高一数学 对数的运算
高一数学 对数的运算
【教学目标】要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 【教学重点】换底公式的应用 【教学难点】换底公式的应用 【教学过程】 一 复习引入
用常用对数表示：5log 3
3
lg 5
lg 5lg 3lg 53,5log :3=
∴=∴==t t t t 则设分析 二 新课讲解
⒈ 换底公式：a
N
N m m a log log log =
( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1)
证：设 log a N = x , 则 a x = N
两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x
m log log log log =?=
从而得：a N x m m log log =
∴ a
N
N m m a log log log =
两个较为常用的推论：
1? 1log log =?a b b a 2? b m
n
b a n
a m log log =
（ a , b > 0且均不为1） ()
b b a n a
n
log log
:=特例
例1 计算
⑴ 32log 9log 38?
⑵
3
log 9
log 28
⑶ ??
? ??-++223223log 2
⑷ 3log 8log 9
14-
⑸ 4
2
1
938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++
分析：原式4
5
2
133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=
45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 2
54545452log 233log 6532=+=+?= 例2 ⑴ 2
1
log log 9log 7log 4
1
4923=??x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 5 〖练习〗若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5
解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p 又∵ q ==
3
lg 5
lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq
pq
3135lg +=
⑶ 已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12
18
log 1818
∴ log 18 2 = 1 - a ∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b ∴ a
b
a -+=++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836
⑷ 已知3632
==n m
，则
=+n
m 1
1 分析：㈠倒数 ㈡用lg 表示
例3 ⑴ 设1643>===t z y x 求证：
y
x z 2111=- 证：∵1643>===t z y x ∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===
，， ∴
y
t t t t x z 21
lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 〖练习〗① 引例 ② 教材例8，9（自学） ⑵ 设y x y x lg lg )2lg(2+=-，求)(log 12
-xy
⑶ 已知)1(311
log 2log >>=+a b a b b a ，求b
b a a b +-+263值。
【课堂小结】 换底公式的应用 【课后作业】
1 求下列各式的值： 1? 6
5
353log 9
--+ )(4
1-
2?
7
log 15
log 18649
25+ (10)
3? )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(4
1
4? )243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++ )(1225
2 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222log x 的值。 )(4
7
3 已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用m , n 表示log 30 8 ))
((m
m +-113
4 已知 a
a
-=12log 3 求 log 12 3 (a )
5 设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若 z y x c b a == 且01
11=++z
y x 求证：ab c = 1 6 求值：12log 2
210
33)2(lg 20log 5lg -++? 7 求值：2lg 2)
32(3
log
10)347(log 2
2
++
-++ ( -189)
【教学后记】
高中数学对数的运算
对数函数专题 对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广： ()( )1 2 1 l o g a k a N N N = + 、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两
高一对数指数
指数对数（必修一） 一、概念性质 1、指数对数的定义域 指数：n a （0a ≠） 对数：log (01,0)a n a a n >≠>且 2、指数运算法则 ①m n m n a a a +?= ②m n m n a a a -÷= ③()m n mn a a = ④()m m m a b ab = 运用指数运算法则，一般从右往左变形。 3、对数运算法则 同底公式：①log a b a b = ②log log log ()a a a M N MN += ③log log log a a a M M N N -= ④log log n a a M n M = 不同底公式：①log log log m a m N N a = ②log log m n a a n b b m = ③1log log a b b a = (2,3,11题) 4、对数和指数的单调性 5、指数函数y=a x 与对数函数y=x a log ,(1,0≠>a a )是互为反函数即b x b a a x log =?=它是实现指数式与对数式 相互转换的桥梁。当a>1时，两个函数在定义域内都递增；当0 课后导练 基础达标 12.3=8写成对数式为( ) A.log 28=3 B.log 82=3 C.log 38=2 D.log 32=8 答案：A 2.log 2 8 1=-3写成指数式为( ) A.2-3=81 B.3-2=81 C.( 81)-3=2 D.(-3)2=81 答案：A 3.已知4x =6 1,则x 等于( ) A.4 B.-4 C.log 4 61 D.log 614 答案：C 4.设5lgx =25,则x 的值等于( ) A.10 B.±10 C.100 D.±100 解析：5lgx =52,∴lgx=2.∴x=100. 答案：C 5.lg10+lg100+lg1000等于( ) A.10 B.100 C.1000 D.6 答案：D 6.若f(10x )=x,则f(3)的值为( ) A.log 310 B.lg3 C.103 D.310 解析：令10x =3, ∴x=log 103=lg3. 答案：B 7.log 333等于( ) A.3 B.3 C.33 D.33 解析：令log 333=x, ∴(3)x =33=(3)3. ∴x=3. 答案：A 8.对数式log (a-2)(5-a)=b 中,实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 解析：由?? ???≠->->-,12,02,05a a a 得2 答案：C 9.log x (2-1)=-1,则x=______. 解析：x -1=2-1,即x 1=2-1. ∴x=121 -=2+1. 答案：2+1 10.23log 32+=________. 解析：23log 32+=23×23log 2=8×3=24. 答案：24 综合运用 11.下列各式中值为零的是( ) A.log a a B.log a b-log b a C.log a (log b b) D.log a (log a a 2) 答案：C 12.下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) A.100=1与lg1=0 B.2731 -=31与log 2731=31 - C.log 39=2与921 =3 D.log 55=1与51=5 解析：对于C,log 39=2→32=9;921 =3→log 93=21. ∴选C. 答案：C 13.已知f(x)=2x ,则f(log 25)=________. 答案：5 14.求值:(1)lg0.01; (2)log 3 19. 解析：(1)令lg0.01=x,∴10x =0.01, 即10x =10-2.∴x=-2. ∴lg0.01=-2. (2)令log 3 19=x, ∴(31 )x =9,即3-x =32. 高一数学（必修1）专题复习三 指数函数和对数函数 一．基础知识复习 （一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义： （1）正整数指数幂： a n n a a a a 个???=（R a ∈）（2）零指数幂：10=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n a a 1 = -（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ） （5）负分数指数幂：n m n m a a 1 = -（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ． 2．指数的运算性质： ① y x y x a a a +=? ② y x y x a a a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x b a ab =)( 1b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b a log =．即：b N N a a b =?=log ． （10 （2）当（3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a 2．对数恒等式：（1 （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log = 3．对数的运算法则： ① ()N M MN a a a log log log += ② N M N M a a a log log log -= ③ () N n N a n a log log = ④ N n N a n a log 1log = 4．对数换底公式：b N N a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论： （1 （2）c c b a b a log log log =? （3 （4 （5 （一）指数函数的图象和性质 1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞． 2．x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质 1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+ R ，值域为R ． 2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征： 当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）： 给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a 1log =的图像关于x 轴对称． 6．指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数． （1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反 （3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1 x f y -=表示，若点),(b a 在) (x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1 ． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换， 并标明定义域． 二．训练题目 （一）选择题 1．设0a >（ ） 课时作业17 对数及其运算 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若x ＝y 2(y >0，且y ≠1)，则必有( ) A ．log 2x ＝y B ．log 2y ＝x C ．log x y ＝2 D ．log y x ＝2 【解析】 因为x ＝y 2(y >0，且y ≠1)，所以log y x ＝log y y 2＝2. 【答案】 D 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 【解析】 由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4，又x >0且x ≠1，所以x ＝4. 【答案】 B 3．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ? ????y 102的值为( ) A.12m －2n －2 B.12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D.12m －2n ＋2 【解析】 因为lg x ＝m ，lg y ＝n ， 所以lg x －lg ? ?? ??y 102＝12lg x －2lg y ＋2＝12m －2n ＋2.故选D. 【答案】 D 4．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．20， 5－b >0，5－b ≠1，所以2 【解析】 (1)24＝16；(2)? ?? ??13－3＝27； (3)(3)6＝x ；(4)log 464＝3； (5)log 319＝－2；(6)log 1416＝－2. 10．化简：(1)lg3＋25lg9＋35lg 27－lg 3 lg81－lg27 ； (2)(lg5)2＋lg2lg50＋2211+log 52. 【解析】 (1)法一：(正用公式)： 原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg3 4lg3－3lg3 ＝? ????1＋45＋910－12lg3lg3 ＝115. 法二：(逆用公式)： (2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log 25＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＋25＝1＋2 5. |能力提升|(20分钟，40分) 11．设9a ＝45，log 95＝b ，则( ) A ．a ＝b ＋9 B ．a －b ＝1 C ．a ＝9b D ．a ÷b ＝1 【解析】 由9a ＝45得a ＝log 945＝log 99＋log 95＝1＋b ，即a －b ＝1. 2.1-2.2 指数函数与对数函数 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、 4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12 m n + D 、 ()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、 35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x - 等于（ ） A 、1 3 B C D 、 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、 直线y x =对称 7、函数 (21)log x y -= ） A 、()2 ,11,3??+∞ ?? ? B 、()1 ,11,2 ?? +∞ ?? ? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2 ??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、 [)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、 01m n <<< 10、2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3??+∞ ?? ? B 、2,3 ??+∞ ??? C 、2,13?? ??? D 、 220,,33???? +∞ ? ????? 11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A 、 12 log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2 log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则 高一数学 对数的运算 【教学目标】要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题 【教学重点】换底公式的应用 【教学难点】换底公式的应用 【教学过程】 一 复习引入 用常用对数表示：5log 3 3 lg 5 lg 5lg 3lg 53,5log :3= ∴=∴==t t t t 则设分析 二 新课讲解 ⒈ 换底公式：a N N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） () b b a n a n log log :=特例 例1 计算 ⑴ 32log 9log 38? ⑵ 3 log 9 log 28 ⑶ ?? ? ??-++223223log 2 ⑷ 3log 8log 9 14- ⑸ 4 2 1 938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++ 分析：原式4 5 2 133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++= 45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 2 54545452log 233log 6532=+=+?= 例2 ⑴ 2 1 log log 9log 7log 4 1 4923=??x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 5 〖练习〗若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==?=p p p 又∵ q == 3 lg 5 lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq pq 3135lg += 高一数学 指数、对数函数 知识点1：指数运算（同底数幂相乘、除，幂的乘方，积的乘方，零指数、负指数、分数指数） 1．5.0210)01.0(41253-?? ? ??+??? ??-= ，()()032433122256027.0π++---= 。 2．()5 13,23==b a ，则=+b a 3 ，=-223b a 。 知识点2：对数运算（指数式与对数式互化，真数相乘、除，指数提前，对数恒等式，换底公式，01log ,1log ==a a a ，常用对数，自然对数） 3． 32log 2= ，271log 3= ，51log 25= ，2log 2= 。 4．25lg 4lg += ，2lg 5lg 2lg 5lg 2++= 。 5．下列正确的是（ ） A ．y x y x a a a log log )(log ?=? B ．y x y x a a a log log )(log +?=+ C ．y x y x a a a log log )(log ÷=÷ D ．)(log log log 1-?=-y x y x a a a 6．已知a ，b ，(1,)N ∈+∞，下列关系中，与b a N =不等价的是（ ） A ．log a b N = B ．1log a b N =- C ．b a N -= D ．1b a N = 7．方程03lg 2lg lg )3lg 2(lg lg 2=+++x x 的两根积为21x x = 。 知识点3：指数、对数函数的概念 8．写出符合)()()(y f x f xy f +=的一个函数 ； 写出符合)()()(y f x f y x f =+的一个函数 。 9．)1,0(≠>=a a a y x 的定义域 ，值域 ； ),1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域 ，值域 。 10．)1,0(≠>=a a a y x ，()()1,0,,0∈+∞∈y x 则a 的取值范围 ； ),1,0(log ≠>=a a x y a ()()+∞∈∈,0,1,0y x ，则a 的取值范围 。 11．14)(-+=x a x f 的图象恒过定点P ，则P 的坐标 ；)1(log 4-+=x y a 的图象恒过定点P ，则P 的坐标 。 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律：a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式：y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象： 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质： ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性：在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值：在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性：非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 知识点内容典型题 对数的概念 定义：设a＞0且a≠1，若a的b 次幂为N，即a b＝N，则b叫做以a 为底N的对数，记作log a N＝b. (a叫做底数，N叫做真数，式子 log a N叫做对数式.) a b＝N log a N＝b(a＞0且a≠1) 当a＝10时，x 10 log简记为lg x,称 为常用对数；当a＝e(e≈2.718…)时， x e log简记为ln x，称为自然对数. 11.把5.0 9017 .0= x化为对数式为 . 12.把lg x＝0.35化为指数式为 . 13.把ln x＝2.1化为指数式为. 14.log3 x＝－ 2 1 ,则x＝. 15.已知：8a=9，2b=5，求log9125． 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2. 函数 图象过定点，即当时， 变化对图象的影在第一象限内，从逆时针方向看图象， 看图象， 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式：，，. 3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么①加法： ②减法：③数乘：④ ⑤⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 且 图象过定点，即当时， 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象， 看图象， 1.反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数， 函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2.反函数的性质 (1)原函数与反函数的图象关于直线对称. (2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上. (4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数. 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2 .01.022> C 、2.01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.53.1 2.33.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 一．指数函数与对数函数 1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218 x y -= （2）y =（3）2x 2x 3y -= 2．设a 是实数，2()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 3．函数f (x )＝x 21-的定义域是（ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） 4．函数y ＝－e x 的图象（ ） （A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 (B)与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 （C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 (D)与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 5．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（ ） （A ） 21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 6．方程0224=-+x x 的解是__________． 7．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U 8．下面不等式成立的是( ) A ．322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< C ．5log 2log 3log 232<< D ．2log 5log 3log 322<< 9．函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)x y x =+> B ．24(0)x y x =+> C ．24(2)x y x =-> D ．24(0)x y x =-> 10．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52??+∞ ???， B ．(3)+∞， C ．52??-∞ ???， D ．(2)-∞， 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 654321 -1 -4-2 246 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或 )]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当 R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． N a log 高一数学对数运算及对数函数试题 一：选择题 1．若log 7[log 3（log 2x ）]=0，则为（ ） B = = ．2．23(log 9)(log 4)?=（ ） （A ）（B （C ） 2 （D ）4 【答案】D 3．的值是（ C ） =log 4．实数﹣ ?+lg4+2lg5的值为（ D ） ﹣+lg4+2lg5= B ． 6．lgx+lgy=2lg（x﹣2y），则的值的集合是（） ?=1 8．设，则a，b，c的大小顺序为（） 解：因为 9．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（A） B 10．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（） ， 11．已知f（x）=，则f（log23）的值是（A） B = 12.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23） B C D 13．若log a <13 ，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >1 B ．a 20<<3 C ．a 2<<13 D ．a 2 0<<3 或a >1 【答案】D 14．函数2 ()ln(43x )f x =＋－x 的单调递减区间是( ) 【答案】D 15．在其定义域上单调递减，则函数()() 2 1log x x g a -=的单 调减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 【答案】B 16则实数a 的取值范围是（ ） A 【答案】C 17．已知函数x a x f =)(0(>a 且1≠a ）与函数x x g a log )(=0(>a 且1≠a ）的图象有交点，函数)()()(x g x f x +=?在区间]2,1[上的最大值为，则)(x ?在区间]2,1[上的最小值为（ ） 【答案】D 18时， 4log x a x <，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0．1) C ．(1．2) 【答案】B 二：填空题 知识图谱 -对数及其运算对数及指对互化对数的运算对数式之间的相互转化第03讲_对数及其运算错题回顾 对数及其运算 知识精讲 一．对数的定义 在指数函数中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内部都有唯一确定的与它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在内部有唯一确定的和它对应，幂指数，又叫做以为底的对数．一般的，对于指数式,我们把“以为底的对数”记作,即 （），其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”． 二．对数的运算性质 1．对数的性质 （，，） （且均不为1） 2．换底公式： (；) 常用的推论： （1）； （2）（且均不为1）； （3） （4）对数恒等式 三点剖析 一．注意事项 定义中规定且的原因： 1．若且为某些数值时，不存在，如式子没有实数解，所以不存在，因此规定不能小于0，再就是由指数函数的定义也可知不能小于0． 2．若，且时，不存在；时，有无数个值，不能确定，因此规定； 3．若，且不为1时，不存在；不存在；而且时，可以为任何实数，不能确定，因此规定． 题模精讲 题模一对数及指对互化 例1.1、 求出下列各式中的；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 例1.2、 对数式b=log a-2（5-a）中，实数a的取值范围是（） A、a＞5，或a＜2 B、2＜a＜5 C、2＜a＜3，或3＜a＜5 D、3＜a＜4 例1.3、 若a=log43，则2a+2﹣a=_____________． 题模二对数的运算 例2.1、 计算lg25+lg2?lg50++log7=____． 例2.2、 已知x2+y2=1，x＞0．y＞0，且log a(1+x)=m，log a=n，则log a y等于（） A、m+n B、m-n 对数计算含指数（D ） 1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A.01ln10e ==与 B.1()381118log 223 -==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）. A. 10 B. 0.01 C. 100 D. 1000 4．设13log 82 x =，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 14 5．已知432log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ）. A. 1 3 B. C. D. 6．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －a B. a 2 C. ｜a ｜ D. a 7．化简3log 1的结果是（ ）. A. 12 B. 1 C. 2 D.8．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 9． ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10．化简3458log 4log 5log 8log 9???的结果是（ ）. A .1 B. 32 C. 2 D.3 ※能力提高 1．求下列各式的值：（1） ； （2）log 2．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+. 3.化简： （1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3 +++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 3.（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值. （2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值. 2．2.1对数与对数运算 第一课时对数 预习课本P62～63，思考并完成以下问题 (1)对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？ (2)什么是常用对数和自然对数？ (3)如何进行对数式和指数式的互化？ 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做，记作x＝，其中a叫做，N叫做 [点睛]log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为，log10N可简记为，log e N简记为 3．对数与指数的关系 若a＞0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝. 对数恒等式：a log a N＝；log a a x＝(a＞0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为；(2)底的对数为；(3)零和负数 预习检测： 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.() (3)对数运算的实质是求幂指数．() 2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有() A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log a2＝M D．.log2a＝M 3．log21＋log22＝() A．3B．2C．1D．.0 4．已知log32x－1 5＝0，则x＝________. [例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝1 9；(2) 16 4 1-2 = ? ? ? ? ? ；(3)log 1 3 27＝－3; (4)-6 log64 x =. 指数式与对数式的互化 指数函数和对数函数专题 指数函数及其性质 ： 要点一、指数函数的概念： 函数 y=a x (a>0 且 a ≠ 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量， a 为常数，函数定义域为 R. 要点二、指数函数的图象及性质： y=a x 0 ①若A B 0 A B ；A B 0 A B ；A B 0 A B ； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 【典型例题】 类型一、函数的定义域、值域 例 1．求下列函数的定义域、值域 . A A 1，或 1即可． B B 3 x x -2 x +1； (3) 32 x 11 2x 1 (1) y x ； (2)y=4 ；(4) y a x 1 (a 为大于 1 的常数 ) 1 3 9 举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域： (1) y 2x 2 -1 (2) y 3 3- x (3) y 2x -1 (4) y 1- a x (a 0,a 1) x 2 2 x 例 2．讨论函数 1 的单调性，并求其值域． f ( x) 3 x x 1 例 3．讨论函数 1 1 的单调性． y 2 4 2 举一反三： 【变式 1】求函数 y 3 x 2 3x 2 的单调区间及值域 . 【变式 2】求函数 f ( x) a x 2 -2 x (其中 a 0，且 a 1) 的单调区间 . 【总结升华】 （ 1）研究 y a f (x ) 型的复合函数的单调性用复合法， 比用定义法要简便些， 一般地有： 即当 a ＞1 时， y a f ( x) 的单调性与 y f (x) 的单调性相同；当 0＜a ＜ 1 时， y a f ( x) 的 单调与 y f (x) 的单调性相反． （ 2）研究 y f (a x ) 型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设t a x ，再由内函 数 t a x 与外函数 y f (t ) 的单调性来确定 y f ( a x ) 的单调性． 2 1 )-2 0， ( 1 )2.5 例 4．比较大小 (1) ( )3 ,34 ,( (2)2 2.5 ， (2.5) 3 3 2人教B版数学高一版必修1课后导练3.2.1对数及其运算第1课时对数概念及常用对数
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