bs期权定价

第三节Black-Scholes期权定价模型

一与期权定价有关的基本假设:

（一）.关于金融市场的基本假设

假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的.

假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能.

假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.

假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好.

假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失.

（二）.关于股利的假设

股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D 表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率

二 模型假设与概述

（一）模型假设

Black 和Scholes 在推导B-S 模型时做了以下假设:

(1)无风险利率r 已知,且为一个常数,不随时间变化.

(2)标的资产为股票,其价格t s 的变化为一几何布朗运动,即

t t t t ds s dt s dz μσ=+

或者说, t s 服从正态分布

21/20exp{(0.5)},0t t s s t t e t T μσσ=-+<<……… 由(18)式容易得到

其中t e 为标准正态分布N(0,1),且不同时刻的t e 相互独立.

(3)标的股票不支付股利.

(4)期权为欧式期权

(5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且没有印花税.

(6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购买任意数量的标的股票.

(7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自由使用.

（二）模型的概述

在上述假设下,若记t s 为定价日标的股票的价格,X 为看涨期权合同的执行价格,r 是按连续复利计算的无风险利率,T 为到期日,t 为当前定价日,T t -是定价日距到期日的时间(单位为年),σ是标的股票价格的波动率,则可得到B-S 模型如下:

(1) 在定价日t (t T <),欧式看涨期权的价值t c 为

()12()()r T t t t c s N d Xe N d --=- (22)

式中:

21/21[ln(/)(/2)()]/[()]t d s X r T t T t σσ=++-- (23)

1/221()d d T t σ=-- (24)

而()N x 是标准正态变量的累积分布函数,即

()N x {}p X x =<

其中X 服从(0,1)N .

(2) 由看涨期权-看跌期权平价公式:()r T t t t t p c s Xe --=-+,且注意到()N x 的

性质

()N x +()N x -1=,

欧式看跌期权在定价日t 的价值t p 为

t p ()12()()r T t t s N d Xe N d --=--+- (25)

三 模型的推导与推广

（一） Black 和Scholes 的推导

假设期权当前时刻的价值为t F ,显然t F 是标的股票当前市场价格t s 的函数. Black 和Scholes 首先构造了如下套期组合:即在当前t 时刻,以t s 买入标的股票/t t F s ??股,同时以t F 卖空一份期权.显然,该组合的构造成

本(/)t t t t t A F s s F =??-.当时间变化一个微小区间t (即从t 到t t + ),/t t F s ??可近似看成是一个常数,则该组合价值t A 的变动t dA 为:

t t t t

F dA ds dF s ?=-?…………………………(26) 注意到,由B-S 模型的假设

t t t t ds s dt s dz μσ=+

又由伊藤引理(11)式,期权价值t F 作为t s 的函数,应满足以下公式

2222(0.5)t t t t t t t t t t t t

F F F F dF s s dt s dz t s s s μσσ????=+++???? 将上述两式代入(26)式得

2222[0.5]t t t t t

F F dA s dt t s σ??=-+?? (27)

在(27)式中随机项t dz 已经不存在,这说明在[,]t t t + 这段时间上,该套期组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率r ,即

()t t t t t t

F dA rA dt r s F dt s ?==-?…………………(28) 将(27),(28)结合化简得:

22220.5t t t t t t t t

F F F rs s rF t s s σ???++=???………………(29) 此式就是著名的B-S 微分方程,它构成的包括期权在内的任何一种衍生工定价模型的基础.这就是说,B-S 方程可以用于任何一种衍生工具的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于不同类型的衍生工具来说,其价值t F 有不同的边界条件.给定这些特定

的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价模型.

对于欧式看涨期权来说,其价值t F t c =在到期日T 的边界条件为: max(0,)T T T F c s X ==-

而对于欧式看跌期权来说,其价值

max(0,)T T T F p X s ==-

根据上述边界条件,Black 和Scholes 得到了B-S 方程的解,它们就是B-S 期权定价模型。

（二）Black-scholes 期权定价公式的拓展

（1）无收益资产的欧式看跌期权的定价公式

Black-Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产的欧式看涨期

权的定价公式根据欧式看涨期权和看跌期权之间的评价关系，可以得到无收益资产的欧式看跌期权的定价公式：

()()21()()r T t r T t t t t p c Xe S Xe N d S N d ----=+-=--- (30)

（2）无收益资产的美式期权的定价公式

在标的资产无收益的情况下，由于t t C c =，所以式（22）也给出

了无收益资产的美式看涨期权的价值。

美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有一个精确的解析公式，但可以用数值的方法以及解析近似方法求出。

（3）有收益资产的期权的定价公式

到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确的预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。

在收益已知的情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金手一点现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用t S 表示有风险部分的证券价格，σ表示风险部分遵循随机过程

的波动率，就可以直接套用公式（22）和（30）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。

当标的证券已知收益的现值为I 时，我们只要用（t S I -）代替式

（22）和式（30）中的t S 即可求出固定收益证券欧式看涨期权和看跌

期权的价格。

当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位：年）时，我们只要将()

q T t

S e--代替式（22）和式（30）中的t S就可

t

以求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨期权和看跌期权的价格，在各种期权中，股票指数期权，外汇期权，和期货期权的标的资产可以看做是支付连续红利率的，因而它们适用于这一定价公式。

另外对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。

（三）Black-Scholes期权定价公式的计算

（1）Black-Scholes期权定价模型的参数

我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值，但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。

①估计无风险利率

在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国，人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利率占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式

中应用。其次，要小心的选择国库券的到期日。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同的到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。

我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为：

P＝100-[（8.83＋8.77）/2]*(84/360)=97.947(美元)

TB

进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：

r T t

()

e-=100/TB P→0.23r

e=100/97.947→0.0902

r=

②估计标的资产价格的波动率

估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难的多，也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。

1.历史波动率。所谓历史波动率，就是从标的资产价格的

历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票的价格

为例，表(1)列出了计算股票价格波动率的一个简单说

明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中

计算样本均值和标准差的简单方法。其中，

R为股票价

t

格百分比收益率，R(或者μ)则为连续复利收益率（估

计方差），σ就是相应的（估计）标准差（波动率），即

Black-Scholes公式计算时所用的参数。在表(1)中，共

有11天的收盘价信息，因此得到10个收益率信息。

t R =1/t t p p -

R 1

(1/)ln T t

t T R ==∑ 21var()[1/(1)](ln )T t t R T R R ==--∑

表(1) 历史波动率计算

在Black-Scholes 公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这三个参数的时间单位必须相同，或者同为天、周、或者同为年。年是经常被用到的时间单位，因此我们常常需要将天波动率转化

成年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率时，应该按照一年252个交易日进行计算。这样，表(1)中的天波动率相应的年波动率

0.3467year day σσ==

在我们的例子中，我们使用的是10天的历史数据。在实际计算时，这个天数的选择往往很不容易。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价格收益率的波动率却又常常随时间的变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要注意选取距离今天较近的时间，一般的经验法则则是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限。因此，如果要为9个月的期权定价，可使用9个月的历史数据。

2.隐含波动率

从Black-Scholes 期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是未来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在较大的缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率计算。所谓隐含波动率，即根据Black-Scholes 期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价待入，计算得到的波动率数据。显然，这里计算得到的波动率可以看做是市场对未来波动率的预期。当然，由于Black-Scholes 期权定价公式比较复杂，隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。

（2）利用Black-Scholes 期权定价公式的一个例子

为了使广大读者进一步理解Black-Scholes 期权定价模

型，我们下面用一个简单的例子来说明这一模型的计算过程。

例3.1 假设某种不支付红利股票的市价为50

元，无风险利率为12％，该股票的年波

动率为10％，求该股票协议价格为50元、

期限1年的欧式看涨期权和看跌期权的

价格。

在本题中，可以将相关参数表达如下：

t S =50 X =50 r =0.12 σ=0.1 T =1

计算过程分为三步：

第一步，先算出1d 和2d 。

1=[ln(50/50)+(0.12+0.01/2)*1]/[0.1*sqrt(1)]=1.25d

2d =1-0.1* sqrt(1)=0.15d

第二步，计算1()N d 和2()N d

1()N d =(1.25)0.8944N =

2()(1.15)0.8749N d N ==

第三步，将上述结果以及已知条件代入公式（22），

这样，欧式看涨期权和看跌期权的价格分别为：

0.12*150*0.894450*0.8749 5.92c e -=-=（美元）

0.12*150*(10.8749)50*(10.8944)0.27p e -=---=（美元）

在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等，

但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。其

中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响。在本

例中，利率高达12％，到期期限长达1年。在这种情况

下，执行价格的现值将大大的降低。对于欧式看涨期权

来说，这意味着内在价值的大幅上升，而对于欧式看跌

期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在计

算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看跌

期权则是一个虚值期权。事实上，实际中的市场短期利

率通常较低，期权到期期限一般不超过9个月，因此如

果标的资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的看

涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近。

（六）Black-Scholes期权定价公式的应用

Black-Scholes期权定价公式除了可以用来估计期权价格，在其他一些方面也有很重要的应用，主要包括评

估组合保险成本、可转换债券定价和为认股权证估值。

（1）评估组合保险成本

证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略，比如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。

假设你掌管着价值1亿元的股票投资组合，这个股票投资组合与市场组合十分类似。你担心类似于1987年10月9日的股灾会吞噬你的股票组合，这时购买一份看跌期权也许是合理的。显然，期权的执行价格越低，组合保险的成本越小，不过我们需要一个确切的评估，市场上可能根本就没有对应的期权，要准确估算成本十分困难，此时Black-Scholes期权定价公式就十分有用。比如10％的损失是可以接受的，那么执行价格就可以设为9000万元，然后再将利率、波动率和保值期限的数据代入公式，就可以合理估算保值成本了。

（2）给可转换债券定价

可转换债券是一种可有债券持有者转换成股票

的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司

债券和一份看涨期权的组合，即：

CB B C V V V =+

其中CB V 表示可转换债券的价值，B V 表示从可转换债券中剥

离出来的债券的价值，C V 代表从可转换债券中剥离出来的期权的

价值。

在实际中C V 的估计是十分复杂的，因为C V 对利率非常敏感，

而Black-Scholes 期权定价公式假定无风险利率不变，对C V 显然

不适用。其次，可转换债券中隐含的期权的执行与否会因为股票股利和债券利息的问题复杂化。而且，许多可转换债券的转换比例会随时间变化。

绝大多数可转换债券是可赎回的，可赎回债券的分解更加复杂。对债券持有者而言，它相当于一份普通的公司债券、一份看涨期权多头（转换权）和一份看涨期权空头（赎回权）的组合。可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感，而对利率也非常敏感。当利率下降的时候，公司可能会选择赎回债券。当然，利率上升的时候债券价值也会上升。

（3） 为认股权证估值

认股权证通常是与债券或优先股一起发行的，它的持有人拥有在特定的时间以特定的价格认购一定数量的普通股，因此认股权证其实是一份看涨期权，不过两者之间还是存在细微的差别，看涨期权执行的时候，发行股票的公司并不会受影响，而认股权证的执行存在解释效应，在估值的时候必须考虑这一点。

参考文献：

《期权分析----理论与应用》茅宁著南京大学出版社

《数理统计与概率论》王志江陶靖轩沈鸿编中国计量出版社《衍生产品》郑振龙主编武汉大学出版社2005年2月第一版

bs期权定价与二叉树期权定价学习资料

b s期权定价与二叉树 期权定价

第三节 Black-Scholes期权定价模型 一与期权定价有关的基本假设: （一）.关于金融市场的基本假设 假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的. 假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能. 假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.

假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好. 假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. （二）.关于股利的假设 股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D 表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率 二 模型假设与概述 （一）模型假设 Black 和Scholes 在推导B-S 模型时做了以下假设: (1)无风险利率r 已知,且为一个常数,不随时间变化. (2)标的资产为股票,其价格t s 的变化为一几何布朗运动,即 t t t t ds s dt s dz μσ=+ 或者说, t s 服从正态分布 21/20exp{(0.5)},0t t s s t t e t T μσσ=-+<<……… 由(18)式容易得到

BS期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型 (重定向自Black—Scholes公式) Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型 Black-Scholes 期权定价模型概述 1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。 斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。 [编辑] B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 [编辑] (一)B-S模型有7个重要的假设 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会；

第07章 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展

第七章布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展 在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了著名的布莱克－舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。但是我们也将看到，在有些时候，模型在精确度方面确实获得了相当的改进，但其所带来的收益却无法弥补为达到改进而付出的成本，或是这些改进本身也存在问题，这使得布莱克－舒尔斯期权定价公式仍然在现实中占据重要的地位。 第一节布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 在实际经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型（为简便起见，我们后文都称之为BS 模型）应用得非常广泛，对金融市场具有很大的影响。其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。因此，无论是从商业上还是从学术上来说，这个模型都非常成功。但是理论模型和现实生活终究会有所差异，对于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。本章的主要内容，就是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实际情况，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。 BS模型最基本的假设包括： 1.没有交易成本或税收。 2.股票价格服从波动率 和无风险利率r为常数的对数正态分布。 3.所有证券都是高度可分的且可以自由买卖，可以连续进行证券交易。 4.不存在无风险套利机会。 在现实生活中，这些假设显然都是无法成立的。本章的后面几节，将分别讨论这些假设放松之后的期权定价模型。 1. 交易成本的假设：BS模型假定交易成本为零，可以连续进行动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。但事实上交易成本总是客观存在的，这使得我们无法以我们所希望的频率进行套期保值；同时，理论上可行的价格，考虑了交易成本之后就无法实现预期的收益。我们将在第二节中介绍一些对这一假设进行修正的模型。 2. 波动率为常数的假设：BS模型假定标的资产的波动率是一个已知的常数或者是一个确定的已知函数。这一点在标的资产价格的实证检验中被否定，期权市场本身反映的隐含波动率也提出了相反的证据。实际上波动率本身就是一个随机变量。为了解决这个问题，人们从两个角度来对BS模型进行修正：从期权价格的隐含波动率中获取波动率的信息，来为期权定价；从标的资产市场出发获取波动率变化过程的信息，对BS公式进行修正和扩展。我们将在第三节和第四节讨论这个问题。 3. 不确定的参数：BS模型假设波动率、利率、股利等参数都是已知的常数（或是已知的确定函数）。但事实上它们都不是一个常数，甚至也不是一个时间和标的资产价格的确定函数，波动率甚至完全无法在市场观察到，也无法预测。这时可以采取的方法之一是为这些参数的价值确定一个变动区间，从而在最糟糕的情景下为期权定价。我们将在第五节介绍这一方法。 4. 资产价格的连续变动：BS模型假定标的资产的价格是连续变动的，服从对数正态分布。然而在我们的市场中，不连续是常见的：资产价格常常跳跃，并且经常是向下跳跃。这在对数正态分布的资产定价模型中并没有体现出来：对于正态分布来说，这些突然变动的幅

bs期权定价

第三节Black-Scholes期权定价模型 一与期权定价有关的基本假设: （一）.关于金融市场的基本假设 假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的. 假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能. 假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.

假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好. 假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. （二）.关于股利的假设 股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D 表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率 二 模型假设与概述 （一）模型假设 Black 和Scholes 在推导B-S 模型时做了以下假设: (1)无风险利率r 已知,且为一个常数,不随时间变化. (2)标的资产为股票,其价格t s 的变化为一几何布朗运动,即 t t t t ds s dt s dz μσ=+ 或者说, t s 服从正态分布 21/20exp{(0.5)},0t t s s t t e t T μσσ=-+<<……… 由(18)式容易得到

BS期权定价公式.doc

Black-Scholes 期权定价模型 一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下： 1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。S 遵循几何布朗运动，即dz dt S dS σμ+=。 其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。μ和σ都是已知的。 简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。 2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。 3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。 4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。 5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。 6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。 7．所有无风险套利机会均被消除。

二、Black-Scholes 期权定价模型 （一）B-S 期权定价公式 在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程： rf S f S S f rS t f =??+??+??2 22221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。 通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---= 其中， t T d t T t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln() )(2/()/ln( c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。 （二）Black-Scholes 期权定价公式的理解 1. 1()SN d 可看作证券或无价值看涨期权的多头；()2()r T t Ke N d --可看作K 份现金或无价值看涨期权的多头。 可以证明，1/()f S N d ??=。为构造一份欧式看涨期权，需持有1()N d 份证券多头，以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。 Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式看涨期权的定价。 注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。

BS模型在资产评估中的应用

B-S模型在资产评估中的应用 主讲老师赵强 一、Black-Scholes模型介绍 （一）Black-Scholes模型介绍 Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一种估算期权价值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。 除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算： （1）二项式定价模型方法； （2）风险中性定价方法。 期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。 （二）B-S模型的适用前提 B-S模型是建立在以下假设基础上的： （1）股票价格是一个随机变量服从对数正态分布； （2）在期权有效期内，无风险利率是恒定的； （3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割； （4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施； （5）不存在无风险套利机会； （6）证券交易是持续的； （7）投资者能够以无风险利率借贷。 设：μ为股票每年投资回报率期望值；σ为股票价格的年波动率。 在t时刻股票价格为S，则在t＋dt时刻股票的价格应该为S＋μS，如果用微分方程描述就是： 上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。 进一步推导，可以得出结论： 即：Ln（S T）－Ln（S0）＝Ln（S T/S0）～N（（μ－σ2/2）T，σ2T）。 其中：S0：股票初始价格； T：是初始时间距目前阶段的时间。 进一步：Ln（S T）～N（Ln（S0）＋（μ－σ2/2）T，σ2T）

如果设S T是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述： 如果S T是一个随机变量，满足S T≥X的概率为P，则满足S T＜X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是： E（S T）＝（S T－X）×P＋0×（1－P） 这就是看涨期权C的价值估算。 对于看跌期权P： 如果满足S T＜X的概率为P，则满足S T≥X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是： E（S T）＝（X－S T）×P＋0×（1－P） 这就是看跌期权P的价值估算。 B-S模型的推导： 由于看涨期权的收益： C＝e-rT E（max（S T－X），0）＝e-rT[E（S T－X/S T＞X）＋E（S T－X/S T＜X）] 上式中的后半部分，根据看涨期权的定义是等于0的，因此可以得到看涨期权的收益：C＝e-rT E（S T－X/S T＞X） 设：Y＝Ln（），则Y服从正态分布，而＝e Y，这样看涨期权的收益C可以改写为： 注意关注下式：