概率论第二章练习答案
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《概率论》第二章
练习答案
螂
一、填空题:
"2x
莁
1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿
1
的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________
2
P(X J)「￡xdx 二
2 0
2
1 2 3 1 9
袇
P —F (3)2
螃
2.设连续型随机变量的概率密度函数为:
-ax+b 0 1 蚈 f(x)= 1 蚇 其他 1 袄 且 EX =—，贝U a = 3 -2 1 (ax+b)dx=1 「° 1 1 x(ax b)dx 解之 ° 3 肇 3.已知随机变量 X 在［1° , 22 ］上服从均匀分布，则 EX= 16 _____________ ° 1则用Y 表示对X 的3次独立重复 其它 袂■■ 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 100 0 其它 蕿 ［P( > 150)j =(2)3= — 3 27 蒈 解: 5 / 4 -1) P(X 1) p(X =0) 9 9 4 2 1 q , p = 9 3 3 羈 p(Y _1) =1 _ P(Y =0) 薆 蚀??? : (x)= 聿 9.设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX = 1.6, DX = 1.28，则参数n = P = 肅EX = np = 1.6 蚃DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 , p =0.2 羂10. 设随机变量 x 服从参数为（2, p ） 的二项分 布, 布，若 P (X 》)= 5 —,贝U P (Y 羽)= 65/81 O Y 服从参数为（4, p ）的二项分 = 1-C ；p °q 4 =1-86 4 - 81 加 80.2 % 薂 P ( ?》150 =1 — F(150)=1 — 15。 100 , 100严 =1 150 100 P (X 莇 11.随机变量 X ?N (2, G 2),且 P (2v X V 4) =0.3,贝y P (X V 0) = 0.2 4-2 2-2 P (2 ：：： X :：: 4) P (X ::: 4) - P (X :：: 2)「0 ) —「0 ) 0.3 a 莆 即：:5(?) 一 讥(0) =0.3,从而门 0(?) =0.3 0.5 二 0.8 a cr 0 —2 2 2 再代入P (X ：：0)—：」。 )—：」。()=1 一门0( )=1-0.8 = 0.2 CJ CJ CT 薃 12.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X e 2X )= 4/3 2 X \ 2 X 2x x 14 薁 E (X e ) EX Ee =1 e e dx =1 二 3 3 螆 13?已知离散型随机变量 X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量 Z= 3X — 2的期望 肆 E (Z) = 3EX-2=3x2-2=4 。 薅 虿 14 ?设随机变量 X 服从参数为-的泊松分布，且 P ( X= 1) = P ( X=2 )贝U E (X)= _2_ _. _D (X) = _2_ 2 1 2 2 —e_ =—e : —2、- 0 1! 2! 袇??? ■ =2 (二 0舍) E 服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为: 莂 15.若随机变量 0.05e -0.05x x 一0 x 0 ;E E = 20 ; D E = 400 衿16.设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7,活到15岁以上的概率为0.2,则现龄 薄 解: 根据密度函数的非负可积性得到: + □0 莄 P(x a)= f(x)dx 二 14x 3dx a a 为10岁的这种动物活到 15岁以上的概率为 P （ .15/ .10）= —— =兰 2 =0.286 P ^>10） 0.7 7 薇 17.某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为 0.01，则在 一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3（4）=0.168031 X ~ b(300,0.01) 利用泊松定理作近似计 算: 膀 一小时内使用电话的用户数服从 ■二np 二300 0.01二3的泊松分布 荿 18通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式, 其期望 为 ■ = np ，方差为 ■ = np 肄 19. X ~ N(4Q 2),P(X ￡—5) =0.045,P(X 兰3) = 0.618，则 4 =_ 1.8 。（将X 标准化后查标准正态分布表） 蒅 二、单项选择: 薂 1.设随机变量 X 的密度函数为: ,3 4x , 0 节 其他 蒃 解：P(X = 4)= 0.014 *0.99296 则使 P(x>a)=P(x C .丄 2 1 D . 1_ 4 2 P(x L o d $ 财 2 薇 2 .设F i (X )与F 2 (X )分别为随机变量 —bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的 X i 与X 2的分布函数，为使 F (X )= aF i (x) 1各组值中应取( A ) 人 3 2 2 2 芅 A . a — b : =—— 一 B . a=, b=— 5 5 3 3 i 3 i 3 蒅 C . a= ------ ,b=— D . a= ,b=—- 2 2 2 2 賺 肆 F(+ :: )=a F i (+ ：：)-BF 2 什：：)=1 二 a -b = 1 肅.a = 3,b =适合 5 5 膂 3.已知随机变量的分布函数为 F (x )= A + B arctgx ，则：( B ) A A i i i i i i 芀 A 、A= B= .. B 、A= B=— C 、 A=二 B=- D 、A= B= 2 2 JI 2 JT 2 螀 解：要熟悉arctgx 的图像 F (二)二 A Barctg( ：：), 1 二 A B 联立求解即可。 芄 薂 4.设离散型随机变量 X 仅取两个可能值 X i 和X —,而且X i < X — , X 取值X i 的概率为 0.6,又已知 E (X )= 1.4, D (X )= 0.24，贝U X 的分布律为 () JI 2 噓 F (-：：)= A Barctg ( 31 F °"-B S' 蒆 x 肁 螁 1 薈 膂 x 衿 1 羈 2 腿 A. 膄 p 賺 蒇 0.4 螇 芆 B. 莀 p 祎 蒇 0.4 0.6 0.6 肃 蚂 薀 羄 肄 螀 罿 蚄 袁 羃 n -++- 芁 莀 b 莈 x 蒄 n +1 膅 x 肄 a 罿 C. 羅 p 螁 螂 0.4 蚇 袈 D. 袃 p 袀 莀 0.4 0.6 0.6 蒆 羄 罿 蝿 膆 螂 莁 艿 袇 螃 ① 1.4=EX=0.6X 什0.4X 2 葿 ② DX=EX 2 3-(EX) 蚈 0.24 = (x ； * 0.6 x ；*0.4) -1.42 蚇 联系①、②解得X i =1, X 2=2 则此人得奖金额的数学期望为 肇 A ? 6元 B ? 12元 C . 7.8元 莇 设?表示得奖金额，则其分布律为: 6 （3张2元的）9 （ 2张2元，1张5元的）12 （ 1张2元，2张5元的） 2 1 C 8 C 2 3 C 10 蒇 故期望值为：7.8 袂 5 ?现有10张奖券，其中 8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取 3张， 1 2 3 C 10 3 3 C 10 I 袄 6.随机变量X 的概率分布是: 蚃 X 1 2 3 4 肇 P 1 a 1 b 则：（ D ) 6 4 A 1 1 1 2 1 5 1 1 羆 A 、a — b =— B 、a= ,b=— C 、a= ,b=— D 、a=— b=- 6 4 12 12 12 12 4 3 蚄 a +b ： = 1-( 1 +丄) _ 7 — 故选D 6 4 12 螄 7.下列可作为密度函数的是： （ B ） 蚀 B 、 ： （x ）二 e2 x a 其它 x [0匚] 其它 3 薂 D 、 「（X ）三 x I 0 一 1 ：： x ::: 1 其它 蕿 依据密度函数的性质: ?（ x ）0 丿枕 进行判断得出：B 为正确答案 f x ）dx = 1 聿 8.设X 的概率密度为?（X ），其分布函数F （ x ），则（ D ）成立。 莅 C 、 : (x) s i nx 0 肅 A 、P(x= ?：：)=F(x) B 、 Q< (x) < 1 莇 1 1.5 7 °xdx 亠 I (2 -x ) dx 0.875 变量的概率密度函数。 j-:' (x) - 0 羈 依据密度函数的性质：」 进行判断得出：B 为正确答案 : (x) dx =1 I 5%,每天从生产的产品中抽 5个检验，记X 为出现次 品的个数，则E(X)为 ________ 蒂 此题 X 服从二项分布 b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.25 蚃 C 、P (x - ：) = (x) D 、P ( x ：：：：：)丄 F (x) 「x 羂 9?如果 x ~ Q (x)，而 ?(x)=弋 2 — x -0 0 _ x _ 1 1 ： x _ 2 1.5 蒈 A 、0 (2-x)dx 1.5 B 、0 x(2 -x)dx 1.5 C 、0.875 D 、 (2-x)dx 蚅 10.若随机变量X 的可能取值充满区间 ______________ ，那么 Sinx 可以作为一个随机 B . ［0.5 二，二］ C . ［0, 1.5 二］ D .［二，1.5 二］ 薆 11.某厂生产的产品次品率为 蒂 A . 0.75 B . 0.2375 C . 0.487 D . 0.25 薂A . n ): _, np j' ■( 项分布的泊松近似) 莆12.设X服从二项分布，若（n+ 1）P不是整数，则K取何值时，P （X = K）最大？（ D ） 薃A. K=(n+ 1) P B . K =( n+ 1) P- i 薁C. K = nP D. K = [ (n + 1) P ] 螆 肆解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于（n + 1）P不是 整数，因此需要寻找最接近np的整数。 薅 虿13 .设X服从泊松分布，若■不是整数，则K取何值时，P （X = K）最大？ （B ）蒀A . ■ B. [ ■] C. J .—1 D . /. 1 袇解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知: 莂当EX= ■时取到最大值，因为-不是整数，而K必须为整数，因此需要对■取整 肂14. X ~ N(0,1) , Y=2X — 1 ,则丫~ ( C ) 薇DY = D (2X -1)4DX =4, EY = E (2X -1)2EX - 1 —1 蒃15.已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为：( C D. 2 2 ) 膀A . 2 B . 1/4 C. 1/2 荿随机变量的参数为2，即方差为1/4,标准差则为1/2 肄 蒅16.当满足下列（）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。（ 衿A、N（0，1）B、N（1，4）C、N（-1，4）D、N（-1，3） p ：X 3 4^?的概率分别为 [ C 5-10 (X ：：5)—：」0 )—：』0( 一1) = 1 _：.：」0() 1 -0.8413 =0.1587 5 20 _10 (X 20) 1-P ( X _20)= 1-门 0 ) = 1 -:：J 0(2) = 0.0228 5 薄 三、计算题: 1.设随机变量X 的密度函数是连续型函数，其密度函数为: AX 匚im f(x)二 f(1)，即: (B -X)二 f(1) XT 1 蒅 其它 (1)常数A 、B 。(2)分布函数F ( x ) (3) P (丄v X 空卫) 4 2 螄17. 设X ?N (10 '25),已知 ::,p —； n —:: ①0(1)^0.84 13 ①。(2)壯 0.97725 , 则 p 〈X ：：：5 ?和 肆 解：(1) 由X 为连续型随机变量, 节 A. 0.0228,0.1587 B. 0.3413,0.4772 蚁 C. 0.1587,0.0228 D. 0.8413,0.97725 賺 试求: im 肅 -- X " 1 薂 A . n ): _, np j' ■ ( 项分布的泊松近似) + ao 芀 同时： f (x)dx = 1 二 A 2B = 5 ................. ② —oO 螀 ①、②式联系解得：A=1 , B=2 x 螅 (2)F(x)二 j — f(t)dt, h —oO 芄 则当x 空0时，F （x ） =0; ‘ x 1 2 薂当 o ：： x _ 1, F (x) tdt x ; ‘0 2 腿 当 1 <2,F(x) 1 x o xdx 1(2 心 （2t 一丄严 2 x = 2x 」x 2 2 -1； 蒆 当 x>2 时，F(x)=1. 「0 1 2 -x 氐 F(x)= ? 1 2x__x 2 _1 2 1 x 乞0 0 x< 1 1 ：： x 乞 2 x 2 1 3 3 1 3 13 (3) P 『X 込"FQ-F 才 2 厂 1 Q 2-1 (i ) 严2x 芆 2.设已知X~ ?(X )= f L 0 0 x ：： 1 其它 ，求：①P （ X 乞0.5） 膂 ②F （ x ） 4 1 2 0.5 衿 解：① P (X < 5) 2xdx x x 2 F (x) = : (t ) dt = " 2tdt = x 0, x :: 0 ，?” F (x )=』x 2,0 兰x cl 1, x 膄 ③ X ~ X (x)二 1（0兰x 兰1） 」0（其 他） 丫 ~ F Y (y) = P (丫乞 y) = p(3X 1乞 y) = p(X 空呼)-F X (目) 3 3 賺 丫（y ）二 F,y ） = X （目）1 3 3 .丫 （y ）=餌 9（仁八4） b （其他） ax -0< x <2 羁 f(x)= L cx + b 2 < x <4 1 莀 其他 祎 已知 EX = 2, P (1 =—，求a 、b 、c 的值 4 螇 3.设随机变量X 的密度函数为: 2axdx ?4(cx 蒇解：(1)① b)dx =2a 6c 2b ，0 2 肃 ② EX 二 2ax 2dx 亠((ex 2 bx)d^ = 8a 56c 6^2 ‘0 ‘2 3 3 2 3 axdx 亠 I (cx b)dx 二 1 2 1 _1 联系解得二a ,b =1,c = 4 4 聿 4?假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 知X 服从［2000,4000］上的均匀分布，设每出售这种商品 假如销售不出而囤积于仓库， 则每吨需浪费保养费 1万元，问应组织多少货源，才能使国家 的收益最大？ + oO ER 二 R(x) f(x)dx —oQ ^^(-y 2 7000y -4 106) 1000 蔵二 ^^[825000 -(y -3500)2] 1000 蚂③ p （「：： X :：: 3）二 X （单位：t ）,已 1t ,可为国家挣得外汇 3万元，但 螅 解: Y :每年该商品的出口量 R ：收益 X 的密度函数：-f （x ）=」2000 I 1 ,2000 ^x^ 4000 0,其他 ’ R(x)=丿 3y 、3x _ (y _ x) x,y [2 0 0,4 0 0]0 y 1 2000(力 一"2000 dx 4000 3y y —dx 2000 袇??? y=3500时，利益最大 芆5.设某种商品每周的需求量X服从区间［10, 30］上均匀分布，而经销商店进货量为［10, 30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量？ 螂解：设进货量为a,则利润为: '500a — (x —a)300 腿Ma =」500x - (a -x)100 a 1 30 1 罿EMa (600x -100： )dx (300x 200a)dx '10 20 L a 20 莫=-7.5a2350a 5250 膂若EM a_ 9280 即：-7.5 ：2+350 ： +5250 > 9280 2 袀解得：20 w〉w 26 3 螆?取最小:-=21 1 蚇上式：x _ f (x)=」20 10 10 _x _30 其他 薁6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：①直接进口，②租用设备，③与外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表: 袅每件可变成本（元）60 100 80 40 芅已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销 3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售0.8 万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为0.7,滞销的为0.1，请为该厂作出最优 决策。 莁解：设8=销量，几二自制，A?=进口，A3二租赁，A4二合资 蚈最优决策的含义是：利润最大化 蒄总成本=固定成本+销售量*可变成本 薃E(B) =2.53万件 E(A) =2.53 200 -(120 2.53 60) = 234.2 E(A2)=2.53^200 —(40 + 2.53x100) =213 薂 E(A3)=2.53 200 -(64 2.53 80) -239.6 E(AJ =2.53 200-(200 2.53 40) = 204.8 蝇? A为最优方案，即租用设备。 螆7.某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下: 羂 莆假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订购新书的数量。 薄解：分析：当订货量大于需求量时，则多出的每本处理后亏损 的时候，则卖出去一本就可以获利2元。 艿针对不同的需求量和订货量的收益表如下： 蒄 求 丁需50 100 150 200 羄量' 肀 益 y 收 概率0.2 0.4 0.3 0.1 y1 50 100 100 100 100 y2 100 0 200 200 200 y3 150 -100 100 300 300 y4 200 -200 0 200 400 Ey1 =100 0.2 100 0.4 100 0.3 100 0.仁100 Ey2 = 0 0.2 200 0.4 200 0.3 200 0.1 =160 Ey3 = -100 0.2 100 0.4 300 0.3 300 0.1 =140 Ey4 二-200 0.2 0 0.4 200 0.3 400 0.1 二60 故订100本较合理。 8. 若连续型随机变量X的概率是 込'ax2+bx + c (0 ex" ?(x) 卫(其他) 已知EX = 0.5, DX = 0.15，求系数a, b, c。 解： :住(x)dx=1 J -be . 丨［x?(x)dx=0.5 -HD -.x2%x)dx = DF ( E-)2= 0.4 解方程组得：a =12 b - -12 c = 3 9. 五件商品中有两件次品，从中任取三件。设E为取到的次品数，求 数学期望和方差。 2元；当订货量小于需求量 解：E的分布律为 E的分布律、 概率论与数理统计 第二章习题 1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010； 2.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法： 3554 1021 C ?= =?，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为 2 2335511 {3}10 C P X C C ==== 若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法， 其概率为23335533 {4}10 C P X C C ==== 若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法 其概率为 25335566 {5}10 C P X C C ==== 一般地 3 5 21 )(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件， X的取值为1,2，3,4，5,6， 最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11 {1} 36 P X==； 最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3）， 9 {2} 36 P X==； 最小点数为3的共有7种， 7 {3} 36 P X==； 最小点数为4的共有5种， 5 {4} 36 P X==； 最小点数为5的共有3种， 3 {5} 36 P X==； 最小点数为6的共有1种， 1 {6} 36 P X== 于是其分布律为 3 设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数， （1）求X的分布律； （2）画出分布律的图形。 解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下， 从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为：3 15151413 P=??，其概率为 若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为3 13131211 P=?? 其概率为 13121122 {0} 15141335 p X ?? === ?? 《概率论》第二章练习答案 一、填空题： ”2x c S 1 1.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的 0 其匕 '- 观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。 2 2.设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 4. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =22 5. 已知X的密度为(x)二ax?"b Y 01 0 . x :: 1 1 1 (x ) =P(X?),则 3 3 6. 7. 1 1 (X〈一)= P ( X〉一)一 1 (ax b)dxjQx b) 联立解得: dx 若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1 ——'J 设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：, 丨1, x ：： 0 0 岂 x ：：： 1，则 P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.99 8. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二 x _100 x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他) 需要更换的概率为_____ 厂100 8/27 _________ x> 100 第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤ 求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为 第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0 第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p? (c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ； 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X 概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则 两人各投中两次的概率为： P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O 所以: 作业题解： 2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验 证其满足(222) 式. 解: Q Q Q Q 根据 v P(X = k) =1，得 k =0 故 a 二 e 「1 2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率： (1)两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则 P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6, 两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324， 两人各投中一次的概率为： 并且，P(X P(X P(X P(X = 12) = 1 36 =10) 煤 =8) 嗥； =k)=( =2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)= ； 36 4 P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。 36 k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数 解: k ae ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以: 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=?? ?0 2x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复 的观察中事件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 ?==≤4120 21)21(xdx X P 64 9 )43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则 ? +∞ ∞ -=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数?? ???≥<≤<=2,110, 4/0, 0)(2 x x x x x F ，则 P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ?＝ ()?????≥) (0100100 2其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 2100 x x≥100 ∴ ?(x)= 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－??=-+=+=150 10015010023 2 132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=27 8 9. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________， P ＝_________________。 EX = np = 1.6 DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2 10. 设随机变量x 服从参数为（2，p ）的二项分布，Y 服从参数为（4，p ）的二项分布，若P （X ≥1）＝9 5 ，则P （Y ≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。 解： 11. 随机变量X ～N （2， σ2） ，且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿ % 2.8081 65 811614014==-=-=q p C o ) 0(1)1(=-=≥Y P Y p 31,3294)0(94 )1(95)1(2 = =?=∴===??= ≥p q q X p X p X p 概率论与数理统计课后习题答案 第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最 大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 35 35 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分 布律； （2） X 的分 布函数并作图； (3) — 133{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 31331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35 C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 （2） 当x <0时， F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235 当1≤x <2时 ，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时， F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函 数 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x 一、教学目的与要求 1、掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列； 2、熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质； 3、掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的独立性与相关性。 4、掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征。 二、教学重点与难点 重点是分布列的求法，期望与方差的计算。 难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用。 §2.1一维随机变量及分布列 一．随机变量及其分类 1．概念 在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有 P(ξ=k)= C p q q=1-p 并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。 例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定 若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）； 若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。 为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。 一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系 在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。 在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质， 《概率论》第二章 练习答案 一、填空题： 1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=? ??02x 其它1???o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事 件(X≤ 2 1 )出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0 第2章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ?????=--≥=,0,11,1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 For personal use only in study and research; not for commercial use 《概率论》第二章 练习答案 螂 一、填空题: "2x 莁 1 .设随机变量X 的密度函数为f(x)=丿 1 的观察中事件(XW —)出现的次数，则 P (Y = 2)= ___________________ 2 P(X J)「￡xdx 二 2 0 2 1 2 3 1 9 袇 P —F (3)2 螃 2.设连续型随机变量的概率密度函数为: -ax+b 0 莇 DX= 12 4.设 为随机变量，E =3, E 2 =11，则E （4： 10） 羀 D (4 10)=16D # =16 E 2 (E )2 32 100 r x -100 、 X ，某一个电子设备内配有 3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不 、0（其他） 需要更换的概率为 8/27 二 4E 10 =22 蒇 5.已知X 的密度为（X ）二 ax + b 广 0 c x < 1 其他，且 1 1 P ( X 二)=P(X>-) , r (x ) dx=1 1 ax b ) dx 二 /ax b ) 3 联立解得: dx 肇 6?若f （x ）为连续型随机变量 X 的分布密度，则 J 「f （x ）dx= _1 ~ |*"^0 羆 7.设连续型随机变量旳布函数F （X ）=X 2/； 丨1, x ：： 0 0 乞 x ：：： 1，则 蚄 P ( E =0.8 ) = _; P(0.2 ：： ：： 6) = 0.99 螄 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度 （X ）= 第2章练习题 1、二手数据的特点是（） A.采集数据的成本低，但搜集比较困难 B. 采集数据的成本低，但搜集比较容易 C.数据缺乏可靠性 D. 不适合自己研究的需要 2、从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中的每一个元素都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式称为（） A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D. 整群抽样 3、从总体中抽取一个元素后，把这个元素放回到总体中再抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.重复抽样 B.不重复抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 4、一个元素被抽中后不再放回总体，然后从所剩下的元素中抽取第二个元素，直至抽取n个元素为止，这样的抽样方法称为（） A.不重复抽样 B.重复抽样 C.系统抽样 D.多阶段抽样 5、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方式称 为（） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样D?整群抽样 6、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取 n个元素形成一个样本。这样的抽样方式称为（） A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样D?整群抽样 7、先将总体划分为若干群，然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察， 这样的抽样方式称为（） A.系统抽样 B.多阶段抽样 C.分层抽样 D.整群抽样 8为了调查某校学生的购书费用支出，从男生中抽取60名学生调查，从女生中抽取40名学生调查，这种调查方是（） A.简单随机抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.分层抽样 9、为了调查某校学生的购书费用支出，从全校抽取4个班级的学生进行调查，这种调查方法是（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.分层抽样D?整群抽样 10、为了调查某校学生的购书费用支出，将全校学生的名单按拼音顺序排列后，每隔50名学生抽取一名学生进行调查， 这种调查方法是？（） A.分层抽样 B.整群抽样 C.系统抽样 D.简单随机抽样 11、为了了解女性对某种化妆品的购买意愿，调查者在街头随意拦截部分女性进行调查。这种调查方式是（） A.简单随机抽样 B.分层抽样C?方便抽样D?自愿抽样 12、研究人员根据研究对象的了解有目的的选择一些单位作为样本，这种调查方式是（） A.判断抽样 B.分层抽样 C.方便抽样 D.自愿抽样 13、下面的那种调查方式不是随机选取的（） A.分层抽样 B.系统抽样C?整群抽样D?判断抽样 14、下面的那种抽样调查结果不能用于对总体有关参数进行估计（） A.分层抽样 B.系统抽样 C.整群抽样 D.判断抽样 15、调查时首先选择一组调查单位，对其实施调查之后，再请他们提供另外一些属于研究总体的调查对象，调查人员根据所提供的线索，进行此后的调查。这样的调查方式称为（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.滚雪球抽样 D.判断抽样 16、如果要搜集某一特定群体的有关资料。适宜采用的调查方式是（） A.滚雪球抽样 B.系统抽样 C.判断抽样 D.整群抽样 17、下面的那种抽样方式不属于概率抽样（） A.系统抽样 B.整群抽样 C.分层抽样 D.滚雪球抽样 18、下面的那种抽样方式属于非概率抽样（） A.系统抽样 B.简单随机抽样 C.整群抽样 D.方便抽样 19、先将总体中的所有单位按一定的标志（变量）分为若干类，然后在每个类中采用方便抽样或判断抽样的方式选取样本单位。这种抽样方式称为（） A.分类抽样 B.配额抽样 C.系统抽样 D.整群抽样 第二章 条件概率与统计独立性 1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？ 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。 5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋， 然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？ 7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回 时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。 9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以 pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。 10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ??? ??=--≥=,0,11, 1,n p ap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有 )1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。 11、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率； （2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。 12、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98， 而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。 13、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。 第2章 一维随机变量及其分布 一、选择题 1．设F(x) 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是 （A ）若F(a)=0，则对任意x ≤a 有F(x)=0 （B ）若F(a)=1，则对任意x ≥a 有F(x)=1 （C ）若F(a)=1/2，则 P(x ≤a)=1/2 （D ）若F(a)=1/2，则 P(x ≥a)=1/2 2．设随机变量X 的概率密度f(x) 是偶函数，分布函数为F(x)，则 （A ）F(x) 是偶函数 （B ）F(x)是奇函数 （C ）F(x)+F(-x)=1 （D ）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量X 1, X 2的分布函数、概率密度分别为F 1 (x)、F 2 (x)，f 1 (x)、f 2 (x)，若a>0, b>0, c>0，则下列结论中不正确的是 （A ）aF 1 (x)+bF 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1 （B ）cF 1 (x) F 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1 （C ）af 1 (x)+bf 2 (x) 是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1 （D ）cf 1 (x) f 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1 4．设随机变量X 1, X 2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f 1 (x)和f 2 (x)，分布函数分别为F 1 (x)和F 2 (x)，则 （A ）f 1 (x) +f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （B ）f 1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （C ）F 1 (x)+F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 （D ）F 1 (x)F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 5．设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，Y 服从正态分布),(222σμN ，且 )1|(|)1|(|21<-><-μμY P X P ，则必有 （A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ> 6．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率)|(|σμ<-X P （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定 7．设随机变量X 1, X 2的分布函数分别为F 1 (x)、F 2 (x)，为使aF 1 (x)－bF 2 (x) 是某一随机变量分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （A ）5 2,5 3-==b a （B ）3 2,3 2==b a （C ）2 3,2 1=-=b a （D ）2 3,2 1-==b a 第二章 概率论与随机过程 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,xx φ(τ) =2 σδ(τ),即X(t)为白 噪过程。 （a ）试求谱密度yy Φ（f ）。 （b ）试求yy φ(τ)和E[Y 2(t)]。 图P2-16 解：（a ）xx φ= 2222)()(σττδσττφτπτπ==?? +∞ ∞ --+∞ ∞ --d e d e f j f j xx 又系统函数)(f H = ) () (f X f Y =fc j fc j R fc j πππ2112121 +=+ ∴2 2222 22 2 41)2(11)()()(c f R fcR f H f f xx yy πσπσφφ+= +== (b) E [)(2 t y ]=)0(yy φ τπττ πσπσφτφRc f j f j yy yy e Rc df e c f R df e f 12 22 2 2 2 2 2241)()(- ∞ +∞ -∞ +∞ -= +==? ? ∴E [)(2 t y ]=Rc yy 2)0(2 σφ= 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是k k )2/1()(=φ，试求其功率密度谱。 解：由功率密度谱的定义知 )(f Φ＝ ∑+∞ -∞=-k fk j e k πφ2)( ＝ ∑+∞ -∞=-k fk j k e π2)2 1( ＝fk j k k e π21 )21(----∞=∑＋fk j k k e π20)2 1 (-+∞ =∑ ＝k f j k e )21(21π∑+∞ =＋k f j k e )21(20π-+∞=∑ ＝f j f j e e ππ2221121-＋f j e π22111 -- ∴ )(f Φ ＝f j f j e e ππ2221121-＋f j e π22 111-- 即为所求。 2-23 试证明函数 )(t f k ＝ ) 2(2)] 2(2sin[W k t W W k t W -- ππ，k = 0，1±，2±，… 在区间[+∞∞-,]上为正交的，即 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号)(t s 的级数展开式，其中权值为)(t s 的样值，且{)(t f k }是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得 ? +∞ ∞ -dt t f t f j k )()(＝? +∞ ∞ -)2(2)]2(2sin[W k t W W k t W -- ππ ) 2(2)]2(2sin[W j t W W j t W --ππdt ＝ ? +∞ ∞ -2 1)2)(2(] )(4cos[)cos[(j wt k wt j k wt k j πππππππ--+---dt ∴命题得证。 2-24 系统的噪声等效带宽定义为 ?∞= 02 )(1df f H G B eq 第 二 章 一、基本题目 1. 做一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求： (1) n 次试验中成功次数X 的分布律； (2)在n 次成功之前已经失败次数Y 的分布律； (3)不断试验至首次成功时试验次数Z 的分布律。 2. 一批产品共有25件，其中5件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取4次，设X 为其中的次品数，若 （1） 每次取出的产品仍放回； （2） 每次取出的产品不再放回。 写出两种情况下X 的分布律。 3. 某公司有400台计算机, 在一天中任一台报修的概率是. 请给出一天中报修台数X 的分布律(需陈述建立过程和依据), 并计算报修不超过3台计算机的概率. 4.设每天到达炼油厂的油船数服从λ=2的泊松分布. 现港口有三台设备, 一天内一台设备只能为一条油船服务, 若一天中有多于三艘油船到达,多余的油船必需调往其他港口. 求: (1) 某天必需调离油船的概率. (2) 为在90%的日子里能容许安排所有的油船,现有设备应增设至几台 (3) 每天最可能到达的油船数是几艘并给出其概率. 解 已知到达炼油厂的油船数X ~P (2) 5. 从一批子弹中任意抽出10发试射，若至多只有一发子弹落在靶心2厘米以外，则接受该批子弹。设弹着点与靶心的距离X （厘米）的概率密度为 ?? ???<<=-其他,030,)(2 x Axe x f x 试求：(1)系数A ；（2）该批子弹被接受的概率. 6. 在长为L 的线段上随机选取一点，将其分为两段，求短的一段与长的一段之比小于1/4的概率 7.两台新的电子仪器寿命分别为21,X X ,)36,42(~1N X ,)9,45(~2N X , 若需连续使用仪器46小时，问选用哪一台仪器较好 8. 设测量误差)10,0(~2N X ，求在100次独立重复测量中至少有3次测量误差的绝对值大于的概率，并用泊松分布求其近似值.概率论与数理统计第四版第二章习题答案
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