c =??=??=-? 二、应用举例 类型一 利用待定系数法解决因式分解问题 【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除. （1）求a ，b （2）分解因式：432237x x ax x b -+++ 【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()() 4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+--- 【解析】 试题分析：

一次分式型函数学案

一次型分式函数图象的研究 教学目标 1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象． 2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学重点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学难点 用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象． 教学过程 一、复习 1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数． 2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x k y 的认识． 二、基本函数作图 例1．作下列函数图象 （1）x y 3=； （2）x y 2-=． 归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称 点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点． 归纳2：一般地，函数)0(≠=k x k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0

归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位， 等等． 练习：指出函数3 21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3 21--=x y 的图象． 例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x k y 的图象的关系． 归纳：一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移． 练习：作函数21++=x x y 的图象． 四．“二线一点”法作图探究 例4．已知函数4 23-+=x x y ． （1）作函数的图象； （2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即 函数的值域）． （3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2 1≠y 反映在图象上的特点是什么？ （函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2 1=y 是对应双曲线的渐近线） （4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、 三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4 23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定） （5）对于一般的一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？ （6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系． 例5．作函数1 23--=x x y 的图象． 归纳：对于一次型分式函数)(d b c a d cx b ax y ≠++=的作法： （1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c a y =； （2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”； （3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象． 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1 32+-=x x y 的图象．

高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法 【摘要】 当被积函数为两多项式的商 () () P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结 【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分 两个多项式的商 () () P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式. 1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 例1.2 422 23 1 x x dx x +++? ()222 2 2131 x x x dx x ++-=+? 解 原式 2 2 2212311 x x dx dx dx x x =+-++??? ()42 2222 2 22 222223321.11 311 31 13111 31 arctan x x dx x x x x dx x x x dx dx x x dx dx x x dx dx dx x x x x C +++-=+=-+? ?=-- ?+?? =-++=--+?????????例 解 原式

3 24arctan 3 x x x C = +-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如： 2221111x dx dx x x ? ?=- ?++?? ?? 对于真分式 () () P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和： ()()P x Q x ()()()() 1 212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为 把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、() () 1k P x x a -、 () () 22 l P x x px q ++等三类函数，则多项 式的积分容易求的 2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分 2.1 类型一 ()m k ax b dx cx +? 例2.1.1 () 3 2 1x dx x -? 322 331 =x x x dx x -+-?解 原式 211 =33xdx dx dx dx x x -+-???? 211 =332x x In x C x -+++ 总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数， 然后利用常见积分公式进行运算 2.2 类型二 () k m cx dx ax b +?

因式分解和分式方程章节测试卷

数学周考试卷 一、选择题（每小题3分，共27分） 1．下列因式分解中，正确的是（） A C ． D． 2） A．2个 B．3．4个 D．5个 3．若关于m的取值范围是（） A、 B、 C、且 D、且 4） A、0 C、1 D 5x的取值范围是（） A、 B、且 C、 D、且. 6．已知x+，那么的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．4 7．下列各式变形正确的是（） A C 8．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共人，则所列方程为（） A 9．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（） A．﹣=40 B．﹣=2.4 C．﹣2=+ D．+2=﹣ 10 x 2 x≠ 且 1 x≥ 1 x＞ 2 x≠ 1 x≤ 1 x≥ 1 m≠ 1 m≥- 1 m≠ 1 m>- 1 m≥ 1 m>- x )3 )( 2 ( 6 5 2- - = - -x x x x 2 2 2) (y x y x- = -

11．当______ 0； 12 _______个； 13有增根，则它的增根是 ，m= ； 14．已知m=2n≠0，则 +﹣= ． 15．一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时。现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做。完成整个工程一共需要多少小时？若设一共需要x 小时，则所列的方程为 。 三、解答题（55分） 16．解方程(8分) （1） （2） 17．先化简，其中x 的整数解．（6分） x =

题型08 必考的几类初等函数(分式一次型函数、二次函数、指数函数)(原卷版)

秒杀高考题型之必考的几类初等函数（分式一次型函数、二次函数、指数函数） 【秒杀题型一】：分式一次型函数：()ax b d y x cx d c += ≠-+。 『秒杀策略』：反比例函数()k f x x =推广为分式函数：()ax b d y x cx d c +=≠-+→把分子变量去掉，可转化 为：t y m x n =+-，图象为双曲线，有以下性质： ①定义域：,x R x n ∈≠； ②值域：,y R y m ∈≠，a m c =； ③单调性：单调区间为()(),,,n n -∞+∞，当0t >时为减函数，反之为增函数； ④对称中心：(),n m 。 秒杀方法：在选择题中考查增减性时．．．．．．．．．．．，．如选项中有分式．．．．．．．一次型．．．函数．．，．一般情况下．．．．．优先考虑．．．．此选项。．．．． 1.(高考题)函数1 11--=x y 的图象是 ( ) 2.(高考题)在区间(),0-∞上为增函数的是 ( ) A.0.5log ()y x =-- B.1x y x = - C.2(1)y x =-+ D.21y x =+ 3.(高考题)函数()21 )(≥-=x x x x f 的最大值为 。 【秒杀题型二】：二次函数。 『秒杀策略』：二次函数解析式设法有三种：根据条件特点采用对应设法。①一般式：2y ax bx c =++； ②两根式：12()()y a x x x x =--; ③顶点式：2()y a x h k =-+。 1.(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里x 被称为乐观系数。经验表明，

(分式因式分解)

1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+- C 、()24545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ? ?--=-- ?? ? 2、下面各分式： 44 16121222 222+-+---++-x x x x x y x y x x x x ，，，，其中最简分式有（ ）个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3、 如果m 为整数，那么使分式 1 3 ++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、已知正方形的面积是()22168x x cm -+(x >4cm)，则正方形的边长是( ) A 、()4x cm - B 、()4x cm - C 、()164x cm - D 、()416x cm - 5、下面各式，正确的是（ ） A. 32 6 x x x = B. b a c b c a =++ C. 1=++b a b a D. 0=--b a b a 6、已知1=ab ，则? ?? ??+??? ? ? -b b a a 11的值为（ ） A. 2 2a B. 2 2b C. 2 2a b - D. 2 2b a - 7、下列各式的分解因式：①()()2210025105105p q q q -=+- ②()()22422m n m n m n --=-+-③()()2632x x x -=+-④2 21142x x x ? ?--+=-- ???其中正 确的个数有( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A 、()()4x y y x xy +-- B 、2224a ab b -+ C 、2144 m m -+ D 、()2 221a b a b ---+ 9、若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 10、如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个 边长为b 的小正方形(a >b )，把余下的部分 剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图 形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则 这个等式是( ) A 、()()2222a b a b a ab b +-=+- B 、()2 222a b a ab b +=++ C 、()2 222a b a ab b -=-+ D 、()()22a b a b a b -=+- 11、对于分式39 2+-x x ，当x__________时，分式无意义；当x_________时，分式的值为0； 12、若 5 9 22=-+b a b a ，则a ：b =__________； 13、已知13a a -= ，那么221 a a +=_________ ； 14、若分式732 -x x 的值为负数，则x 的取值范围为_______________； 15、221.229 1.334?-?=__________； 16、若26x x k -+是x 的完全平方式，则k =__________。 17、若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________。 18、若5,6x y xy -==则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。 19、若()2 22,8x y z x y z ++=-+=时，x y z --=__________。 ① ②

因式分解+分式

第四讲 因式分解+分式 一、因式分解 （一）方法： 1．提公因式法： （1）多项式 mc mb ma ++中每一项都含有一个相同的因式m ，称之为公因式。 （2）方法 ：)(c b a m mc mb ma ++=++ （3）公因式可能是单项式（如（1）），也可能是多项式，如：)2)(21()2)(13(b a b b a a +--+- （4）公因式系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母，指数取字母的最低次数； （5）如果第一项系数为负，一般先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正，同时多项式的各 项都要变号。如：)53(5322+--=-+-y x xy xy xy y x 2．公式法： （1）两个非常重要的公式： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=- 完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± （2）有的公式需要先提公因式后才能体现。如：a ab ab ++442 （3）有的公式需要从整体上观察。如：22)32()32(y x y x --+ 3．分组分解法：当多项式的项数超过3项可考虑用此方法 （1）分组后能直接提公因式： 如：))(()()(b a n m n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ （2）分组后能直接运用公式： 如：2222z xz y x ++- 4．运用式子：ab x b a x b x a x +++=++)())((2进行分解。如：562+-x x 5、十字相乘法：如：322-+x x 例1、把x y xy x 442-+-分解因式，下列的分组方法不正确的是 （ ） （A ） () ()x y xy x 442-+- （B ） ()()xy y x x -+-442 （C ） ( ) ()x xy y x 442+-+ （D ） ( ) ()y xy x x 442--- 例2、因式分解：（1）()()()y x x y x y x x +--+ （2）()()87----b a b a

分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质 1、分式函数的概念 形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221 x y x x +=+， 212x y x +=-，41 3 x y x +=+等。 2、分式复合函数 形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如221 12x x y +=-，sin 2 3sin 3x y x += - ，y = 等。 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)b y ax ab x =+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数21 1 x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---， 即函数211 x y x -=-的图像可以经由函数1 y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 12 111211 y y y x x x = ??→=??→=+--右上 由此可以画出函数21 1 x y x -= -的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。 【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d += ∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

因式分解、分式知识要点

因式分解【知识要点】 1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 概念要点：（1）结果必须是“积”（2）两个因式必须是“整式” 2、因式分解的方法：“一提，二套，三分组” （1）、提取公因式法：提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 确定公因式的方法：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。 （2）套用公式法： 如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式的目的。这种方法叫做运用公式法。 A 平方差公式：“两个平方项，符号不一样” 22()() a b a b a b -=+- ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. B完全平方公式：“甲平方，乙平方，甲乙2倍在中央” 222 2() a a b b a b ++=+ 222 2() a a b b a b -+=- ①左边相当于一个三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. C 补充：（二次三项式的因式分解） 3、因式分解的一般步骤： 第一步：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式； 第二步：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式； 第三步：最后看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。 注意：①分解因式后首项不能为负 ②分解结果中只能出现小括号 ③应分解到每一个因式都不能再分解为止. 分式与分式方程 知识要点总结注意问题 分式的概念及有意义的条件 B A 的形式且B中有字母分母0 ≠ B，分式 B A 才有意义 1 π不是分式 分式值为0的条件分子等于0，分母不等于0 二者必须同时满足，缺一不可分式的基本性质 M B M A M B M A B A ÷ ÷ = ? ? =0 ,0≠ ≠B M，且M B A, ,均 表示的是整式 分式的符号法则 B - A B A - B - A - - B A -= = = - - = - - = - - = 或 B A B A B A B A分子、分母和分式二，三同时 改变其中两个的符号，分式的 值不变 约分把分式中的分子、分母的公因式约 去的变形过程叫约分 约分是一个恒等变形。找最大 公因式是关键 通分把几个异分母分式分别化为与原分 式相等的同分母分式的变形过程叫 通分。 通分前后分式的值不变；找最 简公分母是通分的关键 公因式找公因式的方法： （1）分子分母是单项式时，先找分子分母系数的最大公约数，再 找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式 （2）分子分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按（1）中的 方法找公因式 最简公分母：系数与各字母 （或因式）的最高次幂的积 （其中系数都取正数） 找最简公分母到方法1、分母为多项式，应先分解因式。 2、各分母系数的最小公倍数。 3、各分母所含所有因式或字母的最高次幂。 分式方程分母中含有未知数的方程。可能产生增根，必须检验 增根使最简公分母为零的未知数的值

反比例、分式函数

反比例函数、一次分式函数 班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念 2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质 3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】 一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义 我们把形如(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。 4、 一次分函数(0,)cx d y a ad bc ax b +=≠≠+的图象和性质 图象：其图象如图所示.

第 2 页 共 4 页 定义域：_________________；值域：____________________； 对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b a -+∞分别单调递减；当ad