圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程：
1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22
13649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的
离心率2e 之比为
7
3
，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2
8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =
由127
3
e e =得113e =设双曲线的方程为2
2
221(,0)y x a b a b -=>则22222
13
139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪
⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为
22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00
62
2
x x y y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．
代入2008y x =得：2
412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．
2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三
角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5
3sinA,求
点A 的轨迹方程．
解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，
有6=b ，故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()01361002
2
≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='='33
y
y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=5
3
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=
- 即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，
反射光线恰好通过椭圆C ：122
22=+b
y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率
为
21
，且x 2-x 1=5
6，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422
22=-k
y k x . 由题设条件得：
1
14)
2(120x x k ----=--+， ①
2
24)
2(120x x k ----=--+， ②
x 2-x 1=
5
6
， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=5
11
-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，2
1
tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．
∴所求椭圆方程为
13
1542
2=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．
则
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧==+-=-.1,21,2cy c x y
c x y
∴
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
===233
435c c y c x 且即
)32,325(P ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=+,43,1341225
2222b a b
a 得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．
解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程
x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.
（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴
2
1
||||=OQ OP ，由角平分线性质可得
||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=2
1
|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
=+⨯+=+=+⨯+=3
22110213422
11421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=232
43y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得4232432
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为2
34⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x +y 2=916（y ≠0）.
6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存
在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v
若存在，求出直线
l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题
意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42
=
（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2
(1)
4x k y y x
=-⎧⎨
=⎩得2
440y ky k -+=
△2
16160k =->，11k k <->或
设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =
由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r
，于是12120x x y y +=，
即()()2
1212110k
y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，
2
2
2
4(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），
又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=
7、设双曲线y a
x 222
31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两
点，且OP OQ →→
=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（I ）Θe c a =∴=242
2
， Θc a a c 2
2
312=+∴==，，
∴-=双曲线方程为y x 2
2
3
1，渐近线方程为y x =±33
4分
（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()
M x y ，
[
]
Θ25525
2
21010
3333
22333
3
3331012121221221122121212121212122
122
||||||||()()()()
()
()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴=
=⨯=∴-+-==
=-=+=+∴+=--=+∴
+++⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=又，，，， ∴+=+=3213210075325
12
2
22()()y x x y ，即
则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为103
3
的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l
设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122
[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00
110
101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪
⎩
⎪--+-=+=-=--()()()
13131633063133
31
2222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .
8、设M 是椭圆22
:
1124
x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．
解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠
则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分
2
2
112
2
22
1,(1)
12
4 1.(2)124
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又
MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-
所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111
()3y
y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-
从而得1111
,.22
x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得2
21(0),3
x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程．
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L ：y=kx(k≠0),C:y 2
=2px(p>0). 设A 、B 关于L 的对称点分别为A /
、B /
，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A
/
（12,11222+-+-k k k k ），B /（1
)1(8,116222
+-+k k k k ）。因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2
-k-1=0.解得：k=
251+,p=552.所以直线L 的方程为：y=2
51+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.
10、已知椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足
.0||,022≠=⋅TF TF （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a
c
a F +
=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上，得
.)()()(||22
22
22221x a
c a x a b b c x y c x P F +
=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a
c
a F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a
c a r F cx r r a r r +
===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a
x P F =+|
|||21，即.||||||2
1x a c a c a x a c F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a
c
a F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.
又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
'=+'=.2
,2y y c
x x
因此⎩⎨
⎧='-='.
2,
2y y c x x ①
由a F 2||1=得.4)(2
2
2
a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2
2
2
a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+……………………7分
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
③ ④
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||2
0c b y ≤ 所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2≥时，),(),,(002001y x
c MF y x c MF --=---=，
由2
2220
2
2
21b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠⋅=
，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||22
1,
2
022020b y c a y x
由④得.||2
0c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是，当c
b a 2
≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -=
=+==00
200121,，
由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
12121=+-=∠k k k k MF F …………14分
11、设抛物线2
:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB .
解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012
1120x x x x x x ≠和，
∴切线AP 的方程为：;022
00=--x y x x
切线BP 的方程为：;022
11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=
3
10，
,3
43)(332
1021010212
010p
P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=
所以2
43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
).24(3
1
,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即
（2）方法1：因为).4
1,(),41,2(
),41,(2
1110102
00-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠
∴||41)1)(1(||||cos 102
010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +
=--+⋅+==
∠
同理有||41)1)(1(||||cos 102
110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +
=--+⋅+==
∠ ∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2
(
1
x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41
4
1
:;2||1
2111x x x y BF x d -=-=
的方程而直线
③ ④
即.04
1
)41(1121
=+--x y x x x
所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|
|)41()()4
1(|42)41(|1211
212
122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=
所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.
②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04
1)41(),0(041
41002002
0=+-----
=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04
1)41(),0(041
411121121=+-----
=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：
2||41)
41)(2|)4
1(|41)2)(41(|1020201020
2200120102
01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=
+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2
|
|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题：
12、已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）
椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1
-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+④
，③
，②，①，
y y y x x x y x y x 2222222
1212
22
22121
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有
()()022
12
12121=-+++x x y y y y x x ，
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x ．⑤
（1）将21=
x ，2
1
=y 代入⑤，得212121
-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ，04
1
6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．
（2）将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
（3）将
2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222
2=--+y x y x ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ：
()
22
2
2212
221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122
22124y y y y y -=+， ⑨
将⑧⑨代入⑦得：
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -
=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12
12
2
=+y x ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
13、椭圆C:22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414,||,||.
33
PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2
+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程. 解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt△PF 1F 2中，,522
1
2221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4,所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2
+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2
）x 2
+(36k 2
+18k )x +36k 2
+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822
221-=++-=+k k k x x 解得9
8
=k ，所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2
+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492
121=+y
x
①
,14
92
22
2=+y
x
②
①-②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,
代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9
8
，
所以直线l 的方程为y －1＝
9
8
（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆22
221(0)y x a b a b +=>>
的一个焦点1(0,F -，
对应的准线方程为4y =-.（1）
求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
平分，求
直线l 的方程.
解：（1
）由2
222.c a
c a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪
⎪=+⎩
3,1a b ==
即椭圆的方程为2
2
1.9
y x +=
（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛
⎫-=+=++ ⎪⎝
⎭即
设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2
23,221.9k y kx y x ⎧
=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
得2222
327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222
2
327(3)4(9)042
4k k k k k ⎛⎫
∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭
①
∴2
122
3.9k k x x k ++=-+
∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴22
3 1.9k k k +-=-+ ∴2239k k k +=+，解得k =3.
代入①中，229927184(99)180424⎛⎫
∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭
∴直线l ：y =3x +3符合要求.
15、设12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，(1)设椭圆C
上的点2到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与
椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN
k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论.
解：（1
）由于点)2
在椭圆上，2
2
21b +=2a =4, 椭圆C 的方程为
22
143
x y +=焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）
（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆221
43x y +=中得
22
(21)(2)143
x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2
21()1
32
4
y x ++=
（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称 设
0000(,)(,),(,)
M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得
2222
00222211x y x y a b a b
+=+=，0
PM PN y y y y k K x x x x -+=
=
-+
PM
PN k K ⋅=22
00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a
-
故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关
16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-
=y ，离心率e 满足3
4
,,32e 成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线2
1
-=x 平分若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．
解 ： (Ⅰ)由题意知，9
8
34322
=⋅=
e ，所以322=e ．
设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，
3
224
29)22(2
2=
+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922
=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=-=+=22
12210210y y y x x x ，可得⎩⎨⎧=+-=+0212121y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19
)21(2
02<+-y
，解得023*******<<-< )2(19)1(19 2 2222 121y x y x )1()2(-得，09 ) )(())((12121212=+-+ +-y y y y x x x x ， 故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-=++-=--= ， 所以AB k y 29 0=， 则有029 233233290<<-<< AB AB k k 或， 解得33-<> AB AB k k 或， 故存在直线l 满足条件，其倾斜角)3 2,2()2,3( πππ πα⋃∈． 三、定义与最值： 17、已知F 是椭圆 225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点． （1）求3 2 PA PF + 的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值． 解:(1)由椭圆的第二定义转化知 32PA PF + 的最小值是2 11，此时P )1,556(- ； (2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+ ∵222= ≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA ∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点， （Ⅰ）求12PF PF ⋅u u u r u u u r 的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ⋅的最大值和最小值． 解：易知2,1,3a b c ===，所以12(3,0),(3,0).F F - 设P （x, y ），则2222 2121(3,)(3,)313(38).44 x PF PF x y x y x y x x ⋅=---⋅--=+-=+--=-u u u r u u u r 因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅u u u r u u u r 有最小值-2. 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅u u u r u u u r 有最大值1. 19、若双曲线过点(2,6)，其渐近线方程为2y x =±.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 3 3 + 的值最小． 解：（Ⅰ）12y x 2 2 =-（II ）)2,3(P ,最小值为333- 20、以椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为 032=-+y x ． 解方程组⎩ ⎨⎧=+-=-+090 32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小． 所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ， ∴() 363532 2 2 2 2 =-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136 452 2=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －3 2 y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM = DN ，求实数的取值范围． 解：①92x +42y =1；②2；③[5 1,5] 22、 E 、F 是椭圆2 2 24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交 椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值． 解：（1）22 41 282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因4 84 AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨ +=⎪⎩， 则 5.AF BF += （3）设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠ 22132232222223 ( (1)66t t t t t t t -=-÷+==≤++， 当6t =3 303tan EPF EPF ∠= ⇒∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2 ||−→ −−→−−→−=⋅PC k BP AP .（1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||−→ −−→ −+BP AP 的最大值和最小值． M F E O y A B P x 解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ， 则)1,(-=−→−y x AP ，)1,(+=−→−y x BP ，),1(y x PC -=−→ −. ∵2 ||−→ −−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[] 2 222)1(1y x k y x +-=-+， 即 012)1()1(2 2=--+-+-k kx y k x k . 若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线. 若1≠k ，则方程为2 22)11()1(k y k k x -=+-+ ， 表示以)0,1( k k -为圆心，以为半径 |1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(2 2 =+-y x . )2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+−→ −−→ − ∴2 2 2||y x BP AP +=+−→ −−→ −. 又∵1)2(2 2 =+-y x ， ∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则 θcos 4522||22+=+=+−→ −−→−y x BP AP ∴当1cos =θ时，||−→ −−→ −+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2. 24、点A 、B 分别是以双曲线 162x 120 2 =-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=⋅ （1）求椭圆C 的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值． 解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622= -， ∴所求的椭圆方程为 +362x 120 2 =y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则 ),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22 213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪ ⎨ ⎪+-+=⎩ 则018922 =-+x x ，解之得62 3-==x x 或， 由于y>0，所以只能取23= x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛325, 239分 （3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是 2 6+m ，于是 62 6-=+m m ， 又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离 22 2 2 2 2549 (2)4420()15992 x d x y x x x =-+=-++-=-+ 又66x -≤≤ ∴当2 9 =x 时，d 取最小值15 25、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=， 且 ,3 OF FP t OM OP j ⋅==+uuu r uu r uuu r uu u r r .（I ） 设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v uu v 的取值范围；（II ） 设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且 ||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程. 解：（1）由3 4sin | |||cos ,sin 34||||,sin ||||2 132θθθ θt FP OF FP =⋅==⋅⋅⋅=由得， 得.34tan t =θ…………………………………………………………………3分 ],0[3 tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是（ 3 ,4π π） ………………………………………………………………6分 （2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设 2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ∆∴⋅=-⋅=-==∴==⋅==u u u r u u u r u u u r …………………………………………………………………………………………8分 ||OP ∴=u u u r 分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3 43±=== OP OP c c c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33 =+= ∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3 3-=+-=OM …………12分 椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a 或2 17 1,217117 1)01()22()01()22(222222+= += ∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为 112162 2=+y x .或12 17 12 17922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （Ⅲ）在10< 解（Ⅰ）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ， 所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12 2 2 =+y x ． （Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2 222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以， 当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2 max )1()1()(+=-=a f x f ； 当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则 []22)()(2max +== a a f x f ； 当1>-a ，即1- max )1()1()(-==a f x f ． 所以，⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221, 1)(2 a a a a a a a d ．
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