高等代数论文
有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论
聂晓柳
(数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏)
摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.
关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性
Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.
Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility
0、符号说明及引言
幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.
用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n
m
A C
A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设
2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设
,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =,
m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦,
m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵；
,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位
子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍.
Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献
[1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵
的换位子的秩等式. 左可正在文献[2]中分别得出了幂等矩阵的换位子与对合矩阵的换位子的可逆性的等价条件,至此根本上很少人涉及过幂等矩阵P 和对合矩阵A 的差P A -，和P A +，
换位子PA AP -的秩等式，及其可逆性等一些相关性质. 本文就从这里开始研究,因为研究换位子的秩等式有很强的概括性，当()0r AB BA -=，那么说明AB BA =，说明它们
可以同时对角化；假设()r AB BA n -=，那么说明换位子AB BA -两条研究思路：①“求同存异〞，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，在此利用根本工具对对合矩阵和幂等矩阵进行相互转化；②直接考虑一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和，换位子的秩等式，利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.文章在第三局部还对研究内容进行了延伸，讨论了其它几种特殊类型的矩阵换位子的相应性质,并提出了以后的研究方向.
1、预备定理
我们首先引入本论文用到的根本工具: 引理 1 (见[20],200P ),n n A B C ⨯∈,如果
1
(),2A B E =+那么2A A =当且仅当2B E =.
引理 2 ,n n A B C ⨯∈,如果1
(),2A E B =-那么
2A A =当且仅当2B E =. 证明 ""⇒的证明
由
22211
()(2)
44
A E
B E B B =-=-+,
1
(),2
A E
B =-且2A A =,那么当且仅当2B E
=时才成立. ""⇐的证明
由1
(),2
A E
B =-得2B E A =-,那么
222(2)44B E A E A A E =-=-+=,那么当且
仅当2A A =成立时才可以. 引理 3 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q E P =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.
证明 ""⇒的证明
222(2)44Q E P E P P E =-=-+=当且仅当2P P =成立.
""⇐的证明
由2Q E P =-,得1
()2P E Q =-,由
2211
(2),(),
42
P E Q Q P E Q =-+=-根
据
2P P =,得到2Q E =.
引理 4 ,,n n P Q C ⨯∈如果2Q P E =-,那么2Q E =当且仅当2P P =.
证明 与引理3的证明类似,因此在此省略.
引理 5 (见[1],103P ) 假设,,n n
P Q C
⨯∈且都为幂等矩阵,那么有
(,)()(),r P Q r P r Q PQ =+- () (,)()()r P Q r Q r P QP =+- () ()()P r r P r Q QP Q ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
() ()()P r r Q r P PQ Q ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
() 引理6 〔见[1]〕 设P ，Q 是复数域上的两个
n 阶幂等矩阵，那么有以下秩等式:
()
(,)()()
r P Q P r r P Q r P r Q Q -⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
()
()()r P PQ r PQ Q =-+- () ()()r P QP r QP Q =-+- ()
引理7 (见[1]，推论)假设,,n n P Q C ⨯∈且都为幂等矩阵,那么有以下秩等式:
()r E P Q --()()()()r PQ r QP r P r Q n =+--+
)
()()r E P Q PQ r PQ =--++ ) ()()r E P Q QP r QP =--++ )
更进一步,有
()0a P Q E PQ QP +=⇔==且
()()()r P Q r P r Q n +=+=
()b E P Q --是非奇异的当且仅当 ()()()()r PQ r QP r P r Q ===.
引理8 (见[1],定理) 设m n A C ⨯∈且是任意选取的,,,m m n n P C Q C ⨯⨯∈∈且22,P P Q Q ==,那么
()r PA AQ -(,)()()PA r r AQ P r P r Q Q ⎛⎫
=+-- ⎪⎝⎭
)
()()r PA PAQ r PAQ AQ =-+- ) 假设0PAQ =，那么
()r PA AQ -()()r PA r AQ =+ . ) 引理9 (见[1],推论2.20),P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么
[](),2()PQ r PQ QP r r QP P r P P ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦
)
[],2()QP r r PQ Q r Q Q ⎡⎤
=+-⎢⎥⎣⎦ )
()()r PQ PQP r PQP QP =-+-)()()r QP QPQ r QPQ PQ =-+- )
()r QP PQ =-. 引理10 (见[1],定理2.11) ,P Q 是复数域上n 阶幂等矩阵，那么PQ QP +和满足以下4个秩等式: ()()()r PQ QP r P Q r E P Q n +=++---
) ()()()()()r P Q r PQ r QP r P r Q =+++--
)
()()()()r P PQ QP QPQ r PQ r QP r P =--+++-
() ()()()()
r Q PQ QP PQP r PQ r QP r Q =--+++- )
引理11 (见[1],110P ] ),P Q 都是
S -矩阵,,μλ是复数域上任意的数,那么有以下秩等式成立: []()
,()()r P Q P r r P Q r P r Q Q μλ-⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦ ) ()()0P Q r P Q r r Q Q μλ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
()0Q P r r P P ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭ )
()
()()()()r E P Q r PQ r QP r P r Q λμμλ--=+-- )
()
()()r PQ QP r P Q r E P Q n
μλλμμλ-=-+---
) ()
()()r PQ QP r P Q r E P Q n
μλλμμλ+=++---
) 引理12 (见[11],499P ) 设A 为n 阶矩阵，
()r A r =,那么A 为幂等矩阵的充要条件是存
在可逆矩阵T ,使000r E A T T -⎛⎫= ⎪⎝⎭
. 引理13 (见[11],504P ) 设A 为n 阶矩阵，那
么下面三个命题是等价的： 1〕2A E =；
2〕存在可逆矩阵T ，使得1
00r n r E T AT E --⎛⎫= ⎪-⎝⎭；
3〕()()r E A r E A n -++= 2、主要结果
由于本文主要研究的是幂等矩阵与对合矩阵的换位子的秩,利用的根本工具是引理1中的幂等矩阵与对合矩阵的相互转化公式,所以
首先把幂等矩阵与对合矩阵的关系进行详细分类.
2.1、幂等矩阵与对合矩阵相互转化
之后秩的分类情况
由引理1,引理2可知:一个对合矩阵可以
产生两个幂等矩阵:假设 12,,,n n
B B A C
⨯∈且
2A E =,令11(),2B E A =+21
(),2B E A =-那么
211B B =,222B B =,且有1221B B B B =和12()()r B r B n +=.
因为由引理13,可知存在可逆矩阵T ,使得 00r
n r E
T AT E --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
, 那么00
r
n r E
A T T E -
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 所以有 0
002n r E A T T
E --⎛⎫-= ⎪-⎝
⎭200
0r
E
E A T T -
⎛⎫+= ⎪⎝⎭
, 那么
()(),
r E A r E A n ++-=即
12()()r B r B n +=成立.
定理 2.1.1 两个对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵之差的秩. 证明 设,P A 是对合矩阵，令
121211(),(),22
11
(),()
22
P E P P E P A E A A E A =
+=-=+=-
由引理1,引理2,可知1212,,,P P A A 都是幂等矩阵,且相对应地有: 12
122222P P E E P A A E E A =-=-=-=-
那么
1122()()()r P A r P A r A P -=-=- (.1) 1212()()()r P A r P A r A P +=-=- (.2)
即两个对合矩阵的差与和的秩转化为两个幂等矩阵之差的秩. 定理 2.1.2 两个幂等矩阵的差的秩可以表示成两个对合矩阵的差或和；两个幂等矩阵和的秩可以表示成两个对合矩阵的和的秩. 证明 设22,P P Q Q ==,令
122,2P E P P P E =-=-； 122,2Q E Q Q Q E =-=-
由引理3,引理4可知1212,,,P P Q Q 都是对合矩阵，那么
1211()()()r P Q r P Q r Q P -=+=- 2122()()
r P Q r P Q =+=-(2.1.3)
1112
()(2)
1111
[()()]2222
r P Q r E P Q r E P E Q +=--=-++ ()
又有引理1,引理2,可知 1122E P -,211
22
E Q +
都是幂等矩阵.
即两个幂等矩阵的差的秩能转化为两个对合矩阵的差或和的秩；两个幂等矩阵的和的秩
转化为两个对合矩阵的和的秩。
定理 2.1.3 一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵的和的秩.
证明 设22,P P A E ==,
令1211
(),()22B E A B E A =+=-,相应地有
122,2A B E A E B =-=-;
令122,2Q E P Q P E =-=-，
那么1211
(),()22P E Q P E Q =-=+，由引理1,
引理2可知12,B B 都是幂等矩阵,由引理3,引理4可知,12,Q Q 都是对合矩阵.
22()(2)[()2)]r P A r E P B r E P B -=--=--
()
11()(2)[()2]r P A r E P B r E P B +=--=--
()
因为当P 是幂等矩
阵
时,E P -22B -,12B -都是S -矩阵. 推论1 假设,n n P A C ⨯∈,22,P P A E ==,那么 []222222222(),()()
()()()()E P r P A r r E P B B r E P r B r E P B PB r PB r E P B B P r B P -⎡⎤
-=+--⎢⎥⎣⎦
--=---+=---+ []111111111(),()()
()()()()
E P r P A r r E P B B r E P r B r E P B PB r PB r E P B B P r B P -⎡⎤
+=+--⎢⎥⎣⎦
--=---+=---+ 其中1211
(),()22
B E A B E A =+=-.
证明 由定理2.1.3和引理6可以得到.
、 一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和的秩
在这里我首先给出了一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和的新的秩等式,然后用新的方法得到了两个对合矩阵的差与和的秩等式,并且得到了几个推论.之前Tian 与Styan 在[1]中只对两个幂等矩阵与两个对合矩阵的秩等式进行了研究,没有涉及过一个幂等矩阵与一个
对合矩阵的差与和的秩,我以下给出了新的秩等式.
定理 假设2,,,n n P Q C P P ⨯∈=2Q E =,那么 ()()()()r P Q r QP E r QP r P -=-+- () ()()()()r P Q r QP E r QP r P +=++- ()
证明 利用分块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵
与对合矩阵的性质,首先有
000P P Q Q P Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)(3)00r Q r P QP E P Q Q P Q +•-+⎛⎫ ⎪
−−−−
−→ ⎪ ⎪⎝⎭ (3)(1)
00r Q r P QP E
P Q Q QP QP -•-+⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(1)(3)
00p p QP E P Q Q Q QP +⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(1)(2)(3)(2)
(1)(3)
00000000000p p p p r Q r QP E E
P Q Q QP QP E E P E Q QP QP E E E Q QP --+•-⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪
⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪
⎪-⎝⎭ (1)(3)(1)(3)
0000
00p p r r QP E E Q QP QP E QP E Q QP QP ---⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
(3)(1)00000p p E QP E Q QP +-⎛⎫ ⎪
−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
(1)(2)
000000r Q r QP E Q QP -•-⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
因为分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,所
以有
000000000P P QP E r Q Q r Q P Q QP --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()r QP E r Q r QP =-++ ()
又因为
000P P Q Q P Q -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3)(1)000r r P P Q Q Q P +-⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
(3)(1)
(3)(2)
(3)(2)000000
000p p r r p p P
Q Q Q P P P Q P Q +---⎛⎫
⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭
(3)(1)0
00000p p P Q
P Q +-⎛⎫
⎪−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
同样根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,有
00
0000000P P P r Q Q r Q P Q P Q --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()r P Q r P r Q =-++ (2.)
由()和(2.),我们有
()()()()r P Q r QP E r QP r P -=-+-；
因为当Q 对合矩阵时,那么Q -也是对合矩阵,用Q -代替Q 即有
()()()()r P Q r QP E r QP r P +=++-.
因为当P 是幂等矩阵时，那么E P -，
*P 也是；当Q 是对合矩阵时，那么*Q 也是对合矩阵，那么有以下推论.
推论 1 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵,那么有 ()()()()r E P Q r Q QP E r Q QP r E P --=--+--- 〔〕 ()()()()
r E P Q r Q QP E r Q QP r P -+=-++-- 〔〕
*******()()()()r P Q r Q P E r Q P r P -=-+-*******()()()()r P Q r Q P E r Q P r P +=++-***()()()()r P Q r Q P E r Q P r P -=-+-
***()()()()r P Q r Q P E r Q P r P +=++-
() 证明 假设P 是幂等矩阵，那么*,E P P -分别也是幂等矩阵，Q 是对合矩阵时，那么*Q 也是对合矩阵。用*,E P P -代替P ，*Q 代替Q ，就
可以得到秩等式以上的所有秩等式. 推论 2 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵，那么以下
几个命题等价: (a) P Q -可逆；
(b) ()()()r QP E r QP r P n -+=+ 证明由〔〕，显然易得。
推论3 假设P 是复数域上的n 阶幂等矩阵,Q 是复数域上的n 阶对合矩阵，那么以下几个命题等价:
(a) P Q +可逆；
(b) ()()()r QP E r QP r P n ++=+ 证明 由〔〕，显然易得.
推论4 假设22,,,n n A P C A E P P ⨯∈==,那么 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A -+⎡⎤
=+----⎢⎥-⎣⎦ () ()()r P PA r P PA E A =++--+ () ()()r P AP r P AP E A =++--+ ()
证明 1
(2)[()]2
r P E A r P E A -+=--
令1
()2
Q E A =-,那么根据引理2,可知2Q Q =,
那么根据引理6,即可得证.
推论5 假设22,,,n n A P C A E P P ⨯∈==,那么 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A --⎡⎤
=++--+⎢⎥+⎣⎦
()
()()r P PA r P PA E A =-++--
()
()()r P AP r P AP E A =-++-- (2.2.13)
证明 1
(2)[()]2
r P E A r P E A --=--
令1
()2
Q E A =+,那么根据引理1,可知2Q Q =,
那么根据引理6,即可得证.
定理 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么以下秩等式成立: [][](2)
()()r E A P r P P A r P A P +-=-+-
()()r P r E A n
---+()
[][]()()r E A P P A r P P A =+-++-
() [][]()()r E A P A P r P A P =+-++-
() 更进一步,有
a 20A E P PA AP +=⇔==（）且
(2)()()r P E A r P r E A n +-=+-=；
()2b E A P +-是非奇异的
[][]()()()()
r P P A r P A P r P r E A ⇔-=-==-
证明 假设2A A =，那么1
(),2Q E A =-
2Q Q =，把2A E Q =-代入引理2，有 (2)(22)()
()()()()()()()()
r E A P r E E Q P r E P Q r PQ r QP r P r Q n r E P Q PQ r PQ r E P Q QP r QP +-=+--=--=+--+=--++=--++ [][]
[][][][]()()()()()()()()r P P A r P A P r P r E A n r E A P P A r P P A r E A P A P r P A P =-+----+=+-++-=+-++- 定理 假设,,n n P A C ⨯∈2A E =,P 是S -矩
阵,λ是任意实数,那么有以下秩等式成立:
()(,)P r P E A r r P E A E A λλ⎡⎤
-+=+--⎢⎥-⎣⎦()()
r P r E A --()
()0P E A r P E A r E A λλ-⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭()r E A --
()
0E A P r r P P -⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
()
()()()r E P Q r P PA r P AP λλ--=-+-()()
r P r E A ---
(2.2.19)
()()()r PA AP r P E A r A P n λλλ-=-++--
()
(2)()r P PA AP r P E A λλ--=+-+
()r A P n
λ-- ()
(2)()r E P PA r E P A λλλ-+=-+
()
证明 因为P 是S -矩阵,那么2,0,P P λλ=≠那么
P λ
是幂等矩阵,因为
222111
()P P P λλλ
==,在引理13中,令
1μ=,21
(),2Q E A Q Q =-=,把引理11中的Q 用1
()2
Q E A =-来代替,那么得到上述秩等式.
2.3、 研究幂等矩阵与对合矩阵的
换位子的秩及其可逆性
定理2. 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么 ()(2)(2)r PA AP r E A P r E A P n -=+-+---
()
证明 设换位子的形式为
()()PA AP aP bA cE dP eA fE -=++++ 利用待定系数法,可以计算出
1111
()()2222PA AP P E A P E A -=-+--
根据()0E B r AB r n A ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,可有
()
1111()()2222r PA AP r P E A P E A -⎡
⎤=-+--⎢⎥
⎣⎦ 112211022E P E A r n P E A ⎛
⎫-- ⎪
=- ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭
2220E P E A r n P E A --⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
又因为
(1)(2)
(2)(1)
222022202242p p r r E P E A P E A P E A P E A P E A P E A P E A P P E A ++--⎛⎫ ⎪
-+⎝⎭
+---⎛⎫
−−−−→ ⎪-+⎝⎭+---⎛⎫−−−−→ ⎪
--⎝
⎭ (1)(2)()
(2)2(1)
202222002p p E A r P r E A P P PA P E A E A P P E A -•-+•--⎛⎫
−−−−−−→ ⎪+--⎝⎭
--⎛⎫−−−−−→ ⎪
--⎝
⎭
根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,得到
2220E P E A r P E A --⎛⎫= ⎪-+⎝⎭
(2)(2)r E A P r E A P =+-+-- 所以 ()r PA AP - (2)(2)r E A P r E A P n =+-+---
推论 1 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,假设
1211
(),()22B E A B E A =+=-,那么
12()()()r PA AP r B P r B P n -=-+--, ()
111222[,]()2()[,]()B r r B P r B r P P B r r B P r B n P ⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
++--⎢⎥⎣⎦ ()
111222()()()()
r B B P r B P P r B B P r B P P =-+-+-+-
(2.) 111()()r B PB r PB P =-+-+
222()()r B PB r PB P -+-
(2. )
且有12210,B B B B ==12()()r B r B n +=.
证明 由定理可知(2.3.2)式成立,再代入引理
6,可得(2.3.3),(2.3.4),(2.3.5)都成立. 推论2 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的: ()a PA AP -可逆;
()2b E A P +-与2E A P --都可逆;
[](),()P c r r P E A r P E A ⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦
()r E A n
+-= 且()()()()r P PA r P AP r P r E A -=-==-. 证明 因为
4(2)(2)PA AP E A P E A P -=+--- 所以()()a b ⇔成立; ()()b c ⇒
22P P P E A r r r E A E A E A -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因为2P E A -+可逆,所以 220P E A P E A r r n E A -+-+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
同理[,]r P E A n -=.又因为2P E A --可逆,2A E P +-也是可逆的,由定理的(b)式可知
()()()()r P PA r P AP r P r E A -=-==-成立. ()()c b ⇒因为由定理的推论4 [](2)
,()()r P E A P r r P E A r P r E A E A -+⎡⎤=+----⎢⎥-⎣⎦
和定理的(b)式可得 (2)r P E A n -+= 再由定理的(2.2.14)式可知
(2)r E P A n -+=.那么(b)成立. 推论3 22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,有以下秩等式成立: ()
r PA AP -
(2)()
()()()
r P E A r P PA r P AP r P r E A =-++-+---- ()
(,)()()2()2()
P r r P E A r P PA E A r P AP r P r E A ⎡⎤=+-+-+⎢⎥-⎣⎦
---- ()
()[()()]()()()()r P PA r P A E A r P PA r P AP r P R E A =+++-+
-+----
() ()[()()]()()()()
r P AP r E A P A r P PA r P AP r P r E A ++-++
-+----
() 证明 由定理2. 可知 ()r PA AP - (2)(2)r E A P r E A P n =+-+---,
由()式可以得到(2.3.6),由定理2.2.1的推论
4得到(2.3.8),由引理5,只要令1
()
2Q E A =-即可得到(2.3.9),(2.3.10).
推论 4 假设22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的:
();
()(2)(2);()(2)()()()();
a PA AP
b r P A E r E A P n
c r P A E r P r Q r P PA r P AP =+-++-=+-=+----()()()()
d r P PA r P r P PA +=--且
[()()]()();
r A P A E r E A r P PA +-=---()()()()e r P AP r P r P PA +=--且
[()()]()()
r E A P A r E A r P PA -+=---.
证明 ()()a b ⇔由定理 2. 的(2.3.1)式可以直接得到.
()()b c ⇔可以由定理得到. ()()d c ⇒显然易得.
()()c d ⇒ 根据Hartwig and Styan 在文献[7]中的定理:假设,,n n P Q C ⨯∈2,P P = 2Q Q =,那么
()()()r P Q r P r Q PQP Q -=-⇔=.
令1
()2Q E A =-,由引理2就可以得到2Q Q =,
再根据PA AP =,就可以证得.
()()d e ⇔ 因为PA AP =,那么()()d e ⇔显然
成立.
推论 5 假设22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==,那么以下几个命题是等价的: ()()(2);()()()()()
a r PA AP r P A E
b r P PA r P AP r P r E A -=+--=-==-
()2c E A P +-是非奇异的.
证明 ()()a b ⇔假设(a) 成立,那么由推论3的 ()得到
()()()()r P PA r P AP r P r E A -+-=+-
即[()][()]()()r P P A r E A P r P r E A -+-=+- 又
因
为
[()](),[()]()r P P A r P r E A P r E A -≤-≤-那么
当且仅当(b)式成立时才可以. ()()a c ⇔由()式可以直接得到
.
定理 假设2,,,n n
P A C P P ⨯∈=2
A E =,那么以
下等式成立: []()
,2()r PA AP PA r r P AP r P P -⎡⎤
=+-⎢⎥⎣⎦ () 证明 首先利用分块矩阵的高斯消元法,又有以下结果成立:
00
000000000P PA AP PA P P P P P AP P AP PA P P AP -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的 秩,得到
00000000P PA PA r P P r P P AP P AP -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(,)PA r r AP P P ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
(2.) 然后再利用幂等矩阵和对合矩阵的性质有:
(1)(3)(1)(3)
(1)(2)
000000000p p A
r r r A r P PA P P P AP PA PA P P P AP P AP PA PA P P P AP P APA PA AP PA P P P AP +•+-•-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪
−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪−−−−→ ⎪
⎪⎝⎭--⎛⎫ ⎪−−−−−→ ⎪
⎪⎝⎭
(3)(2)
(1)(2)(1)(3)
(3)(2)
(3)(1)
(1)(3)00000000000
0000000r A r p p A
r r p p r r p p A P APA PA AP P P P APA AP PA P P APA AP PA P P APA PA AP P PA P
PA AP -•-•--+-•--⎛⎫
⎪
−−−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭
⎛⎫
⎪
−−−−→ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎛⎫
⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭(3)(1)000
000
p p A P P PA AP +•-⎛⎫
⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝
⎭
同样的道理,
000000000P PA P r P P r P P AP PA AP --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
2()()r P r PA AP =+- (2.)
联立(2.)和(2.3.12)那么有秩等式
[](),2().PA r PA AP r r P PA r P P ⎡⎤
-=+-⎢⎥⎣⎦
定理2..22,,,n n P A C P P A E ⨯∈==, ()
(,)2()r PA AP P PA r r P PA P r P P --⎡⎤
=+--⎢⎥⎣⎦
() (,)2()P AP r r P PA E A r E A E A -⎡⎤=+----⎢⎥-⎣⎦ (2.) ()()r PAP PA r AP PAP =-+-(2.)()()
r P AP PA APA r PA APA P AP =-+-++--
() ()r AP PA =-
证明 根据引理2,令1
(),2Q E A =-那么
2Q Q =,同时有 2A E Q =-,代入()r PA AP -,
得到()()r PA AP r PQ QP -=-,那么把
1
()2
Q E A =-直接代入引理9,就可以 得到以
上几个秩等式.
定理 2. 假设2
,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么
有以下秩等式成立:
(2)
(2)(2)r P PA AP r P E A r E A P n --=+-++--
(2.) (2)()()
()()
r P E A r P PA r P AP r P r E A =+-+-+----
(2.)
()()()()
r P PA AP APA r P PA r P AP r P =++++-+--
(2.)
()()()()
r E A P PA AP PAP r P PA r P AP r E A =--++-+-+---
(2.)
证明 由引理1,可令1
()2Q E A =-,那么
2Q Q =,再代入引理10,就可以得到以上的秩
等式.
定理2. 假设2,,,n n P A C P P ⨯∈=2A E =,那么有以下秩等式成立:
()r PA AP -[2()][2()]r P A E r P A E =+---- [2()]r P PA AP +-+ (2.)
证明 由定理2.3.1的关于()r PA AP -的秩等式(2.3.1) ()(2)(2)r PA AP r E A P r E A P n
-=+-+---,
再联立秩等式(2.)
(2)
(2)(2)r P PA AP r P E A r E A P n --=+-++--
即可以得到定理2.的秩等式. 在引理[7]中研究这种情况的秩：设m n A C ⨯∈且是任意选取的,,,
m m n n P C Q C ⨯⨯∈∈且2
2
,P P Q Q ==,研究PA AQ -的秩，与我在本文中研究的一个幂等矩阵P 和一个对合矩
阵A 的换位子PA AP -形式不同。但由引理7
可以得到几个特殊矩阵与一个任意的n 阶矩阵
的换位子的秩等式.
定理2. 假设2,,n n P A C P E ⨯∈=,A 是复数域上的任意矩阵,那么
()()[(),]2()
()()
E P A r PA AP r r A E P E P E P r E P r A PA AP PAP r AP PAP PA A -⎡⎤
-=+--⎢⎥-⎣⎦--=-+-++--证明 令1
()2
Q E P =-,那么2Q Q =，
()[(2)(2)]
()
r PA AP r E Q A A E Q r QA AQ -=---=-
即一个对合矩阵与任意一个矩阵的换位子的值等于一个幂等矩阵与任意一个矩阵的换位子的值.在引理8中,假设令m n =,P Q =,就可以得到一个幂等矩阵与任意一个n 阶矩阵的换位子: 假设2,,n n P A C P P ⨯∈=,A 是复数域上的任意矩阵,那么 0000000000000()
(,)2()
()()
r P A AP P A r r AP P r P P r P A P AP r P AP AP -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
=-+- (2.) (2.) 把1()2Q E P =-代入(),(2.3.27)就得到定
理2.3.6.
3、问题的延伸
本局部在原来研究的根底上再深入一些,下面研究几类特殊矩阵的换位子问题,然后推广到,m n 阶.
首先研究幂等矩阵,对合矩阵,三幂等矩阵三种矩阵的换位子问题:可以分为6类换位子:
①两个幂等;②两个对合矩阵;③一个幂等矩阵与一个对合矩阵;④两个三幂等矩阵;⑤一个幂等矩阵与一个三幂等矩阵;⑥一个三幂等矩阵与一个对合矩阵.①②已经有人研究了,我在本论文中也讨论了③④,这局部研究④⑤⑥换位子问题.
由于3,A A A -=存在2A E ⇔=,即一个对合矩阵是一个非奇异的三幂等矩阵,那么根据三幂等矩阵是否是非奇异的分两种情况讨论:
(1) 三幂等矩阵是非奇异的,那么三幂等矩阵是对合矩阵.④⑤⑥就相应地变为②③情况；
(2) 三幂等矩阵不是非奇异的. 那么首先讨论一个三幂等矩阵与一个对合
矩阵的换位子:
定理 3. 假设,n n A B C ⨯∈，且3A A =，2B E =，那么换位子AB BA -可以转化为两对
幂等矩阵与对合矩阵的换位子的代数差. 证明 因为3A A =，那么存在可逆矩阵T ，使得 000
000
0r s E A T E T -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
12
0000000000000000r s E T T T E A A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 通过简单的计算可以知道矩阵12,A A 都是幂等
矩阵.那么有:
1212()()AB BA A A B B A A -=---
1122()()A B BA A B BA =---
这类换位子的秩等式及可逆性作为以后的研究内容.
以下研究两个三幂等矩阵的换位子问题： 定理 3. 假设33,,,,n n A B C A A B B ⨯∈==那么根据以上的讨论，那么换位子AB BA -可以转化为四对幂等矩阵的换位子的代数和. 证明 由定理3.的分析,有
1212,A A A B B B =-=-，在这里1212,,,A A B B 都
是幂等矩阵，那么有 1212121211112112()()()()()()
AB BA
A A
B B B B A A A B B A B A A B -=-----=-+- 12212222()()B A A B A B B A +-+-
这类换位子的秩等式及其可逆性将作为以后的研究重点.
因为在矩阵是非奇异的情况下,m 阶幂等矩阵就是1m -阶的幂么矩阵.，而对于
2B E =，那么221,k k B E B B +==,对任意的正整
数k 都成立。那么对于满足,m n A A B E ==的A ，B 的换位子AB BA -的各种相应性质如何，将是以后的研究内容.
利用对合矩阵A 的性质,由引理3,2A E =，可以化为两个幂等矩阵的差，即存在可逆阵T ,使得
1
10,
00
00()000r n r r n r E
T AT E E A T T E ----⎛⎫= ⎪-⎝
⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
12A A =-
1,2A A 分别是n 阶幂等矩阵，那么
12121122()()()()
PA AP P A A A A P PA A P PA A P -=+-+=-+-
那么研究的对象转化为研究两对幂等矩阵的换位子的代数和.这个作为以后的讨论重点.
结束语
本论文是在认真研究阅读George P.H. Styan 和 Yongge Tian 的文章〔文献[1]〕和左可正的文章〔文献[2]〕之后，查阅大量相关资料的根底上，提出了新的研究方向，即研究一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和，换位子等的秩等式，可逆性相关性质,研究秩等式有很强的概括性,在引言中已经简单说明过.本文不仅是在原来研究内容上的拓宽，研究程度上的深入,在研究方法上,所得结果都有创新之处。最重要的是此研究课题是几乎没有人涉及到且提出了以后的研究方向,本文初步涉及了三阶幂等矩阵的换位子,三幂等矩阵与幂等矩阵和对合矩阵交叉项的换位子形式.还可以更深入地研究m 阶幂等矩阵与n 阶幂么矩阵的换
位子的相应性质。这里有很大的研究空间。
参考文献：
[1] Yongge Tian,George PH styan .Rank equalities for idempotent and involutory matrices [J].Linear Algebra Appl ISSN, 2001(335):101-117.
[2] 左可正.幂等矩阵与对合矩阵的换位子的可逆性[N]. 湖北师范学院学报(自然科学出版社), 2007,27(2): 11-14.
[3]Gro βJ,Trenkler G. Nonsingularity of the difference of two oblique projectors[J]SIAM J. Matrix Anal Appl,1999(21):390-395.
[4] G.E.Harting,G.P.H.Styan,Equalities and inequalities for ranks of matrices,Linear and Multilinear Algebra, 1974(2):269-292.
[5]Gro β J,Trenkler G,Nonsingularity of the difference of two oblipue projectors [J].SIAM J Matix Anal Appl,1999,21(2):390-395.
[6]R.E.Hartwig,G.H.Styan,On some characterizations of the “star 〞partial ordering for matrices and rank subtractivity,Linear Algebra Appl.1986(82): 145 - 161.
[7]J.J.Koliha,V.Rakocevic.The nullity and rank of linear combinations of idempotent matrices[J]. Linear Algebra and its Applications ISSN, 2006 (418):11-14.
[8] Gro β J.On the product of orthogonal projectors [J] Linear Algebra Appl ,1999(289):141-150. [9]Y.Takane,H.Yanai,on the oblique projectors, Linear Algebra Appl.1999(289 ): 297-310. [10] 樊恽. 代数学辞典.华中师范大学出版社, 1994(1) 499-506.
[11]Gro β J,Trenkler G.on the product of oblipue projectors [J].Linear and Multilinear Algebra, 1998(44):247-259.
[12]Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Baksalary. Idempotency of Linear combinations of two idempotent matreces [J].Linear Algebra Appl,2000(321):3-7.
[13] Takane Y ,Yanai H.On oblique projectors [J].Linear Algebra Appl,1999(289):297-310.
[14]G.Marsaglia, G,P.H. Styan. Equalities and inequlities for ranks of matrices. Linear and Multilinear Algebra 1974(2):269-292.
[15] 张俊敏，成立花.幂等矩阵线性组合的可逆性. 纯粹数学与应用数学, 2007,23(2):231-234.
[16] 徐兆亮，王国荣. 关于幂等矩阵和对合矩阵的几个结果上海海运学院学报2003,24〔2〕:171-174.
[17] 左可正. 关于幂等矩阵与幂么矩阵的几个秩等式湖北师范学院学报(自然科学出版社).2005.
[18]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998：200.
[19] 张树青, 王晓静. 线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示[N]烟台师范学院学报2004，2004，20〔1〕:45.
[20] 张慧, 闫海平. 幂等算子的和与差. 南阳师范学院学报〔自然科学版〕,2004，3(12):7-10.
[21] 张和瑞. 近世代数根底高等教育出版社,1978(1).
[22]刘玉,曹重光,关于除环上矩阵秩的几个等式安徽大学学报(自然科学版),2007,?.
[23]左可正.关于幂等元之差的可逆性[J].数学杂志,2007,27(1):97-100.
[24]左可正.倍幂等元与倍对合元的换位子的可逆性[J].2007,27(6):669-672.
[25]朱崇军,左可正.关于一个矩阵的秩等式[J]. 2000, 20(2):36-39.
[26]Yoshio Takane,Haruo Yanai.On oblique projectors[J].Linear Algebra and its applications,
1999(289):297-310.
高等代数论文
行列式计算方法 摘 要 本文归纳总结了行列式的计算方法问题，介绍了计算n 阶行列式的几种行之有效的方法。除比较常用的定义法，化三角形法，递推法外，还介绍了利用降阶法，加边法，换元等技巧性较高的计算方法。只要灵活的运用这些计算技巧和方法，就可以基本上解决n 阶行列式的计算问题。 关键词 n 阶行列式、性质、计算方法、举例 1行列式定义 n 阶行列式 用符号 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211表示的n 阶行列式指的是n ！项的代数和，这些项是一 切可能的取自nn n n n n a a a a a a a a a 2222221 11211的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121。项n nj j j a a a 2121的符号为（-1）)(21n j j j π，也就是说，当n j j j 21是偶排列时，这一项的符号为正，当n j j j 21是奇排列时，这一项的符号为负。 2行列式性质 （1）行列式与它的转置行列式相等。 （2）交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 （3）如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。 （4）把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以数k 乘这个行列式。 （5）如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 （6）如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 （7）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。 （8）一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 （9）设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表示成两项的和： nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++= 那么D 等于两个行列式1D 与2D 的和，其中1D 的第i 行的元素是in i i b b b ,,21，2 D
高等代数论文
数统学院数学与应用数学系 “高等代数”课程论文 题目：n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用 姓名：郑某某 学号：20111010xxx 数统学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2011级 2013年2 月26 日
摘要：本文先从n 维线性空间上的线线变换的核与值域出发，引出它们的一些 性质。通过几种类型的例题来加深对这些性质的理解。由解题的过程，可以总结出解决n 维线新空间的线新变幻的核与值域的一般方法与思想。 关键词：n 维线新空间 线新变换 值域 核 一．相关定义及性质。 文[1][2]给出了具体的关于n 维线性空间的线性变换的相关定义及性质。下面是性质的一个补充。 我们知道：若σ的n 维线性空间V 的线性变换，则σ（V ）和1(0)σ-是σ的不变子空间。若τ也是V 的一个线性变换，且τ与σ可交换，那么τ的值域和核是不是也是σ的不变子空间？ 命题一：若线性变换,στ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子[3]空间。 证明：ξ?∈1(0)σ-，则有 τ（σ（ξ） ） =τσ（ξ）=σ（0）=0 ∴σ（ξ）∈1(0)σ- ?τ（η）()V τ∈， σ（τ（η） ）=τ（σ（η））()V τ∈ ()V τ∴也是A-子空间。 二．有关核与值域的维数问题。 例一：设F 为数域，V=n F ，证明： 1）T(12,,,n x x x )=(1210,,,,n x x x - )是线性空间V 的一个线性变换，且 n T =0 2）求T 的核与值域TV 的维数。
证明：设α=（12n ααα+++ ）,V β∈=（12n βββ+++ ）V ∈。 T(αβ+)=(0,112211,,,n n αβαβαβ--+++ ) =(1210,,,,n ααα- )+(1210,,,,n βββ- )=T α+T β k F ?∈, 则T （k α）=（1210,,,,n k k k ααα- ）=k （1210,,,,n ααα- ）=kT α， ∴T 为线性空间V 的线性变换。 又由于2T （12,,,n x x x ）=T （1210,,,,n x x x - ）=（1220,0,,,,n x x x - ） 3T （12,,,n x x x ）=（1230,0,,,,n x x x - ） 0n T = 2)由T （12,,,n x x x ）=（1210,,,,n x x x - ）=0 则可得：121n x x x -=== =0 即：1(0)T -为由一切向量（0,0,,0,n x ）所作成的子空间 ∴它是一维的 又r(1(0)T -)+r(TV)=n ∴r(TV)=n-1 小结：通过本题的解答，我们知道了如何求解核与值域的维数（[4]）。 例二：（兰州大学2006年硕士研究生入学考试试题） 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，1V V σ=，2V =1(0)σ-分别是σ的值域与核，12,,,r ααα 是1V 是一组基，设12,,,r βββ 是12,,,r ααα 的原像， 令W=L （12,,,r βββ ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n 2）V=W 2V ⊕ 证明：设σ是零度为t ，且12,,,t ηηη 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基 12,,,t ηηη ，12,,,t t n ηηη+- ，且1()i ση-=0，1,2,i t = 。 从而1V =σ（V ）=L （12(),(),,()t σησηση ，12(),(),,()t t n σησηση++ ）
高等代数论文
高等代数论文 矩阵在生产生活方面的应用 指导老师李思泽 运输1512 崔粲 15251169 知行1501 徐鹏宇 15291200
目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 【Abstract】 (2) 【Key words】..................................... 错误!未定义书签。【实际应用举例】 (3) 1. 计算网络中的流 (3) 1.1 交通流分析 (3) 1.2 程序运行代码 (5) 1.3 程序运行截图 (8) 1.4 程序运行代码（2） (9) 1.5程序运行截图（2） (13) 2.电路分析 (13) 2.2程序运行代码 (15) 2.3 程序运行截图 (18) 【论文总结】...................................... 错误!未定义书签。【参考文献】...................................... 错误!未定义书签。
摘要 近二十年来，随着计算机技术的蓬勃发展，利用计算机的符号计算系统对代数中可计算问题形成了计算代数这个新的方向，本文主要通过对于矩阵的应用实例来说明代数在实际生活中的应用。随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。我们在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习高等代数的过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在交通流量分析，电路分析的应用进行了探究并编写了相关程序。 【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用，电路分析，交通流 Abstract In recent twenty years, with the rapid development of computer technology, using computer symbol computing system of algebra computational problems form the computational algebra in this new direction. This paper mainly through the matrix of the application examples to illustrate the application of algebra in real life. With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life, it can be said that it is closely related to the development of science and technology. At the same time, we can not forget to apply mathematical knowledge to life. In the course of learning advanced algebra, we found that the algebra has an indispensable position in life and practice. In this thesis, we study the application of the matrix in the
高等代数论文
向量组线性相关的证明方法 内容提要 向量组的现行相关性是高等代数理论中的一块基石，在它的基础上我们可以衍生出许多其他理论，所以熟练地掌握判定向量组线性相关的方法可以更好地帮助我们理解其他理论的知识。本文从理解向量组线性相关性的定义入手，论述了若干证明向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解等知识判定向量组线性相关性的判定，并且比较了不同种证明方法的适用范围和条件。 向量组线性相关性的证明理论在现实生活当中有着广泛的应用。因此学好这一块的理论知识，掌握证明方法是很重要的。 第一章 绪论 线性相关性的理论在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何，高等代数和常微分方 程中等等，它是线性代数理论当中的基本概念，它与向量空间和子空间的概念有着密切的联系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛的应用，因此掌握向量组线性相关性这个概念有着十分重要的意义，也是解决问题重要的理论依据。向量组的线性相关和线性无关可以推广到函数组的线性相关和线性无关。 在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。它可以将线性代数中的矩阵，行列式，二次型的知识联系起来，如果能熟练掌握线性相关性则能更好地理解线性代数当中的其他知识，，理清线性代数的框架，做到融会贯通。 本文主要研究的是向量组的线性相关性的判定方法，从定义和性质下手，熟悉了一些重要的理论，熟悉了定义我们就能更好地把握线性相关性的本质。而本文的第三章就并提出了几种线性相关性的证明方法，比较了不同种证明方法的适用范围和优势劣势，并给出了详细地证明过程和例题，从而更加深入地理解线性相关性的理论知识。最后是关于这部分理论的展望和本文参考的具体文献。 第二章 向量组线性相关性的定义和性质 2.1.1线性相关的概念 定义1设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,21m k k k 使得 0m 2211=+++αααm k k k （1） 那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关. 如果不存在不全为零的数,,,,m 21k k k 使(1)式成立,或者说,只有当 0m 21====k k k 时,(1)式才成立,那么就称m 21,,,ααα 线性无关.
高等代数论文
线性变换的分析及应用 摘要 由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，而在各个领域的应用也发挥着重要的作用，线性变换也是一种较好的变量代换，合理应用线性变换，既优化了解题过程，提高了解题速度，也增强了解题的灵活性。所以对线性变换进行分析与应用是非常有必要的。本文主要在系统的总结并分析线性变换的理论知识的同时，例举线性变换在欧式变换中的应用，并进行研究与分析，用MATLAB对其中的应用实例予以分析，并构造出了相应的模型。 关键词：线性变换，线性代数，欧氏变换，MATLAB In this paper Due to the linear transformation is one of the most basic concept in linear algebra and its theory has profound significance, and in all areas of application also play an important role, linear transformation is also a good variable substitution, reasonable application of linear transformation, optimization, solving both increase about the rate, and enhance the flexibility of understanding. So it is necessary to analyze the linear transformation and application of. In this paper, we summarize and analyze the linear transformation of the system theory knowledge, at the same time presented linear transformation in the application of Europe type transformation, and carry on research and analysis of MATLAB application example to analysis of them, and the corresponding results are obtained. Keywords: linear transformation, linear algebra, Euclidean transform, MATLAB
高等代数的应用论文
代数在经济管理 中的应用 班级：思源1102 小组成员：张萌11274034 徐婉琳11274060 杨紫琪11274061 指导老师：李思泽
目录 摘要 (3) 问题提出 (4) 实际应用举例 (4) 论文总结 (10) 参考文献 (11)
【摘要】 科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。【关键词】 高等代数，经济管理，实际，应用 【Abstract】 The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management. 【Key words】
高等代数论文
安徽师范大学数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目：对角化的讨论及应用 姓名：张为东 学号：120110111022 安徽师范大学数学与应用数学系 数学与应用数学专业2012级 2013年8月25日 对角化的讨论及应用
摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题,线性变换的对,角化实质上也是矩阵的对角化,分析对角化问题,讨论矩阵是否可与对角矩阵相似,若相似,则有相同的特征值,即可用一定的初等变换将之化为对角阵,以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化,而且在理论上和应用上都具有十分重要的意义 . 关键词: 对角化实对称矩阵特征值相似标准形式. ( 一 )线性变换的对角化.
1212111,dim(),(),(),()[],()()()(),, ,. :()()()()(),() ()t t j j t F n N L g x h x F x g h h g x x x x x l j x x x λλλννσνσσσσλλλσνννλλλλ+-+=∈∈∈=+++=----≠=- j j j,l 正文 一对角化的条件: 设是数域上的线性空间又设则多项式的运算满足乘法交换律知引理1,设是的两两不同的特征值则和是直和证明g 当时 g 令g 1212112,0 ,1,2,.()()()()00()(0)()()()()()()()() ()()()(),()0,0 ,,(j t l j lid l t t j j j j j j t j t c λαααλανσσσλασσααασασασασαλαλαμμμσν++=∈==-===++=++==≠= j j,l j j j j j j j j 这也是一个多项式,设其中由g g 有g g g g g 因为g g 而g 所以设是的所有的两两不同的特征值.记121212)()(),1,2,,(),()dim(),()(){,,}, ();(),()(,,)t j j j t j j t III III j t III c n III n III III III diag n μμμμννννννηηηνσηλησλλλσσ=⊕⊕==== j 若是的一个基,则将合并得到的向量组线性无关并且是的一组基: 引理2:如果而含有个向量.记则是的一组基记则在下的矩阵是推论:如果有个两两不同的特征值,则可对12121()():{,,},,,,,(),dim(()),,dim(),(), t n III VI c m c n F n N L σσσααααααννσννσνμ+∈=≥=∈∈ 角化. 证明:注意到特征子空间的维数是正整数,则此时每一个特征子空间的维数只能是1,故可对角化. 引理3:若有m 个向量,m 有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论 聂晓柳 (数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏) 摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向. 关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性 Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future. Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility 0、符号说明及引言 幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明. 用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。假设2,n n A C A A ⨯∈=，称A 为幂等矩阵。设复矩阵()ij n n A a ⨯=为A 的共轭矩阵,其中ij a 为ij a 的共轭复数.'A 即对A 进行转置.'A 表示A 的共轭转置矩阵. 在本文中用*A 表示A 的共轭转置矩阵;假设3,n n A C A A ⨯∈=，称A 为三次幂等矩阵。假设,n n m A C A A ⨯∈=，称A 为m 次幂等矩阵；假设 2,n n A C A E ⨯∈=，称A 为对合矩阵。假设 ,n n m A C A E ⨯∈=,称A 为幂么矩阵；分块矩阵()m n k M C ⨯+∈,[],M A B =, m n A C ⨯∈,m k B C ⨯∈.()m l n N C +⨯∈,A N C ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦, m n A C ⨯∈,l n C C ⨯∈。假设2,P P λ=称P 为scalar-potent 矩阵，以下简记为S -矩阵； ,,n n A B C AB BA ⨯∈-称为A 与B 的换位 子.()R T 表示T 的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:()()r i r j ±表示矩阵的第i 行加上或减去第j 行，()()p i p j ±表示矩阵的第i 列加上或减去第j 列，()()r i k r j ±⋅表示第i 行加上或减去第j 行的k 倍；()()p i p j k ±⋅表示第i 列加上或减去第j 列的k 倍. Yongge Tian ，George P.H.Styan 在文献 [1]中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵 莆田学院数学与应用数学系 “高等代数”课程论文 题目：四分块矩阵的初等变换的性质及应用姓名：黄俊艺 学号：410401338 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业043数本 2007年6月24号 四分块矩阵的初等变换的性质及应用 摘要：给出四分块矩阵初等变换及其性质；论述它们在矩阵秩，等式，不等式证明及求 解矩阵行列式，求矩阵逆的应用。 关键词：四分块矩阵，初等变换，矩阵秩，矩阵行列式，矩阵逆 正文： 预备知识： 定义1 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换（初等行或初等列变换）所得到的矩阵。 初等矩阵共分3类： （1）(),P i j ——变换E 的第i 行与第j 行（或第i 列与第列）得到的矩阵 （2）()() P i k ——用数域P 中的非零数k 乘以E 的第i 行（或第j 列）得到的矩阵 （3）(),()P i j k ——把E 的第j 行的k 倍加到第i 行（或第j 列的k 倍加到第i 列）得到的矩阵 定义2 分块初等矩阵 分块初等矩阵共分3类： ()1 ()01,2E 0n m E P ?? ??? ()2 ()()01,20n M P M E ?? ? ?? ，()()01,20m E P M M ?? ??? ，其中M 可逆. ()3 ()()1,20 m n E M P M E ?? ??? , ()()01,2m n E P M M E ?? ??? 性质1：分块初等矩阵均是可逆矩阵 性质2：分块初等矩阵左（右）乘A B C D ?? ??? （要可乘，可加）相当于对其作相应的分块初等 行（列）变换 性质3：分块初等变换不改变矩阵的秩 一 四分块矩阵极其初等变换在证明矩阵秩等式与不等式的应用 例1 SyWester 公式： 设,s n n m A P B P ??∈∈ 证明： ()()()r A r B n r AB +-≤ 高等代数开题报告 一、研究背景 高等代数是现代数学的重要分支之一，它涉及到向量空间、线性变换、矩阵与行列式等重要概念和理论。作为一门基础课程，高等代数在理论和应用方面都具有广泛的应用价值。通过学习高等代数，我们可以培养抽象思维和逻辑推理能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。 二、研究目的 本文旨在通过深入研究高等代数的相关内容，探究其基本概念、定理和应用。具体研究目的如下： 1.分析高等代数的基本概念，包括向量空间、线性变换和矩阵等的定义 和性质； 2.探讨高等代数的重要定理和定律，如线性相关性、秩、特征值等； 3.研究高等代数在实际应用中的应用价值，如在计算机图形学、信号处 理等领域的应用。 三、研究内容 1. 高等代数的基本概念 高等代数的基本概念包括向量空间、线性变换和矩阵等。向量空间是高等代数的基础概念，它描述了一组具有加法和数乘操作的向量的集合。线性变换是向量空间之间的映射，它保持向量空间的线性结构不变。矩阵是线性变换在不同基下的表示，它是一个由数构成的矩形阵列。 2. 高等代数的重要定理和定律 在高等代数中，有一些重要的定理和定律被广泛应用。其中之一是线性相关性的定理，它描述了向量集中是否存在线性相关的关系。另一个重要的定理是秩-零度定理，它描述了线性变换的零度和秩的关系。此外，特征值和特征向量也是高等代数中的重要概念，它们与线性变换的性质密切相关。 3. 高等代数的应用价值 高等代数在实际应用中具有广泛的应用价值。在计算机图形学中，矩阵和线性变换被广泛应用于三维图形的变换和投影操作。在信号处理中，矩阵和线性变换被用来处理信号的滤波和压缩。此外，高等代数还被应用于经济学、物理学等不同领域。 高等代数小论文选题 高等代数小论文备选题目 【第一学期】 1 行列式在几何中的应用 （求面积、体积、平面、直线、圆、欧拉四面体……） 2 行列式在中学数学中的应用 3 初等变换在高等代数中的作用 4 矩阵的秩关系式的证明方法 5 矩阵秩的性质研究 *6 可逆矩阵的性质研究 7 伴随矩阵的性质研究 8 分块初等变换的应用 9 矩阵的迹及其应用 10 等价标准形（P190）的应用 11最大公因式的其他求法 *12自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 16周之前交。 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书 高等代数小论文备选题目 【第二学期】 1 正定矩阵的性质研究 2 线性空间的公理化定义研究 3 线性空间研究问题的思路探讨 4 线性空间直和的证明方法 5 线性变换与矩阵的同构关系 6 相似关系下的性质研究 7特征值与特征向量在其他学科的应用 8 哈密尔顿-凯莱定理的应用 9 对角化问题的研究 10 几类标准形的研究 （等价、相似、合同、正交相似） 11 等价分类的思想方法 12 Jordan标准形的应用研究 13 欧氏空间理论在中学数学的应用 14 正交变换的性质研究 15 矩阵的乘积分解问题 16 高等代数中的数学思想 *17 自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书 高等代数论文选题 1. 关于矩阵的乘积的秩的研究； 2. 矩阵相似的若干判定方法； 3. 线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题； 4. 矩阵的特征值与特征向量的应用； 5. 化二次型为标准型的方法； 6•“高等代数”知识在几何中的应用； 7.矩阵初等变换的应用； &“高等代数”中的思想方法； 9. “高等代数”中多项式的值、根的概念及性质的推广; 10. 线性变换“可对角化”的条件及“可对角化”方法； 11行列式的若干应用； 12. 行列式的计算技巧； 13. 欧式空间与柯西不等式； 14. 《高等代数》对中学数学的指导作用； 15. 关于多项式的整除问题； 16. 虚根成对定理的又一证法及其应用； 17. 范德蒙行列式的若干应用； 18. 矩阵相似及其应用； 19. 矩阵的迹及其应用； 20. 关于对称矩阵的若干问题； 21. 关于反对称矩阵的性质； 22. 关于n阶矩阵的次对角线的若干问题； 23. 有理数域上多项式不可约的判定； 24. n阶矩阵可对角化的条件； 25. 有理数域上多项式的因式分解； 26. 矩阵在解线性方程组中的应用； 27. 关于整系数有理根的几个定理及求解方法； 28. 代数基本定理的几种证明方法简介； 29. 关于线性变换的确定（求法）； 30. 线性变换思想在中学数学中的应用； 31. 关于矩阵正定的若干判别方法； 32. 矩阵可逆的若干判别方法； 33. 线性空间与欧式空间； 34. 向量组线性相关与线性无关的判定方法； 35. 常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法 36. 线性变换的内积刻划； 37. 线性方程组的推广一一从向量到矩阵； 题目（居中、黑体4号字，不超过20个字） 班级：学号：姓名： 内容摘要：课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要课程论文内容摘要（300字左右）。 关键词：关键词；关键词；WTO；关键词 1．导言 简要说明研究背景、意义和目的、基本思路方法。 2．具体内容部分 是研究的内容，为论文核心，占主要篇幅。 3．结论 精练、完整、准确阐述创造性的工作及主要观点，提出进一步讨论的问题与建议。 参考文献 [1]高吉全. 矩阵初等变换的方法和应用研究[M]. 北京: 中国工人出版社, 2000:96-108 [2]王萼芳, 石生明修订. 高等代数[M]. (第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003:12-18 [3]凌征求. 矩阵初等变换的几个应用[J]. 玉林师范学院学报. 2001 (22):37-40 [4]齐维轩. 一类n阶实方阵行列式的几何意义探究[J]. 西安邮电学院学报. 2001(6):70-73 [5]王明亮. 中国学术期刊标准化数据库[DB]. https://www.sodocs.net/doc/e119065181.html,/ pub/ wml.txt/ 980810-2. html, 1998-08-16/2002-10-04 [6]胡平, 崔文田, 徐青川. 应用统计分析教学实践案例集[M]. 北京: 清华大学出版社, 2007: 304-305 [7]Anderson, Neil and M. A. West. The team climate inventory: development of the TCI and its applications in teambuilding for innovativeness[J]. European Journal of Work and Organizational Psychology. 2004(1): 45-47 高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合教学实践，谈了一些感悟。关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。 高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。二、深刻理解概念高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。俗话说书读百遍，其义自见，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。 高等代数实践小论文 代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。 《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。 其相关具有代表性的习题如下： 1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____. 解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2. f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d, f(a)=ca+d,f(b)=cb+d, 联立可解得c= f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b . Thoughts of mine: 已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。 2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15). 解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数. 做综合除法可得f(15)=67. Thoughts of mine: 余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解. 3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根. 解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20. 则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4. f(x)((f (x ),f ′(x )) =x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4. 故f(x)的根为1,-2. Thoughts of mine: 摘要：线性方程组的求解在高等代数学的是一个很重要组成分，因此对于对线性方程组解的广泛应用于数学与其他科学领域，因此对于线性方程组有解的判别定理和线性方程组解的结构我们必须进行认真的研究，搞清楚他们之间的关系。本文对线性方程组的解和判定进行了全面的分析与研究。 关键字：线性方程组；解结构；矩阵；解的判定 目录 线性方程组解的判定与结构 .............................. 错误!未定义书签。 引言 (1) 1 线性方程组解的判别定理 (1) 2 齐次线性方程组的解的结构 (2) 3 一般线性方程组的解的结构 (3) 致谢 (7) 参考文献： (7) 引言 线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构以及他们的基础解系。它与矩阵、向量还有行列式、方程组、秩、克拉默法则的内容密切相关，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广，对此本论文紧紧围绕线性方程组与解的结构进行展开，这也对我们以后学习线性方程组的解结构与解判别定理有很大帮助。下面我就分几大板块来介绍关于线性方程解的判定与结构。 1 线性方程组解的判别定理 线性方程组是否有解，我们有没有其他办法来解决？当然有，那就是通过用系数矩阵和增广矩阵的秩来进行刻划，下面我们对此介绍几个相关的定理： 定理 1 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即 秩（A ）=秩（A ＇）。 证明 线性方程组（1）有解，就是说β可以经向量组12,, n ααα线性表出，由此立即推出，向量组12,,n ααα与向量组12,,,n αααβ等价，因而有相同的秩。这两个向量组分别是矩阵A 与A ＇的列向量组，因此矩阵A 与A ＇有相同的秩 定理2若线性方程组AX=b 有满足 秩（A ）=秩（A ＇）=r ，则当r=n 时，线性方程组有解且只有唯一解；当r 竭诚为您提供优质文档/双击可除 高等代数学习报告 篇一：高等代数期末论文学习总结 高等代数学习总结 摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之 一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。关键词: 行列式矩阵二次型 正文: 《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用 性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。 经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域高等代数论文
高等代数论文
高等代数开题报告
高等代数小论文选题
高等代数论文选题
2.高等代数课程论文模版
高等代数教学论文
高等代数实践小论文
高等代数课程论文
高等代数学习报告