幂等矩阵的性质及应用(定稿)

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

JIU JIANG UNIVERSITY

毕业论文（设计）

题目幂等矩阵的性质及应用

英文题目Properties and Application

of Idempotent

Matrix

院系理学院

专业数学与应用数学

姓名邱望华

年级A0411

指导教师王侃民

二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质.

[关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices。文档为个人收集整理，来源于网络个人收集整理，勿做商业用途

[Key Words] the idempotent，the nature, the idempotence,

linear combination

符号表

R 实数域

n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域

n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置

*A 矩阵A 的伴随

1A - 矩阵A 的逆

det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩

()N A 矩阵A 的核空间，即}{

()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域

()R A 矩阵A 的值域，即}{

(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数

1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈

1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈

目录

第一章预备知识 (1)

1。1幂等矩阵的概念及刻划 (1)

1。2幂等矩阵的一些简单性质 (3)

第二章相关的重要结论 (8)

2。1幂等矩阵的等价条件 (8)

2.2幂等变换 (15)

2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (18)

2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (24)

2。5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (27)

结束语 (30)

参考文献 (31)

第一章 预备知识

1.1 幂等矩阵的概念及刻划

定义1[1]。对n 阶方阵A ，若2A A =,则称A 为幂等矩阵。

为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论，再推广到一般幂等矩阵。

命题1.若A 是幂等矩阵，则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵。 证明：若A 相似于B (记作~A B ），则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P

[1]

,

从而

2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B .

▌

命题2。若A 是对角分块矩阵，设A =1

2

r A A A ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,

,)i r =均是幂等矩阵.

由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知, 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.

若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式：

第一种： 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭

，但它不是幂等矩阵.否则有2

10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭ ,有,212λ=λλ=.矛盾。

第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪

λ⎝⎭

,由2

00001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或1.于是该情况有四种可能的形式：0000⎛⎫

⎪⎝⎭

，

1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫

⎪⎝⎭

(1)

据命题1，于是得到: 定理1

[19]

。 A 是二阶幂等矩阵，则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1a b c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭

。

证明： 由以上讨论知A 相似于(1）式中的四个矩阵之一

01若A ~0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，显然有 A =0000⎛⎫

⎪⎝⎭

2若A ～1001⎛⎫

⎪⎝⎭ ，显然有 A =1001⎛⎫

⎪⎝⎭

03若A ~1000⎛⎫

⎪

⎝⎭ ，则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫

⎪⎝⎭

，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使

A =14

121423

142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫

-

⎪--⎛⎫⎛⎫

⎪== ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭-

⎪--⎝⎭

则有 1d a =- 。即 A 1a

b c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .

对剩余的一种与此有同样的结果. ▌

设1

1

2,1n n J λ

λλ

λ⎛⎫ ⎪

⎪

⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

，由2

n n J J = ,有2,21,λλλ==这是不可能的。于是有：

命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2

n n J J ≠。

因此，若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下:

12

000000n r J λλλ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

据命题1即有

2n n J J =⇒2,1,2,

,i i i r λλ== .

于是0i λ= 或1。

于是我们得到如下定理:

定理2。 A 是n 阶幂等矩阵,当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌

1。2 幂等矩阵的一些简单性质

性质1。方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =，则121A A A A A E --===。 ▌

据此易知：可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵。即1A -（如果存在的话)是幂等

矩阵.因为1A E A E -=⇒=.

性质3。若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵。 证明： 对A '，22()()A A A '''==. 对E A -,有

22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-。

对*A ，先证明对任意两个幂等矩阵,A B ，有关系式

***

[2]

()AB B A

=。

由Cauchy binet -公式有:

*(,)

()

A i j A

B B i j =矩阵的第行第列代数余子式

=(1)det()({1,,1,1,

,},{1,

,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+

=1

(1)

{det()({1,

,1,1,

,},{1,

,1,1,

,})n

i j

k A j j n k k n +=--+-+∑

det()({1,

,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+

=**

({},{})1

1

.n

n

jk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑

于是,

*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌

性质4。若A 是复数域上的幂等矩阵，则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:

222()()()()A A AA A A '''''====.

22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵。

证明:由2A A = 知2λλ= （A λ是的特征值)01λ⇒=或。 ▌ 由此易知：幂等矩阵是半正定矩阵.

性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式, 则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）

从而A 可对角化，且其若尔当标准型为 00

0r

E ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 其中r E 是r 阶单位矩阵， r 是A 的秩。

证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式， 据性质5知

()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）

.

又最小多项式是互素的一次因式的乘积，故可对角化. ▌

性质7[17]。若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{

()0

n N A x C Ax =∈=

}{

()(),n n

R E A x C x E A y y C -=∈=-∈.

证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知

E A -的n 阶列向量都是0AX =的解

故有

()()R E A N A -⊂

又对()a N A ∀∈，有

0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-

由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-。 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地，有结论 ()()N E A R A -=.

性质8。若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有

2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+

()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.

又由0,1a ≠ 有

1

(){

[(1)]}(1)

A aE A a E E a a +-+=-+

故A aE +可逆，且11

()[(1)](1)

A aE A a E a a -+=

-+-+. ▌

性质9。任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的

n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)

证明:由性质6知,

存在n 阶可逆矩阵P 使

100

0r

E

P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭

。 则

()1000

00r

r r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫==

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

记(),00r r

E C P B E ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

.显然,B C 满足要求. ▌

性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积。

证明:因为11

00()0000r

r

E

E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.故结论成立 ▌ 性质11。若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =，则AB 与A B ''

均为幂等矩阵。

证明:据题意有:

222()AB ABAB AABB A B AB ====。

2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''

======.

▌

第二章 相关的重要结论

本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.

2.1 幂等矩阵的等价条件

经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理。

定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的： 1）A 是幂等矩阵。 2)A '是幂等矩阵. 3)E A -是幂等矩阵。

4）对任意的可逆矩阵P ，1P AP -是幂等矩阵。

5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-. 7)()()R A N E A =-.

8）rank rank()A E A n +-=。 9){}()()0R A R E A -=。 10){}()()0N A N E A -=。 11)()()n R R A R E A =⊕-。 12)()()n R N A N E A =⊕-

以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件，经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.

定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:

1）A 是幂等矩阵。

2)A '是幂等矩阵. 3）E A -是幂等矩阵.

4)对任意的可逆矩阵P ，1P AP -是幂等矩阵。

5）2B A E =-是对合矩阵。（满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6）()()N A R E A =-。 7）()()R A N E A =-.

8）rank rank()A E A n +-=. 9){}()()0R A R E A -=。 10）{}()()0N A N E A -=. 11）()()n C R A R E A =⊕-。 12）()()n C N A N E A =⊕- 证明：

1）⇔2） 由2A A =知

22()()A A A '''==。

反过来,

222[()][()]()A A A A A ''''''====。

1)⇔3)

必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明. 充分性:

2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=。

1)⇔4） 由2A A = 知

1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==。

反过来，

12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==

⇒ 2A A =.

1）⇔5） 由2A A =，有

2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.

反过来,

22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=。

1)⇔6)

必要性： 在1。2节性质7中已经给出了详细证明. 充分性: 对,n a R ∀∈有

()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈

于是有

2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.

由a 的任意性得2A A =.

1）⇔7)

必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有

()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-。

又()a N E A ∀∈-，有()0E A a -=. 于是

()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂

故有()()R A N E A =-.

充分性: 对n a R ∀∈，有

()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-

于是有

2

-=⇒-=.

E A Aa A A a

()()0()0

由a的任意性得2A A

=.

1)⇔8)

必要性：由2A A

=知()()

=-.

N A R E A

于是有dim()dim()

=-

N A R E A

即有rank rank()

n A E A

-=-

亦即rank rank()

+-=.

A E A n

充分性：由rank rank()

+-=易知:

A E A n

dim()dim()

=-（＊)

N A R E A

又对()

∀∈，有

a N A

Aa=

则有

-=-=。

E A a a Aa a

()

由()()

a R E A

∈-

-∈-知()

E A a R E A

即有()()

⊂-.

N A R E A

据（*)式知

=-.

N A R E A

()()

再由6)得2A A

=.

8）⇔9）

必要性：由rank rank()

+-=.即知:

A E A n

+-=。

dim()dim()

R A R E A n

又对n

∀∈，有

a R

=+-,

()

a Aa E A a

而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-. 故 ()()n C R A R E A =+-.

又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =. 故有

dim[()

()]0R A R E A -=。

于是， {}()()0R A R E A -=。

充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有

dim ()dim ()R A R E A n +-=。

即有

rank rank()A E A n +-=。

9）⇔10)

必要性： 由上面的证明知由9）有6)和7）,再把6）和7)代入到9），立即得到10)。

充分性：同理可证。 9)⇔11） 这是显然的[1]. 10）⇔12） 这是显然的[1]. ▌

定理3。设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵。则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,

使100

0r

E

P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭

。 证明:

必要性： 在1。2节性质6中已给出了证明。

充分性: 由1000r

E

P AP -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

,有 1

00

0r

E A P P -⎛⎫=

⎪⎝⎭

。 则

2111

000000000r

r r

E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论。下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.

定理4。设,A B 是三次幂等矩阵，即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠，

记C A B =+。则

3()0C C AB A B =⇔+=.

证明：由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]。 即存在可逆矩

阵

P ，使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵，而且它们对角元素分别是,A B 的

特征值.从而有

1112,.A P P B P P --=Λ=Λ

进而

112()C P P -=Λ+Λ。

于是

3C C =可以等价为322333,1

,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=。

其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.

又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,—1，1。 即

333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===

于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.

即

22

1212O ΛΛ+ΛΛ=。

因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌

注:当2A A =,立即有32A A A ==，同样地，对k ∀,（2k ≥为正整数) k A A =

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

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The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination

论文幂零矩阵的性质与应用

本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用 学生姓名：白雪 学号：1004970231 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：徐颖玲 完成日期：年月日

幂零矩阵的性质与应用 内容摘要 在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。 关键词：幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.

Properties and Applications of Nilpotent Matrices Abstract Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples. Key words:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrix Jordan canonical form Characteristic T race.

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

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JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

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幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用 性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。 证明：⇒ A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s t A = 令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为k A 的特征值 00 .k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ= 又有0k A =，知00k k A A A ==⇒= 0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。 由0λ的任意性知，A 的特征值为0。 ⇐ A 的特征值全为0 A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-= 由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。 得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。 证明：⇒ A 为幂零矩阵，由性质1，知： A 的特征值全为0 即120n λλλ== == 由引理7，知 k A 的特征值为120k k k n λλλ== == 从而有 120k k k k n trA λλλ=++ += ⇐由已知，120 k k k k n k Z trA λλλ+ ∀∈=++ +=(1.1) 令12,, ,t λλλ为A 的不为0的特征值 且i λ互不相同重数为(1,2, ,)i n i t = 由（1.1）式及引理7，得方程组

1122222 1122333 112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪ ⎪+++=⎩ (1.2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 12222121212 121212 11 11 () t t t t t t t t t t t t t i j j i t B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤= ==∏- 又(1,2,)i i t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠ 从而知，方程（1.2）只有0解，即0 (1,2, ,)i n i t == 即A 没有非零的特征值 A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证 性质3：若A 为幂零矩阵 则A 的若当标准形 J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 12 1 s J J T AT J -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝ ⎭ 其中11 i i i J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝ ⎭ 阶数为(1,2, ,)i n i s = 由引理4，知(1,2, ,)i i s λ=为J 和特征值 又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2, ,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n n i i J E J i s -=== 12,, ,s J J J 为幂零矩阵 得证

幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用 数本041 严益水 学号：410401109 摘要： 幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。 关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识 （下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社） （一） 一些概念 1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。 2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。 3、设1111n n nn a a A a a ?? ? = ? ? ?? ，称1111n n nn a a A a a ?? ?'= ? ??? 为A 的转置， 称111*1n n nn A A A A A ?? ? = ? ? ?? 为A 的伴随矩阵。 其中(,1,2,,)ij A i j n = 为A 中元素ij a 的代数余子式 4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。 5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 6、形为

关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文

关于广义幂等矩阵的性质的探讨 左航（导师：谢涛） （湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002） 1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。 1.幂等矩阵 定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下： 1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值； 1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵； 1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =； 1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵； 1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的； 1.1.6令n ?n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；

幂零矩阵的性质及应用

本科毕业论文 论文题目：幂零矩阵的性质及应用 学生姓名： 学号：2010411676 专业：数学与应用数学 指导教师： 学院：数学科学学院 2014 年4月22 日

毕业论文（设计）内容介绍

目录 摘要：....................................................................................................................... - 1 - Abstract: . ............................................................................................................... - 1 - 一、相关的基本概念............................................................................................... - 2 - 二、相关的一些引理............................................................................................... - 2 - 三、性质................................................................................................................... - 4 - 四、关于幂零矩阵的简单应用............................................................................. - 12 - （一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆...................................................... - 12 - （二）、有关幂零矩阵的其他应用举例...................................................... - 15 - 参考文献：............................................................................................................. - 20 -

幂零矩阵的性质及应用

编号：08005110138 xxxx学院2012届毕业生 毕业论文（设计） 题目：幂零矩阵的性质及应用 完成人：xxx 班级：2008- 01 学制： 4 年 专业：数学与应用数学 指导教师：xxxx 完成日期：2012-03-31

目录 摘要 (1) 0引言 (1) 1预备知识 (1) 1.1幂零矩阵的相关概念 (1) 1.2幂零矩阵的基本性质 (1) 2 主要结论 (4) 3 应用 (6) 3.1幂零矩阵在矩阵运算中的应用 (6) 3.2幂零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 (8) 3.2.1幂零矩阵与线性方程组相结合应用 (9) 3.2.2幂零矩阵的若尔当标准形的应用 (10) 3.2.3幂零矩阵与幂零线性变换相结合的应用 (11) 参考文献 (13) Abstract (14)

第 1 页（共 14 页） 幂零矩阵的性质及应用 作 者：xxxxx 指导老师：xxx 摘要：本文从幂零矩阵的定义出发,总结了幂零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幂零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幂零矩阵的考查. 关键词：幂零矩阵;幂零指数;若尔当形;特征根 0 引言 在高等代数中,矩阵是研究问题的很重要的工具,在讨论矩阵的 乘法运算时给出了幂零矩阵的定义,但对其性质研究很少.幂零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面,还是在实际应用方面都有很重要的意义,而且在一些交叉学科如密码学中,都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究,本文在他们研究的基础上,进一步探讨幂零矩阵的性质. 1 预备知识 为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的有关概念. 1.1幂零矩阵的有关概念 定义1 设A 是n 阶矩阵,若存在一个自然数k ,使0k A =,则A 为 幂零矩阵. 定义2 设A 是幂零矩阵,满足0k A =的最小自然数k 称为A 的幂零指数. 1.2幂零矩阵的基本性质 在给出了幂零矩阵的相关概念之后,我们容易得到幂零矩阵的一些基本性质. 性质1 若A 是幂零矩阵,则*,,,T mA A A A -都是幂零矩阵.

幂等矩阵的行列式

幂等矩阵的行列式 在线性代数中，幂等矩阵是指一个方阵，其自乘结果等于其本身。幂等矩阵在多个领域中具有广泛的应用，如图像处理、网络通信等。本文将介绍幂等矩阵的定义、性质以及一些实际应用。 一、定义 幂等矩阵的定义很简单：一个方阵A是幂等的，如果满足A^2=A。也就是说，将矩阵A乘以自身得到的结果仍然等于A。幂等矩阵通常用I表示，即幂等矩阵是单位矩阵的一种特殊情况。 二、性质 1. 幂等矩阵的行列式为0或1 由于幂等矩阵A满足A^2=A，因此可以通过计算A^2-A=0来求解幂等矩阵的行列式。根据行列式的性质，可以得出幂等矩阵的行列式只能是0或1。 2. 幂等矩阵的特征值为0或1 设A是一个n阶幂等矩阵，λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。则有Ax=λx。将幂等矩阵的定义代入，可以得到A^2x=Ax=A。即λ^2x=λx，进一步可得λ^2=λ。由此可知，幂等矩阵的特征值只能是0或1。 3. 幂等矩阵的秩等于其迹

矩阵的迹定义为主对角线上元素的和。对于幂等矩阵A，由于A^2=A，可以得到A^2的迹等于A的迹。进一步推导可知，幂等矩阵的秩等于其迹。 三、应用 1. 图像处理中的二值化 在图像处理中，二值化是将灰度图像转化为黑白图像的过程。幂等矩阵可以用来实现二值化操作。通过将灰度图像乘以幂等矩阵，可以将所有大于阈值的像素值设为1，小于等于阈值的像素值设为0，从而实现图像的二值化。 2. 网络通信中的数据校验 在网络通信中，为了确保数据的完整性和正确性，常常需要对数据进行校验。幂等矩阵可以用来生成校验码。通过将数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，得到的结果作为校验码发送给接收端。接收端将接收到的数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，如果结果与接收到的校验码相等，则说明数据没有被篡改。 3. 数据库中的数据操作 在数据库中，幂等矩阵可以用来实现幂等性操作。幂等性操作是指多次执行操作所产生的结果与执行一次操作所产生的结果相同。通过将操作矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，可以确保多次执行操作不会对数据库中的数据产生重复的影响。

对称等幂矩阵

对称等幂矩阵 数学中有一类矩阵，被称为“对称等幂矩阵”。它们具有特殊的性质，吸引着数学家和科学家的深度研究。 一、定义及性质 对称等幂矩阵是指满足以下两个条件的矩阵： 1. 矩阵是对称矩阵，即A=AT。 2. 矩阵的幂A^k是对称矩阵，即(A^k)=(A^k)T。 此外，对称等幂矩阵还具有以下性质： 1. 对称等幂矩阵的特征值均为实数。 2. 对称等幂矩阵可对角化为实对角矩阵，即存在一个实矩阵S，使得 S^-1AS=D，其中D是对角矩阵。 二、应用 对称等幂矩阵在数学和科学中有着广泛的应用。 1. 线性代数中的应用。对称等幂矩阵是线性代数中非常重要的一类矩

阵。在矩阵论、特征值及特征向量等方面有着广泛应用。 2. 物理学中的应用。对称等幂矩阵在物理学中也有着广泛的应用。例如，在量子力学中，哈密顿矩阵是对称等幂矩阵，它描述了量子体系 在时间上的演化。 3. 机器学习中的应用。对称等幂矩阵在机器学习中也有着广泛的应用。在人脸识别、图像处理等领域，对称等幂矩阵被用于特征提取和分类。 三、相关研究 对称等幂矩阵已经被广泛研究，在其中有着许多经典结果。以下是一 些相关研究的例子。 1. 黑尔定理。黑尔定理是指对称等幂矩阵的特征值的大小可以用从1 到n的某些整数来表示。 2. 莱特斯里多定理。莱特斯里多定理是指对于一个具有n个自由度的 实物理系统，有n-1个独立的对称量，可以用来描述物理系统的状态。 3. 矩阵均值问题。矩阵均值问题是指如何定义对称等幂矩阵的均值， 以及如何计算这个均值。 四、结论

对称等幂矩阵是一类具有特殊性质的矩阵，在数学和科学中有着广泛的应用。它们被广泛研究，并在其中产生了许多经典结果。随着科学技术的不断发展，对称等幂矩阵将在更多的领域得到应用。

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。 一、幂等矩阵的定义和性质 在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。 幂等矩阵有以下性质： 1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得 A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等矩阵的秩等于其迹。设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。 3. 幂等矩阵具有不变子空间。设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。不变子空间是线性代数

中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。幂 等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。 二、幂等算子的定义和性质 幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。可 以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。幂等算子的定 义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那 么T就是一个幂等算子。 幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质： 1. 幂等算子的特征值只能是0或1。与幂等矩阵类似，设T是一个 幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。将T^2v=Tv代入到Tv=λv中可得T(Tv)=λ(Tv)，即T^2v=λ^2v，由于T是幂等算子，即 T^2=T，所以有λ^2v=λv，即(λ^2-λ)v=0。因为v不为零向量，所以必 然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等算子的秩等于其迹。与幂等矩阵类似，幂等算子的秩等于其 特征值1的个数。这是因为特征值1的个数等于算子的不变子空间的 维度，而不变子空间是由所有特征值为1对应的特征向量张成的。 三、幂等矩阵与幂等算子的应用 幂等矩阵和幂等算子在数学和物理学中有广泛的应用。以下列举几 个典型的应用：

矩阵的幂运算及其应用

矩阵的幂运算及其应用 引言： 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域具有广泛的应用。本文将详细介绍矩阵的幂运算，并探讨其在实际问题中的应用。 第一部分：矩阵的基本概念和表示方法 1.1 矩阵的定义 在数学中，矩阵是由m行n列元素按特定顺序排列而成的一个矩形数组。其中每个元素可以是实数、复数或其他可代数运算的对象。 1.2 矩阵的形式化表示 通常，我们用大写字母A、B、C等来表示矩阵。例如，一个3x4的矩阵A可以表示为: A = [a11 a12 a13 a14] [a21 a22 a23 a24] [a31 a32 a33 a34] 其中aij表示位于第i行第j列的元素。 1.3 矩阵的元素和维度 矩阵的元素即矩阵中的各个值，根据位置可以用aij来表示。矩阵的维度指的是矩阵的行数m和列数n，也可以用m x n来表示。

第二部分：矩阵的乘法规则 2.1 矩阵乘法的定义 矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。 2.2 矩阵乘法的性质 矩阵乘法具有结合律和分配律，但不满足交换律。即对于任意矩阵A、B、C以及标量k，满足以下性质： -结合律：(AB)C = A(BC) -分配律：A(B + C) = AB + AC 和(A + B)C = AC + BC -乘法单位元：存在单位矩阵I，使得AI = IA = A 2.3 矩阵乘法的计算示例 假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别为m x p和p x n。那么这两个矩阵的乘积C的维度为m x n，其中C的每个元素由以下方式计算得到： cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + api * bpj 第三部分：矩阵的幂运算 3.1 幂运算的定义 对于一个n阶方阵A，其m次幂表示将该矩阵连续乘以自身m次的结果。即A^m = A * A * ... * A （共m个A）。 3.2 幂运算的性质 矩阵的幂运算具有以下性质： -幂运算的零次方：A^0 = I，其中I为单位矩阵。 -幂运算的一次方：A^1 = A -幂运算的乘法规则：A^m * A^n = A^(m+n)

幂等矩阵的性质毕业论文

幂等矩阵的性质 目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 幂等矩阵的概念 (3) 3 幂等矩阵的性质 (4) 3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4) 3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7) 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11) 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14) 4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14) 4. 1. 1 对合矩阵 (14) 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15) 4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16) 4. 2. 1 投影矩阵 (16) 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17) 结束语 (19) 参考文献 (20) 致 (21) 英文原文 (22) 英文译文 (29)

幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed.

幂等矩阵的性质及其应用

幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。

M矩阵的性质定理及证明

M矩阵的性质定理及证明 M矩阵（M-matrix）是一类具有特定性质的方阵。它的特点是所有的特征值都是实数且非负，并且它的逆矩阵也是非负的。M矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，特别在线性方程组的求解和优化问题中具有重要意义。 首先，我们来定义M矩阵。一个n阶实矩阵A称为M矩阵，如果满足以下两个条件： 1.A是一个对称矩阵（即A的转置等于自身）。 2.对于矩阵A，存在一个正定矩阵B，使得A的所有主子矩阵（即A 的任意一个顺序主子矩阵，也就是由A的一些行和一些列组成的子矩阵）的行列式都大于等于0。 下面，我们将证明M矩阵具有以下性质： 1.所有的特征值都是实数且非负。 设λ是A的一个特征值，v是对应的特征向量。那么有Av=λv。对等式两边取共轭，得到(Av)*=(λv)*，即v*A*=λ*v*。将v和v*分别左乘上述等式，得到v*Av=λ*v*v。由于v和v*不为0，所以v*v>0。又因为A是对称矩阵，所以v*Av=v*A*v=(v*A*v)*。因此，λ是实数。再证明λ非负，假设存在一个特征向量v使得Av=λv且λ<0。那么根据 v*Av=(v*A)v=λ(v*v)，由于λ<0，而v*v>0，所以v*Av<0。但是由于A 是对称矩阵，所以v*Av=(v*Av)*，即v*Av>0，矛盾。因此，所有的特征值都是实数且非负。 2.矩阵A的逆矩阵也是非负的。

我们已经证明了A的所有特征值都是非负的。设A的逆矩阵为A-1， 那么有AA-1 = I，其中I是单位矩阵。假设A-1中存在一个元素小于0， 即(A-1)ij < 0。那么可以构造单位矩阵的一个特征向量为v，其中v的 第i个元素为1，其他元素为0。那么有(A-1)v = λv，其中λ = (A- 1)ii < 0。这与我们前面证明的特征值非负的性质矛盾。因此，矩阵A的 逆矩阵也是非负的。 现在，我们来证明M矩阵的一个重要定理，Hadamard矩阵的逆矩阵 也是非负的。 Hadamard矩阵是一类特殊的M矩阵，它的每个元素都是1或-1，并 且每两行的内积等于0。它的逆矩阵与原矩阵的绝对值相等。即如果H是 一个Hadamard矩阵，那么，H-1， = ，H。 证明如下： 设H是一个n阶Hadamard矩阵，我们需要证明，H-1， = ，H。 首先，我们知道，H，=2^(n/2)，因为它的每个元素都是取值为1或-1，所以每一行的模等于根号n，而每两行的内积等于0，所以，H， =2^(n/2)。 其次，我们希望证明，H-1， = 2^(n/2)。设H-1的第i行第j列的 元素为(H-1)ij = aij。根据矩阵求逆的公式，我们有H-1 = (1/，H，)C，其中C是H的伴随矩阵，即Cij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是H中第i行 第j列元素的代数余子式。那么可以得到aij = (-1)^(i+j)Mij / ，H。 我们知道H是一个Hadamard矩阵，所以Mij = ，Hij， = 1，因此 aij = (-1)^(i+j) / ，H。