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(完整版)弧度制和角度制的换算

练习三弧度制 (一)

要点

1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧

度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:

10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.

3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π

+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+

,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习

1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2.①

4π

, ② －45π,③4

19π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )

(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－

2π

角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350

⑵ －670

⑶2 ⑷－

7π

1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.

Sin40

, sin

1, sin300

, sin1

2. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相

同的角.

(1)－3

16π; (2)－6750

3. 若角θ的终边与1680

角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3

角的终边相同的角.

练习四弧度制(二)

要点

1. 弧长公式和扇形面积公式:

弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=

21Lr=2

|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.

2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用

弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习

1.半径为5 cm 的圆中,弧长为

cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145

(B) 1350

(C)

135 (D)

145

2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)

3π (B)－3π (C) 6π (D)－6

π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.

4. 已知一弧所对的圆周角为600

,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于

___________.

5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2

,求扇形圆心角的弧度数.

6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.

7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.

(1) 求这条弦所在的劣弧长;

(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

【数学2】

二、弧度制

第一课时

教学要求：

1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换．教学过程：

1．为什么要引入新的角的单位弧度制.

（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便；（2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义

先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.

如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.

问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？

答：半圆弧长是∴=,,

πππr

r 半圆所对的圆心角是π弧度.

同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.

角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.

3．弧度制与角度制的互化

因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 rad

rad rad

rad 01745.0180

11802360≈=

==πππο

οο

οο1803602==rad rad ππ

815730.57)180(1'=≈=οοο

rad rad π

例1：把.0367化成弧度'ο

解：.8

5.671805.670367rad rad ππ

=?=

='ο

例2：把

rad 53π化成角度. οο1081805

53=?=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如6

6π

就表示 rad ，

角.2,2rad 等于就是角αα= rad 3

3sin

表示角的正弦.

οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

例3：用弧度制表示（1）与π3

2终边相同的角；（2）第四象限的角的集合. 解：（1）与

.,3

232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是（2）第四象限的角的集合是

},2222

{Z k k k ∈+<<+ππαππ

α 也可能写成},22

2|{Z k k k ∈<<-

παπ

πα

注意两种角度制不准混合用，如写成

.,2120是不对的Z k k ∈+=παο

布置作业，课本P 12，1~5题.

第二课时

教学要求：

1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：

复习角的弧度制与角度制的转化公式

.017453.0180

81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈=

'==≈=π

οοοο

1．学生先练习，老师再总结.

（1）10 rad 角是第几象限的角？（2）求sin1.5的值.

解：（1）有两种方法. 第一种方法ο

21336057310+==rad ，是第三象限的角

第二种方法πππππ2

3210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'

=οο

也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数，零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角的弧度数等于这个实数）

这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数）之间建立了一一对应的关系.

3．弧长公式，扇形面积公式的应用

由弧度制的定义||αr l r

d ==

得弧长例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,2

是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是π

π22

R ，

而弧长为l 的扇形的圆心角为

rad R

，所以它的面积 lR R R l S 2

122=?=ππ.

若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成

||2

||21212ααR R R lR S =?==

例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad R

==α 面积22

1R R S ==

θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ，求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径π

r 22

设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=

由π

x x 22=

解得π

l x )12(2)12(2-=

S ⊙C π

π2

)223(4l x -=

4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.

布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11

§4.2弧度制

[教学目标]

（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；

（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。 [教学重点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。 [教学难点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点； [教学过程] 一．引入

我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的

360

为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad ，读作弧度。二．新课

定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad 。

[说明]学生阅读课本，教师作要点说明，并进行归纳。一般地，可以得到：

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值

l =||α

其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径。

概念：这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。 1．把角度换成弧度

2．把弧度换成角度

[例1]把'

3067ο化成弧度。 [例2]把π5

3rad 化成度。

[约定]今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，而只写这

个角对应的弧度数。

特殊角的度数与弧度数的对应表：

角的集合与实数集R 之间的对应关系：

任意角的集合

实数集

[复习]角度制下的弧长公式和扇形面积公式弧度制下的弧长公式和扇形面积公式（1）弧长公式：r l ||α=，（α弧度数）

（2）扇形面积：lR S 2

=（该结论在例讲解后给出） [例3]利用弧度制证明扇形面积公式lR S 2

=，其中l 是扇形的弧长，R 是圆的半径。

[例4]计算：（1）4

sin

π；（2）5.1tan 。

[例5]将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式：（1）

π3

19；（2）ο

315-。 [例6]求图4—9中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m 。图中长度单位：m ）.

例１把下列各角的度数化为弧度数：

⑴ο

150 ⑵'3037ο

⑶'

3022ο

- ⑷ο

315- 解因为180

1π=

οrad ，所以

⑴ rad rad 6

5180

150150π

=ο ⑵ rad rad 245180213721373037'

ππ=?=???

??=ο

⑶ rad rad 8180212221223022'ππ-=?-=??? ?

-=-ο

⑷ rad rad 4

7180

315315π

-=-ο

例２把下列各角的弧度数化为度数： ⑴

rad 43π ⑵rad 5.3 ⑶rad 35π ⑷rad 4

9π- 解因为 π rad ＝ο

180，所以

⑴

rad 43π＝4

×ο180＝ο135； ⑵ rad 5.3＝ο

55.20030.575.315.3=?≈?rad ；

⑶

rad 35π＝35

×ο180＝ο300； ⑷ rad 49π-＝4

-×ο180＝ο405-．度与弧度的换算可以利用计算器进行，具体操作方法可见本书的附录．

今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝１表示α是１rad 的角，4

sin

π表示

rad 4

的正弦，即

sin

＝2

245sin =

．根据常用特殊角间的倍数关系，可以列出下列特殊角的度数与弧度数对应值．度弧度

例３用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合．解因为在角度制下，终边在y 轴上的角的集合为

=S ｛α∣,18090οο?+=n αZ n ∈｝

所以，在弧度制下，终边在y 轴上的角的集合为

=S ｛α∣ππ

αn +=

，Z n ∈｝

例４计算：4

tan 6cos 3sin

ππ

?+ 解原式＝ο

45tan 30cos 60sin ?+

＝

323?+ ＝3

课题：4.2

弧度制（一）

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型：新授课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪内容分析：

讲清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解. 教学过程：

一、复习引入： 1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负

规定周角的360

作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180

n l π=

3．探究

30°、60°的圆心角，半径r 为1，2，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比

结论：圆心角不变，则比值不变，

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

探究：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r

α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

2. 角度制与弧度制的换算：

∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad

∴ 1?=

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801ο

οο

=≈??

? ??=πrad

三、讲解范例：

例1 把'3067ο

化成弧度

解：ο

ο??

??=2167'3067

∴ rad rad ππ

2167

180

'3067=?=

例2 把rad π5

3化成度解：

οο1081805

53=?=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略如：3表示

3rad ， sin π表示πrad 角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的

集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1 终边在x 轴上的角的集合

2 终边在y 轴上的角的集合

3 终边在坐标轴上的角的集合

解：1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ?

???

??∈+

==Z k k S ,2|2π

πββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ?

???

??∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是( )

ππ

k 222+-

和（ｋ∈Ｚ） B.－

π和322

C.－97π和911π

D. 9

122320ππ和

2.若α＝－3，则角α

的终边在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合为 .

5.7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .

7.求值：2

cos 4tan

cos

tan

sin

-+. 8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求

A ∩

B .

9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角. 参考答案： 1.C 2.C 3.C

4.｛α｜2k π＜α＜2

＋2k π，k ∈Z } ｛α｜k π＜α＜

＋k π，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.2

8.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.

11π

五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数六、课后作业：

已知α是第二象限角，试求：

(1)

2α角所在的象限；(2)3

角所在的象限；(3)2α角所在范围. 解：(1)∵α是第二象限角,∴2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2π

+k π,k ∈Z .

故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2m π<2α<2π+2m π,因此，2

角是第一象限角；当k =2m +1(m

∈Z )时，45π+2m π<2α<23π+2m π,因此，2

角是第三象限角.

综上可知，2

角是第一或第三象限角.

(2)同理可求得：6π+32k π<3α<3

+32k π,k ∈Z .当k =3m (m ∈Z )时，

ππ

αππm m 23326+<

+,此时，

是第一象限角；

当k =3m +1(m ∈Z )时，πππαπππ322333226++<<++m m ，即3

265α

ππ<+m <π

+2m π,此时，3

角是第二象限角；

当k =3m +2(m ∈Z )时，ππαππm m 2353223+<<+,此时，3

角是第四象限角.

综上可知，3

角是第一、第二或第四象限角.

(3)同理可求得2α角所在范围为：π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z .

评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.

(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+

2k π(k ∈Z )所表示的角所在象限.

(3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角

π+4k π(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略）八、课后记：课题：4.2

弧度制（一）

教学目的：

1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.

3.熟记特殊角的弧度数

教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 授课类型：新授课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪内容分析：

一、复习引入： 1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

⑵．“正角”与“负角”“0角”

我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，

规定周角的360

作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180

n l π=

3．探究

30°、60°的圆心角，半径r 为1，2

，3，4，分别计算对应的弧长l ，再计算弧长与半径的比

结论：圆心角不变，则比值不变，

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是另一种度量角的制度——弧度制

二、讲解新课：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为

1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

探究：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值

=α（l 为弧长，r 为半径）

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同

2. 角度制与弧度制的换算：

∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad

∴ 1?=

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801ο

οο

=≈??

? ??=πrad

三、讲解范例：

例1 把'3067ο

化成弧度

解：ο

ο??

??=2167'3067

∴ rad rad ππ

2167

180

'3067=?=

例2 把rad π5

3化成度解：

οο1081805

53=?=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略如：3表示

3rad ， sin π表示πrad 角的正弦；

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的

集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

例3用弧度制表示：

1 终边在x 轴上的角的集合

2 终边在y 轴上的角的集合

3 终边在坐标轴上的角的集合

解：1 终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2 终边在y 轴上的角的集合 ?

???

??∈+

==Z k k S ,2|2π

πββ 3 终边在坐标轴上的角的集合 ?

???

??∈==Z k k S ,2|3πββ 四、课堂练习：

1.下列各对角中终边相同的角是( )

ππ

k 222+-

和（ｋ∈Ｚ） B.－

π和322

C.－97π和911π

D. 9

122320ππ和

2.若α＝－3，则角α的终边在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为，第一或第三象限角的集合为 .

5.7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .

6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .

7.求值：2

cos

tan

cos

tan

sin

-+.

8.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .

9.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角. 参考答案： 1.C 2.C 3.C

4.｛α｜2k π＜α＜2

＋2k π，k ∈Z } ｛α｜k π＜α＜

＋k π，k ∈Z ｝ 5.一 7－2π 6.3 7.2

8.A ∩B ＝｛α｜－4≤α≤－π或0≤α≤π｝ 9.

11π

五、小结 1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数六、课后作业：

已知α是第二象限角，试求：

(1)

2α角所在的象限；(2)3

角所在的象限；(3)2α角所在范围.

解：(1)∵α是第二象限角,∴

2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2π

+k π,k ∈Z . 故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2m π<2α<2π+2m π,因此，2

角是第一象限角；当k =2m +1(m

∈Z )时，45π+2m π<2α<23π+2m π,因此，2

角是第三象限角.

综上可知，2

角是第一或第三象限角.

(2)同理可求得：6π+32k π<3α<3

+32k π,k ∈Z .当k =3m (m ∈Z )时，

ππ

αππm m 23326+<

+,此时，

是第一象限角；

当k =3m +1(m ∈Z )时，πππαπππ322333226++<<++m m ，即3

265α

ππ<+m <π

+2m π,此时，3

角是第二象限角；

当k =3m +2(m ∈Z )时，ππαππm m 2353223+<<+,此时，3

角是第四象限角.

综上可知，3

角是第一、第二或第四象限角.

(3)同理可求得2α角所在范围为：π+4k π<2α<2π+4k π,k ∈Z . 评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.

(2)要会正确运用不等式进行角的表达，同时会以k 取不同值，讨论形如θ=α+

2k π(k ∈Z )所表示的角所在象限.

(3)对于本例(3)，不能说2α只是第一、二象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角

π+4k π(k ∈Z ),而此角不属于任何象限. 七、板书设计（略）八、课后记：

4.2 弧度制

教学目标

1.使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；

3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；

4.在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；难点：弧度的概念，弧度与角度的关系。知识结构

教法建议

（1）弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。（实例）；

其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：

不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应；（2）关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住：

弧度弧度这个关键，来引导学生；

（3）教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致；

（4）通过例3的教学，应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．

一．课题：弧度制（2）

二．教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；

2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用； 3．求扇形面积的最值。

三．教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。四．教学过程：（一）复习：

（1）弧度制角如何规定的？||l

α=（其中l 表示α所对的弧长）（2）180

)π

=o ； 1180π

o ．

说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360o o o o o o o o o o o

．

（练习）写出阴影部分的角的集合：

（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？

圆的半径为r ，圆心角为n o

所对弧长为||||2360180

n n r

l r ππ=?=o o ； x y

o 30o

60o

150o 210o

扇形面积为22

||||

360360

n r n S r ππ=?=o o

．

（二）新课讲解：

1．弧长公式：

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？

∵||l

α=（其中l 表示α所对的弧长），所以，弧长公式为||l r α=?．]

2．扇形面积公式：

扇形面积公式为：22||1

222

r S r r lr αππππ=?==．

说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了； ②以上公式中的α必须为弧度单位．

3．例题分析：

例1．（１）已知扇形OAB 的圆心角α为120o

，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。

（２）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？

解：（１）因为21203π=

，所以，2

1112||36122223

S lr r παπ===??=．（２）设弧长为l ，半径为r ，由已知220l r +=，所以202l r =-，202||l r

r r

α-==，

从而2

22211202||10(5)2522r S r r r r r r

α-==??=-+=--+，

当5r =时，S 最大，最大值为25，这时2022l r

r r

α-===．

例２．如图，扇形OAB 的面积是2

4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则有 28

41242

l r l r lr +=?=??

???

==??? ，所以，中心角为4

l r α===，弦长＝22sin14sin1?=．五．课堂练习：

1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z π

πααπααπ????

==+

∈==±∈?????

???

的关系是（）（A ）A B = （B ）A B ? （C ）A B ? （D ）以上都不对。

2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B I 等于（）（A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤

弧度制和弧度制与角度制之间的换算

基本初等函数（II ）弧度制和弧度制与角度制之间的换算教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l 比公式180 r n l π= 简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式 lR S 2 1= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇要简单三、例子：例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3 化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3

弧度制和弧度制与角度制之间的换算

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第一章基本初等函数（II ） 1.1.2弧度制和弧度制与角度制之间的换算教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l 比公式180 r n l π= 简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式 lR S 2 1 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇要简单三、例子：例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在 y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3

数学：1.1.2《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案(新人教A版)

第一章基本初等函数（II ） 1.1.2弧度制和弧度制与角度制之间的换算教学目标： 1.理解1弧度的角、弧度制的定义.能进行角度与弧度的换算. 2.掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程一、复习引入： 1．角的概念 2．角度制的定义 3．圆心角不变，则弧长与半径的比值不变，二、讲解新课： 1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． ⑴平角=π rad 、周角=2π rad ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶圆心角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad ∴ 1?= rad rad 017453.0180 ≈π 8.447157)180 ( 1'''?≈?=π rad 3.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合实数集R 4．（1）弧长公式：α?=r l

比公式180 r n l π= 简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式 lR S 2 1= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径这比扇形面积公式 360 2 R n S π=扇要简单三、例子：例1把'3067 化成弧度，把rad π5 3 化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m ？例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3

弧度制和角度制的换算

练习三弧度制 (一) 要点 1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以 “弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算: 10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/. 3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600 终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600 ,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+ 3 π,k ∈Z }或{ x|x=k 〃3600 +600 ,k ∈Z } 同步练习 1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.① 4π , ② －45π,③4 19π,④－43π,其中终边相同的角是 ( ) (A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－ 3 2π 角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350 ⑵ －670 30 / ⑶2 ⑷－ 6 7π 1. 将下列各数按从小到大的顺序排列. Sin40 , sin 2 1, sin300 , sin1 2. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角. (1)－3 16π; (2)－6750 . 3. 若角θ的终边与1680 角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3 θ 角的终边相同的角. 练习四弧度制(二) 要点 1. 弧长公式和扇形面积公式: 弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= 21Lr=2 1|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径. 2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但

7.1.2弧度制及其与角度制的换算——练习题

7.1.2弧度制及其与角度制的换算一、选择题 1.下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－103 π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76 π D ．π12 化成度是15° 2.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( ) A .扇形的面积不变 B .扇形的圆心角不变 C .扇形的面积增加到原来的2倍 D .扇形的圆心角增加到原来的2倍 3.若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.若α是第四象限角，则π－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A ．π6 B ．π3 C ．3 D ．3 6.将1920°转化为弧度数为( ) A ．163 B ．323 C ．16π3 D ．32π3 7．把－114 π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C ．π4 D ．3π4 8.集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ． B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} C ．{α|－4≤α≤4} D ．{α|0≤α≤π} 9．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2

C ．2sin 1 D ．2sin 1 10．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4 ，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(2，2) D ．(1,1) 11．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 12.已知 ,则角α的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题 13．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． 14．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 15．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3 ，则扇形的弧长＝________，半径＝． 16．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4 角的终边相同的角是________．三、解答题 17．已知角α＝1200°. (1)将α改写成β＋2k π (k ∈Z , 0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．

弧度制及弧度制和角度制的换算

弧度制的概念和换算总结要点 1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算: 10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/. 3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π +600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3 π ,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习 1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.① 4π , ② －45π,③4 19π,④－43π,其中终边相同的角是 ( ) (A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－ 3 2π 角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350 ⑵ －67030/ ⑶2 ⑷－6 7π 1. 将下列各数按从小到大的顺序排列. Sin40, sin 2 1 , sin300, sin1

2. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角. (1)－3 16 π; (2)－6750. 3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3 θ 角的终边相同的角. 练习四弧度制(二) 要点 1. 弧长公式和扇形面积公式: 弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= 21Lr=2 1 |α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径. 2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习 1.半径为5 cm 的圆中,弧长为 4 15 cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)1450 (B) 1350 (C) π 135 (D) π 145 2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A) 3π (B)－3π (C) 6π (D)－6 π 3. 半径为4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________. 4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于 ___________.

角度值与弧度制

高一数学教学案材料编号: 38 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算班级: 姓名：学号：设计人：李荣审查人:徐峰使用时间： 04.28 一．学习目标：（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。二. 学习重点与难点：重点：使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。难点：使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；三．课前自学：（一）复习检测： 1、已知锐角α，那么2α是（） A 第一象限角； B 第二象限角 C 小于180°的角 D 第一或第二象限角 2、已知α是第一象限角，那么 2 α 是（） A 第一象限 B 第二象限 C 第一或第二象限 D 第一或第三象限 3、求在-720°到720°之间与-1020°终边相同的角.

（二）自学导学：基础知识梳理：：学点1 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同学点2：角度制与弧度制的换算：因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有

7.1.2弧度制及其与角度制的换算

第七章三角函数 7．1.2 弧度制及其与角度制的换算 1.了解角的另外一种度量方法——弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式. 4.通过学习，提高学生数学抽象、数学运算的核心素养. 知识点一弧度制 (一)教材梳理填空 1．度量角的两种制度 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．规定1度等于60分，1分等于60秒． (2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad. [微提醒] 今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad 可以略去不写，而只写这个角的弧度数． 2．弧长公式在半径为r 的圆中，若弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad ，则α＝l r .由此可得到l ＝αr ，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积． [微提醒] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝α·R .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝1 2 αR 2. (二)基本知能小试

判断正误 (1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．( ) (2)1弧度是长度为半径的弧．( ) (3)1弧度是1度的弧与1度的角之和．( ) 答案： (1)× (2)× (3)× 知识点二弧度制与角度制的换算 (一)教材梳理填空 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( ) (3)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的1 2π. ( ) (4)1 rad 的角比1°的角要大．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°＝______；(2)－15°＝______；(3)7π12＝________；(4)－11 5π＝________. 解析：(1)20°＝20× π180＝π 9 ； (2)－15°＝－15×π180＝－π 12； (3)7π12＝7π12×???? 180π°＝105°； (4)－115π＝－11 5π×????180π°＝－396°. 答案：(1)π9 (2)－π 12 (3)105° (4)－396°

弧度制与角度制的换算关系

课题：弧度制和弧度制与角度制之间的换算（1）教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2 rad 1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 1、 360 =2rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B

'185730.571801οοο =≈?? ? ??=πrad 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。任意角的集合实数集R 四、例题讲解例1把'3067ο化成弧度，把rad π5 3化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合正角零角负角正实数零负实数

弧度制与角度制的换算关系

课题：弧度制和弧度制与角度制之间的换算（1）教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径） 3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 1、 360=2 rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省如：3 表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。 o r C 2rad 1rad r l=2 r o A A B 正角零角负角正实数零负实数

任意角的集合实数集R 四、例题讲解例1把'3067 化成弧度，把rad 5 3化成度注意：常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 例2用弧度制表示： 1 终边在x 轴上的角的集合 2 终边在y 轴上的角的集合 3 终边在坐标轴上的角的集合例3．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 例4已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化小结：本节课我们学习了：弧度制定义、角度制与弧度制的互化、特殊角的弧度数、用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．课堂练习：第12页练习A 、B 课后作业：第13页习题1-1A ：3、4、5，习题1-1B:3 课堂检测：

7.1.2弧度制及其与角度制的换算——练习题 (1)

7.1.2《弧度制及其与角度制的换算》课后练习题一、选择题 1.下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－10 3 π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－76 π D ．π12 化成度是15° 2.若圆的半径变成原来的2倍,扇形的弧长也变成原来的2倍,则( ) A .扇形的面积不变 B .扇形的圆心角不变 C .扇形的面积增加到原来的2倍 D .扇形的圆心角增加到原来的2倍 3.若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.若α是第四象限角，则π－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A ．π 6 B ．π3 C ．3 D ．3 6.将1920°转化为弧度数为( ) A ．16 3 B ．323

C ．16π3 D ．32π3 7．把－11 4 π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π 4 B ．－π4 C ．π4 D ．3π4 8.集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ． B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} C ．{α|－4≤α≤4} D ．{α|0≤α≤π} 9．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2 sin 1 D ．2sin 1 10．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π 4，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(2，2) D ．(1,1) 11．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 12.已知 ,则角α的终边所在的象限是( )

弧度制和角度制转化练习和答案

课时作业2 弧度制和弧度制与角度制的换算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．与－13π 3终边相同的角的集合是( ) A ．{π3} B ．{5π3} C ．{α|α＝2k π＋π 3，k ∈Z } D ．{α|α＝2k π＋5 3π，k ∈Z } 解析：与－133π终边相同的角α＝2k π－13 3π，k ∈Z ， ∴α＝(2k －6)π＋6π－133π＝2(k －3)π＋5 3π(k ∈Z )．答案：D 2．终边经过点(a ，a )(a ≠0)的角α的集合是( ) A ．{π4} B ．{π4，5π4} C ．{α|α＝π 4＋2k π，k ∈Z } D ．{α|α＝π 4＋k π，k ∈Z } 解析：分a >0和a <0两种情形讨论分析．当a >0时，点(a ，a )在第一象限，此类角可记作{α|α＝2k π＋π 4，k ∈Z }；当a <0时，点(a ，a )在第三象限，此类角可记作{α|α＝2k π＋5 4π，k ∈Z }，∴角α的集合为{α|α＝k π＋π 4，k ∈Z }．答案：D

3．在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π 5cm B.2π5cm C.π 3cm D.π2cm 解析：利用弧长公式l ＝αr ，α＝36°＝36×π180＝π 5，r ＝2cm ， ∴l ＝π5×2＝2π 5(cm)．答案：B 4．若集合A ＝{x |x ＝k π2＋π 4，k ∈Z }，B ＝{x |－2≤x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3π4，－π4，π 4} B ．{－π4，π 4} C ．{－5π4，－3π4，－π 4} D ．{－π4，π4，3π 4} 解析：集合A 中的元素为：…－54π，－34π，－π4，π4，3 4π……，且－34π<－2，3 4π>1，故应选B. 答案：B 5．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A ．1 B.12 C.π6或5π6 D.π3或5π3 解析：将该弦记为弦AB ，设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角

弧度制和角度制的换算

(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 2 角的终边相同,则α 3. 若4π<α<6π,且与－ 3 =_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____,

______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵－67030/ ⑶2 7π ⑷－ 6 1.将下列各数按从小到大的顺序排列. 1, Sin40, sin 2 sin300, sin1 2.把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角. 16π; (2)－ (1)－ 3 6750. 3.若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2 θ角的终边相同的角. π]内终边与 3

弧度制和角度制转化练习和答案知识讲解

弧度制和角度制转化练习和答案

3．在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5cm B.2π5cm C.π3cm D.π2cm 解析：利用弧长公式l ＝αr ，α＝36°＝36×π180＝π 5，r ＝2cm ， ∴l ＝π5×2＝2π 5(cm)．答案：B 4．若集合A ＝{x |x ＝k π2＋π 4，k ∈Z }，B ＝{x |－2≤x ≤1}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3π4，－π4，π 4} B ．{－π4，π 4} C ．{－5π4，－3π4，－π 4} D ．{－π4，π4，3π 4} 解析：集合A 中的元素为：…－54π，－34π，－π4，π4，3 4π……，且－34π<－2，3 4π>1，故应选B. 答案：B 5．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A ．1 B.12 C.π6或5π6 D.π3或5π3 解析：将该弦记为弦AB ，设该弦所对的圆周角为α，则其圆心

【同步练习】《弧度制和弧度制与角度制的换算》(人教)

《弧度制和弧度制与角度制的换算》同步练习 1、若α是第四象限角，则απ-是（）。 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 2、若α＝－3，则角α的终边在（）。 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、求值：13 3 3 -tan sin cos π π π ·· 等于（）。 A ． 1 4 B ． 34 C ． 12 D ． 32 4、下列各组角中，终边相同的角是（）。 A ．π2 k 与)(2Z k k ∈+ ππ B ．)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D ．)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 5、若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（）。

A ． B ． C ． D ． 6、集合? ? ????∈==Z k k A ,6παα与??????∈+==Z n n B ,63ππββ的关系是（）。 A 、B A ? B 、B A ? C 、B A = D 、B A ? 7、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）。 A ．2 B ． 1 sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 8、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（）。 A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 9、一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（）。 2 22 2)1cos 1sin D.(1 2 1 .1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 10、下列命题中，正确的命题是（）。 A ．若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2。 B ．若扇形的弧长一定，则面积存在最大值。 C ．若扇形的面积一定，则弧长存在最小值。 D ．任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系。 11、7弧度的角在第象限，与7弧度角终边相同的最小正角为。 12、已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是。 13、已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为。 14、在半径为2米的圆中，1200 的圆心角所对的弧长为__________________。 15、一个扇形OAB 的面积是1，它的周长为4，求中心角的弧度数为______。 ) (2 2Z k k ∈+=+π πβα)(2Z k k ∈+=+ππβα) (2 Z k k ∈+ =+π πβα) (Z k k ∈+=+ππβα

(完整版)弧度制和角度制的换算

弧度制和弧度制与角度制之间的换算

弧度制和弧度制与角度制之间的换算

数学：1.1.2《弧度制和弧度制与角度制之间的换算》教案(新人教A版)

弧度制和角度制的换算

7.1.2弧度制及其与角度制的换算——练习题

弧度制及弧度制和角度制的换算

角度值与弧度制

7.1.2弧度制及其与角度制的换算

弧度制与角度制的换算关系

弧度制与角度制的换算关系

7.1.2弧度制及其与角度制的换算——练习题 (1)

弧度制和角度制转化练习和答案

弧度制和角度制的换算

弧度制和角度制转化练习和答案知识讲解

【同步练习】《弧度制和弧度制与角度制的换算》(人教)

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