处处不可导的连续函数
定理设在上连续在内可导
定理设在上连续，在内可导， （1）在内，，则在上单调增； （2）在内，，则在上单调减。 对函数，如何求出的单调增减区间呢？ 从图中可看出，应先找出单调增减区间的分界点，哪些点可能成为分界点呢？
如果在可导且是单调增减的分界点，则，所以，使的点可能是单调增减分界点； 定义使的点称为的驻点。 另外，不可导的点也可能成为分界点， 如：在处不可导，但时，单调减，时，单调增。 所以，可能的单调增减分界点有：驻点和不可导的点。 求的单调增减区间的方法： （1）确定的定义域；图5-5 （2）找出的驻点和不可导的 点，用这些点将定义区间分成若干个小 区间； （3）在每个小区间上用的符 号判定。 例1求的单调区间。 解：定义域
驻点：（没有不可导的点） 列表 － 所以，在和内单调增，在内单调减。例2讨论函数的单调性。 解：定义域 驻点：，不可导的点： 列表 － 例3 利用单调性证明：时，有
证：设 当时， 在内单调增，又 既时，有 例4证明：方程只有一个正根。 证明：设 因，又在[0，1] 上连续，由零点存在 定理， 在（0，1）内至少有一点，使，即是方程的一个正根。
因时，，单调增，所以，时， 只有一个零点，即方程只有一个正根。 定义设在的邻域内有定义，对邻域内任意异于的点 （1）如果有，则称为的一个极大值，为极大值点； （2）如果有，则称为的一个极小值，为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 定理（极值存在的必要条件） 设在可导且在取得极值，则。
如何求函数的极值，首先要找出可能取得极值的点，由上面定理知，驻点是可能取得极值的点，另外，不可导的点也是可能取得极值的点，如：在处。 所以，可能取得极值的点为：驻点 和不可导的点。 对于上述点还要做出判断，是否取得极值，如： 在处，，但不是极值。下 面给出极值 存在的充分条件。 定理（极值存在的充分条件）
处处不可导连续函数
教案 数学分析中一个反例的教学 复旦大学 陈纪修 金 路 邱维元 教学内容 讲授数学分析发展历史上一个重要的反例：处处连续处处不可导的函数，以及这一反例对数学学科发展的影响；介绍德国数学家Weierstrass 的生平与对数学分析所作的贡献。 指导思想 通过讲授处处连续处处不可导的函数的例子与介绍德国数学家Weierstrass 的贡献，使学生掌握函数项级数一致收敛理论的重要应用，认识到数学家如何通过从提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，从而使学生在今后的学习中重视对反例的探讨。 教学安排 （1）德国数学家Weierstrass 的简单介绍 同学们，前一阶段，我们学习了函数项级数一致收敛的理论，有了这一基础，我们可以来介绍一个在数学分析中非常重要的内容。这个结果是属于Weierstrass 的。关于Weierstrass 这个名字，我们并不陌生（我们已学过以他的名字冠名的定理有：有界数列必有收敛子列，函数项级数的Weierstrass 判别法等），在以后的学习中，你们将会不断遇上Weierstrass 这个名字。Karl Weierstrass （1815—1897）是19世纪德国数学家，他在数学的许多领域都作出了重大贡献，其中不少成果是在他做中学教师时取得的。后来他被聘为柏林大学教授和法国巴黎科学院院士。他是数学分析基础的主要奠基者之一，是把严格的数学论证引进分析学的一位大师。Weierstrass 利用单调有界的有理数数列来定义无理数，从而在严格的逻辑基础上建立了实数理论；关于连续函数的分析定义（即δε-语言）也是他给出的，这些贡献使得数学分析的叙述精确化，论证严格化。 （2）处处连续处处不可导的函数 在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。 在当时，由于函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，这个猜想是正确的。 但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结： ()∑∞== 0cos )(n n n x b a x f ，b a <<<10， 1>ab 。 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的： 设?(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则?(x ) = 0.26；当x = 3.67，则?(x ) = 0.33。显然?(x )是周期为1的连续函数，且2/1)(≤?x 。 注意当y x ,]21,[+∈k k 或]1,2 1[++k k 时，成立|||)()(|y x y x -=-??。 Van Der Waerden 给出的例子是：
微积分十大经典问题
这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。
魏尔斯特拉斯函数
在数学中, 魏尔斯特拉斯函 数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。 构造 魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是： :, 其中
(完整版)多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）1 2 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
例函数在点可导但点不解析,即在的邻域内其他点不可导
例：函数2 )(Re )(z x f w ==在0=z 点可导但0=z 点不解析，即在0=z 的邻域内其他点不可导。 先看2)(Re z 是否可导，即极限0 )0()(lim 0--→z f z f z 是否存在。 0Re )Re (lim )(Re lim 0)0(Re )(Re lim 020220===--→→→z z z z z z z z z z (0Re 0→=z z ) 所以2 )(Re z 在0=z 点可导。 下面看它在0=z 点是否解析，即在0=z 邻域中一点上述极限是否存在。 例：iy x z f w -==2)( 解： ???-==y v x u 2??????????????-=??=??=??=??1002y v x v y u x x u C-R 条件要求y v x u ??=??即12-=x 。 得2 1-=x （0u =??-=??x v y 自动满足） 这说明这个函数只在直线21- =x 上满足。 因此这个函数在2 1-=x 可导。 在全平面处处不解析（2 1-=x 上点的邻域个点不满足C-R 条件）。 例：有实部2 2y x u -=确定该解析函数 解： 1.验证u 调和：0222222=-=??+??=?y u x u u 2.确定u 的共轭调和函数v 有C-R 条件
x x u y v 2=??=?? ① +=?xy v 2ζ)(y （即将x 2对y 积分?xdy 2） y y u x v 2=??-=?? ② 由+=xy v 2ζ)(y 得+=??x y v 2ζ)('y 与①式对比得ζ)(' y 0= ? ζconst y =)( 所以c xy v +=2 所以)2(22c xy i y x iv u z ++-=+= 例：将??? ????--=+=2* 2*z z i y z z x 表示成*),(z z f （其实任何二元函数*),(z z f 都可以这样表示） 下面我们来证明对*,z z 求导可写成 ?????????+??=????-??=??)(21*)(21y i x z y i x z 证明： iv u f += )()(0z f z f f -=? v i u f ?+?=? 其中??? ??????+??=??+??=Δy Δx v Δv Δy Δx u Δu y v x y u x 所以y y v i y u x x v i x u v i u f ???+??+???+??=?+?=?)()( y y f x x f f ???+???=?