第二章-土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程

如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即

()H h k q ?= （2-2-1）

式中：H ?——为水势梯度；

k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为

)

1)(( )

(±??-=??-=z

h

k z

H k q z θθ

注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。

由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。

一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。

一维Richards 方程的几种形式：

根据()

()θθ

θD h

k =??（K=C ×D ）得： x h k q x ??-=)(θ x

D q x ??-=θ

θ)

( y h k q y ??-=)

(θ y

D q y ??-=θθ)( )1)(

(±??-=z h k q z θ )]()([θθθk z

D q z ±??-=

第一节 直角坐标系中土壤水分运动基本方程

一、基本方程的推导

土壤水分运动一般遵循达西定律，且符合质量守恒的连续性原理。土壤水分运动基本方程可通过达西定律和连续方程进行推导。

如图2-2-1所示，从土壤中取出微分单元体abcdefgh ，其体积为z y x ???，由于该立方体很小，在各个面上的每一点流速可以看成是相等的，设其流速为z y x v v v 、、，在t ～t+Δt 时段内，流入立方体的质量为（3个面流入）：

t y x v t z x v t z y v m z y x ???+???+???=ρρρ入 （2-2-2）

流出立方体的质量为（3个面流出）：

t z y x x v v m x x ?????

?

?????+=ρ出

t y x z z v v t z x y y v v z z y y ?????? ??

???++??????

? ?????++ρρ （2-2-3） 式中：ρ––––水的密度；

z y x ???,,––––分别表示微分体x 、y 、z 方向长度；

x x v x ???，y y v y ???，z z

v

z ???––––分别表示水流经微分体后，其流速在x 、y 、z 方向的变化值。

由式(2一2－2）、式（2－2－3）之差可求得流入和流出立方体的质量差：

出入m m m -=?

???

?

????+??+??-=z v y v x v z y x ρt z y x ????? （2—2—4）

设θ为立方体内土壤含水率，则在Δt 时间内立方体内质量变化又可写为

t z y x t

m ??????=?θ

ρ

（2—2—5） 根据质量平衡原理（流入量－流出量＝储存量变化量），式（3－2－4）、式（3—2—5）应相等，即

???? ????+??+??-=??z v y v x

v t z y x θ

（2-2-6） 根据达西定律得：

()

x H k v x ??-=θ，()y H k v y ??-=θ，()z

H

k v z ??-=θ （2-2-7）

式中k （θ）––––土壤水力传导度，为含水率的函数；

H ––––总土水势，为基质势与重力势之和（H ＝h ＋z ）。 因此，式（2－2—6）可以写作以下形式：

()()()z

z H k y y H k x x H k t ??????????+??????????+??????????=??θθθθ （2-2-8）

上式可以简写为

()[]H k t

??=??θθ

（2-2-9） 式（2－2－8）或式（2－2－9）为土壤水分运动基本方程。

在饱和土壤中，含水量和基质势均为常量。水力传导度也为常量，常称渗透系数，则方程（2－2－8）可写为

0222222=??+??+??z

H

y H x H （2－2－10） 或写作

02=?H （2－2－10‘）

22

22222

z

y x ??+??+??=? （2－2－11）

式中：▽2––––

拉普拉斯算子。

式（2－2－10）或式（2－2－10‘

）为饱和土壤水流的拉普拉斯方程。

二、基本方程的不同形式

为运用基本方程分析各种实际问题的方便，可将基本方程改写为多种表达形式。 为简便起见，以下均以一维垂向土壤水分运动为例，给出基本方程的不同表达形式。 （一）以含水率θ为变量的基本方程

由式（2－2－8）可得一维垂向土壤水分运动的基本方程为

()??

????????=??z H k z t θθ （2－2－12） 式中：H ––––总土水势；

z ––––为水流方向坐标，取z 向上为正。 因为H=h 十z ，所以上式可写作

()()z

k z h k z t ??+??????????=??θθθ （2－2－13） 式(2－2－13）为以θ为变量的基本方程，将

z

h z h ????=

??θ

θ代入式（2－2－13）得： ()()z k z h k z t ??+??

??????????=??θθθθθ 令()

()θθ

θD h

k =??，则式（2—2—13）可以写成（一维垂向土壤水分运动方程）： ()()z

k z D z t ??+??????????=??θθθθ （2－2－14） 在水平运动的情况下，重力项等于0，所以()

x

D v x ??-=θ

θ，其形式与Fick 扩散定律相同。式（2－2－14）具有扩散方程的形式，故将D （θ）称为扩散度。

()??

????????=??x D x t θθθ （2－2－14‘

） Fick 定律：

自由水中溶质的分子扩散通量符合Fick 定律：

x

c D

J ??-= 式中：J 为溶质的扩散通量； D 为溶质的扩散系数；

x

c

??为溶质的浓度梯度。 （二）以基质势h 为变量的基本方程 由于

()t

h h c t h h t ??=????=??θθ ，则式（2－2－14）可以写成： ()

()()z

h k z h h k z t h h c ??+??????????=?? （2－2－15）

式中：c （h ）––––比水容量（也称容水度），c （h ）=h

??θ

，表示单位基质势变化时含水率变化。

（三）以参数v 为因变量的基本方程

采用Kirchhoff 变换，令()()()?

??

-∞

=

=c

c

c

h h

h h

h d k V

d k d k v τττττ

τ1

则

()h k V

h v 1

=?? ()?∞

=

c

h d k V ττ

由式（2-2-15）得：()()z

h k z z h h k t h h ??+??

?????

???=????θ

()

()z

v v h h h k z z v v h h k t v v h h ??????+???????

?????=??????θ

()()()()()z

v h k V h h k z z v h k V h k t v h k V h ????-????

??

????=????θ

()

()z

v

v X z v t v v Y ??+??=??22 （2－2－16） 式中h c ––––土壤的进气值，即土壤含水率开始小于饱和含水率时的负压值。 另外，()()()()()h k h c h D h h k v Y ==??=

11θ；()()()h

h k h k v X ??=1 在非饱和区：

()01

<=

?h

h c

d k V

v ττ

在饱和区： ()01

>=?h

h c

d k V

v ττ

且因为 ()0=??=

h h c θ，()0=??h

h k 所以 ()0=v Y ；()0=v X

则方程式（2－2－16）为：022=??z

v

（四）以位置坐标z 为变量的土壤水运动方程

以z 为变量，则z 为θ、t 的函数，z （θ，t ）为未知函数。已知θ=θ（z ，t ），当

0≠??z

θ

处，可以解出z= z （θ，t ），即[14] ()()0,,≡-t t z z z θ

对z ，t 分别求导数：

01=????-

z z θθ，0=??-????-t

z

t z θθ

于是 θθ??=??z z 1及θ

θ????-=??z t z

t 将以上式子代入方程（2－2－14）得：

()()z k z D z t ??+??

????????=??θθθθ ()z k z z D z t z

????+????? ??????=????-θ

θθθθθθ

()z

k z z D z t z ????+????? ??????=????-

θ

θθθθθθ ()θ

θθθθ??+????? ??????=??-

k z z D t z （2－2－17）

（五）以参数u 为因变量的土壤水运动方程 定义()()()???=

=

θ

θθθ

θ

θθθθθθθi

s

i

i

d D U

d D d D u 1

式中：i θ––––初始含水率；

()?=

θ

θθθi

d D U ；

s θ—饱和含水率。 由式（2-2-14）得：

()()z

k z k z t ??+??????????=??θθθθ

()t u

u k z u u D z t u u ??????+??

??????????=????θθθθθ

将

()θθD U

u 1

=??代入上式得：

()()()()z u

D U k z u D U D z t u D U ????+

??

????????=??θθθθθ 所以 ()z u

k z

u D t u ????+??=??θθ22 （2-2-18） 以上各式中式（2－2－14）、式（2－2－15）是二种经常采用的形式，形式的选定取

决于要解决问题的边界条件和初始条件。以含水率θ为因变量的基本方程常用于求解均质土层或全剖面为非饱和流动问题，这种方程形式对于层状土壤或求解饱和—非饱和流问题不适用；以负压水头h 为因变量的基本方程是应用较多的一种形式，可适用于饱和—非饱和水流求解及层状土壤的水分运动分析计算，但由于非饱和土壤水的导水率k （h ）及容水度c(h)，受滞后影响较大，计算中参数选取不当会造成较大误差；以v ，u 为因变量基本方程实际上分别相当于以负压水头h 和含水率θ为因变量的基本方程，在某些情况下由于经代换后方程较为简单，易于求解；以坐标为因变量的基本方程根据定解条件需要求解较简单的土壤水分运动问题。

以上为直角坐标系中土壤水分运动的基本方程，求解某些土壤水分运动问题时，采用柱坐标系可能更方便。

第二节 柱坐标系中土壤水分运动基本方程

在推导柱坐标系中的基本方程时，方法同直角坐标系，同样可用达西定律与连续方程相结合的方法导出。

若以z 轴为轴的柱坐标系，根据达西定律，在此坐标系中可表示为：

()(

)???

?

?

?

?????-=??-=??-=z H k q H k r q r H k q z r

θ?θθ?1)( 式中：r 、φ、z ––––分别表示柱半径，角坐标和垂直坐标（图2—2—2）

q r 、q φ、q z ––––相应于r 、φ、z 三个方向的通量； H ——总水势。

下面利用质量守恒来推导连续方程。

Δt 时段内，在r 方向的流入量为r q r △φ△z △t ，流出量为

??

?

?????+r r q q r r ()r r ?+t z ????，则流入与流出量之差（忽略高阶无穷小量）为

t z r r r q q r r ??????

?

?????+

-? （2-2-19） 同理，在φ方向流入流出量之差为 t z r q ??????-

??

? （2-2-20）

在z 方向土壤水分流入流出量之差为 t z r q z

??????-

??

（2-2-21） 上述三个方向流入和流出单元体的水量差总计为 t z r z q q r q r

q z r r ???????

?

????+??+??+-??? （2-2-22） 单元体体积应为 z r r r ?????

?

?

?

?+?2，略去高阶无穷小量后为r △φ△z △t ，在△t 时间内单元体内水分增量为

t z r t

???????θ

（2-2-23） 根据质量守恒原理武（3－2－22）应与式（3－2－23）相等，即

???

? ????+??+??+-=??z q q r r q q r t z r r ?θ

?11 （2-2-24） 式（2－2－24）为柱坐标系中土壤水分运动的连续方程。将式（2－2－18）代入上

式，即得柱坐标系中土壤水分运动基本方程：

()()()()??

?

???????+??????????+??????????+??=??z H k z H k r r H k r r H r k t θ?θ?θθθ21 （2-2-25） 以总水势H=h+z ，水容度c=dh

d θ

，以及导水率k （θ），扩散度D （θ）等代入，基本方程可表示为

()()()()z

k z D z D r r rD r r t ??+??????????+??????????+??????????=??θθθ?θθ?θθθ211 （2-2-26） 对于平面轴时称问题，上式可改写为

()??

????????=??r rD r r t θθθ1 （2-2-26‘

） 同理可推得以x （或y ）轴为轴的柱坐标系的基本方程：

()()()()()???

???????+??-??+??

????????+??????????=??x D x k r r k D r r rD r r t θθ?θ?θ??θθ?θθθsin cos 112

（2-2-27）

关于球坐标系中的基本方程应用较少，推导方法同上，这里不再论述。

第三节 土壤水分运动基本方程的定解条件

土壤水运动基本方程的定解条件包括初始条件和边界条件，为了简单起见，将以直角坐标系中基本方程常用形式为例进行论述。

（一）初始条件

相应于前式（２—２—1４）、式（２—２—15）的初始条件分别以下式表达：

()()z z i θθ=0, （2-2-28）

()()z h z h i =0, （2-2-29）

脚标“i ”表示初始已知量。

初始条件：t=0时剖面上θ、h 的分布已知。 （二）边界条件

边界条件一般有一类边界、二类边界、三类边界三种。 1．一类边界条件（变量已知的边界Γ1）

对干式（2－2－14）、式（2－2－15）的一类边界的表达式为

()()t t z 00,θθ= （2-2-30）

()()t h t z h 00,= （2-2-31）

脚标“0”均表示一类边界上的值；z 0为一类边界的坐标。

在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在压力入渗（地表形成水层）时，地表含水率达到饱和含水率，或当强烈蒸发时，表土达到风干土含水率的情况。

2．二类边界条件（边界Γ2上水流通量已知的情况） 相应于式（2－2－14）、式（2－2－15）表达式为

()

()()t k z

D εθθ

θ=+??-Γ2| （2-2-32） ()()()t z

z h h k ε=?-?-Γ2| （2-2-33） 式（2－2—32）及式（2－2－33）中，均假设垂直坐标z 向下为正。

在一维垂向土壤水分运动中，这种情况常发生在降雨、灌水入渗或蒸发强度已知的边界。在降雨或灌水入渗时，ε（t ）为正值，在蒸发时ε（t ）为负值。

在不透水边界和无蒸发入渗的边界，ε（t ）=0，则式（2－2－32）、式（2－2－33）分别为

()

()θθ

θk z D =?? （2-2-32，） ()()h k z

h

h k =?? （2-2-33，）

3．三类运界条件［相当于水流通量随边界Γ3上的变量（θ或h ）值而变化的情况］

三类边界的一般形式为 321

a f a z

f

a =+?? （2-2-34） 式中，f 为变量。

在土壤蒸发强度为表土含水率或表土负压的函数的情况下，式（2－2－14）、式（2－2－15）的三类边界条件表达式为

()

()b a k z D +=-??θθθ

θ （2-2-35） ()()()b h a h k z h

h k +=-??? （2-2-36）

方程式（2－2－35）右端的a θ+b 表示三类边界上水流通量为表土含水率θ的线性函数。

方程式（2－2－36）右端的a φ(h)+b 表示三类边界上水流通量为表土负压的函数。例如、土壤的下部有弱透水层阻隔，边界受顶托补给，其补给强度决定于下部弱透水层的导水率k 2，弱透水层上、下的压力h 1、h 2，其厚度为δ，方程的三类边界条件可写成：

()

()()δ

δ--=-??122h h k h k z h h k （2-2-36，

） 上述的二种边界条件是经常遇到的情况。在野外实际情况下，有时还存在地下水位为

已知的运动边界，此时可将地下水面处h=0作为边界条件。如在任一时间，地下水埋深为d （t ），则

()()0, ,==t d h t d z （2-2-37）

d （t ）表示 t 时刻的地下水面所在位置，如地下水位是等速下降的，则

()0d vt t d += （2-2-38）

式中：v ––––地下水位下降的速度。

如地下水位是由于水井抽水引起下降的，则

()???

? ??+=at r W T Q

d t d 4420π （2-2-39） 式中：d 0––––下水初始埋深；

Q ––––井的抽水流量；

T ––––地下水含水层的导水系数； a ––––地下水含水层的导压系数；

???

? ??at r W 42––––井函数（见泰斯公式）；

r ––––计算点离抽水井

若地下水位变化规律未知，不能作动边界处理。

第四节土壤水分运动参数

土壤水分运动中的主要参数有土壤水力传导度k（又称导水率），比水容量c（也称容水度）及扩散度D（也称扩散率）等。这些参数的变化决定了土壤水分运动状态，所以了解和掌握这些参数的特性及其变化规律是十分重要的。

一、土壤水力传导度k

土壤水力传导度是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。一般在饱和土壤中导水率称为渗透系数。

土壤水力传导度为在单位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流通量。它是土壤含水率或土壤负压的函数。

饱和土壤孔隙中都充满水，导水率达到最大值，且为常量。在非饱和土壤中，因土壤孔隙中部分充气，导水孔隙相应减少，导水率低于饱和土壤水情况，而且导水率是负压或含水率的函数，随着含水率降低而减小。由于在吸力作用下，土壤水首先从大孔隙中排除，随着吸力增加，水流仅能在小孔隙中流动。所以，土壤从饱和到非饱和将引起导水率的急剧降低。当吸力由零增至1×105Pa时，导水率可能降低好几个数量级，有时降低到饱和导水率的1／100000。

对于不同结构土壤，饱和与非饱和土壤水导水性能的相对关系是不同的。饱和土壤导水性能最好的是粗粒砂性土壤，导水最差的土壤是细质粘土，但非饱和土壤在较大负压情况下则情况可能相反。具有大孔隙粗质土壤，在吸力作用下孔隙中水分很快排除，导水率迅速下降；而粘质细颗粒土壤，在较高吸力下，许多小孔隙仍充满水，仍具有一定的导水性能，因此，导水率下降较缓慢。所以，细颗粒粘质土壤在同一吸力条件下可能较大孔隙粗质土壤具有较高导水率[15]。

所以，导水率与含水率（或负压）关系是较复杂的，目前还不能用理论分析方法推导它们之间关系式，需通过试验测定。图2－2－3为非饱和土壤水在负压水头作用下流动的模型。在水平土柱两端有多孔板，分别由平水箱保持一定水位，使其负压为h1和h2，在负压梯度△h/△x的作用下，立柱中土壤水从1端向2端运移。土壤水通量q可由1端补给量或2端溢出量测得，两者相等时，水流处于稳定状态。非饱和土壤水力传导度可由达西定

律求得。由于水平土柱沿程负压（或含水率）是变化的，求得的导水率k 也应是变化的，若距离较小，可以平均负压（或含水率）确定平均土壤水力传导度。在不同的平均负压（吸力）值下，通量与负压梯度成正比，如图2－2－4所示[15]。两者呈直线关系，但其斜率（即水力传导度）随平均负压而变。

此外，土壤水力传导度还与土质有关，如图2－2－5所示，砂性土壤饱和导水率高于粘性土壤，随着土壤吸力增加，砂性土壤导水率降低速率较粘性土壤快，所以吸力增大时，粘质土壤导水率反大于砂质土壤。

非饱和土壤水力传导度k 与土壤负压h 或含水率θ的关系通常由试验资料拟合成经验公式，一般有以下几种形式。

（1）土壤水力传导度与负压（吸力）h 的关系式：

()||h c s e k h k -= （2-2-40）

()n h a h k -=|| (2-2-41)

()b

h a h k n +=

|| (2-2-42)

式中：k s ––––饱和土壤水导水率，或称渗透系数；

a ，

b ––––经验常数；

c ，n ––––经验指数。

（2）土壤水力传导度与土壤含水率θ的关系式：

()()θθθ--=s c s e k k (2-2-43) ()m s k k θθ= (2-2-44)

()n

r s r

s k k ???

? ??--=θ

θθθθ (2-2-45) ()2

12

111??

?

?????

??????

?????

?

????

??----????

? ??--=m

m

r s r r s r

s k k θθθθθ

θθθθ (2-2-46) 式中：θ r ––––某一特征含水率，通常采用最大分子持水率；

θs ––––饱和含水率；

c ，m ，n ––––均为经验指数，在式（2－2－46）中，10,1

1<<-

=m n

m 其他符号意义同前。k 值的量纲单位为［LT -1］。

由于土壤负压与含水率的关系曲线––––土壤水分特征曲线有滞后现象，所以，土壤水力传导度随负压的变化同样也存在滞后现象，即在同一负压下，干燥过程中的土壤水力传导度高于湿润过程中的土壤水力传导度。但土壤水力传导度与含水率关系受滞后作用的影响较小。

二、土壤水分扩散度D

土壤水扩散度为单位含水率梯度下，通过单位面积的土壤水流量，其值为土壤含水率的函数，即()()

θ

θθ??=h k D 。 扩散度与土壤含水率的关系如图2－2－6所示，这种关系有时可用以下经验公式表示：

()θθb ae D = (2-2-47)

式中：a ，b ––––经验常数，D 的量纲为［L 2T -1］。

以上公式仅能用于含水率较高的阶段。在土壤含水率很低时，由于土壤水汽扩散速度增大，使扩散度随土壤含水率降低而增大。在土壤含水率很高的情况下，土壤接近于饱和，扩散率趋向于无限大。

三、容水度c

容水度表示压力水头减小一个单位时，自单位体积土壤中所能释放出来的水体体积，

量纲为［L －１

］。容水度可以用下式表示：

()dh

d h c θ=

它是负压的函数，为水分特征曲线上任一特定含水率θ值时的斜率（导数），并随土壤水分特征曲线而变化，所以它取决于土壤含水率和土壤质地等。

第五节 考虑水汽热耦合关系的土壤水分运动基本方程

长期以来，人们都采用等温模型研究土壤水分运动。在自然条件下，日夜温差很大，地表以下不同深度处温度的差异和变化影响土壤水分的转化和运移，用等温模型来研究土壤水分运动常带来一定误差。一些学者根据能量平衡和热传导理论，提出了考虑水、汽、热耦合关系的土壤水运动基本方程。

根据Philip 、De Vries 和Milly 的理论［１６~１８］

，多孔介质中的水分质量通量可以表示为

V L m q q q

+= (2-2-48)

式中：m q

––––水分总质量通量（kg/s ）；

L q

––––水流质量通量（kg/s ）； V q

––––水汽质量通量(kg/s)。

在入渗速率不很大的情况下，土壤中水和汽之间存在局部热动力学平衡时，L q 及V

q

可表示为

［１７］

()1+?-=h k R q L L ρ

(2-2-49) h D T D q HV V TV V V ?+?-=ρρ

(2-2-50)

式中：ρＬ––––土壤水密度（kg ／cm 3）；

h ––––土壤水压力水头（cmH 2O ，1cmH 2O=9．8×103Pa ）； T ––––绝对温度（C ）； D TV ––––热蒸汽扩散系数； D HV ––––蒸汽传导率；

Ｒ––––水蒸汽气体常数，R ＝4．615×１０６erg ／（g ℃）（1erg=10－７

J ）。 在水汽和多孔介质中水体达到局部平衡时，两者之间的自由能相等，则

()()?

??

?

??

+=273exp 0T R hg

T V ρρ （2-2-51） 式中：ρv ––––绝对湿度（g ／cm 3）；

ρ0（T ）––––水汽饱和状态下的绝对湿度（g ／cm 3），根据Camilo 等[19]研究表明：

()()[]273ex p 100+-=T R R T ρ (2-2-52)

Constantz 等对水力传导度与温度的关系进行了研究，提出了水力传导度可表示为

()()()T g h kk T h k L r μρ=, (2-2-53)

若忽略温度变化对流体密度影响，则k （h ，T ）可表示为

()()

()

()

T T T h k T h k μμ00,,= (2-2-54) 以上各式中：k ––––多孔介质内渗透率（cm 2）；

k r (h ）––––相对非饱和渗透率； g ––––重力加速度（cm ／s 2）；

k(h, T 0）––––在参考温度T 。时的水力传导率（cm/d ） μ––––流体动力粘滞系数。

式（2－2－54）中μ（T 0）／μ（T ）可表示为

()()2

020000211.00384.01000211.00384.01T T T T T T ++++=

μμ (2-2-55)

根据Philip 和De Vries 等研究，热蒸汽扩散系数D TV 和蒸汽传导率D HV 分别可表示为

［１６，１７］

()()

C s cm

T R h g T H fD D v a L TV ??

??

? ??+-??Ω=-/2732

001

ρρθρ (2-2-56)

()

()s cm T R g

fD D v

a L HV /2731

+Ω=-θρ (2-2-57)

()

??

?>++<='k

L k V k

L V

f θθθθθθθθθ1 (2-2-58)

()

()s cm T D a /2731229.02

75

.1-= (2-2-59)

()3

2L θθ-=Ω (2-2-60)

式中：f ––––在Philip 和 De Vries 公式中对水汽扩散引入的修正因子，f=f ′ξ，经验系数ξ=1．3～3．2；

θk ––––液体水流流动盯以忽略时的含水率； Da ––––空气中分于扩散系数（cm 2/s ）； Ω––––由气体所充填孔隙的弯曲率；

θL ––––孔隙中蒸汽的体积与土壤体积比； H ––––为相对湿度，H=exp （hg ／RT ）。 根据质量守恒定律得；

()()V L V V L L q q t

+-?=?+?θρθρ (2-2-61)

将式（2－2－49）、式（2－2－50）、式（2－2－51）代人上式，得到水分运动方程：

()[][]z

k T D h D k t T S t h S TV HV T h

??+??+?+?=??+?? (2-2-62) 其中 T

V L V r L L

V

h h

h S ??+

?????

? ?

?-

=ρρθθρρ1

H

T

T

S V

L V r L L V T ??+

?????? ??-=ρρθθ

ρρ1

在单位体积多孔介质中的热量为

()?-+-=L

Wd L T T C Q L V L L θθρθρ0

00 (2-2-63)

式中：C Ｌ=

∑=5

1

i i

i C θ

为水汽介质的热容量（cal ／cm 3，lcal ＝4．1868J ）；

C i ，θi ––––土壤中水、汽、石英和其他矿物质及有机质的体积热容量及占土体百分数； L 0––––在参考温度T 下的蒸发潜热，cal ／g ，在T=20℃时，L0=585cal ／g 。 蒸发潜热L 可以下式表示：

()()00T T C C L L l v --+=

式中：C v ––––常压下水蒸汽比热；

C i ––––水的比热。

W 为微分吸湿热（cal ／g ），由热动力学原理，可表示为[17—１９]

：

()g cal T j T h g j W /1?

?

? ??

??--=- (2-2-64)

式中：j ––––热功当量（erg ／cal ）。

多孔介质内任一点处的热通量为

()()m L V TV L h q T T C Lq T D L q 01-++?-=ρλ

(2-2-65)

∑∑===51

5

1

/i i i i i i i k k θλθλ (2-2-66)

式中：λ––––土壤的热传导系数[cal ／（cm ·s ·℃）］，它是通过土壤中各种组分的热传导系数加权平均而求得的。

k i ––––固体颗粒温度梯度与水体温度梯度之比。 Chung [20]提出了一个热传导系数的经验式

()[]C s cm cal b b b L L ?????

? ??

++=69

.488/21

321θθλ (2-2-66,)

将式（2－2－63）及式（2－2－65）代入热量连续方程得：

()()()[]m L h HV L h r

q T T C LD T t

T C t T C 0-?-??+??=??+??ρλ （2-2-67）

其中 h

L

h V r T H T

H

C C ??+??+=θρ2

T

L

T V h h H h

H C ??+??=θρ2

1

()v v v L C T T H θθ001+-=

()()W L C C T T H L v v v L L ρρρρ----=02

C 为湿土壤的热容量［cal/（cm 3·℃）］。

式（2－2－62）和式（2－2－67）及其相应定解条件组成了水、汽、热耦合求解模

型。对一维问题，方程可简化为［２１］

：

()z

k

z T D z z h D k z t T S t h S TV HV T h

??+??????????+????????+??=??+?? （2-2-68） ()[]m L HV v h T

q T T C z

z h LD z z T z t h C t T C 0-??-??????????+??????????=??+??ρλ （2-2-69） 由于方程中系数也为待求函数的函数，这些非线性方程需通过迭代求解［７］

。在求解

过程中，常用的压力和热量（能量）单位有以下几种。

（1）压力单位常采用帕（Pa ）、巴（bar ）、标准大气压（atm ）、毫米汞柱（mmHg ）、毫个水柱（mmH 2O ）等。

（2）热量（能量）常用单位有焦尔（J ）、卡［路里］（cal ），尔格（erg ）。 以上单位的相互转换关系见下表所示。

第六节 土壤水分通量法

一、土壤水分通量法基本原理

土壤水分通量法是直接利用达西定律和质量守恒原理分析计算土壤水通量及潜水的入渗量或蒸发量的一种方法，这种方法在有定位点负压h （基膜势）和含水率观测资料地区应用简便。

根据质量守恒原理，一维垂向土壤水流连续方程（见2-2-6）可写作：

z

q

t ??-=??θ （2-2-70） 上式由z 1至z 2积分得：

dz t

z q z q z z ?

??=-2

1

)()(21θ

（2-2-71） 式中：q （z 1）、q （z 2）––––分别表示高度为z 1和z 2处土壤水运动通量。

在t 1至t 2时段内（Δt ），上式可写作：

()()??-=-2

1

21

1221,,)()(z z z z dz t z dz t z z Q z Q θθ （2-2-72）

式中：Q （z 1）、Q （z 2）––––分别表示高度为z 1和z 2处通过单位断面面积的水量（t 1至t 2时段内）。

式（2－2－72）表明，当已知时段前后两个瞬时土壤剖面上含水率分布时，仅需已知一断面上土壤水通量即可求得任一断面的通量或水量。因此，称该方法为土壤水通量法。由于这种方法是根据时段前后两个瞬时含水率剖面确定水流通量和水量的，在某些情况下，称之为瞬时剖面法。

通量法可分为零通量面法和已知通量法两种。

二、零通量面法

由前述可知，当不考虑溶质势、气压势和温度势时，土壤水的总水势为基膜势Ψm 及重力势Ψg 之和，常用负压水头h 和位置水头z 之和表示。在测定土壤剖面上基质势和重力势后，可计算出土壤剖面上总水势分布曲线，如图2－2－7所示。

由达西定律，土壤水通量为：q ＝()

z H h k ??-，当z

H

??＝0时，q ＝0，即为零通量面。图2－２—７中A 、B 两断面均为零通量面，但A 、B 两断面的水流状况是不同的。对A 断面

而言，水流向上、下断面运移，也可称为发散型零通量面。而B 断面的上、下断面水流分别向断面B 汇集，故称聚合型零通量面。图2－2－7中有两个零通量面，这表明降雨（或灌水）入渗与蒸发是交替发生的。一般土壤较长时间处于单一的蒸发或入渗状态，剖面上可能不存在零通量面。

当剖面上存在零通量面时，可根据式（2－2－72）求任一断面z 处土壤水通量，即：

()()??-=z

z z z dz t z dz t z z Q 0

21,,)(θθ （2-2-72’）

也可自d 至z 0间土壤贮水量的变化，如图2－2－8中面积1234求自地表蒸发的水量，

()()??-=d

z d z dz t z dz t z d Q 0

21,,)(θθ。同样，也可根据面积154计算入渗补给地下水的水

量。

三、已知通量法

如上所述，当长期处于蒸发或入渗状态时，土壤剖面上并不一定存在零通量面。在这种情况下，若能已知某一断面上土壤水通量，则可利用已知通量断面，推求其他断面通

量，这种方法称为已知通量法。常用的已知通量法有表面通量法和定位通量法［８］

。

表面通量法是已知地表入渗量或蒸发量，以地表为已知通量面，推求任一断面通量的方法。

若土壤表面在t 1至t 2时段内入渗量（或蒸发量）为Q m ，则根据式（2－2－72），任一断面z 处单位面积上流过水量为

()()??-+=d

z

d z

m dz t z dz t z Q z Q 12,,)(θθ （2-2-73）

式中：d ––––地表距地下水面距离（以地下水面为基准面）。

地表的入渗量可以实际测定，蒸发量可近似地采用公式计算（如可用Penman 公式求蒸散发量）。

定位通量法是在作物根层以下某一特定位置（如地下水面以上一定位置处）上下z 1和z 2安装负压计，测定这两点负压。如土壤水力传导度k （h ）已预先测定，则可计算这两点间平均断面z 1—2的通量为

??

?

??+?--=-1)()(1221z h h h k z q （2-2-74）

式中：h 1、h 2––––分别为断面z 1和z 2处负压值。

2

,2

112h h h z z z +=

-=?

在已知断面z 1—2通量情况下，可求得t 1至t 2时段内流经断面z 1—2的单位面积土壤水量为Q （z 1—2）。同样可由Q （z 1—2）求得任一断面流量Q （z ）：

()()?

?

---+=-2

12

11221,,)()(z z

z z

dz t z dz t z z Q z Q θθ （2-2-75）

使用上述已知通量法需有定位点含水率和负压资料，且需要预先测定土壤水力传导度k(h)值。

土壤的水力传导度常采用表面通量法，根据时段前后两个瞬时的土壤剖面含水率的变化进行测定。在试验室条件下可用垂直土柱测定土壤水力传导度，在土柱的下边界利用供水装置瞬时供水，并保持一恒定水位。在野外条件下可在田面灌水后，用塑料薄膜或其他不透水材料覆盖，在地表形成零通量面，每隔一定时间测定土壤剖面上各点的含水率和土壤负压，即可采用位于地表的零通量面法根据时段前后剖面含水率计算各断面的通量q 。在已求得各断面通量q 后，即可根据任意两相邻断面z 1、z 2处的土壤负压值h 1、h 2自下式计算平均负压2

2

1h h h +=

时的k(h)值： ()()

11

221±?-=

-z

h h z q h k （2-2-76）

式中：△z= z 2－z 1。当z 向下为正时，以上等式右端项分子中取＋1，在z 向上为正时取－1。

第二章 土壤水分运动基本方程2

第二章 土壤水分运动基本方程 如前所述，达西定律是由达西（Darcy ，Henry 1856）通过饱和砂柱渗透试验得出，后由Richards （1931）将其扩伸至非饱和水流中，并规定导水率为土壤负压h 的函数，即 ()H h k q ?= （2-2-1） 式中：H ?——为水势梯度； k （h ）——为导水率，是土壤负压h 的函数； q ——为水流通量或流速。 Richards 方程垂向一维方程为 ) 1)(( ) (±??-=??-=z h k z H k q z θθ 注意：H=h ±z ，垂直坐标向上为“+”；向下时为“–”。 由于k （h ）受滞后影响较大，上式仅适用于单纯的吸湿或脱湿过程。若将导水率作为容积含水率函数，即以k （θ）代替人k （h ），则可避免滞后作用的影响。 一般说来达西定律对饱和与非饱和水流均可适用，即水流通量与势能梯度成正比。但在饱和土壤中，压力为正值，其总水头包括了由该点在地下水面以下深度来确定的静水压力（正值）和相对于基准面高度来确定的位置水头，总水头为压力水头和位置水头之和，水由总水头高处向低处流动。在非饱和土壤中，基质势为负值，土水势在不考虑溶质势、温度势及气压势时，只包括重力势和基质势。因此，总水头常以负压水头和位置水头之和来表示。 一维Richards 方程的几种形式： 根据() ()θθ θD h k =??（K=C ×D ）得： x h k q x ??-=)(θ x D q x ??-=θ θ)( y h k q y ??-=) (θ y D q y ??-=θθ)( )1)( (±??-=z h k q z θ )]()([θθθk z D q z ±??-=

土壤入渗速度测定实验

实验一 土壤入渗速度的测定实验 一、实验目的 1.测定特土壤的垂直入渗特性曲线。 2.掌握测定土壤吸渗与入渗速度的操作方法。 二、实验原理 考斯加可夫公式:i t ＝i 1t -a ---------------------------- (1) i t ——入渗开始后时间t 的入渗速度; i 1——在第一个单位时间土壤的渗透系数,相当于t ＝l 时的土壤下渗速度; a —指数。 对公式(1)取对数得 lgi t ＝lgi 1-a·lgt ----------------------- (2) 实测的lgi t ,lgt 点应成直线关系,取t=1时的i 值,极为i 1,该直线的斜率为a 值。 计算时t a ,t b 时刻对应i a ,i b ,代入下式得 b a b a t t i i a lg lg lg lg --= ----------------------- (3) 若已知i 1,a 值也可以按下述方法推求,有式(1)积分得 a t a t t a i dt t i idt I ---= ==??110 10 1 ----------------------- (4) I 为时间t 内总入渗量(累积入渗量),由实测数据得出,由于i 1已知,故a 可以求出。该法的缺点时很难测定第一个单位时间的入渗强度。 三、实验设备 1.土壤入渗仪:一套; 2.秒表:一只 3.量筒、滤纸、烧杯 4.排水管 5.接渗瓶 四、实验步骤 1.装土:将玻璃管从入渗仪上取下,底部放入一片滤纸,然后装土,在装土期间,

用木棒稍捣,要求土样均匀,装土至玻璃管即可,再在土样上部放入一张滤纸,把玻璃管与入渗仪连接好。 2.加水:关闭水阀,打开排气阀,用烧杯向加水槽加水,使量桶里的水位到达到一定刻度处,然后关闭排气阀。 3.建立水头开始实验:用烧杯迅速向玻璃管加水至玻璃管上标线,水头建立后,立即打开供水阀,同时打开秒表计时,三者要求同时进行,动作要迅速、准确、细心。 4.记数:实验开始后秒表不能中断,要求每隔1分钟1次,共读10次,再每隔2分钟读1次,共读10次,再每隔3分钟读1次,共读5次,以后每隔5分钟读1次,直到两相邻时段内,读数差值相等,说明土壤入渗已经达到稳定,即停止实验,记录项目为记录表中的第l项与第2项。 土壤非饱与垂直入渗率测定表 日期: 土质: 垂直入渗仪横断面面积(mm2): 马氏瓶横断面面积(mm2): 五、实验资料整理 1.根据实验数据,将记录的马氏瓶读数算为毫升,再计算为水层深度。 2.计算时段平均入渗速度。

土壤的入渗特性及渗吸速度测定_灌排工程学

第一部分 课程实验及指导 实验一：土壤的入渗特性及渗吸速度测定 一、实验目的 土壤渗吸速度是反映土壤透水性能的重要指标，它是农田水量平衡计算的重要依据。旱田在进行地面灌溉时，灌溉水在重力作用下自地表逐渐向下湿润。为保证最有效地利用灌溉水，既要使计划湿润层得到均匀的灌溉 水，又不产生多余的水量向深层渗漏，必须了解水向土中入渗的规律。 二、实验设备 渗吸速度测试仪、量杯、秒表等。 三、实验过程 1．取自然风干土碾碎过筛，要求碎块不大于2毫米，测筒底铺滤纸，装土至给定深度，适当沉实，再盖滤纸。 2．在量杯内灌水，并关闭放水管和通气管（如图所示），放在支架上。 3．实验开始时同时完成：掀动计时秒表，迅速使测试仪中土样上建立水层2厘 米。 图1-1-1土壤入渗特性实验装置 4．实验开始后，定时记载量杯中水量读数，时间间隔初期较短，以后逐渐加大。并填写表1-1-1： 表1-1-1 土壤入渗特性测定记录表 四、实验原理 在地面形成一定水层的入渗称为有压入渗，对于均质土的入渗强度，已有若干计算公 式，菲利普根据严格的数学推导，求的解析解为： f i t s i += -2/12 （1-1-1）

i —t 时刻的入渗强度； s —与土壤初始含水率有关的特性常数，称为吸水率； i f —稳定入渗率，即饱和土壤渗透系数。 考斯加可夫根据野外实测资料分析，发现入渗强度（渗吸速度）与时间之间呈指数关系，其形式为： α-=t i i 1 （1-1-2） 式中 i 1—第一个单位时间的入渗强度； α—反映土壤性质与入渗初始时土壤含水率的经验常数。 饱和与非饱和土壤水分运动均服从达西定律，所不同者，在饱和情况下，认为渗透系数是常数；而在非饱和情况下，渗透系数是变量，其值随土壤含水率而异，含水率越低，渗透系数越大。 五、实验要求 1．根据水室断面和测筒断面，求出△t 时间内测筒下渗的水量。 2．求出各时段平均入渗速度v 。 3．用坐标纸点绘渗吸速度随时间变化过程线。 4．分析确定供水开始时土壤渗吸速度i f 、渗吸系数及透水指数α值。 5．填写实验报告。 六、思考题 利用菲利普公式和考斯加可夫公式求s 或i 1时，讲选取第一个单位时刻的i 值，如何理解这第一个单位时刻的意思？它是根据i 的取值单位还是绘图时的取值单位？

土壤入渗理论与方法(改)

西南林业大学 硕士研究生文献综述 论文题目：土壤入渗理论与方法 学院：环境科学与工程学院 年级： 2014级 成员：冯晓月阮书鹏曹向文 指导教师：宋维峰 2015年4 月25 日

摘要 入渗是水文学中重要的基本概念，定量确定土壤入渗性能对认识水循环及水利用具有重要的理论意义和实践价值。当然，从不同角度出发去探讨土壤入渗也有不同的科研意义。本文试图通过对目前国内外对土壤入渗的研究做一个系统性归纳与对比，从而为下一步的学术论文打下基础。 关键词 土壤入渗；方法；模型；影响因素

Abstract Infiltration is a vital basic concepts in hydrology, qualitatively analysis soil infiltration capability has important theoretical significance and practical value in the water cycle and use. Of course, using different angle of view to discuss soil infiltration also have different research significance. This article attempts to do a systematic induction and comparison through the study of soil water infiltration at home and abroad, which lays the foundation for the next academic paper. Key words soil infiltration;methods; the influence of factors

数学物理方程第三版第一章答案(全)

数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ????

数学物理方程谷超豪版第二章课后答案

第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为

土壤入渗实验指导书

《水文学原理》实验指导书 天津农学院水利工程系 2006.9

实验一土壤渗透系数的测定 [实验目的]： １．掌握土壤下渗的物理过程及下渗机理； ２．测量土壤渗透系数Ｋ； ３．学习正确使用渗透筒。 [实验原理]： 下渗过程一般划分为三个阶段。第一阶段为渗润阶段，这阶段，土壤含水量较小，分子力和毛管力均很大，再加上重力的作用，所以此时土壤吸收水分的能力特别大，以致初始下渗容量很大，而且由于分子力和毛管力随土壤含水量增加快速减小，使得下渗容量迅速递减。第二阶段为渗漏阶段，土壤颗粒表面已形成水膜，因此分子力几乎趋于零，这时水主要在毛管力和重力作用下向土壤入渗，下渗容量比渗润阶段明显减小，而且由于毛管力随土壤含水量增加趋于减小阶段，所以这阶段下渗容量的递减速度趋缓。第三阶段为渗透阶段，在这一阶段，土壤含水量已达到田间持水量以上，这时不仅分子力早已不起作用，毛管力也不再起作用了。控制这一阶段下渗的作用力仅为重力。与分子力和毛管力相比，重力只是一个小而稳定的作用力，所以在渗透阶段，下渗容量必达到一个稳定的极小值，称为稳定下渗率。 [实验仪器]： 1.渗透筒（渗透环）一套——渗透筒是用金属做的一套无底同心圆柱筒，筒底 具刀口，同心环内管的横截面积为1000cm2,内径35.8cm，高30-50cm，外筒内径60cm（亦可用土埂围堰代替外筒）； 2.量筒500ml和1000ml各一个； 3.水桶2个；温度计1支（刻度0-50℃）；秒表（普通钟表）1块；量水测针或 木制厘米尺一个；席片或塑料薄膜（灌水时防止冲刷用）。 [实验步骤]： 1.选取具有代表性的地块，把渗透筒的内筒插入土中，深度10cm左右，同时插 好外筒。如无外筒，可筑埂围堰，高度和内筒高相平，埂顶宽20cm，并捣实之。 2.同内外插入量水测针或木制厘米尺各一支，筒内水层厚度一般保持5cm。 3.把席子或塑料薄膜放入筒底，同时把温度计插入筒内。在开始灌水时，土壤 吸水速度较快，为使筒内达到一定水层，第一次灌水要快，同时视水层下降

推求Gardner-Russo持水曲线模型参数的简单入渗法

基金项目 作者简介 湖北监利人博士生 主要研究方向为地面水资源与地下水资源及环境 推求持水曲线模型参数的简单入渗法 薛绪掌张仁铎 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室湖北武汉 国家农业信息化工程技术研究中心 北京 中山大学环境科学与工程学院广东 广州 摘要本文基于水平一维非饱和土壤水分运动规律 推求了 用模拟的结果进行拟合其决定系数 为 利用数值模拟数据和实验数据检验该方法将用此方法 结果表明本研究所求得的参数有较高的精度关键词土壤水分渗流运动 参数数值模拟 等和 直接测量土壤水分特征曲线和非饱和土壤导水率的方法 土壤水力特性土壤质地资料被成功地用来预测非饱和土壤水力特性 和 描述非饱和土壤水力特性模型中的参数该方法是在假 等模型中的参 法来推求更多描述土壤水分运动模型中的参数基本理论 水平一维非饱和土壤水分运动建立在 其表达式为

其表达式如下 是土壤饱和体积 方程描述如下 式中 其初始和边界条件其中为土壤初始体积含水率 式中为任意位置 则湿润峰位置的土壤水基质势 很低有 式中为湿润峰 由于 可得 变化的函数表达式 该式右边须乘以一个 参数 式中 当时入渗通量 和湿润峰厚度

此公式相似于表征的水分入渗模型 当土壤湿润峰为时其相对应的土壤水累积入渗量 其中 其中 其中 土壤饱和水 力传导度和土壤饱和体积含水率取 风干土含水量和 根据入渗率和湿润峰之间的关系 ?利用迭代法求得可得参数 和

本研究应用程序 模拟中用到列出了土柱长度为 用到 分别为和 体积含水率和土壤饱和导水率和后借助求解 和为了验证所推导的计算 算得到的参数值和输入的参数值进行比较和参数敏感性分析并将参数估计值代入模型中得到的 表土壤类型水力特性参数 土壤??? 实验方法年 验室温度控制在土壤为风干散装土系采自北京昌平小汤山国家精准农业基地个土壤剖面层 次和土壤样品自然风干且过表 表供试土壤的基本性质 土壤剖面层次深度有机质团粒结构状况 将各种供试土壤按照装土容重分成 在实验前取自然分干土样利用烘干法测定供试土壤的重 和初始体积含水率 在实验室内进行了传统的的有机 试验土柱是界面直径为将供试土壤按设 计容重分层均匀装入圆筒在实验过程中 结果和讨论 数值分析湿润峰 为了验证其结果将模拟结果点绘在二维坐标中和图 图和图分别描述了 其拟合结果见表

数学物理方程第二版答案解析(平时课后知识题作业任务)

数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有

二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)

土壤入渗实验报告

一、实验目的 1．加深对土壤渗吸速度变化的一般规律的了解。 2．了解土壤质地对土壤渗吸速度的影响。 3．掌握土壤渗吸速度的常规测定方法及装置原理。 二、实验设备 水在土壤中入渗分为有压入渗和无压入渗。如漫灌、畦灌和沟灌都属于有压入渗。喷灌、滴灌属于无压入渗。本试验是模拟有压入渗条件下，土壤渗吸速度的测定。 本试验为室内试验，试验装置如图4-1-1。试验仪器大体分为由两部分，即试样渗吸桶和供水马氏瓶。双环入渗试验的外环外径为15cm，内径14cm；内环的外径直径10cm，内径直径9cm，高15cm。安装后要求内环环顶端与渗吸筒齐平，下端插入土内10cm。试验桶正上方为自动供 水箱（即为马氏瓶），使内环保持稳定的水层深度。供水马氏瓶外径6cm，内 径5cm。此外再配备秒表、水桶、水勺和刮土板等试验用具。 三、实验方法及步骤 1．实验准备工作 a．人员分工 每组实验人员3～5人，其中一人计时兼指挥，一人读取供水水位数 值，一人加水，其余人员做记录和观察渗吸规律。 b．准备工作 和内环一并称重， （1）测量试样桶容积V，按欲模拟土壤干容重 干 M。 计算出干土重' （2）将筛网贴紧桶底铺好，然后开始填装。土样一般分5～6次填装， 均匀夯实，层间要“打毛”。土样全部装好后用刮板刮平表面，最后将马 氏瓶安装好待用。 (3) 关闭供水箱（马氏瓶）的出水口，向水箱内注水，然后用胶塞密 封注水进水口。图4-1-1 试验装置示意图 (4) 在试样图环内表层铺塑料薄膜，向环内注入约5cm深的水层，打 开供水箱开关，用注射器抽水，直至马氏瓶能正常供水（目的是调节马氏瓶）。 (5) 检查秒表是否正常及回零位。 (6) 记录供水箱原始水位读数。 2. 实验方法及步骤 试验人员必须精力集中，认真负责，在统一指挥下，分工协作，作好记录。 a．迅速抽取塑料薄膜，并开始记时水位数值。 b．读取第一分钟末供水箱的水位，按试验要求读取水位数值。 c．实验至渗吸速度稳定后(即每两次水位读数差相同)，实验结束。 3. 注意事项 a．供水箱出水口必须淹没在内环水面以下0.5～1.0cm。 b．水位读数要读取每分钟末的数值，该数是计算渗吸规律重要的参数之一。 c．试验开始时迅速向外环加水至0.5～1.0cm时，使内外环水位大致保持相同水深，但外环加水不计入总量。 d．内环的供水量，由水箱上的标尺读数换算获取。 四、试验原理及资料分析整理

降雨和灌水入渗条件下土壤水分运动2.docx

第五章降雨和灌水入渗条件下土壤水分运 动 第一节水向土中入渗过程 一、概述 降雨和灌水入渗是田间水循环的重要环节，与潜水蒸发一样，是水资源评价和农田水分 状况调控的重要依据。 水渗入土壤的强度主要取决于降雨或灌水的方式和强度以及土壤渗水性能。如果土壤渗水性能较强，大于外界供水强度，则入渗强度主要决定于外界供水强度，在入渗过程中土壤表面含水率随入渗而逐渐提高，直至达到某一稳定值。如果降雨或灌水强度较大，超过了土壤渗水能力，入渗强度就决定于土壤的入渗性能，这样就会形成径流或地表积水。这两种情况可能发生在入渗过程的不同阶段，如在稳定灌溉强度（例如喷灌）下，开始时灌溉强度小于土壤入渗能力，入渗率等于灌溉强度；但经过一定时间后，土壤入渗能力减少，灌水强度大于土壤入渗能力，于是产生余水，如图2－5－ 1所示的降雨或灌水条件下的入渗过程。开始时入渗速率较高，以后逐渐减小。土壤的入渗能力随时间而变化，与土壤原始湿度和土壤 水的吸力有关，同时也与土壤剖面上土质条件、结构等因素有关。一般来说，开始入渗阶段，土壤入渗能力较高，尤其是在入渗初期，土壤 比较干燥的情况，然后随土壤水的入渗速率逐 渐减小，最后接近于一常量，而达到稳定入渗 阶段。 在较干旱的条件下，土壤表层的水势梯度 较陡。所以，入渗速率较大，但随着入渗水渗 入土中，土壤中基模吸力下降。湿润层的下移 使基模吸力梯度减小。在垂直入渗情况下，如 供水强度较大，使土壤剖面上达到饱和，当入 渗强度等于土壤饱和水力传导度时，将达到稳 定入渗阶段。如供水强度较小，小于饱和土壤 水力传导度时，达到稳定入渗阶段的入渗强度将等于该湿度条件下的非饱和土壤水力传导 度。 入渗过程中，土壤剖面上水分分布与土表入渗条件有关。根据 Coleman和Bodman 的研 究， 当均质土壤地表有积水入渗时，典型含水率分布剖面可分为四个区，即表层有一薄层为饱和带，以下是含水率变化较大的过渡带，其下是含水率分布较均匀的传导层，以下是湿润程度随深度减小的湿润层，该层湿度梯度越向下越陡，直到湿润锋。随着入渗时间延续，传导层 会不断向深层发展，湿润层和湿润锋也会下移，含水率分布曲线逐渐变平缓。

二维吸渗与入渗条件下土壤水力特性参数反演方法研究

二维吸渗与入渗条件下土壤水力特性参数反演方法研究 土壤水力特性参数取值是影响非饱和土壤水运动数值计算精度的关键。采用数值模拟、理论分析和室内试验对比相结合的技术路线,综合运用土壤水动力学、数值模拟与数值反演、多目标优化、代理模型和多种计算机语言综合集成技术,开展土壤二维负压吸渗、积水入渗水分运动参数的反演方法研究,取得以下主要结果:（1）提出了一种新的土壤水力特性参数反演方法,即“两步法”。第一步,以吸渗/入渗结束时刻的土壤含水率(θ_final),即ψ(θ _final)最小作为目标函数,采用遗传算法反演饱和含水率;第二步, 以累积吸渗/入渗量ψ（Q）和吸渗/入渗速率ψ（v）最小作为目标函数,采用由多向量遗传算法和粒子群算法所构建的混合算法反演水力特性参数α、n和 K_s;与传统的加权和多目标反演方法相比,所提方法能够有效解决不同目标函数权重系数难以确定的问题,且具有高的求解效率和强的稳健性。（2）以所提“两步法”为基础,分别对二维吸渗和积水入渗条件下多种典型土壤、不同初始含水量条件下的van Genuchten–Mualem模型中水力特性参数进行了反演。 结果表明所得土壤水力特性参数反演值与典型土壤参考值（以RETC软件给出的典型值为比较时的参考值）具有好的一致性,说明所提反演方法具有高的可靠性;采用反演所得土壤水力特性参数分别绘制土壤水分特征曲线和导水率曲线,并与参考值绘制的曲线进行比较,结果表明两者具有高的一致性,说明反演所得 参数可较为精确的估算土壤水分特征曲线和导水率曲线;量化比较了考虑土壤含水率和累积入渗量存在测量误差条件下反演所得水力特性参数估算土壤水分特 征曲线和导水率曲线和参考值曲线,结果表明两者间具有小的差异和满意的估算精度,说明了所提反演方法具有强的稳健性;对积水入渗土壤垂直剖面含水率非 均一分布条件下水力特性参数进行了反演,结果表明典型土壤不同含水率分布模式下所得水力特性参数估算值与参考值差异较小,且采用反演结果绘制的土壤水分特征曲线和导水率曲线与参考值绘制的土壤水分特征曲线和导水率曲线基本 一致,说明所提反演范围具有较为广泛的使用范围,可用于生产实践。（3）建立了基于Kriging代理模型的土壤水力特性参数反演模型。根据土壤积水入渗的累积入渗量和最终含水率对土壤水力特性参数进行了反演估算,结果表明反演结果与典型土壤参考值具有高的一致性;量化比较了考虑土壤含水率和累积入渗量存在

第五章 降雨和灌水入渗条件下土壤水分运动2

第五章降雨和灌水入渗条件下土壤水分运动 第一节水向土中入渗过程 一、概述 降雨和灌水入渗是田间水循环的重要环节，与潜水蒸发一样，是水资源评价和农田水分状况调控的重要依据。 水渗入土壤的强度主要取决于降雨或灌水的方式和强度以及土壤渗水性能。如果土壤渗水性能较强，大于外界供水强度，则入渗强度主要决定于外界供水强度，在入渗过程中土壤表面含水率随入渗而逐渐提高，直至达到某一稳定值。如果降雨或灌水强度较大，超过了土壤渗水能力，入渗强度就决定于土壤的入渗性能，这样就会形成径流或地表积水。这两种情况可能发生在入渗过程的不同阶段，如在稳定灌溉强度（例如喷灌）下，开始时灌溉强度小于土壤入渗能力，入渗率等于灌溉强度；但经过一定时间后，土壤入渗能力减少，灌水强度大于土壤入渗能力，于是产生余水，如图2－5－1所示的降雨或灌水条件下的入渗过程。开始时入渗速率较高，以后逐渐减小。土壤的入渗能力随时间而变化，与土壤原始湿度和土壤水的吸力有关，同时也与土壤剖面上土质条件、结构等因素有关。一般来说，开始入渗阶段，土壤入渗能力较高，尤其是在入渗初期，土壤 比较干燥的情况，然后随土壤水的入渗速率逐 渐减小，最后接近于一常量，而达到稳定入渗 阶段。 在较干旱的条件下，土壤表层的水势梯度 较陡。所以，入渗速率较大，但随着入渗水渗 入土中，土壤中基模吸力下降。湿润层的下移 使基模吸力梯度减小。在垂直入渗情况下，如 供水强度较大，使土壤剖面上达到饱和，当入 渗强度等于土壤饱和水力传导度时，将达到稳 定入渗阶段。如供水强度较小，小于饱和土壤 水力传导度时，达到稳定入渗阶段的入渗强度将等于该湿度条件下的非饱和土壤水力传导度。 入渗过程中，土壤剖面上水分分布与土表入渗条件有关。根据Coleman和Bodman的研究，当均质土壤地表有积水入渗时，典型含水率分布剖面可分为四个区，即表层有一薄层为饱和带，以下是含水率变化较大的过渡带，其下是含水率分布较均匀的传导层，以下是湿润程度随深度减小的湿润层，该层湿度梯度越向下越陡，直到湿润锋。随着入渗时间延续，传导层会不断向深层发展，湿润层和湿润锋也会下移，含水率分布曲线逐渐变平缓。

土壤入渗实验报告

土壤入渗实验报告 一、实验目的： 进行土壤入渗试验，对土壤入渗规律有大致了解，并且利用测的数据绘出土壤累积入渗量和时间的关系曲线，利用该曲线求出入渗强度和时间的关系。 二、实验仪器： 直径4.5cm的土柱圆筒、宽5cm长4cm的马氏瓶 三、实验步骤： （1）把准备好的土装入圆筒中，每装5cm就夯实一次，直至土的的顶端位于圆筒进水孔的下缘。 （2）检测马氏瓶是否漏气。如果漏气就换试验设备或者用凡士林涂抹。 （3）将水灌入马氏瓶，把马氏瓶的出水孔和圆筒的进水口用橡胶管连接好，调节圆筒和马氏瓶的相对高度使得马氏瓶的出水孔刚好出水。 （4）读取马氏瓶中水的高度。 （5）实验开始，量取土柱量筒中土壤稳定下渗时土柱的淹水的深度，分别读取实验开始后第1、3、5、7、10、15、20、25、30、35、40min钟时马氏瓶中水的高 度。 （6）根据马氏瓶的面积和圆筒的面积求出圆筒中从开始到不同时刻的累积入渗量I，画出土壤累积入渗量I和时间的关系曲线，并利用该曲线求出入渗强度i和时间 的关系。 四、实验数据： 五、数据分析：

01 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 35 4045入渗时间t/min 土壤累积入渗量I 和时间t 的关系曲线图 根据土壤累积入渗量I 和时间t 的拟合函数求导得到土壤入渗强度i 和时间t 的关系 00.05 0.10.150.20.250.30.350.40.45 10 20 30 40 50 入渗时间t/min 土壤入渗强度 i/cm·min 土壤入渗强度i 和时间t 的关系曲线图 六、 体会： 1. 土壤渗流试验看似简单，不过做成功很难。实验室中大多数仪器损坏。实验条件艰 难，但是还是尽量利用实验室中的其他条件勉强把实验做完了。

降雨和灌水入渗条件下土壤水分运动2

第五章降雨和灌水入渗条件下土壤水分运 动 第一节水向土中入渗过程 、概述 降雨和灌水入渗是田间水循环的重要环节， 与潜水蒸发一样，是水资源评价和农田水分 状况调控的重要依据。 水渗入土壤的强度主要取决于 降雨或灌水的方式 和强度以及土壤渗水性能。如果土壤渗 水性能较强，大于外界供水强度，则入渗强度主要决定于外界供水强度， 在入渗过程中土壤 表面含水率随入渗而逐渐提高， 直至达到某一稳定值。如果降雨或灌水强度较大，超过了土 壤渗水能力，入渗强度就决定于土壤的入渗性能， 这样就会形成径流或地表积水。 这两种情 况可能发生在入渗过程的不同阶段， 如在稳定灌溉强度（例如喷灌）下， 开始时灌溉强度小 于土壤入渗能力，入渗率等于灌溉强度； 但经过一定时间后，土壤入渗能力减少，灌水强度 大于土壤入渗能力，于是产生余水，如图 2-5- 1所示的降雨或灌水条件下的入渗过程。 开 始时入渗速率较高， 以后逐渐减小。土壤的入渗能力随时间而变化， 与土壤原始湿度和土壤 水的吸力有关，同时也与土壤剖面上土质条件、 土壤入渗能力较高，尤其是在入渗初期，土壤 比较干燥的情况，然后随土壤水的入渗速率逐 渐减小，最后接近于一常量，而达到稳定入渗 阶段。 在较干旱的条件下，土壤表层的水势梯度 较陡。所以，入渗速率较大，但随着入渗水渗 入土中，土壤中基模吸力下降。湿润层的下移 使基模吸力梯度减小。在垂直入渗情况下，如 供水强度较大，使土壤剖面上达到饱和，当入 渗强度等于土壤饱和水力传导度时，将达到稳 定入渗阶段。如供水强度较小，小于饱和土壤 水力传导度时，达到稳定入渗阶段的入渗强度将等于该湿度条件下的非饱和土壤水力传导 度。 入渗过程中，土壤剖面上水分分布与土表入渗条件有关。 根据Coleman 和Bodman 的研究, 当均质土壤地表有积水入渗时， 典型含水率分布剖面可分为四个区， 即表层有一薄层为饱和 带，以下是含水率变化较大的过渡带， 其下是含水率分布较均匀的传导层， 以下是湿润程度 随深度减小的湿润层，该层湿度梯度越向下越陡， 直到湿润锋。随着入渗时间延续，传导层 会不断向深层发展，湿润层和湿润锋也会下移，含水率分布曲线逐渐变平缓。 结构等因素有关。一般来说，开始入渗阶段, 图2-5-1入滲率对时间的茏祭曲线

第三章 蒸发条件下土壤水分运动2

第三章 蒸发条件下土壤水分运动 土壤水分蒸发可以发生在土壤表面和植物体上。植物体的蒸发一般称为蒸腾，土壤表面蒸发称为土面蒸发。本章主要讨论土面蒸发条件下土壤水分运动。 土面蒸发所消耗的水分来自两部分，一部分是指直接消耗地下水面以上土层中水分，一部分消耗地下水，消耗地下水部分称为潜水蒸发。土壤水分蒸发有稳定蒸发和不稳定蒸发两种状态，当土壤水分的蒸发量与地下水补给量相平衡时为土壤水分的稳定蒸发状态，一般在连续干旱期，且地下水有侧向补给时，会出现这种情况；当土壤水蒸发量不等于地下水补给量时，土壤水分为不稳定蒸发状态，在降雨或灌水后的蒸发初期或地下水无侧向补给时，常处于这种状态。 土壤水蒸发一方面决定于外界（大气）蒸发能力（常以水面蒸发表示），另一方面决定于土层从地下水面向地表输水的能力，其输水能力大小一方面取决于土质条件，同时也决定于表土含水率。由于土壤水蒸发的水分是从土表散失，因此为了研究土壤水蒸发问题首先必须了解表土蒸发规律。 第一节 表土蒸发 一、形成干土层前的表土蒸发过程 由于表土蒸发的主要影响因素不同，其蒸发过程可以分为以下两个阶段。 1．表土蒸发保持稳定阶段 表层土壤水分的蒸发主要是由于土壤水汽压力与地表大气中水汽压力有一定差值，在压力梯度作用下，土壤中水汽向大气中扩散而产生的。压力差越大，土壤中水汽扩散的水量越大。在这一阶段，表土含水率越高（在某一定值以上），土壤水汽压力基本不随含水率的变化而改变，其数值趋近于饱和水汽压力。在这种情况下，土壤水分蒸发主要取决于外界条件（温度、湿度、风速等）。在外界条件不变的情况下，土壤水分的蒸发将不随含水率降低而变化，因此这一阶段称为稳定蒸发阶段，蒸发强度可用下式表示： )(0101P P -=βε （2-3-1） 式中：1ε––––稳定蒸发阶段土壤水分蒸发强度（m 3/d ·m 2 或 m/d ）； 0β––––质量交换系数，与外界条件有关； 1P ––––土壤表层的水汽压力（Pa ）； 0P ––––大气中的水汽压力（Pa ）。 在这一阶段内土壤水蒸发强度接近水面蒸发强度，而与土壤含水率无关。此阶段土壤含 水率的下限（临界含水率）即是蒸发强度与土壤毛管输水能力保持平衡之点；临界含水率即

土壤入渗实验报告

河海大学 土壤入渗实验报告班级：农水2班

土壤入渗实验报告 一、实验目的： 进行土壤入渗试验，对土壤入渗规律有大致了解，并且利用测的数据绘出土壤累积入渗量和时间的关系曲线，利用该曲线求出入渗强度和时间的关系。 二、实验仪器： 直径4.5cm的土柱圆筒、宽5cm长4cm的马氏瓶、托盘、烧杯、天平、直尺、滤纸、秒表、疏松土壤、自来水。 三、实验步骤： 1)把准备好的土装入圆筒中，每装5cm就夯实一次，直至土的的顶端位于圆筒 进水孔的下缘。 2)检测马氏瓶是否漏气。如果漏气就换试验设备或者用凡士林涂抹。 3)将水灌入马氏瓶，把马氏瓶的出水孔和圆筒的进水口用橡胶管连接好，调节 圆 4)筒和马氏瓶的相对高度使得马氏瓶的出水孔刚好出水。 5)读取马氏瓶中水的高度。 6)实验开始，量取土柱量筒中土壤稳定下渗时土柱的淹水的深度，分别读取实 验 7)开始后第1、3、5、7、10、15、20、25、30、35、40min钟时马氏瓶中水的 高度。 8)根据马氏瓶的面积和圆筒的面积求出圆筒中从开始到不同时刻的累积入渗 量I，画出土壤累积入渗量I和时间的关系曲线，并利用该曲线求出入渗强度i和时间的关系。 四、实验数据： 见后附页。 五、数据分析： I f=0.20 cm/min ； S=2.44 ； I1=1.22 cm/min ； ?=0.51 。

入渗强度-时间曲线图 入渗强度-时间双对数曲线图 湿润锋深度与时间关系图时间t/min 湿 润 锋 深 度 /mm F=38.5×t0.563

随着入渗时间的延长，土壤累积的入渗深度和入渗水量不断增大，初始时刻增加较快，随着时间的不断延长，土壤累积的入渗深度和入渗水量增长速度减缓。 土壤入渗强度随时间的延长而迅速减小，在初始时刻减小很快，随着时间的推移最后趋近于某一稳定值，形成这种现象的主要因素是入渗路径的不断加长，从水柱面到入渗锋面的水势梯度逐渐减小所以入渗强度也在不断减小，最后接近于该种土壤的渗透系数。 六、注意事项： 1.土壤入渗要现实土壤足够湿润，然后才能开始记录试验数据，否则会出错。 2.土壤入渗强度开始较强，后来变小，逐渐稳定。 3.土壤渗流试验看似简单，不过做成功很难，有许多需要值得注意的地方。 4.读数时秒表不能停，从打开止水阀门时按下秒表，直到入渗完全。 5.土壤入渗要现实土壤足够湿润，然后才能开始记录试验数据，否则会出错。 6.装土时不能把土压的太紧也不能不压，必须保持每次加入土的量和夯实的次 数一致，尽量保证土壤入渗的均匀度。 7.土壤入渗强度开始较强，后来变小，逐渐稳定，需要大致了解这个规律 8.往马氏瓶注水时需要打开阀门，注完后需要关闭才能开始实验。 9.

数学物理方程课程

《数学物理方程》课程 教学大纲 课程代码：B0110040 课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics 课程类型：学科基础课 学时学分：64学时/4学分 适用专业：地球物理学 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。 课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。 二、课程与相关课程的联系与分工 学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。

三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 第一节偏微分方程的基本概念 第二节弦振动方程及定解条件 第三节热传导方程及定解条件 第四节拉普拉斯方程及定解条件 第五节二阶线性偏微分方程的分类 第六节线性算子 2.重点难点 重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题 难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间 3.基本要求 （1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。 （2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理 （3）了解二阶线性方程的特征理论 （4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法 （5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。 第二章分离变量法 1.教学内容 第一节有界弦的自由振动。 第二节有界长杆的热传导问题。 第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。 第四节非齐次方程得求解问题。