等腰三角形的性质及判定含答案

等腰三角形的性质及判定

一．选择题（共30小题）

1．如图，已知AB＝AC＝BD，那么（）

A．∠1＝∠2B．2∠1+∠2＝180°

C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°

2．如图，△ABC中，CA＝CB，∠A＝20°，则三角形的外角∠BCD的度数是（）

A．20°B．40°C．50°D．140°

3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．

A．2个B．3个C．4个D．5个

4．如果某等腰三角形的两条边长分别为4和8，那么它的周长为（）A．16B．20C．20或16D．不确定

5．△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，则一个底角等于（）

A．120°B．90°C．60°D．30°

6．已知等腰三角形ABC的两边满足+|6﹣BC|＝0，则此三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）

A．5个B．3个C．2个D．1个

8．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．8C．10D．8或13

9．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（）

A．11cm B．11cm或7.5cm

C．7.5cm D．以上都不对

10．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，

则△ABC的周长是（）

A．12B．15C．12或15D．9

11．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD 为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

12．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或16

13．若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（）

A．70°或55°B．55°C．70°D．65°

14．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

15．等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB 交BE于D，图中等腰三角形的个数是（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

17．如图，直线l1，l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1，l2上找一点C，使△ABC 为一个等腰三角形，满足条件的点C有（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

18．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）

A．54°B．60°C．72°D．76°

19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）

A．AB＝AC B．AD⊥BC

C．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形

20．等腰三角形的边长为2和3，那么它的周长为（）

A．8B．7C．8或7D．以上都不对21．等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）

A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°22．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

23．三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．等边三角形D．不能确定

24．小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．8D．11或13

25．如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A ＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（）

A．15°≤a＜18°B．15°＜a≤18°

C．18°≤a＜22.5°D．18°＜a≤22.5°

26．已知等腰△ABC中，∠A＝120°，则底角的大小为（）

A．60°B．30°或120°C．120°D．30°

27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，点D是边BC上任意一点，则点D分别到边AB，AC的距离之和等于（）

A．5B．6.5C．9D．10

28．如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）

A．20°B．40°C．35°D．70°

29．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°30．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（）A．5、5B．2、8

C．5、5或2、8D．以上结果都不对

二．填空题（共15小题）

31．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为______．

32．已知AD是△ABC的高，若AB＝AC，BC＝4，则CD＝______，

33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有______个．

34．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有______．

35．若等腰三角形的两边的长分别为3和10，则它的周长为______．

36．如果等腰三角形的两边长分别是6、8，那么它的周长是______．

37．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AE＝AO，BF＝BO，则∠EOF的度数是______．38．等腰△ABC的边长分别为6和8，则△ABC的周长为______．

39．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是______．

40．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是______．

41．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为______cm．

42．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上两点，AD＝AE，BE＝6，DE＝4，则EC ＝______．

43．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C═30°，DA⊥BA于点A，BC＝16cm，则AD＝______．

44．如图，AB＝AC＝CD，∠BAC＝56°，则∠B＝______，∠D＝______．

45．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．

三．解答题（共5小题）

46．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

47．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，

①求证：△APF是等腰三角形；

②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．

48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD

＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．

（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；

（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；

（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．49．已知等腰三角形的周长为24cm，其中两边之差为6cm，求这个等腰三角形的腰长．

50．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．（1）求∠A的度数；

（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．

等腰三角形的性质及判定

参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题）

1．解：∵AB＝AC＝BD，

∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，

∵∠1＝∠C+∠2，

∴∠BAD＝∠1＝∠C+∠2，

∵∠B+∠1+∠BAD＝180°，

∴∠C+2∠1＝180°，

∵∠C＝∠1﹣∠2，

∴∠1﹣∠2+2∠1＝180°，

即3∠1﹣∠2＝180°．

故选：D．

2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，

∴∠B＝∠A＝20°，

∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°，

故选：B．

3．解：如图：分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．

故选：C．

4．解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；

若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，综上三角形的周长为20．

故选：B．

5．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，

∴∠B＝∠C，∠A＝120°

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠B＝∠C＝＝30°，

故选：D．

6．解：∵+|6﹣BC|＝0，

∴AB﹣3＝0，6﹣BC＝0，

解得AB＝3，BC＝6，

（1）若AB是腰长，BC为底，则三角形的三边长为：3、3、6，

不能能组成三角形，

（2）若AB是底边长，BC为腰，则三角形的三边长为：3、6、6，

能组成角形，

周长为3+6+6＝15．

故此三角形的周长为15．

故选：B．

7．解：过A作AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴EC＝BE＝BC＝4，

∴AE＝＝3，

∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．

∴3≤AD＜5，

∴AD＝3或4，

∵线段AD长为正整数，

∴AD的可以有三条，长为4，3，4，

∴点D的个数共有3个，

故选：B．

8．解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，1+1＝2＜6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为1+6+6＝13．

故选：A．

9．解：∵11cm是底边，

∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，

故选：C．

10．解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，

∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，

解得m＝3，n＝6，

当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；

当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．故选：B．

11．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，

①如图1，

当AB＝AD＝10时，CD＝CB＝6时，

CD＝CB＝6，

得△ABD的等腰三角形．

②如图2，

当AB＝BD＝10时，

△ABD是等腰三角形；

③如图3，

当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．

故选：B．

12．解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；

故选：D．

13．解：∵等腰三角形的顶角为70°，

∴它的一个底角度数为（180°﹣70°）＝55°，

故选：B．

14．解：如图所示：

由勾股定理得：AB＝＝，

①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；

②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；

若AC＝BC，则不存在这样格点．

∴这样的C点有5个．

故选：D．

15．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣30°）÷2＝75°；

②当这个角是底角时，底角＝30°；

故选：C．

16．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴△ABC是等腰三角形．

∴∠C＝∠ABC＝72°．

∵BD平分∠ABC交AC于E，

∴∠ABE＝∠EBC＝36°，

∵∠A＝∠ABE＝36°，

∴△ABE是等腰三角形．

∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，

∴△BEC是等腰三角形．

∵∠DBC＝∠DCB＝36°，

∴△BCD是等腰三角形，

∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC，

∴△CDE是等腰三角形，

∴共有5个等腰三角形．

故选：C．

17．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，

再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，

共有8个点，

故选：D．

18．解：∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝36°，

∵BC∥AO，

∴∠BCA＝∠A＝36°，

∴∠BCO＝72°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝72°．

故选：C．

19．解：∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

∴选项A不符合题意；

∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∴选项B、选项C不符合题意；

当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，

∴选项D符合题意；

故选：D．

20．解：分两种情况讨论：

当这个三角形的底边是2时，三角形的三边分别是2、3、3，能够组成三角形，则三角形的周长是8；

当这个三角形的底边是3时，三角形的三边分别是2、2、3，能够组成三角形，则三角形的周长是7．

故等腰三角形的周长为8或7．

故选：C．

21．解：因为等腰三角形的两个底角相等，

又因为顶角是40°，

所以其底角为＝70°．

故选：B．

22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，

∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，

∵∠BAD＝∠B＝36°，

∴△ABD是等腰三角形，

∵∠CAE＝∠C＝36°，

∴△AEC是等腰三角形，

∴∠ADC＝∠DAC＝72°，

∴△ADC是等腰三角形，

同理，△ABE是等腰三角形，

∴∠ADE＝∠AED＝72°，

∴△ADE是等腰三角形，

故选：D．

23．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，

∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．

则该三角形的等腰直角三角形．

故选：B．

24．解：由题意知，应分两种情况：

（1）当腰长为3时，能构成三角形，周长＝2×3+5＝11；

（2）当腰长为5时，能构成三角形，周长＝2×5+3＝13．

故选：D．

25．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，

∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，

∵要使得这样的钢条只能焊上4根，

∴∠P5P4B＝5α°，

由题意，

∴18°≤α＜22.5°．

故选：C．

26．解：∵在等腰△ABC中，∵∠A＝120°，

∴∠A为等腰三角形的顶角，

∴∠B＝∠C，

∵∠A＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°；

故选：D．

27．解：连接AD，

∵在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，

∴三角形ABC的面积

＝△ABD的面积+△ACD的面积

＝AB?DN+AC?DM

＝AB?（DN+DM）

＝×13×（DN+DM）

＝65，

解得：DN+DM＝10．

故选：D．

28．解：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC＝70°，

∵直线l1∥l2，

∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．

故选：B．

29．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数＝＝70°；

当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，

故它的底角的度数是70°或40°．

故选：D．

30．解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；

当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．

故另两条边的长是5、5或2、8．

故选：C．

二．填空题（共15小题）

31．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；

②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．

∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．

故答案为75°、75°或30°、120°．

32．解：∵AD是△ABC的高，AB＝AC，

∴CD＝BD＝BC＝4＝2，

故答案为：2．

33．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P．

②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P．

③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P．

综上所述：符合条件的点P共有4个．

故答案为：4

34．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；

②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；

③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2＝4，

故答案为：4

35．解：（1）若3为腰长，10为底边长，

由于3+3＜10，则三角形不存在；

（2）若10为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．

所以这个三角形的周长为10+10+3＝23．

故答案为：23．

36．解：当6是腰长时，周长＝6+6+8＝20；

当8是腰长时，周长＝6+8+8＝22．

故周长是20或22．

故答案为：20或22．

37．解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，

∴∠A+∠B＝90°，

∵AE＝AO，BF＝BO，

∴∠AOE＝∠AEO＝，∠BOF＝∠BFO＝，

∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣（+）＝（∠A+∠B）＝45°，

故答案为45°．

38．解：当6为底时，三角形的三边为6，8、8可以构成三角形，周长为6+8+8＝22；当8为底时，三角形的三边为8，6、6可以构成三角形，周长为8+6+6＝20．

则△ABC的周长为22或20．

故答案为：22或20．

39．解：设底角为x°，则顶角为3x°，

根据题意得：x+x+3x＝180

解得：x＝36；

故答案为：36°．

40．解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），

解得x＜10，

∴x的取值范围是0＜x＜10．

故答案为：0＜x＜10．

41．解：设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，

①若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x＝20，

解得x＝4，

此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；

②若较短的边为腰，较长的边为底边，则x+x+2x＝20，

解得x＝5，

此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，

∵5+5＝10，

∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；

综上所述，等腰三角形的腰长8cm，

故答案为8．

42．证明：∵BE＝6，DE＝4，

∴BD＝BE﹣DE＝2，

过A作AP⊥BC于P，

∵AB＝AC，AP⊥BC，

∴BP＝CP，

同理有DP＝EP，

∴CE＝BD＝2，

故答案为：2．

43．解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，

∵DA⊥BA，

∴∠BAD＝90°，

∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，

∴∠CAD＝∠C，

∴AD＝CD，

在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，

∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，

∵BC＝16cm，

∴AD＝cm，

故答案为：cm．

44．解：∵AB＝AC，∠BAC＝56°

∴∠B＝∠ACB＝＝62°，

∵AC＝CD，

∴∠CAD＝∠D，

∵∠ACB＝∠CAD+∠D，

∴∠D＝∠ACB＝31°，

故答案为：62°，31°．

45．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，

当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；

∴这样的顶点C有8个．

故答案为：8．

三．解答题（共5小题）

46．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，

∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，

∴∠A＝36°．

则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．

又BD是AC边上的高，

则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．

47．①证明：∵EF∥AD，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠4＝∠P，

∴AF＝AP，

即△APF是等腰三角形；

②AB＝PC．理由如下：

证明：∵CH∥AB，

∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，

∵EF∥AD，

∴∠1＝∠3，

∴∠H＝∠3，

在△BEF和△CDH中，

∵，

∴△BEF≌△CDH（AAS），

∴BF＝CH，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠H，

∴AC＝CH，

∴AC＝BF，

∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，

∴AB＝PC．

48．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵BD＝BA，

∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA

∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，

（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝30°，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA＝75°，

∴∠DAC＝45°，

∵CA＝CE，

∴∠E＝∠CAE＝15°，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；

（3）∠DAE＝∠BAC，

理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，

则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC．

49．解：设三角形的腰为x，底为y，

根据题意得或，

解得或，

又知6+6＜12，不能构成三角形，

八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版

八下数学每日一练：菱形的判定与性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_四边形_菱形的判定与性质练习题 ~~第1题~~ (2019西湖.八下期末) 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ．连接EF ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△ DBF ≌△EFA ．则正确结论的序号是（ ） A . ①③ B . ②④ C . ①③④ D . ②③④ 考点： 线段垂直平分线的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定与性质; ~~第2题~~ (2019嘉兴.八下期末) 如图，将平行四边形纸片ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，那么对于结论 :①MN ∥BC ，②MN=AM.下列说法正确的是( ) A . ①②都错 B . ①对②错 C . ①错②对 D . ①②都对 考点： 平行四边形的性质;菱形的判定与性质;翻折变换（折叠问题）;~~第3题~~ (2019淮安.八下期中) 下列命题是真命题的是( ) A . 四边都相等的四边形是矩形 B . 菱形的对角线相等 C . 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D . 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 考点： 菱形的判定与性质;矩形的判定;正方形的判定;~~第4题~~ (2019淮安.八下期中) 如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，分别取AC ，BC 边的中点D ，E ，连接DE ，作EF ∥AC 得到四边形EDAF ，它的周长记作C ；分别取EF ，BE 的中点D ， E ， 连接D E ， 作E F ∥EF ，得到四边形E D FF ，它的周长记作C 照此规律作下去，则C 等于( ) A . B . C . D . 111111*********

等腰三角形的性质和判定(1)

课题：等腰三角形的性质和判定（1）课型：新授时间：2006. 6.12 ［学习目标］ 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 ［学习过程］ 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。 经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3、推理和证明的依据有哪几类？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。 5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？ （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

相似三角形的判定和性质

相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈

如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

1.1等腰三角形的性质和判定

课题：等腰三角形的性质和判定 主备人：刘益军班级：姓名： 学习目标： 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。重点难点： 1、等腰三角形的性质及判定的证明。 2、应用性质解题。 学习过程： 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ （1）根据题意。 （2）根据题设、结论，结合图形，。 （3）经过分析，推出求证的途径，写出。 3、推理和证明的依据有哪几类？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿等。 4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。 5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 二、情景创设： 以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题： 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） 教师板书几何符号语言 2、等腰三角形有哪些性质？

菱形 复习中难题 含答案

菱形复习中难题含答案 1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2．菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3．菱形的判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 （★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数 为． 【答案】50°、130°、50°、130°． （★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．

F E D C B A 【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°． （★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是． 【答案】4． （★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D C B A （★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是． 答案：120°． （★★★）1．菱形的对称轴共有条． 【答案】2．

2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值． 【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5． （★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为． 【答案】24． （★★）下列命题错误的有（填写序号）． ①菱形四个角都相等． ②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形． ③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形． ④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 【答案】①②③． （★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（） A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形 【答案】C （★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形． （2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形． （3）用两个全等的直角三角形拼成的是形． 【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形． （★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．

等腰三角形的性质精选试题附答案

等腰三角形的性质精选试题 一．选择题（共21小题） 1．（2009?呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7B．11 C．7或11 D．7或10 2．（2006?仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（） A．15°B．30°C．50°D．65° 3．（2006?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（） A．20°B．25°C．30°D．40° 4．（2003?青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30° 5．（2006?普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角的一半B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半 6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（） A．6B．9C．12 D．15 7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（） A．10°B．15°C．20°D．30°

8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（） A．0对B．1对C．2对D．3对 9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（） A．90°B．80°C．68°D．60° 10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（） A． 110°B． 140°C． 110°或140°D．以上都不对 11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（） A．40°B．30°C．20°D．10° 12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根． A．4B．5C．6D．7 13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6

相似三角形判定与性质

相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC

1.1等腰三角形的性质和判定(2)

课题：等腰三角形的性质和判定（2） ［学习目标］ 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 ［学习过程］ 一、知识回顾 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。 等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、典例分析 1、已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC 。 求证：AB ＝AC 2、在上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？ 3、你还能得到其他的结论吗？与同学交流。 三、思考与交流 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS ”） A B C D E A B C D E

2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 四、随堂练习 1、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝2∠B，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 A B C 2、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。 求证：△ADE是等边三角形。

3、求证：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。 五、体会与交流 本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？

菱形的判定专项练习30题(有答案)ok

菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD． 求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F； （2）?ABCD是菱形． 菱形的判定--- 1

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：AF=DC； （2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形． （2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC． 求证：（1）∠B=∠C； （2）?ADFE是菱形． 菱形的判定--- 2

等腰三角形的性质练习题及答案.

等腰三角形的性质练习题及答案 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°．解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．(山东省聊城市中考题) 思路点拨通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 注角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线．

相似三角形的性质与判定知识点总结+经典题型总结(学生版)

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定

A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．

等腰三角形的性质及应用讲义

初二数学讲义 等腰三角形的性质及应用 等腰三角形的性质： 性质1▲等腰三角形的两个底角相等。 （简写成: 等边对等角. ） 性质2▲等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合。 （简写成:等腰三角形的“三线合一”） 性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 用几何符号语言表达： 性质1 性质2 注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ） 等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系 1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( ) A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm 2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 3.若等腰三角形中有一个角等于50?，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A ．50? Ｂ．80? Ｃ．65?或50? Ｄ．50?或80? ∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C （等边对等角） ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）

【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC 于D，求∠CBD的度数． 【例2】在ABC ?中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠的度数． 【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60?，求三角形三个内角的度数． 【例4】如图所示，已知ABC ?中，D、E为BC边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =． A B C D E 例题精讲

菱形的判定(含答案)

菱形的判定 一、选择题 1．下列四边形中不一定为菱形的是（） A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 二、填空题 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可） 图1 图2 5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可） 6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____． 四、思考题 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由． ]

2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． 3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、 BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱 形． 1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是 ___________ 2、有一组邻边相等的四边形是菱形（） 3、对角线互相垂直的四边形是菱形（） 4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（） 5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。 反思：

1.1 等腰三角形的性质和判定

1.1 等腰三角形的性质和判定 教学过程 一、知识回顾： 在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。 1、什么叫证明？什么叫定理？ 2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？ 3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实？此外，还有什么被看作是基本事实？ 二、情景创设： 以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题： 1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义） 2、等腰三角形有哪些性质？ 3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做） 4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？ 三、探索活动： 1、合作与讨论 证明：等腰三角形的两个底角相等。 2、思考与讨论 怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。 定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”） 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？ 5、思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题：_________________________________。 （2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。 6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等边对等角”）。 四、例题讲解 已知：如图，∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC 分析：要证AB=AC，只需证∠B=∠C，由已知 A B C D E

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析课后作业

2020年菱形的判定同步练习含试卷及答案解析 一．选择题（共3小题） 1．已知?ABCD，添加一个条件能使它成为菱形，下列条件正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝CD C．对角线互相垂直D．∠A+∠C＝180° 2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 3．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是（） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 二．填空题（共2小题） 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）． 5．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是． 三．解答题（共6小题）

6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH．求证：四边形EBFC是菱形． 7．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD． （1）求∠AOD的度数； （2）求证：四边形ABCD是菱形． 8．如图，?ABCD中，AB＝2cm，AC＝5cm，S?ABCD＝8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒． （1）在运动过程中，四边形AECF的形状是； （2）t＝时，四边形AECF是矩形； （3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形． 9．已知，如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．

等腰三角形的性质练习(含答案)

等腰三角形的性质 一、基础能力平台 1．选择题： （1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（） A．底角大于相邻外角B．底角小于相邻外角 C．底角大于或等于相邻外角D．底角小于或等于相邻外角 （2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（） A．40°，40°B．100°，20° C．50°，50°D．40°，40°或100°，20° （3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．50°，50°，80°B．80°，80°，20° C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20° （4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（） A．45°B．40°C．55°D．50° （5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（） A．顶角B．顶角的一半 C．顶角的2倍D．底角的一半 （6）已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（） A．30°B．45°C．36°D．72°

（1）（2）（3）2．填空题： （1）如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠________=∠______； ②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=_____，_____⊥______． （2）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______． （3）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______． （4）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是450，则△ABC 的面积为________． （5）如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=______． 3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数． 4．如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC?以a和c为两边，这样的三角形能作几个？ c a

相似三角形的判定与性质以及应用

相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．

6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

菱形的判定2 一、选择题 1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 2如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（） ①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD． A、①③ B、②③ C、③④ D、①②③ 3、能判定一个四边形是菱形的条件是（） A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分 C、对角线互相垂直 D、对角线互相垂直平分 4、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 填空 1、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________． 2、如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使 四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 3、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________=＞ABCD是菱形；_________=＞ABCD是菱形

三、解答题（共11小题） 1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由． 2、如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论． 3、（2007?娄底）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求证：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由． 4、（2011?常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形． 5、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

等腰三角形的性质

七年级下等腰三角形的性质 顶新九义校：代小燕教学目标 1、知识目标： （1）掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用它们进行有关的论证和计算。 (2) 理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。 2、能力目标： （1）、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，加强发散思维的训练。 （2）、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质。 （3）、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 3、情感目标： 在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发学生的审美情感，经历与现实生活有关的实际问题的探索，让学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，让他们有效地获取真知，发展理性。 教学重点 等腰三角形的性质定理及其证明。 教学难点 用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。

教学过程 一、前置诊断，开辟道路 1、什么样的三角形叫做等腰三角形？ 2、让学生指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。。 二、构设悬念，创设情境 1、一般三角形有哪些性质？ 2、等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质呢？ 三、目标导向，引入新课 本节课我们一起学习——等腰三角形的性质。 （板书课题，了解本节课的学习内容） 四、设问质疑，探究尝试 请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。 [问题]通过观察，你发现了什么结论？ [结论]等腰三角形的两个底角相等。 板书学生发现的结论。 [辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？ [问题] 1、此命题的题设、结论分别是什么？ 2、怎样写出已知、求证？ 3、怎样证明？ [电脑演示1]

相似三角形判定与性质(10.23)

专题1 相似三角形判定与性质（10.23） 专题知识回顾 1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题典型训练题

一、选择题 1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB ＝6，AC＝4，则AE的长是（） A．1B．2C．3D．4 3.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE△BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（） A．5B．6C．7D．8 4.（2019?广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD ＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，