处处不可导连续函数

函数连续性、导数及其应用

§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00 x f x f x x =→一、连续函数的概念 函数连续要满足三个条件 (1) 在x =x 0有定义； (2) 存在；(3))(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x =→

例1. 2sin 21 ,0(),0ax x e x f x x a x ?+-≠?=??=? 在(-∞，+ ∞)上连续， 求的值 a 解：

定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数?(x)在开区间(a , b)内连续; 定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数?(x) 在闭区间[a , b]内连续. 一个函数在定义域上连续，从图像上看是连 续不断的，“一笔”可以画出来的。

二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义； (2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. )(lim 0 x f x x →)(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x ≠→

x 1 A 2A 0 x 0 x 1 A 2A 0 x A x 1 A 2A 0 x 1 A 0 x

间断点? ? ???? ???????振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：

定理设在上连续在内可导

定理设在上连续，在内可导， （1）在内，，则在上单调增； （2）在内，，则在上单调减。 对函数，如何求出的单调增减区间呢？ 从图中可看出，应先找出单调增减区间的分界点，哪些点可能成为分界点呢？

如果在可导且是单调增减的分界点，则，所以，使的点可能是单调增减分界点； 定义使的点称为的驻点。 另外，不可导的点也可能成为分界点， 如：在处不可导，但时，单调减，时，单调增。 所以，可能的单调增减分界点有：驻点和不可导的点。 求的单调增减区间的方法： （1）确定的定义域；图5-5 （2）找出的驻点和不可导的 点，用这些点将定义区间分成若干个小 区间； （3）在每个小区间上用的符 号判定。 例1求的单调区间。 解：定义域

驻点：（没有不可导的点） 列表 － 所以，在和内单调增，在内单调减。例2讨论函数的单调性。 解：定义域 驻点：，不可导的点： 列表 － 例3 利用单调性证明：时，有

证：设 当时， 在内单调增，又 既时，有 例4证明：方程只有一个正根。 证明：设 因，又在[0，1] 上连续，由零点存在 定理， 在（0，1）内至少有一点，使，即是方程的一个正根。

因时，，单调增，所以，时， 只有一个零点，即方程只有一个正根。 定义设在的邻域内有定义，对邻域内任意异于的点 （1）如果有，则称为的一个极大值，为极大值点； （2）如果有，则称为的一个极小值，为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 定理（极值存在的必要条件） 设在可导且在取得极值，则。

如何求函数的极值，首先要找出可能取得极值的点，由上面定理知，驻点是可能取得极值的点，另外，不可导的点也是可能取得极值的点，如：在处。 所以，可能取得极值的点为：驻点 和不可导的点。 对于上述点还要做出判断，是否取得极值，如： 在处，，但不是极值。下 面给出极值 存在的充分条件。 定理（极值存在的充分条件）

导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

高等数学习题及解答(极限-连续与导数)

高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月

第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立

3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3） （4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为： 所以： （4） 因为：111n n ≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =

函数连续与导数

第三讲 函数连续与导数 一、一点连续的定义 1、 设f 在某0()U x 内有定义且0 0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在0x 连续； 2、 设f 在某00()(())U x U x +-内有定义且0000()()(()())f x f x f x f x +=-=，则称f 在0x 右（左）连续； 3、 f 在0x 连续000,0:|||()()|x x f x f x εδδε??>?>-?>∈?-<； f 在0x 左连续000,0:(,)|()()|x U x f x f x εδδε-??>?>∈?-<. 4、0 00 00(,) (,) lim ()lim sup (),lim ()lim inf ()x x x U x x x x U x f x f x f x f x δδδδ→→+→+∈→∈==； 00,(,) ()lim ()lim ()lim sup (()())f x x x x x x U x x f x f x f x f x δδω→→+'→∈'=-=-； f 在0x 连续0()0f x ω?=. 5、 间断点： 1） 第一类间断点：可去间断点：0 0lim ()()x x f x f x →≠；跳跃间断点00()()f x f x +≠-； 2） 第二类间断点：0()f x +与0()f x -至少有一个不存在. 二、性质： 1、 局部有界性： 2、 局部保号性： 3、 四则运算： 4、 复合函数连续性：若f 在0x 连续，g 在00()u f x =连续，则g f 在0x 连续. 5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点. 三、区间上连续函数及性质 1、 若函数f 在区间I 上的每一点都连续（对于区间端点单边连续），则称f 为区间I 上的连续函数。 2、 闭区间上连续函数的性质： 1）(最大与最小值定理)若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有最大与最小值. 2）(有界性定理) 若([,])f C a b ∈,则f 在[,]a b 上有界. 3）（介值定理）若([,])f C a b ∈，则([,])f a b 为闭区间. 4）（反函数的连续性）若f 在[,]a b 上严格单调且连续，则1 f -在闭区间([,])f a b 上连续. 四、一致连续

一致连续函数性质的应用(I)

1、设函数()f x 在区间[,]a b 上可导， 证明()f x 在[,]a b 上一致可导的充分必要条件是()f x '在[,]a b 上连续。 这里()f x 在[,]a b 上一致可导是指：对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈， 当0||x y δ<-<时，就有()() ()f y f x f x y x ε -'-<-成立。 证明 充分性 设()f x '在[,]a b 上连续，于是()f x '在[,]a b 上一致连续， 对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，当||x y δ-<时，就有 ()()f x f y ε''-<成立； 对任意,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<，存在ξ位于,x y 之间，使得 ()()()()f x f y f x y ξ'-=-， 显然||x ξδ-<，()()f f x ξε''-<， 于是()() ()()()f y f x f x f f x y x ξε -'''-=-<-， 即得()f x 在[,]a b 上一致可导； 必要性 设()f x 在[,]a b 上一致可导， 注到,x y 的地位对称， 因此有对任给0ε>，存在0δ>，当,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<时， 就有()()()f y f x f x y x ε-'-<-，()() ()f y f x f y y x ε -'-<- 从而 ()() f x f y ''-()()()()() ()2f y f x f y f x f x f y y x y x ε --''≤ -+-<--， 故得到()f x '在[,]a b 上一致连续，因此()f x '在[,]a b 上连续。 2、设函数()f x 在区间I 上非李普希兹连续， 证明()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：对任给的0ε>，总存在正数M ，

处处不可导连续函数

教案 数学分析中一个反例的教学 复旦大学 陈纪修 金 路 邱维元 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例：处处连续处处不可导的函数，以及这一反例对数学学科发展的影响；介绍德国数学家Weierstrass 的生平与对数学分析所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家Weierstrass 的贡献，使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用，认识到数学家如何通过从提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，从而使学生在今后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 （1）德国数学家Weierstrass 的简单介绍 同学们，前一阶段，我们学习了函数项级数一致收敛的理论，有了这一基础，我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于Weierstrass 的。关于Weierstrass 这个名字，我们并不陌生（我们已学过以他的名字冠名的定理有：有界数列必有收敛子列，函数项级数的Weierstrass 判别法等），在以后的学习中，你们将会不断遇上Weierstrass 这个名字。Karl Weierstrass （1815—1897）是19世纪德国数学家，他在数学的许多领域都作出了重大贡献，其中不少成果是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院士。他是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论；关于连续函数的分析定义（即δε-语言）也是他给出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化。 （2）处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。 但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ()∑∞== 0cos )(n n n x b a x f ，b a <<<10， 1>ab 。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的： 设?(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则?(x ) = 0.26；当x = 3.67，则?(x ) = 0.33。显然?(x )是周期为1的连续函数，且2/1)(≤?x 。 注意当y x ,]21,[+∈k k 或]1,2 1[++k k 时，成立|||)()(|y x y x -=-??。 Van Der Waerden 给出的例子是：

微积分十大经典问题

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。

函数的连续性与函数的导数

函数的连续性与函数的导数 函数的连续性是函数的重要性质。常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。 连续函数具有下面两条重要性质： 1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。 2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)0，b>0）。 解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b +=, 图形面积为22 002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。 此时y 0 。故所求点为P 时，所围面积最小。 评注：题中所给曲线实际上是椭圆22 221x y a b +=在第一象限的部分。求圆锥曲线的切线的传统方法是利 用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。这种方法计算量较大 而且不能推广到其它曲线的切线的求法。而利用导数求切线斜率是通法。如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。 例2（Ⅰ）已知0，函数f(x)是递增函数。 ∴当x=13时，函数f(x)=(1+x 2 )(2-x)取得最小值5027 。 （Ⅱ）显然a ，b ，c ∈（0，1），由（Ⅰ）的结论，得(1+x 2 )(2-x)5027≥， 2127 (1)50 1x x ≤-+。（*） 在（*）里，取x 为a ，b ，c ，得三个不等式，2127(2)501a a ≤-+，2127(2)501b b ≤-+，2127 (2)501c c ≤-+， 叠加，得 2221112727[6()]50 10111a b c a b c ++≤-++=+++。 例3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x ，g(x)=xlnx 。 （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0

魏尔斯特拉斯函数

在数学中, 魏尔斯特拉斯函 数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。 构造 魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是： :$f(x)=\; \backslash sum\_\{n=0\}\; ^\backslash infty\; a^n\; \backslash cos(b^n\; \backslash pi\; x)$, 其中

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）1 2 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）

第三讲 函数的连续性与导数、微分的概念

第三讲 函数的连续性与导数、微分的概念 一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若()f x 为是连续函数， 且()()01,10f f ==， 则1lim sin x f x x →∞??= ??? ( ) A ． -1 B ．0 C ．1 D ． 不存在 解： 原式 1sin 1lim sin lim 1x x f x f x f x x →∞→∞??????=????????? ?连续()10f ==，选B 2． 要使()()ln 1m x f x kx =+在点0x =处连续，应给()0f 补充定义的数值是( ) A ． km B ． k m C ． ln km D ． km e 解：()00lim ln lim(1)m x x x f x kx →→??=+???? 0lim ln ln x m kx km x e e km →?=== ()0f km ∴= 选A 3．若lim ()x a f x A →=，则下列正确的是 （ ） A ． ()lim x a f x A →= B ． x a →= C ． ()lim x a f x A →=- D ． lim ()x a f x A →= 解： x →=选B

4．设()()(),00,0f x x F x x f x ?≠?=??=? 且()f x 在0x =处可导，()00,f '≠ ()00f =,则0x =是()F x 的 ( ) A ． 可去间断点 B ． 跳跃间断点 C ． 无穷间断点 D ． 连续点 解：()()()()000lim lim 0,0 x x f x f F x f x →→-'==- ()()00f f '≠()()()000lim 0x F f F →∴=≠，故0x =是()F x 的第一类可去间断点。选A 5．()1sin ,00,0 x f x x x x ??=≠??=?在0x =处 ( ) A ． 极限不存在 B ．极限存在但不连续 C ．连续但不可导 D ．可导但不连续 解：()001lim lim sin 0x x f x x x →→=?= ，且()00f = ()f x ∴在0x =连续，又()0f ' 01sin 0lim 0 x x x x →-==-不存在，()f x ∴在0x =不可导 选C 6．设()21,1,1 x x f x ax b x ?+≤=?+>?在1x =可导，则,a b 为 （ ） A ． 2,2a b =-= B ． 0,2a b == C ． 2,0a b == D ． 1,1a b == 解：（1）()f x 在1x =连续， ()()211 lim 12,lim x x x ax b a b -+→→∴+=+=+ 故()21a b +=? （2）()()2111lim 2,11 x x f f x --+→-''==-

讲函数的连续性与导数微分的概念

第二讲：函数的极限与洛必达 法则 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A ． sin lim 1x x x →∞= B ． sin lim sin x x x x x →∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞ = D ． limarctan 2 x x π →∞= 解：011sin lim sin lim x t t x t x x t →∞→=Q ∴选C 注： sin lim 0; sin 110lim 1sin 101lim arctan ,lim arctan 22x x x x x A x x x B x x D x x ππ →∞→∞→-∞→+∞ =- - ==++ =-=+ 2． 下列极限正确的是（ ） A ． 1 lim 0x x e -→= B ． 10 lim 0x x e + →= C ． sec 0 lim(1cos ) x x x e →+= D ． 1lim(1)x x x e →∞ += 解：10 1 lim 0x x e e e - -∞ ∞ →== =Q ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞ 3． 若()0 lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则 下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 1 lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()0 lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞ ∞Q ∴选D 4．若()0 2lim 2x f x x →=，则()0lim 3x x f x →= （ ） A ．3 B ． 13 C ．2 D ．1 2 解：()() 002 323lim lim 32x t t x x t f x f t →→= ()021211lim 23323 t f t t →= =?= ∴选B 5．设()1 sin (0)0(0)1 sin (0) x x x f x x x a x x ?? 且()0 lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0 sin lim 1,x x x →= =Q

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系

全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系 朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192 摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。 关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续 对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的． 一、 全微分、偏导数和连续三者之间的关系 定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在． 定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分． 读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不 一定存在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微． 偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续． 二、 全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系

定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立． 例1 ：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x ?→??-=?? 故z =在点(0,0)处对x 的偏导数不存在， 同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由定理1 z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在． 但z =在点(0,0)处沿任意方向的方向导数为 即任意方向上的方向导数存在． 三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系 咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如： 例2： 2 222422,0,0,0,xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 它在任意方向上的方向导数为： 这一结果表明2 222422,00,0xy x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在． 但是222001lim (0,0)2 y x x x z z x x ++ →→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在． 证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为：

连续函数的一个性质及其应用

一元连续函数的一个性质及其应用 叶留青 杨秀芹 焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454001 树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。 1.关于一元连续函数的一个性质定理 设()m f x x =，则幂平均不等式可表示为 （1）()1111n n i i i i f x f x n n ==?? ≥ ???∑∑其中0i x >()1,2, ,i n =，1m ≥ （2）()1111n n i i i i f x f x n n ==?? ≤ ??? ∑∑其中0i x >()1,2, ,i n =，01m <≤ 1.1引理 设()f x 是区间Q 上的连续函数，,(1,2,,1)i x Q i n ∈=+，且1231n x x x x +≤≤≤ ≤。 用() n M 表示点()1111,n n i i i i x f x n n ==?? ??? ∑∑（下同），则点()1n M +在以点()n M 和点()()11,n n A x f x ++为端 点的线段() n M A 上。 证明 因为 ()()()1 11 11 111111111111n n i i i i n n i i i i n n x f x n n x f x n n x f x ==++==++++∑∑∑∑＝()() () () 1 1 1 1 1 1 1 11 111 n n i i i i n n i i i i n n x f x n x f x n n n x f x ==++==++++∑∑∑∑ ＝ () () () () 111 1 1 11 11 n n i i i i n n i i i i n n x f x n x f x n n n x f x ====+++∑∑∑∑＝0 基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803） 作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人， 硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。

函数的可导性与连续性的关系教案汇总

函数的可导性与连续性的关系教案 教学目的 1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件． 2．使学生了解左导数和右导数的概念． 教学重点和难点 掌握函数的可导性与连续性的关系． 教学过程 一、复习提问 1．导数的定义是什么？ 2．函数在点x0处连续的定义是什么？ 在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以

∴f(x)在点x0处连续． 综合(1)(2)原命题得证． 在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系． 二、新课 1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．

∴f(x)在点x0处连续． 提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明． 如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导． 例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0)处没有切线． 证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|， ∴函数y=|x|在点x0处是连续的．

2．左导数与右导数的概念． (2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)． (3)函数在一个闭区间上可导的定义． 如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导． 三、小结 1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件． 2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件． 3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件． 四、布置作业

例函数在点可导但点不解析,即在的邻域内其他点不可导

例：函数2 )(Re )(z x f w ==在0=z 点可导但0=z 点不解析，即在0=z 的邻域内其他点不可导。 先看2)(Re z 是否可导，即极限0 )0()(lim 0--→z f z f z 是否存在。 0Re )Re (lim )(Re lim 0)0(Re )(Re lim 020220===--→→→z z z z z z z z z z (0Re 0→=z z ) 所以2 )(Re z 在0=z 点可导。 下面看它在0=z 点是否解析，即在0=z 邻域中一点上述极限是否存在。 例：iy x z f w -==2)( 解： ???-==y v x u 2??????????????-=??=??=??=??1002y v x v y u x x u C-R 条件要求y v x u ??=??即12-=x 。 得2 1-=x （0u =??-=??x v y 自动满足） 这说明这个函数只在直线21- =x 上满足。 因此这个函数在2 1-=x 可导。 在全平面处处不解析（2 1-=x 上点的邻域个点不满足C-R 条件）。 例：有实部2 2y x u -=确定该解析函数 解： 1.验证u 调和：0222222=-=??+??=?y u x u u 2.确定u 的共轭调和函数v 有C-R 条件

x x u y v 2=??=?? ① +=?xy v 2ζ)(y （即将x 2对y 积分?xdy 2） y y u x v 2=??-=?? ② 由+=xy v 2ζ)(y 得+=??x y v 2ζ)('y 与①式对比得ζ)(' y 0= ? ζconst y =)( 所以c xy v +=2 所以)2(22c xy i y x iv u z ++-=+= 例：将??? ????--=+=2* 2*z z i y z z x 表示成*),(z z f （其实任何二元函数*),(z z f 都可以这样表示） 下面我们来证明对*,z z 求导可写成 ?????????+??=????-??=??)(21*)(21y i x z y i x z 证明： iv u f += )()(0z f z f f -=? v i u f ?+?=? 其中??? ??????+??=??+??=Δy Δx v Δv Δy Δx u Δu y v x y u x 所以y y v i y u x x v i x u v i u f ???+??+???+??=?+?=?)()( y y f x x f f ???+???=?

连续函数的导数与性质

连续函数的δ导数与性质 杨根尚 (数学与信息学院数学与应用数学专业00级5班) 摘要 文［1］关于连续函数的δ导数的研究表明，在采样点无限增多的情形下，它与有限离散函数概念相一致；在极限情形下，它与常规意义下连续函数导数概念相一致。它具有与常规意义下导数相类似的性质。但不能将常规意义下的导数的性质都平移到连续函数的δ导数中来，本文给出了这样两个连续函数乘积的δ导数的性质定理。 关键词：连续函数；δ导数；最佳平均逼近直线 1 引言 文［3］对有限离散函数导数概念作了研究。文［1］在文［3］的基础上，引入了连续函数的δ导数新概念并研究了δ导数的一些性质。结果表明它与常规意义下的导数有相类似的性质。本文是在文［1］的基础上继续讨论了连续函数的δ导数的性质，给出了两个连续函数乘积的δ导数的性质定理，同时将文［1］中性质3用另一种方法给予了证明。 2 连续函数的δ导数的定义 定义1［1］ 设函数)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，0x 为),(b a 内一点， δ为一正数，满足],,[],[0 0b a x x ?+-δδ我们称 dx x x dx x f x f x x x x x x 2 000)()]()()[(0000---? ?+-+-δ δ δ δ 为) (x f y =在点0x 的δ导数，记为 .0 x x x y =δδ 由于)(x f y =是],[b a 上的连续函数，因此上面引入的δ导数有意义。这说明只要 )(x f y =在],[b a 上连续，则它的δ导数就存在。而在常规意义下，连续函数的导数不一 定存在。 例如，按照本文的定义，函数x y =在0=x 点的δ导数为：