高二数学条件概率综合测试题

条件概率练习题

一、选择题

1．下列式子成立的是( )

A ．P (A |

B )＝P (B |A ) B ．0

C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )

D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) [答案] C [解析] 由P (B |A )＝

P (AB )

P (A )

得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )

A.3

5

B.25

C.1

10

D.5

9

[答案] D [解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A ，则P (A )＝6×910×9＝3

5，第一次摸得红

球，第二次也摸得红球为事件B ，则P (B )＝6×510×9＝1

3，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为

P ＝P (B )P (A )＝59

，选D.

3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2

5，则P (AB )等于( )

A.5

6

B.910

C.2

15

D.1

15

[答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝2

15，

故答案选C.

4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14

B.13

C.12

D.3

5

[答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．

所以其概率为4361236

＝1

3.

5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )

A.56

B.34

C.23

D.1

3

[答案] C

6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为8

30.

则在吹东风的条件下下雨的概率为( )

A.9

11

B.811

C.25

D.8

9

[答案] D [解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝11

30，P (B )

＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝8

30930

＝89

. 7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( ) A.23

B.14

C.25

D.1

5

[答案] C [解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝4

25，

在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝25×2

525

＝2

5.

8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( ) A ．1

B.12

C.1

3

D.1

4

[答案] B [解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)抛出偶数点，则P (A 1)＝1836，P (A 1A 2)＝1836×9

18，故在第一次抛出

偶数点的概率为P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1836×

9

181836

＝1

2

，故选B.

二、填空题

9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．

[答案] 0.3

10．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出

正品的概率为________．

[答案] 9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5

100

，P (AB )＝

5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599

.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键． 11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩

是男孩的概率是________．

[答案] 1

2 [解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两

个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．

12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．

[答案]

33

50

[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为33

50

.

三、解答题

13．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，求P (B |A )． [解析] P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

412

＝1

2

.

14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．

[解析] 解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P (C )＝1025＝25，∴P (C )＝1－25＝35，P (B C )＝P (B )＝525＝1

5∴P (B |C )＝P (B C )P (C )＝13

.

解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝55＋10＝13

.

15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？

[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；

事件B ：从1号箱中取出的是红球．

P (B )＝42＋4＝23，P (B －

)＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49

.

(2)∵P (A |B －)＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝11

27.

16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝1

4

.

(2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝

415

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人．

高中数学充分条件与必要条件-例题解析

充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

高二数学概率与统计知识点总结

高二数学概率与统计知识点总结 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 (4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 (5)阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 (6)及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。 (7)学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 (8)经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

(9)无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。看了“高二数学概率与统计知识点总结”的人还看了：

高中数学学案条件概率

2．2．1条件概率 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券 的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式 可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第 一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤

2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率练习新人教A版

2.2.1 条件概率 , [A 基础达标] 1．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8 D ．0.9 解析：选C.设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4， 则P (B |A )＝ P （AB ） P （A ） ＝0.8. 2．(2018·西安高二检测)7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 解析：选C.记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在末尾”为事件B ，则n (A )＝A 6 6，n (AB )＝A 5 5， P (B |A )＝A 5 5A 66＝16 . 3．(2018·洛阳高二检测)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第一次取得一等品的条件下，第二次取得的是二等品的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.23 解析：选A.设事件A 表示“第一次取得的是一等品”，B 表示“第二次取得的是二等品”． 则P (AB )＝3×25×4＝310，P (A )＝35. 由条件概率公式知 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝31035 ＝1 2 .

4．在区间(0，1)内随机投掷一个点M (其坐标为x )，若A ＝{x |0

高二数学概率习题(个人整理)

8.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。 答案：42105 = 9．口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。 121()242 P A ==。 10．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，写出所有的基本事件，并计算下列事件的概率：（1）三次颜色恰有两次同色；（2）三次颜色全相同； （3）三次抽取的球中红色球出现的次数多于白色球出现的次数。 答案：（红红红）（红红白）（红白红）（白红红）（红白白）（白红白）（白白红）（白白白） （1）34（2）14（3）12 11．已知集合{0,1,2,3,4}A =，,a A b A ∈∈； （1）求21y ax bx =++为一次函数的概率；（2）求21y ax bx =++为二次函数的概率。 答案：（1）425 （2）45 12．连续掷两次骰子，以先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，设圆Q 的方程为2217x y +=； （1）求点P 在圆Q 上的概率； （2）求点P 在圆Q 外的概率。 答案：（1）118（2）1318 13．设有一批产品共100件，现从中依次随机取2件进行检验，得出这两件产品均为次品的概率不超过1%，问这批产品中次品最多有多少件？ 答案：10件 5.设随机变量的分布列为，则（） A. B. C. D. 6.设随机变量，且，则（） X 3,2,1,2)(===i a i i X P ==)2(X P 91 61314 1),(~2σμN X )()(C X P C X P >=≤=≤)(C X P

高中数学必修三 概率与统计

高中数学必修三：概率与统计 1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，32 2．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A．300克B．360千克C．36千克D．30千克 3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与t，那么下列说法正确的是( ). A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2 D．直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为$y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

高二数学概率统计知识点大全

高二数学概率统计知识点大全 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。小编准备了高二数学概率统计知识点，具体请看以下内容。 1.随机事件和确定事件 (1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件. (2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C?表示. 2.频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事 件A出现的比例fnn(A)=n 为事件A出现的 频率. (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件

A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率. 3.互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若AB为不可能事件(AB=?)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生. (2)对立事件：若AB为不可能事件，而AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生. 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：01. (2)必然事件的概率：P(A)=1. (3)不可能事件的概率：P(A)=0. (4)互斥事件的概率加法公式： ①P(AB)=P(A)+P(B)(A，B互斥). ②P(A1?An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)(A1，A2，?，An彼此互斥). (5)对立事件的概率：P(A)=1-P(A). 第2讲古典概型 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. 统计共8页第1页 (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.古典概型的概率公式 P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数

(推荐)高中数学充要条件教案

教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议 （一）教材分析 1．知识结构 首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识． 2．重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的判断． （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系． （2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该： ①首先分清条件是什么，结论是什么； ②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； ③最后再指出条件是结论的什么条件． （3）在讨论条件和条件的关系时，要注意： ①若，但，则是的充分但不必要条件； ②若，但，则是的必要但不充分条件； ③若，且，则是的充要条件；

④若，且，则是的充要条件； ⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．

（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． ①若，则是的充分条件； 显然，要使元素，只需就够了．类似地还有： ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充要条件； ④若，且，则是的既不必要也不充分条件． （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立． （二）教法建议 1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题． 2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性． 3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念． 4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．

(最全)高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数 ：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数 ： ①、常规平均数： x x 1 x 2 x n ②、加权平均数： x x 1 1 x 2 2 x n n n 1 2 n 3、中位数： 从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数 。 4、方差： s 2 1 [( x 1 x) 2 ( x 2 x )2 ( x n x )2 ] n 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积： f S y 距 d ；频率 =频数 / 总数 2、频率之和 ： f 1 f 2 f n 1 ；同时 S 1 S 2 S n 1 ； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数： 最高小矩形底边的中点。 2、平均数： x x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 x n f n x x 1 S 1 x 2 S 2 x 3 S 3 x n S n 3、中位数： 从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值。 4、方差： s 2 ( x 1 x )2 f 1 ( x 2 x) 2 f 2 ( x n x) 2 f n 四、线性回归直线方程 ： ? ? ? bx y a n (x i x )( y i y ) n x i y i nxy ? ? 其中： b i 1 i 1 , a? y bx n n ( x i x )2 x i 2 nx 2 i 1 i 1 1、线性回归直线方程必过样本中心 ( x , y ) ； ? ? 0 : 负相关。 2、 b 0 : 正相关； b ? 3、线性回归直线方程： y? ? bx a?的斜率 b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 ?i 1、残差 ： ?i y i ?i 越小越好； e y （残差 =真实值—预报值）。分析： e 2、残差平方和 ： n ? ) 2 ( y i ， i 1 y i n ( y i y ) 2 ( y 1 y ) 2 ( y y ) 2 ( y y ) 2 分析：①意义：越小越好； ②计算： ?i ?1 2 ?2 n ?n i 1 n ?i ) 2 3、拟合度（相关指数） ： R 2 1 ( y y ，分析：① . R 2 0,1 ②. 越大拟合度越高； i 1 的常数； n y)2 i ( y i 1 n n 4、相关系数 ： r i ( x i x )( y i y) x i y i nx y 1 i 1 n x)2 n y) 2 n x) 2 n y )2 i 1( x i i ( y i ( x i ( y i 1 i 1 i 1 分析：① . r [ 1,1]的常数； ② . r 0: 正相关； r 0: 负相关 ③. r [0,0.25] ；相关性很弱； r (0.25,0.75) ；相关性一般； r [0.75,1] ；相关性很强； 六、独立性检验 x 1 x 2 1、2×2 列联表 ： 合计 2、独立性检验公式 bc)2 y 1 a b a b ①． k 2 (a n( ad d ) y 2 c d c d b)(c d )(a c)(b 合计 a c b d n ②．犯错误上界 P 对照表 3、独立性检验步骤

北师大版数学高二-选修1-1课时作业 充要条件

选修1-1 第一章 §2 课时作业5 一、选择题 1．“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若x (y －2)＝0，则x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立，反之， 若x 2＋(y －2)2＝0，则x ＝0且y ＝2，一定有x (y －2)＝0， 因此，“x (y －2)＝0”是“x 2＋(y －2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A. 答案：A 2．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＝1时，y ＝x 1－4＋5＝x 2，是二次函数；反之，若y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数，则m 2－4m ＋5＝2，即m 2－4m ＋3＝0， ∴m ＝1或m ＝3，因此，“m ＝1”是“y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A. 答案：A 3．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0 解析：由于函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝－b 2 ，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－b 2 ≤0，即b ≥0，故选A. 答案：A

4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是() A．－1≤a<0 B．a>－1 C．a≥－1 D．－1≤a<0或a>0 解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即 (x－1)2＝0，x＝1>0. 答案：C 二、填空题 5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________． 解析：x2－3x＋2<0?(x－1)(x－2)<0?1

高中数学概率统计

第八讲 概率统计 【考点透视】 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. [解答过程]0.3提示:1 33 5 C 33.54C 10 2 P ===? 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ． [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20 提示:51.10020P == 例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________． [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

人教版 高中数学 2.2.1条件概率学案 选修2-3

人教版高中数学精品资料 高中数学 2.2.1条件概率学案 新人教A 版选 修 2-3 基础梳理 1．条件概率. 条件 设A ，B 为两个事件，且P (A )>0 含义 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 记作 P (B |A ) 读作 A 发生的条件下B 发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法：P (B |A )＝n （AB ） n （A ） ②公式法：P (B |A )＝P （AB ） P （A ） P (B |A )与P (AB )的区别：P (B |A )的值是AB 发生相对于事件A 发生的概率的大小；而P (AB )是AB 发生相对于原来的总空间而言． 2．条件概率的性质． (1)有界性：0≤P (B |A )≤1； (2)可加性：如果B 和C 是互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 自测自评 1．下列说法中正确的是(B ) A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝ P （B ） P （A ） 是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1 D ．P (A |A )＝0

2．已知P (AB )＝310，P (A )＝3 5，则P (B |A )等于(B ) A.950 B.12 C.910 D.1 4 3．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝{两个点数互不相同}，B ＝{出现一个5点}，则P (B |A )＝(A ) A.13 B.15 C.16 D.112 解析：出现点数互不相同的共有6×5＝30种，出现一个5点共有5×2＝10种， 所以P (B |A )＝1030＝1 3 .故选 A. 不注意区分条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )致误 【典例】 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率． 解析：记“第一次取到白球” 为事件A ，“第二次取到黄球” 为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球” 为事件C . 在事件A 已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白球，故此时取到黄球的概率为P (C )＝P (B |A )＝69＝23或者P (C )＝P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4 1525 ＝2 3 . 【易错剖析】应注意P (AB )是事件A 和B 同时发生的概率，而P (B |A )是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．若混淆这两个概念，就会出现如下错解： 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事件C ， ∴P (C )＝P (AB )＝ 4×610×9＝4 15 . 基础巩固 1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2 5，则P (AB )＝(C ) A. 56 B.910 C.215 D.1 15 解析：P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝2 15 .故选C. 2．把一枚硬币抛掷两次，事件B 为“第一次出现正面”，事件A 为“第二次出现反面”，则P (A |B )等于(B )

高中数学概率知识点

高中数学概率知识点 高中数学概率知识点：概念 (1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； (2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； (3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； (4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； (5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA 为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。 (6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概

率 高中数学概率知识点：基本性质 1、基本概念： (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若A&cap；B为不可能事件，即A&cap；B=ф，那么称事件A与事件B互斥； (3)若A&cap；B为不可能事件，A&cup；B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； (4)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A&cup； B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A&cup；B 为必然事件，所以P(A&cup；B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0&le；P(A)&le；1； 2)当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A&cup；B)= P(A)+ P(B)； 3)若事件A与B为对立事件，则A&cup；B为必然事件，所以P(A&cup；B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4)互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：

高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(教师版)

学科教师辅导讲义 【知识梳理】 (1)两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝O.（λ不等于0） (2)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 课堂练习与讲解： (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r ，当x ＝__2___时a r 与b r 共线且方向相同； (2)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = 3 2 ； (3)已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b P ，则x 为___4__________． (4)已知向量5,(1,2)a b ==r r ，且b a ρρ⊥，则a ρ的坐标是__(25,5-)或___(25,5)-____。 (5)若() 221,2,a b a b a ==-⊥r r r r r ，则b a ρρ与的夹角为_____045______。 (6)已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ B ） A 、(5,10)-- B 、(4,8)-- C 、(3,6)-- D 、(2,4)-- (7)已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ C ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．20 (8)已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r ∥b r ，则k = 5 ． (9)已知平面向量a =,1x （） ，b =2 ,x x （－）， 则向量+a b （ C ） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 (10)已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ D ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2