高考抽象函数专题

抽象函数专题

几类抽象函数模型

练习题

1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12．

解：

因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1

2

．

2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009．

解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1

2＝1009．

3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1

C ．19

D ．43

答案：D ． 解：

因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43．

(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝

A．－1 B．1 C．19 D．43

答案：C．

解：

因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得

f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：

f (1)－f (0)＝2

f (0)－f (－1)＝1

f (－1)－f (－2)＝0

f (－2)－f (－3)＝－1

f (－3)－f (－4)＝－2

f (－4)－f (－5)＝－3

f (－5)－f (－6)＝－4

f (－6)－f (－7)＝－5

f (－7)－f (－8)＝－6

累加，得f (－8)＝19．

另外：

f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1

f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1

f (x)＋f (－x)＝x 2－2

4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数

C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数

答案：C

解：

x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．

x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．

5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是

A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)

答案：B

解：

2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有????

?

x >0，x －8>0，

x (x －8)≤9，

解得8

6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝1

2 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1

时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (3

25)的值为 ．

答案：12

7．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式． 解：

因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②．

相减得4x 2

f (x )＋9f (x )－2 x 2

＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋3

4x 2＋9

．

(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥22

3．

证明：

因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1

x ②．

②×2得2f (1x )－4f (x )＝2

x

③．

①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥22

3．

8．(12分)

定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；

(2)若f (k ?3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围． 解：

(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．

(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式

(3)(394)0x x x f k f ?+--<等价于(3)(394)x x x f k f ?<-++，因此

3394x x x k ?<-++，即4133x x k <-++

，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，

所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)

已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－2

3

． (1)判断f (x )为奇偶性；

(2)求证：f (x )在R 上是减函数；

(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值． 解：

(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．

(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么

△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )． 因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－4

3

；

f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．

由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2

x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．

(1)证明：f (x )为单调递减函数．

(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值． 解：

(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2

x 1

)．

因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2

x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．

(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1

x 2

)

＝f (x 1)－f (x 2)得，f (9

3

)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．

所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1

x )＝－f (x )；

(2)求证：f (x )为偶函数；

(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解：

(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．

取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1

x )＝－f (x )．

(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．

取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0． 所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：

设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2

x 1

)．

因为x 2x 1>1，所以f (x 2

x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解法2：

设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1

x 2

)．

因为x 1x 2>1，所以f (x 1

x 2

)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．

12．(12分)

设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；

(3)求证：f (x )是R 上的增函数；

(4)若f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围． 解：

(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f （－x ） ．

当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；

当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1

f （－x ） ∈(0，1)．

综上，f (x )>0．

(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．

因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．

(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．

由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)

已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；

(2)若f (2)＝2，*

n ∈N ，设a n ＝ f （2n ）2n ，b n ＝ f （2n ）n

，求证数列{a n }为等差数列，

数列{b n }为等比数列． 解：

(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0． 取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．

取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋

1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋

1)＝2 f (2n )＋2n ＋

1．同除以2n ＋

1，

得 f （2n+1）2n+1 ＝ f （2n ）

2n

＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．

a 1 ＝ f （2）2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．

因为b n +1

b n

＝2，所以数列{b n }为等比数列．

14．(12分)

定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1．

(1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；

(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)若f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围． 解：

(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ． 于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．

而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0． 取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1

x )．

设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2

x 1

)．

因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2

x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．

因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．

(3)由(1)知若f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)． 所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)． 由?????

x 2

－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)

定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1

＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．

(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；

(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围． 解：

(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．

取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0． 所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1． (3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．

若f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．

若f (x ) ∈[0，1)，分离参数a ≤1－f (x ) ＋1

4[1－f (x )]．

因为1－f (x ) ＋

1

4[1－f (x )]

≥2

[1－f (x )]

14[1－f (x )]

＝1，当f (x )＝1

2时等号成立．

所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．

备选：

1．(12分，重庆)

已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)若f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；

(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)

已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；

(2)当x 1，x 2 (0，1

2)时， f (x 1)＋2

3．(12分)

已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)

已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－2

1

)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求

证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)

已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)

已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1

f (x )－f (y )，存在正常数a ，使

f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．

数学练习题抽象函数(含答案)

数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1 x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2 x ),试判断f (x )的奇偶 性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0. （1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ， 当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）若f （k ) 293()3 --+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成 立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知2 2 (sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

2020高考数学 抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。 例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题 实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①； ②，求f(3)，f(9)的值。 解：取，得 因为，所以 又取 得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已 知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。 解：在中以代换其中x，得： 再在(1)中以代换x，得 化简得：

抽象函数、图像、函数零点

函数基本知识 抽象函数： 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立. 证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数； 3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R + 上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(--

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1)0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( ) A. 恒为负值 B. 恒等于零 C. 恒为正值 D. 无法确定正负

高三美术班数学基础专题训练——函数的图像及抽象函数(部分答案)

菁华学校高三美术班数学基础知识专题训练07 函数的图象及抽象函数 一、考点回顾 1．函数图象： ⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：①平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”； ②对称变换ⅰ))(x f y =(0,0)????→原点)(x f y --= ⅱ))(x f y =0) x y =????→轴()(x f y -=； ⅲ) )(x f y =(0)y x =???? →轴)(x f y -=； ⅳ))(x f y =y x =????→直线()x f y =； ③翻转变换：（保正去负，左右翻折（上下翻折）） ⅰ)()(||)y f x y f x =→=：右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=：上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； ④伸缩变换ⅰ)11101()()y f x y f x ωωωωω><<=?????????→=横坐标缩短到原来的倍横坐标伸长到原来的倍 ⅱ)101()()A A A A y f x y Af x ><<=?????????→=纵坐标伸长到原来的倍纵坐标缩短到原来的倍 2抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比。（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 3. 函数的对称性。 ①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2 a b x += 对称。 ②因为(,)x y 关于点(,)a b 的对称的点是(2,2)a x b y --，所以曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。 提醒：求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题。 4. 函数的周期性。 定义：“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”。 ①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)() f x a a f x += ≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 三．基础训练

高考抽象函数技巧全总结[1]

高考抽象函数技巧全总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量 表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常 用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ()211 x f x x =++,求()f x . 解：设 1 x u x =+,则1u x u = -∴2()2 111u u f u u u -=+= --∴2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知(())()f g x h x = 即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3 3 11()f x x x x + =+ ，求()f x 解：∵22 111()()(1)(f x x x x x x x + =+-+ =11|||1|| x x x =+ ≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2 (1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2 ax bx c ++，则 22 (1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴2 13()22 f x x x = ++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

高考抽象函数专题

抽象函数专题 几类抽象函数模型 练习题 1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12． 解： 因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1 2 ． 2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009． 解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1 2＝1009． 3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1 C ．19 D ．43 答案：D ． 解： 因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43．

(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝ A．－1 B．1 C．19 D．43 答案：C． 解： 因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得 f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此： f (1)－f (0)＝2 f (0)－f (－1)＝1 f (－1)－f (－2)＝0 f (－2)－f (－3)＝－1 f (－3)－f (－4)＝－2 f (－4)－f (－5)＝－3 f (－5)－f (－6)＝－4 f (－6)－f (－7)＝－5 f (－7)－f (－8)＝－6 累加，得f (－8)＝19． 另外： f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (x)＋f (－x)＝x 2－2 4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数 C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数 答案：C 解： x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1． x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数． 5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是 A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8) 答案：B

高考数学抽象函数专题训练(含答案)

抽象函数训练 1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++) ()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k ) 293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取 值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.

高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造

1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =- 例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞， 【答案】B 【解析】构造函数()()24G x f x x =--，所以()()2G x f x ''=-，由于对任意R x ∈，()2f x '>， 所以()()20G x f x ''->=恒成立，所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数， 又由于()()()112140G f -=----?=，所以()()240G x f x x -->=， 即()24f x x >+的解集为()1-+∞， ．故选B ． 2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x = 例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立， ()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b a c >> 【答案】D 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称，所以函数()y xf x =为奇函数． 因为()()()xf x f x xf x ''=+????，所以当(),0x ∈-∞时，()()()0xf x f x xf x ''=+>．故选D ． 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造 高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造

高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期

高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目

函数()f x 的定义域为D ，则其图像为： ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为： ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出 需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。 3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =-- 4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ?? ???， 这点在()f x 图像上，所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩，请自己给出 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条， ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x += 6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的

高考中的抽象函数专题练习

高考中的抽象函数专题练习 1、下列结论：①函数y = 2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为 [1,2]，则函数2(3)f x 的定义域为；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；④若函数(21)f x -的最大值为3，那么(12)f x -的最小值就是3- 其中正确的个数为 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2.定义在R 上的函数()f x 满足1 (0)0,()(1)1,()()52 x f f x f x f f x =+-== ，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1 ( )2007 f 等于（ ） A. 12 B. 116 C. 132 D. 164 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，且3 ()[1()]1()2 f x f x f x +-=+，(2)2f =，则 ()2009f 值为（ ） A. 2 B. 22 D. 2-4.已知(1)(1),()(2)f x f x f x f x +=-=-+，方程()0f x =在[0,1]内有且只有一个根 1 2 x = ，则()0f x =在区间[]0,2013内根的个数为（ ） A. 2011 B. 1006 C. 2013 D. 1007 5.已知函数()f x 对任意实数x ，y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f ≥.若存在整数m ，使得2(2)40f m m ---+= ，则m 取值的集合为______. 6.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()0f x f x ++=，且函数(1)f x +为奇函数，对于下列命题： ①函数()f x 满足(4)()f x f x +=；②函数()f x 图象关于点(1,0)对称；③函数()f x 的图象关于直线2x =对称；④函数()f x 的最大值为(2)f ；⑤(2009)0f =. 其中正确的序号为_________. 7.已知函数()f x 定义在(1,1)-上，对于任意的,(1,1)x y ∈-，有()()()1x y f x f y f xy ++=+，且当0x <时，()0f x >. (1)验证函数1()ln 1x f x x -=+是否满足这些条件； (2)若()1,()211a b a b f f ab ab +-==+-，且||1,||1a b <<，求(),()f a f b 的值． (3)若1()12f -=，试解关于x 的方程1 ()2f x =-． 8.已知函数()()f x x R ∈满足：对于任意实数,x y ，都有1 ()()()2 f x y f x f y +=++恒成立，且当0x >时，1 ()2 f x >- 恒成立； (1)求(0)f 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；

赋值法解答抽象函数的赋值

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 10、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1 x )= f(1)=0， ∴当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)； (2)设x 1>0、x 2>0且x 11，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1 x 1 ， ∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2 x 1 )=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)0时，f(x)>0.试判

抽象函数题型大全例题含答案

高考抽象函数技巧总结 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211 x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：已知331 1()f x x x x +=+，求()f x 解：∵2221 1111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23 ()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22 f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴ ()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

有关高中数学抽象函数问题专题

抽象函数问题专题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ········································································································································· （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 ⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ） A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ?g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ?g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A. ((f g ) ?h ) (x )＝((f ?h )(g ?h ))(x ) B. ((f ?g ) h ) (x )＝((f h )?(g h ))(x ) C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x ) D. ((f ?g ) ?h ) (x )＝((f ? h )?(g ?h ))(x ) 【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 . 【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).