二元关系的传递性的矩阵判别
二元关系传递性的矩阵判别法
摘要：通过关系矩阵M R研究有限集合上关系R的性质既直观又迅速，在有关二元关系的自反、反自反、对称、反对称以及可传递的研究中，前四种性质已有了关系矩阵判别方法。而可传递关系R的特征较为复杂，所以不易从其关系矩阵M R中直接判别。本文对有限集合上的可传递关系进行了一般的讨论，并给出了定理及其证明，在此基础上给出通过其关系矩阵M R判别关系R的可传递性的方法，使得对可传递关系的判别变得非常简洁、有效。判断一个二元关系是否具有传递性，从定义与关系图的方法比较繁琐，利用关系矩阵判断其传递性,能避免繁琐的过程，文中通过对二元关系传递性定义的深入分析, 利用关系矩阵中元素的特点与关系，通过深入研究二元关系性质和相关定理，提出了四种利用关系矩阵判断传递性的有效方法，分别为中途点判别法、复合矩阵法、十字型法、传递闭包法，同时给阐述了各方法的实用性，给出了利用关系矩阵判定二元关系传递性的简捷高效的算法，具体算法在计算机上能够高速有效的运行，然后对传递性程度进行了研究，具有一定的理论价值跟现实价值。
关键词：二元关系；传递性；关系矩阵；传递闭包；
Matrix Criterion For Transitive of Binary Relation Abstract:Through the relationship matrix M R,studying the nature of a finite set of relations R is intuitive and fast, in the reflexive anti-reflexive,symmetric, antisymmetric and transitive binary relations study, the nature of the first four have a relationship matrix Identification methods. But transitive relation R is complicated, so It is not easy to determine directly from their relationship matrix M R. In this paper, it passed on a general discussion of a finite set of the transitive relationship , and gives the theorem and its proof, on this basis, identification methods for transitive of the relationship R is given by matrix M R so that the identification for transitive of the relationship R could be passed very simply and effectively. Determining whether a binary relation is transitive or not is more complicated from the definition and diagram, the use of relation matrix can avoid the cumbersome process, the paper proposed four effective methods with relationship matrix through in-depth analysis
for the definition of binary relation , the use of Characteristics and relationship of
the elements in relationship matrix and through studying the nature of binary relations and related theorems,whichwere half-way point criterion, composite matrix,
cross-shaped method, transitive closure Method, the methods were also be explained the practicality, the paper also given some simple and efficient algorithms based on relation matrix and the specific algorithms can run fast and effective in the computer, then the degree of transmission was studied ,has some theoretical value and the actual value.
Key words:Binary relation ;Transitive ;Relationship Matrix ;Transitive closure;
1
2
1 前言
首先，二元关系是离散数学中一个重要的内容，是以有序对为元素的集合。定义在某一集合上的二元关系有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等性质。研究这些性质对掌握二元关系在计算机中的应用相当重要，尤其是需要通过综合各种性质来进一步研究等价关系，偏序关系等多种关系。实际判定某个二元关系的性质时，传递性的判定是比较复杂的。如何能够简捷高效地判断二元关系的传递性极其重要。
其次，等价关系主要是研究集合中的个体即元素间的同一性问题的重要工具。它在模式识别、模糊分析、数字电路设计、数据库理论分析等众多学科中都有广泛的应用正因为如此,才使得等价关系在集合论中占据着举足轻重的位置。离散数学的知识告诉我们，当一个关系同时具有自反性、对称性及传递性时,才能称这个关系为等价关系,也就是说,要判断一个关系是否为等价关系,就必须判断它是否同时具有自反性、对称性及传递性。于是判断传递性成为了判断等价关系的一个难点，而判定一个关系是否具有传递性通常有定义法、关系图法及关系矩阵法3种方法，但当一个给定的集合的元素个数较多时,如何能简便快捷地作出判断却不是一件容易的事。这里在判定传递性的理论基础上，给出了传递性的几个矩阵判别法,并在计算机上实现了具体算法。
再次，二元关系的传递性的理解及判断是教学的一个难点,特别是当集合的元素个数较多时,其判断较为困难。但通过二元关系的关系矩阵来讨论并通过C++语言用计算机来进行判断就会容易一些,若给定一个二元关系,根据对应的关系矩阵的不同特征就可得到关系不同的性质。
最后，判断一个二元关系是否具有传递性,用定义与关系图的方法比较繁琐,利用关系矩阵判断其传递性,能避免繁琐的过程，本文通过深入研究二元关系性质和相关定理，给出了利用关系矩阵判定二元关系传递性的简捷高效的算法，并给出具体算法在计算机上实现的结果，并对传递性程度进行了研究，具有一定的现实价值。
2 准备知识
2.1 定义的简述
定义1[1]：设A ,B 是两个集合，集合B A ?的子集R 称为从A 到B 的二元关系，特别地，当B A =时(记作X ),R 称为X 上的二元关系,简称关系。 定义2[1]：对任意集合A ，定义A 上的恒等关系
}|,{A x x x I A ∈><=
定义3[1]：设R 为A 上的关系，若
),,,,,(R z x R z y R y x A z y x z y x >∈→<>∈<∧>∈<∧∈???
3 则称R 为A 上传递的关系。
定义4[1]：设F ，G 为二元关系, G 对的F 右复合记作G F ，其中
{}),,(|,G y t F t x t y x G F >∈<∧>∈<=
定义5[1]：设{},,,21n x x x A =，R 是A 上的关系。令
????
?=j
i j i ij Rx x Rx x r 若若0
1),,2,1,(n j i =
则
?
????
???????=nn n n n n ij r r r r r r r r r r 2
1
22221
11211
)(
是R 的关系矩阵，记作R M 。
定义6[1]：设R 为A 上的关系，n 为自然数，则R 的n 次幂定义为 (1) A I A x x x R =∈><=}|,{0 (2) R R R n n =+1
由以上定义可知，对于A 上的任何关系1R 和2R 都有
A I R R ==0
201
也就是说，A 上的任何关系的0次幂都相等，都等于A 上的恒等关系。如果R 是用关系矩阵M 给出的，则n R 的关系矩阵是n M 即n 个矩阵M 之积。与普通的矩阵乘法不同的是，其中的相加是逻辑加，即1+1=1, 1+0=1, 0+1=1, 0+0=0。
2.2 定理及证明
定理 设R 为A 上的关系，则
R R R A R ?? 上传递在
证明 必要性：任取> ) (,),,(,上是传递的在因为A R R y x R y t R t x t R R y x >∈?<>∈<∧>∈∈< 所以R R R ? 。 4 充分性：任取R z y y x >∈<><,,,，则 ) (,,,,R R R R z x R R z x R z y R y x ?>∈?<>∈?<>∈<∧>∈< 因为 所以R 在A 上是传递的。 因为关系的性质如传递性不仅反映在它的集合表达式上，也明显地反映在它的关系矩阵和它的关系图上。见表1 表1 传递性的各种表达 3 方法的提出及分析 3.1 方法一：中途点判别法 设R 是非空集合A 上的二元关系。如果 c b b a R c b R b a ≠≠>∈<>∈<,,,,， 则我们称点b 是关系R 的一个“中途点[12]”。 R 具有传递性，强调的正是对R 中每一个这样的中途点b ，从所有对应的起点a 到所有对应的终点c 之间必有关系R ，即必有R c a >∈<,。注意这里有可能 c a =。 传递性定义的否定形式为：R 不具有传递性?R 中存在某个中途点b ， c b b a R c b R b a ≠≠>∈<>∈<,,,,,但R c a >?<,。 由此得到一种重要的特殊情况是：“当R 中没有这样的中途点时，R 一定具有传递性”。特别，空关系Φ和恒等关系I 都具有传递性。据此在关系矩阵 性质 表示 传递性 集合表达式 R R R ? 关系矩阵 M M ?2 关系图 如果顶点i x 到j x 有边，j x 到k x 有边，则从i x 到k x 有 边 5 n n ij a A ?=)(上的反映如下： R 具有传递性?若对每一个)2,1(n k a kk ，， =存在j i ,使得1==kj ik a a ，则必有1=ij a 。R 不具有传递性?A 中存在某个k ，使得1==kj ik a a ，但是0=ij a 。 于是由此可以得到传递关系R 的中途点判别法： 1) 依次选取A 中主对角线上元素),,2,1(n k a kk =(并以此元素为中心点划横、 纵线各一条，即在第k 行与第k 列上各划一条线，可用实线表示)； 2) 对第k 行元素中依次找出所有非零元素，设为)1(n j a kj ≤≤， (并在此元素所 在的第j 列上划一条线，可用虚线表示)，显然，1=kj a ； 3) 对第k 列元素中依次找出所有非零元素，设为ik a (并在此元素所在的第i 行上 划一条线，可用虚线表示)，显然，1=ik a ； 4) 判别:若2)、3)中两条虚线的交点处的元素非零，则可以判别关系R 是可传 递的，反之则不是(见图1)。 图1 中途点判别法示意图 例1：已知 },,,,,,,,,,,,,{},,,,,,{><><><><><><><==e e d e c e c d c b c a b a R f e d c b a A ，试 判断R 的传递性。 解：先写出R 的关系矩阵M 6 ?? ? ??? ??? ?????? ?????=100000 001100000100000000000100000110M 当1=k 时，第一列元素全为0，当2=k 时，对第二行、第二列画实线寻找1元 素可得11223==a a ，然后对第三列、第一行画虚线可得113=a ，如下图2所示。 图2 k=2判别示意图 当3=k 时，第三行元素全为0，当4=k 时，对第四行、第四列画实线寻找1元素可得15443==a a ，然后对第三列、第五行画虚线可得153=a ，如下图3所示。 图3 k=4判别示意图 当5=k 时，第五列元素全为0，当6=k 时，只有166=a ，显然成立。 综上得此关系是传递的。此种方法尤其适用于关系矩阵阶数较小时的判断。 3.2 方法二：复合矩阵法 设M 是R 的关系矩阵，],[j i M 表示第i 行第j 列的元素。根据上面定理即R 具 有传递性?M M ?2，只要考查关系矩阵M 中的零元素，当0=ij a 时，看2M 中对应位置的ij b 是否为零，若0=ij b ，这说明R 是传递的，若1=ij b ，则R 不是传 7 递的。 如例1题得 ????????????????????=100000001100000100000000000100000110M ????????? ???????????=1000000001000000000000000000000001002 M 由复合矩阵判断法得此关系是可传递的。 此种方法尤其适用于零元素个数较少时的判断。 3.3 方法三：十字型法[8] 如下图所示，若n i k i a ik ,,2,1,,1 =≠=，在第i 行上画一条横线，若还有 n j j k a kj ,,2,1,,1 =≠=，则在第j 列画一条竖线,则它们交于ij a 处,若1=ij a ，则 R 是可传递的；若0=ij a ，则R 不是可传递的。若1,1==kj ik a a ，并有j k =，则作的两条线能交于1=ik a 处。故可略去不作,此法也适用于零元素较多的情形(见图4)。 图4 十字型判别法示意图 同样对例题1进行判别， 8 ?? ? ??? ??? ? ????? ?????=100000001100000100000000000100000110M 其中12312==a a ，于是对第一行第三列画实线交于13a ，且113=a ；又有 14354==a a ，同样对第五行第三列画实线交于53a ，且153=a ，所以由十字型判别法得此关系传递。见图5. 图5 判别示意图 3.4 方法四：传递闭包法 传递闭包的定义：设R 是非空集合A 上的关系，R 的传递闭包是A 上的关系 'R ，使得'R 满足以下条件： 1) 'R 是传递的 2) 'R R ? 3) 对A 上任何包含R 的传递关系''R 有'''R R ? 传递闭包记作)(R t 。根据传递性的定义可知R 是传递的当且仅当R R t =)(。故根据Warshall 算法[1]： 1) 置矩阵M ； 2) 置1=j ； 3) 对所有i ,如果1],[=j i M ，则对n k ,,2,1 =，置],[],[],[k j M k i M k i M +=； 4) 1+=j j ； 5) 如果n j ≤，则转到步骤(3)，否则停止。 可算出传递闭包矩阵，再比较是否与原关系矩阵相等，若相等则此关系是传递的， 9 否则不传递。根据Warshall 算法的特点,只要将矩阵的行之间作对应逻辑加即可断定R 是否是传递关系，即对于关系矩阵M 中的非零元1=ij a 将第j 行元素对应加到(逻辑加)第i 行元素上去，如果运算后,矩阵有变化,则R 不是可传递的，如果矩阵没变化，则R 是可传递的。此类算法适用于零元素较多的矩阵。 同样对例题1进行判别， ????????? ???????????=100000001100000100000000000100000110M 由Warshall 算法计算的矩阵序列如下所示： 因为第一列元素全为1故1M 不变，得 ?? ? ??? ??? ? ????? ?????=100000 0011000001000000000001000001101M 又因为1M 中第二列有112=a ，所以把第二行加到（逻辑加）第一行得2M ， ? ? ? ??? ???? ????? ???? ?=1000000011000001000000000001000001102M 同样对2M 的第三列寻找非0元素，有153432313====a a a a ，于是依次把第三行的元素加到第一、二、四、五行得3M 。 ?? ? ??? ??? ? ????? ?????=100000 0011000001000000000001000001103M 同理可算得 10 ?? ? ??? ??? ? ????? ?????===100000001100000100000000 000100000110654M M M 又因为()6M R t =，且M M =6，由传递闭包判别法得此关系是可传递的。 显然就这么笔算，显得有点复杂，为了简便，本文将其算法在计算机用C++ 给予了实现，如下： #include main() { int n,k,j,i,flag3=1; printf("输入关系矩阵的维数n:"); scanf("%d",&n); FILE *fp; int m1[n][n],m3[n][n]; fp=fopen("关系矩阵1.txt","r"); if(fp==NULL) { printf("cannot open 关系矩阵1.txt\n");exit(0); } for(k=0;k fscanf(fp,"%d",&m1[k][j]);//把文件中的关系矩阵存在数组m1中 printf("关系矩阵1:\n \n"); for(k=0;k { for(j=0;j printf("%d ",m1[k][j]); printf("\n"); } for(k=0;k { for(j=0;j for(i=0;i { if(m3[i][j]&&(m3[i][k]||m3[j][k])) m3[i][k]=1; } printf("\n关系矩阵1的传递闭包为:\n\n"); for(i=0;i { for(j=0;j printf("%2d",m3[i][j]); printf("\n"); } for(k=0;k for(j=0;j { if(m3[k][j]>m1[k][j]) flag3=0; } if(flag3) printf("\n具有传递性\n\n"); else printf("不具有传递性\n\n"); system("PAUSE"); } 结果如下： 11 12 4 方法的扩展与应用 由于前文介绍的方法在关系矩阵阶数较大，且0元素较少时，直接人脑计算较慢且比较复杂，而计算机的计算速率快，于是在此举例说明并给出相应的具体的程序。 例题2：已知},,,,,{f e d c b a A =，A 上的关系R ， },,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{><><><>><<><><><><><><><><><><><><><><><><><><><=f f d f b f a f e e c e b e a e f d d d a d e c c c b c f b e b c b b b a b f a e a d a b a a a R 判断R 是否具有传递性。 由已知得关系矩阵为 ????????? ???????????=101011010111101001010110110111111011M 显然这矩阵的0元素较少用方法一、三、四较复杂，用方法二相对来说较好，这里就不进行详细解答了，现在就用程序对其实现。 程序如下所示： #include int n; printf("请输入关系矩阵M 的阶数n ："); scanf("%d",&n); FILE *fp; int m1[n][n],m3[n][n]; int t,k,temp,j,flag3=1; fp=fopen("关系矩阵.txt","r"); if(fp==NULL) {printf("cannot open 关系矩阵.txt\n");exit(0);} for(k=0;k fscanf(fp,"%d",&m1[k][j]);//把文件中的关系矩阵存在数组m1中 printf("关系矩阵:\n \n"); for(k=0;k printf("%d ",m1[k][j]); printf("\n");} for(k=0;k { for(j=0;j { temp=0; for( t=0;t temp=temp+ m1[k][t]*m1[t][j];//把m1中的第k行的元素与第j列的元素对应相乘再相加 if(temp>0) temp=1; m3[k][j]=temp;} // printf("%d ",m3[k][j]); // printf("\n"); } for(k=0;k for(j=0;j { if(m3[k][j]>m1[k][j]) flag3=0; } if(flag3) printf("具有传递性\n"); else printf("不具有传递性\n"); system("PAUSE"); } 结果入下： 13 14 5 关系传递性程度判定 当我们已经判断出关系不可传递时，那么离传递性又差多远呢？这问题在实际应用中具有很大的使用价值，于是本文接下来给出了传递性程度的指标，及其具体的实现方法。 5.1 传递性程度指标设定 由传递闭包的定义可知，一个关系R 的传递闭包'R ,满足以下条件： 1) 'R 是传递的 2) 'R R ? 3) 对A 上任何包含R 的传递关系''R 有'''R R ? 故可以说传递闭包'R 是包含关系R 的最小的具有传递性的关系。所以我们可以这样来定义传递性程度指标：集合'R 与集合R 的差所得的集合t R 中元素的个数t 。 当t 越大离传递性越远，反之t 越小越接近于传递。 5.2 传递性程度判别 要知道某个关系R 的传递程度，由5.1可知，我们必须的先求出关系R 的 传递闭包。根据定理：设R 为A 上的关系，则有传递闭包 ???=32)(R R R R t 及推论：设R 为具有n 个元素的有限集A 上的关系，则存在正整数n r ≤使 r R R R R R t ????= 32)( 可以利用关系的复合运算求解关系的传递闭包。以此为基础，可以通过关系的矩阵和关系图来求二元关系的传递闭包。这里就只介绍关系矩阵法设关系R ，)(R t 的关系矩阵分别为M ，)(R M t 。则 n t M M M R M +++= 2)(， 注意这里的矩阵元素相乘为逻辑乘，相加为逻辑加。 利用关系矩阵求传递闭包的方法： 1) Warshall 算法 由3.4可知，这里就不累赘。Warshall 算法比较简单，而且也容易在计算机中实现，但该算法执行所用时间较多，时间复杂度为O(n3)。原因是该算法在执行过程中做了许多空判断。由于关系矩阵M 在绝大部分情况下都是稀疏矩阵，因此对M 中出现的零值只需判断一次即可，从而使时间复杂度降低。 15 2) 改进后的Warshall 算法[5] 改进步骤为： a) 利用已知矩阵M 记录每一行非零元素的列号①i=1，②对j=1,...,n ，若 M[i,j]=1，则把j 值加入到S[i]中，即S[i]=S[i]∪{j}，③i 加1；④若i≤n ，则转②，否则转(b)。 b) 把S[i](i=1,…,n)中出现的元素所在的集合都并S[i]中：①i=1；②对于 j=1,…,n,若j ∈S[i]，则S[i]=S[i]∪S[j]，若i ∈S[j]，则S[j]=S[j]∪S[i]；③i 加1；④若i≤n 转到②，否则转到(c)。 c) 用最后得到的集合S 重新置矩阵M 。①i=1；②对于j=1,…,n ，若j ∈S[i] 且M[i,j]=0，则M[i,j]为1；③i 加1；④若i≤n ，则转到②，否则结束。 例2：设},,,,{e d c b a A =，给定A 上的二元关系R 为： },,,,,,,,,{><><><><><=b e e d a c d b b a R 求传递闭包)(R t 。 Warshall 算法得： ??????? ?????????=00 010 1000000001 010000001 M ????????????????=00010 1000000011 010******* 1M ,??? ???? ? ??? ?? ???==0101 01100 00101 1010000101 032M M ????????????????=11 010 1100011011 110001101 4M , ??????? ?????? ???=11 01 01101 01101111010110 1 05M 显然不可传递，5M 比M 多了11个1，故此关系的传递性程度为11，即此关系还至少相差11步达到传递。 例2中由改进Warshall 算法计算 执行第(a)得集合S 为：S[1]={2}，S[2]={4}，S[3]={1}，S[4]={5}，S[5]={2}； 当执行完第(b)集合S 为 S[1]={2,4,5},S[2]={2,4,5},S[3]={1,2,4,5},S[4]={2,4,5},S[5]={2,4,5}. 当执行完第(c)后，传递闭包5)(M R t =。 可见，其求解结果与采用常规Warshall算法求解结果相同，但此种算法可将算法的时间复杂性降低到O(n2)。 6 小结 判断一个二元关系是否具有传递性,用定义与关系图的方法比较繁琐,利用关系矩阵判 M研究有限集合上关系R的性质既直观又断其传递性,能避免繁琐的过程，通过关系矩阵 R 迅速。本文对有限集合上的可传递关系进行了一般的讨论,并给出了定理及其证明，在此基 M判别关系R的可传递性的方法，使得对可传递关系的判别变础上给出通过其关系矩阵 R 得非常简洁、有效。本文通过对二元关系传递性定义的深入分析，利用关系矩阵中元素的特点与关系，通过深入研究二元关系性质和相关定理，提出了四种利用关系矩阵判断传递性的有效方法，分别为中途点判别法、复合矩阵法、十字型法、传递闭包法，同时给阐述了各方法的实用性，给出了利用关系矩阵判定二元关系传递性的简捷高效的算法，具体算法在计算机上能够高速有效的运行，然后对传递性程度进行了研究，具有一定的理论价值跟现实价值，能够帮助学生正确理解和掌握二元关系传递性这一离散数学中重要知识点。 参考文献 [1] 屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学[M]，北京：高等教育出版社，2008.3 [2] 任磊、王文武，二元关系传递性的判定[J]，邢台职业技术学院学报，2009.2，第26卷 [3] 张玲萍，利用关系矩阵判断二元关系的传递性[J]，宝鸡文理学院学报(自然科学版)，2006 .12,26(4),276-278 [4] 王霞、潘祝山，二元关系性质判定算法的研究与实现[J]，福建电脑，2009,第9期,86-87 [5] 郭键，二元关系传递闭包的几种求取方法分析[J]，网络安全技术与应用，2008.12,76-77 [6] 孙凤芝，有限集上二元关系传递闭包的一种矩阵求法[J]，2007.9,23(5) [7] 孙凤芝，有限集上二元关系传递闭包的构造[J]，2009.11,29(6),44-47 [8]孙凤芝，二元关系传递性的矩阵判别法[J]，大庆师范学院学报，2008.9,28(5),74-78 [9] 赵晓蓉，二元关系传递性判断定理证明及算法实现[J]，黔南民族师范学院学报，2004.3,45-46 [10] 杨思春、王小林，二元关系传递性研究[J]，微机发展，2003.10,13(10),88-89 [11] 李忠，二元关系的传递性的计算机检测法[J]，西南民族学院学报·自然科学版，2000.8,26(3),261-265 [12] 陈显强，二元关系的传递性和传递闭包探讨[J]，数学的实践与认识， 2004.9,34(9),135-136 16 致谢 本论文是在指导老师李炳君讲师的精心指导和悉心关怀下完成的，从课题的选择到论文完成的整个过程，无不倾注李老师的心血与细心指点。李老师严谨求实，敢于探索的治学态度，认真细致的工作作风，渊博的学术知识，不但使本人的学术水平有很大的提高，而且在为人方面也受益菲浅。在论文的写作过程中，耐心的帮我解决所遇到的困难，且始终给予我鼓励和关心，并仔细的审阅和校对了全稿，提出了很多宝贵的意见。在此表示深深的感谢，同时也感谢学院所有老师的教导和帮助。此外还要感谢同学们在撰写论文中给予我的支持和帮助使我深深的感受到同学情谊的珍贵。 最后，我要感谢的是我的父母，亲人和朋友，他们使我感受到责任的重要性，如果没有他们的鼓励和支持，我就没有足够的信心和勇气去迎接生活中的挑战，也没有坚韧的毅力去顺利的完成学业。 17 系统工程理论与实践 SYSTEMS ENGINEERING----THEORY & PRACTICE 2000 Vol.20 No.2 P.122-125 AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法 李梅霞 摘要: 通过分析诱导矩阵与判断矩阵不一致性的关系，提 出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。 关键词: 诱导矩阵； 一致性； 和积法 中图分类号: O223 A New Method for Improving the Consistency of the Comparis on Matrix in AHP LI Mei-xia (Changwei Teachers College, Weifang 261043) Abstract: In this paper, a new method for improv ing the consistency of comparison matrix was presented by analyzing the relatio nship between the induced matrix and the inconsistency of comparison matrix. Keywords: induced matrix; consistency; ANC 1 引言 T.L. Saaty于70年代提出的层次分析法(AHP)为解决多目标决策问题提供了很大的方便，在 社 会、经济、管理中得到了广泛应用。其关键步骤是由专家给出判断矩阵，然后计算排序向量 。因此专家给出的判断矩阵是否能具有满意的 一致性是一个很重要的问题。它直接影响到由此判断矩阵得到的排序向量是否能真实地反映 各比较方案之间的客观排序。因此，对判断矩阵一致性的改进是AHP中一个很重要的内容。 文献［1～3］中提出了几种一致性改进的方法，取得了一定的效果。但是有些方法比较复 杂，有些方法缺乏一定的理论依据，因此寻求一种更好的改进判断矩阵一致性的方法仍具有 重要意义。本文首先定义了一种特殊的矩阵——诱导矩阵，然后通过分析诱导矩阵与判断矩 阵不一致性的关系，提出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。通过多例验证，该方法简 单有效且符合实际。 2 问题的提出 为以后叙述方便，记Ω={1,2,…,n}。 设A=(a ij)n× n为判断矩阵，若其元素满足a ij>0, a ji=1/a ij, a ii=1, i,j∈Ω,则称A为正互反矩阵。若此正互反矩阵又满足a ij=a ik/a jk, i, j, k∈Ω， 则称A为完全一致性矩阵。一般情况下，专家给出 的判断矩阵 很难满足完全一致性条件。文献［4］中指出当时即认为A具有满意的一致性。因此当专家给出的判断矩阵不具有满意一致 性时，可通过征求专家意见，应用合理的方法对判断矩阵的元素进行适当调整，从而使判 断矩阵达到满意的一致性。 文献［5］中指出，“和积法”是一种比较好的计算判断矩阵排序向量的方法。其步骤为 ：设 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 集合论部分 第四章、二元关系和函数 集合的笛卡儿积与二元关系有序对 定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作 不适合交换律A B B A (A B, A, B) 不适合结合律 (A B)C A(B C) (A, B)对于并或交运算满足分配律 A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) A(B C)=(A B)(A C) (B C)A=(B A)(C A) 若A或B中有一个为空集，则A B就是空集. A=B= 若|A|=m, |B|=n, 则 |A B|=mn 证明A(B C)=(A B)(A C) 证任取 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 function [w,CR]=mycom(A,m,RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=lumda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。 一.层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a)建立系统的递阶层次结构； b)构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） c)针对某一个标准，计算各备选元素的权重； d)计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 e)进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图 二元关系传递性的矩阵判别法 摘要：通过关系矩阵M R研究有限集合上关系R的性质既直观又迅速，在有关二元关系的自反、反自反、对称、反对称以及可传递的研究中，前四种性质已有了关系矩阵判别方法。而可传递关系R的特征较为复杂，所以不易从其关系矩阵M R中直接判别。本文对有限集合上的可传递关系进行了一般的讨论，并给出了定理及其证明，在此基础上给出通过其关系矩阵M R判别关系R的可传递性的方法，使得对可传递关系的判别变得非常简洁、有效。判断一个二元关系是否具有传递性，从定义与关系图的方法比较繁琐，利用关系矩阵判断其传递性,能避免繁琐的过程，文中通过对二元关系传递性定义的深入分析, 利用关系矩阵中元素的特点与关系，通过深入研究二元关系性质和相关定理，提出了四种利用关系矩阵判断传递性的有效方法，分别为中途点判别法、复合矩阵法、十字型法、传递闭包法，同时给阐述了各方法的实用性，给出了利用关系矩阵判定二元关系传递性的简捷高效的算法，具体算法在计算机上能够高速有效的运行，然后对传递性程度进行了研究，具有一定的理论价值跟现实价值。 关键词：二元关系；传递性；关系矩阵；传递闭包； Matrix Criterion For Transitive of Binary Relation Abstract:Through the relationship matrix M R,studying the nature of a finite set of relations R is intuitive and fast, in the reflexive anti-reflexive,symmetric, antisymmetric and transitive binary relations study, the nature of the first four have a relationship matrix Identification methods. But transitive relation R is complicated, so It is not easy to determine directly from their relationship matrix M R. In this paper, it passed on a general discussion of a finite set of the transitive relationship , and gives the theorem and its proof, on this basis, identification methods for transitive of the relationship R is given by matrix M R so that the identification for transitive of the relationship R could be passed very simply and effectively. Determining whether a binary relation is transitive or not is more complicated from the definition and diagram, the use of relation matrix can avoid the cumbersome process, the paper proposed four effective methods with relationship matrix through in-depth analysis for the definition of binary relation , the use of Characteristics and relationship of the elements in relationship matrix and through studying the nature of binary relations and related theorems,whichwere half-way point criterion, composite matrix, cross-shaped method, transitive closure Method, the methods were also be explained the practicality, the paper also given some simple and efficient algorithms based on relation matrix and the specific algorithms can run fast and effective in the computer, then the degree of transmission was studied ,has some theoretical value and the actual value. Key words:Binary relation ;Transitive ;Relationship Matrix ;Transitive closure; 1 第4章 二元关系的基本运算与性质 一、选择题（每题3分） 1、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是自反的，1R -为其逆，则必有（ A ） A 、A I R ? B 、1 A R R I -? C 、A R I =? D 、1A R I -=? 2、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反自反的，1R -为其逆，则必有（ C ） A 、A I R ? B 、1 A I R -? C 、A R I =? D 、1 A R R I -= 3、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是对称的，1R -为其逆，则必有（ C ） A 、A I R ? B 、1 A I R -? C 、1R R -= D 、1 A R R I -= 4、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是反对称的，1R -为其逆，则必有（ D ） A 、A I R ? B 、1 A I R -? C 、1 A I R R -? D 、1 A R R I -? 5、 设A I 为集合A 上的恒等关系，而A 上的关系R 是传递的，1R -为其逆，则必有（ B ） A 、2 R R ? B 、2 R R ? C 、1 R R -= D 、1 A R R I -= 6、设R 是集合A 上的自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ B ） A 、全为0 B 、全为1 C 、不全为0 D 、不全为1 7、设R 是集合A 上的反自反关系，则其关系矩阵中主对角线上的元素（ A ） A 、全为0 B 、全为1 C 、不全为0 D 、不全为1 8、设R 是集合A 上的反对称关系，其关系矩阵中的任一元素为ij a ，当i j ≠时，总有（ D ） A 、ij ji a a = B 、1ij ji a a += C 、0ij ji a a = D 、若1,ij a =则0ji a = 9、非空集合X 上的空关系?不具备的性质是（ A ） A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 10、设{1,2,3}A =上的关系R 的关系图如下，则R 不具备的性质为（ A ） A 、自反性 B 、反自反性 C 、反对称性 D 、传递性 11、设R 为{1,2,3}A =上的关系，其关系图如下，则下列为真命题的是（ C ） A 、R 对称，但不反对称 B 、R 反对称，但不对称 C 、R 对称，又反对称 D 、R 不对称，也不反对称 12、设R 为{1,2,3,4}A =上的关系，其关系图如下，则下列为假命题的是（ C ） A 、R 不自反，也不反自反 B 、R 不对称，也不反对称 C 、R 传递 D 、R 不传递 13、{1,2,3,4}A =上的关系{}1 ,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =<><><><><> 只不具备（ C ） A 、 反自反性 B 、 反对称性 C 、对称性 D 、传递性 14、设12,R R 是集合A 上的关系，1 1 12,R R --分别为12,R R 的逆，则下列命题错误的是（ D ） A 、1 111212()R R R R ---= B 、111 1212()R R R R ---= C 、1 111212() R R R R ----=- D 、1111212()R R R R ---= function [w,CR]=mycom(A z m z RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=1umda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 木matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。下而是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。 一?层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP,在20 世纪70 年代中期由美国运筹学家托马斯?塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种 定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用己遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二?层次分析法的基木思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重"是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W,归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a）建立系统的递阶层次结构； b）构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） c）针对某一个标准，计算各备选元素的权重; d）计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 e）进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图 离散数学二元关系传递性判别、闭包方法实验报告 学院：理学院班级：11信息与计算科学1班 姓名：***学号：************* 一、实验目的 1. 通过上机程序，进一步加深对二元关系传递性判别，自反闭包，对称闭包，传递闭 包的理解。 2. 掌握传递性判别，Warshall算法。 3. 学会用程序解决离散数学中的问题。 4. 增强我们编写程序的能力 二、实验内容 实验1：二元关系传递性判别 实验2：有限集上给定关系的自反、对称和传递闭包（用Warshall算法）。 三、实验环境 在microsoft visual c++实验环境下完成的，而所设计的程序也在这个环境下通过了编译，运行和测试。 四、实验原理和实现过程 实验1： #include } cout< 第七章作业 评分要求： 1. 合计100分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置. 1 设R={ n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞ §1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3） 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 第四章二元关系 例1 设A={0,1}，B={a,b}，求A?B ，B?A，A?A 。 解：A?B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>} B?A={ 收稿日期:2006-10-12 作者简介:王万军(1974-),男,甘肃天水人,讲师. 文章编号:1006-4869(2007)01-0063-02一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法 王万军 (甘肃联合大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730000) 摘 要:提出了一种适合层次分析法中一致性检验的偏差矩阵方法,该方法无需进行复杂的数学运算,只需根据判断矩阵的偏差矩阵即可进行检验.通过实例分析,证明是一种有效实用的方法. 关键词:判断矩阵;偏差矩阵;一致性检验 中图分类号:O223 文献标识码:A A D ev iation Matrix Meth od for C h eck ing the C onsistency of Judg emen t Matrix WANG Wan jun (Mathematics and Information Colle ge,Gansu Association University,Lanzhou 730000,China) Abstract:A deviation matrix method of the consistency check in AHP is given.According to deviation matrix of judgement matrix,it can carry out the consistency check without complex mathematical calculation.Examples show that the ne w method is effective,practical and convenient. Key words:judgement matrix;de viation matrix;consistency check 1977年Saaty T L 提出了层次分析法(AHP)[1,2],它是一种实用的多准则决策方法,该方法广泛地应用在各行业的决策分析中.众所周知,AHP 中最关键的是如何建立较为准确有效的判断矩阵,但常因为两元素比较产生逆序出现一致性较差或总排序权重数较小而难以比较,特别地当待评指标较多时更易出现此情况.由于决策者认识的多样性和客观事物的复杂性,各决策者对决策对象有不同的偏好,从而给出的决策判断矩阵,并不能与实际相吻合得很好,因此要对AHP 进行一致性的检验和必要的校正.对此文献[3-4]进行了较多地研究,但还是比较复杂.本文通过改进的方法,给出了一种构造判断矩阵的偏差矩阵判断方法,该方法更加直观、准确地判断矩阵的一致性,弥补了以往检验中存在的以下几点不足:第一,AHP 中一致性比例C R 应小于0.1的规定缺乏必要的理论根据,并且矩阵阶数越高,这一满足性就越难达到;第二,一致性比例的计算要用到判断矩阵的特征根,其求解较困难,并且对于一个不具有满意一致性的判断矩阵求特征根是一种浪费.本文提出的方法克服了以上不足,通过实例与已有的AHP 计算结果相比较发现该方法既简洁又有效,是一种实用的一致性检验方法. 1 一致性概念及其检验方法 定义1 判断矩阵A =(a ij )n n ,若对 i,j N ,有a ii =1,a i j =1/a ij ,则称A 为互反矩阵. 定义2 若判断矩阵A =(a i j )n n 为互反阵,如果a i j >0,则称A 为正互反矩阵. 定义3 若判断矩阵A =(a i j )n n 为正互反矩阵,对 i,j ,k N ,如果满足a ij a jk =a jk ,则称A 为完全一致性矩阵. 第26卷 第1期 2007年2月 南昌工程学院学报Journal of Nanchang Ins titute of Technology Vol.26 No.1Feb.2007 题目：根据某一集合元素以及关系矩阵，判断其满足什么特性，输出满足的特性，再求此集合的闭包。 举例：以集合{1,2,3,4}为例。关系矩阵为：[[1,0,1,0],[0,1,0,0],[1,0,1,1],[0,0,1,1]]。 程序代码 //集合A = {1,2,3,4} //关系矩阵为： //1 0 1 0 //0 1 0 0 //1 0 1 1 //0 0 1 1 //满足：自反性、对称性 //集合A 的闭包： //1 0 1 1 //0 1 0 0 //1 0 1 1 //1 0 1 1 #include if(matrix[i][i] == 1){ //只要有一个对角线元素为1：即不满足 flag_irr = false; break; } } } //对称性 void Symmetrical(){ flag_sym = true; for(int i = 0 ; i < n; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ if(matrix[i][j] != matrix[j][i]){ //只要有一对对称元素不相等：即不满足对称性 flag_sym = false; break; } } } } //反对称性 void Dissymmetrical(){ flag_dis = true; for(int i = 0 ; i < n; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ if(matrix[i][j] == matrix[j][i]){ //只要有一对对称元素相等：即不满足反对称性 flag_dis = false; break; } } } } //传递性 void Transitive(){ flag_tra = true; for(int i = 0; i < n; ++i){ for(int j = 0; j < n; ++j){ for(int k = 0; k < n; ++k){ 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法
正项级数敛散性地判别方法
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正项数收敛判别方法
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关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)
二次型的矩阵表示
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一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法(1)
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正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim