高数可分离变量的微分方程教案

将方程分离变量得

dt M dM λ-=. 两边积分, 得?

?-=dt M dM )(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .

由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,

所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .

例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为

kv mg dt

dv m -=, 初始条件为

v |t =0=0.

方程分离变量, 得

m

dt kv mg dv =-, 两边积分, 得??=-m dt kv mg dv , 1

)ln(1

C m t kv mg k +=--, 即 t m k Ce k mg v -+=(k

e C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得k

mg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e k

mg v --=. 例4 求微分方程

221xy y x dx

dy +++=的通解. 解 方程可化为

)1)(1(2y x dx

dy ++=, 分离变量得 dx x dy y )1(112

+=+, 两边积分得

??+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)2

1

tan(2C x x y ++=. 师生互动设计 P304：1（1）（2）（3）（5），2（3） 作业：P304：1（4）（7）（8）（10），2（2），6

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分 方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

用 分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.

例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２ 变量可替换的微分方程 种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程 形如 ?? ? ??=x y dx dy ?

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

高数公式大全(全)

高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学 微分方程

第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。

高数可分离变量的微分方程教案

§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.

可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1

第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

高等数学——微分方程

第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x m x P λe )(或x x P x m βαcos e )(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非 齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. ⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k

高等数学微分方程试题汇编

第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念 一、 判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。 （ ） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。 （ ） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。 （ ） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、 填空题 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。 三、选择题 1. _________________ 下列方程中 是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中 是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运 3.微分方程 穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数

高数知识汇总之微分方程.docx

第六章微分方程 6.1 微分方程的基本概念 微分方程： 含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。 微分方程的阶： 微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。 微分方程的通解： 如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 微分方程的特解： 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。 初始条件： 用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。 积分曲线： 微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。 6.2 一阶微分方程的求解方法 6.2.1分离变量法 可分离变量的微分方程： 形如dy f ( x) g ( y) 的微分方程，称为可分离变量的微分方程。dx 特点： 等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数．解法： 当 g( y)0 时，把dy f ( x) g( y) 分离变量为dy f ( x)dx, ( g ( y) 0) 对上式两边积dx g( y) 分，得通解为 dy f ( x)dx C g( y) （这里我们把积分常数 C 明确写出来，而把dy ， f ( x)dx 分别理解为 1 和f (x)的g( y)g( y) 一个确定的原函数。） 6.2.2齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。 6.2.3一阶线性微分方程 一阶线性微分方程： 如果一阶微分方程 F (x, y, y ) 0 可以写为 y p( x) y q( x) 则称之为一阶线性微分方程，

其中 p(x) 、 q(x) 为连续函数．当q( x)0 时，此方程为dy 0 ，称它为对应于 p(x) y dx 非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当 q(x)0 时，称为非齐次线性微分方程。 解法： 用常数变易法可得其通解为： p( x) dx p( x) dx c) y e( q(x)e dx （注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4可降阶的二阶微分方程 6.4.1不显含未知函数y 的二阶方程：y f ( x, y ) 解法： 令 y p p( x) ，则 y dp dp ，方程变为 dx dx yp( x)dx ，即得通解。 6.4.2不显含自变量 x 的二阶方程 : y f ( y, y )解法： 令 y= p = p( y) ，则y dp p ，方程变为p dp dy dy 解。f ( x, p) f ( y, p) ，解之得p ,再积分得 ，解之得p ,再积分得通 6.5二阶线性微分方程 6.5.1二阶线性微分方程的解的结构 二阶线性微分方程： 形如y p(x) y q( x) y f(x) 的方程,称为二阶线性微分方程。若 f ( x) 0，称之为二阶齐次线性微分方程；若 f ( x)0 ，称之为二阶非齐次线性微分方程。 齐次线性方程解的叠加原理： 如果函数 y1, y2是齐次方程y p( x) y q(x) y 0 的两个解,则y C1 y1C2 y2也是方程 y p(x) y q( x) y0的解 ,其中C ,C均为任意常数。 12 齐次线性方程的通解结构： 如果函数 y1 ( x) , y2 (x) 是齐次方程y p(x) y q(x)y 0的两个线性无关解 ,则函数y C y C y C C y p( x) y q(x) y0

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成

g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得

高等数学微分方程试题及答案

第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程

(完整版)高等数学微分方程试题.doc

专业班级学号姓名成绩时间174 第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( ) 2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（） 二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。 三、选择题 1．下列方程中是常微分方程 （ A ）、 x2+y 2=a2 d (e arctan x ) 0 (C)、 2 a 2 a =0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2 dx x y 2.下列方程中是二阶微分方程 （ A ）（y）+x 2 y +x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx d 2 y 2 1. 2 3.微分方程 dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数 （ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是 （ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与 运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方 程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 c y x =+22 2 ， 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变 量分离方程的类型: 2.1齐次方程 形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+， 图1

同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

第三篇 常微分方程 第六章 常微分方程 函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程． 在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法． 第一节 微分方程的概念 下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念． 1．1 引例 引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程． 解 设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得 x dx dy 2=. 两边同时积分得 2y x c =+ （c 为任意常数）． 又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为 21y x =+． 引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系． 解 依照冷却定律，冷却方程为 kt dt dT -= （k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =． 以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念． 1.2 微分方程的基本概念

定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程． 例如 下列微分方程中， （1） 13=-'x y ； （2）sin 0dy y xdx +=； （3）21 ()20y y x '''+ += （4）22221u u x y ??+=??； （5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程． 本课程只讨论常微分方程． 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n 阶微分方程记为： 0) , , , ,()(='n y y y x F ． 定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解． 定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件． 设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 00 y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00 y y x x ==，10 y y x x ='=，上述 这些条件叫做初始条件． 定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00 y y x x ==的特解问题称为一阶微分 方程的初值问题．记作 ?????=='=00 ) ,(y y y x f y x x ． 例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程 02=+''x a x 的解．

高等数学微分方程试题及答案

精品文档 . 第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为 ()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程