1. 矢量及其运算

向量的线性运算基础测试题含答案解析

向量的线性运算基础测试题含答案解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝，

常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | (2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b | ，所以向量a 与 向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b | 成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0 平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 突破点(二) 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算：加法、减法、数乘 2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC 中，u u u r AB ＝c ，u u u r AC ＝b .若点D 满足u u u r BD ＝2u u u r DC ，则u u u r AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13 c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且u u u u r AN ＝12u u u r NC ，P 是BN 上一点，若u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ，则实 数m 的值是________． [解析] (1)由题可知u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝b －c ，∵u u u r BD ＝2u u u r DC ，∴u u u r BD ＝23u u u r BC ＝23(b －c )，则u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1 3 c ，故选D. (2)如图，因为u u u u r AN ＝12u u u r NC ，所以u u u u r AN ＝13u u u r AC ，所以u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ＝ m u u u r AB ＋23u u u u r AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13 . [答案] (1)D (2)1 3 [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若u u u r AB ＝a ＋b ，u u u r BC ＝2a ＋8b ，uuu r CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．

§1 矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

向量和向量的基本运算

向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

平面向量 平面向量的线性运算基础训练

平面向量的线性运算（基础训练） 1. 下列各式正确的是（ ） A ．若a r ，b r 同向，则|a +b |=|a |+|b | B ．a b +r r 与|a |+|b |表示的意义是相同的 C ．若a r ，b r 不共线，则|a +b |＞|a |+|b | D ．a a b <+r r r 永远成立 2．AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r 等于（ ） A ． B ． 0r C ． D ． 3．下列命题 ①如果a r ，b r 的方向相同或相反，那么a b +r r 的方向必与a r ，b r 之一 的方向相同。 ②△ABC 中，必有 0r ③若0r ，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。 ④若a r ，b r 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ，b r ，c r ，则向量等于（ ） A ．a b c ++r r r B ．a b c -+r r r C ．a b c +-r r r D ．a b c --r r r

5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===uu u r r uuu r r uu u r r ，则 等于（ ） A ． a b c -+r r r B ．()b a c -+r r r C ．a b c ++r r r D ．b a c -+r r r 6．设b r 是a r 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ．a r 与b r 的长度必相等 B ．a r ∥b r C ．a r 与b r 一定不相等 D ．a r 是b r 的相反向量 7．AC uuu r 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 8.如图所示，在 ABCD 中，已知,AB a DB b ==uu u r r uu u r r ，用a r 与b r 表示向量AD uuu r 、 。

矢量基本概念

(一) 矢量基本概念 定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。 表示法 定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），a 。 特殊的向量 零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。 单位矢量：长度为1的矢量。 向量之间的关系 两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。 反矢量：长度相同，方向相反的矢量。 共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。 共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。 关于向量之间的关系，有下面结论： 零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面； 三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算 （一）矢量的加法 矢量的和（三角形法则） 设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA =，b AB =得一折线OAB ，从折线的端 点O 到另一端点B 的矢量c OB =，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。 矢量的和（平行四边形法则） 如图示，有b a c +=。 一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++= 运算规律： 1） 1） 交换律：a b b a +=+； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a ++=++。 矢量的差 若a c b =+，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b a c -=。

由定义，得矢量减法的几何作图法： 矢量加法的性质 （1）)(b a b a -+=- （2）||||||b a b a +≤+ （3）||||||+≤- （4）?++≤+???++||||||2121a a a a a n ||n a ?+? （二）矢量的数乘 定义（数量乘矢量） 实数λ与矢量的乘积a λ是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ?=λλ； （2） （2） 其方向由下列规则决定：当0>λ时，λ与方向相同；当0<λ时，λ与方向相反；当0=λ或0=时，是零向量，方向不定。 定义 如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0 a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。 由定义，0 ||a a a ?= | |0 a a =∴ 数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ= 2）第一分配律：μλμλ+=+)( 3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)( 由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111μλνμλν+-+ 22221111μνλνμνλν--+= )()(22112211μνμνλνλν-+-= （三）两矢量的数性积 一、 一、数性积的定义与性质

矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量： 332211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++= 则矢量 333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-= 其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为 2 32221a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k ，令三个矢量的分量记为 ()() 123123,,,,,a a a a b b b b 及 () 123,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123 123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说 不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:( )()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209）

将矢量作重新排列又有：()()( )a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（a ? ） ?是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（a ? ）则是 一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ?是φ 在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向d r 的变化率的d r 倍，即d φ。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将()dr ?作用于矢量v ，则()dr v ?就是v 再位移方向d r 变化率的d r 倍，既为速度矢量的全微分()dv dr v =? 应用三重矢量积公式（1-209） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+?? 应用三重矢量积公式（1-210）又有 ()()() 00()()()()a b a b a b a b a b b a b a ??=??+??=???+?+???+?? 将以上两式结合（相减）后可得 () {() }1 ()()()()()2 a b a b a b b a a b b a a b ?= ??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令 a b v ==，因 () v v ???=则有 21 ()() 2v v v v v ?=?-??? 4.算子? 的应用 令φ是标量，a 是矢量，;a b 为并矢量，则有

矢量基础

§1.2 矢量运算 1.2.1 矢量加法 矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。 C A B =+ (1.4) 矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图 1.2(b)所示，矢量A 的头和矢量B 的 尾相接，得矢量C 。同理矢量B 的头和矢量A 的尾相接，也得矢量C 。 可见，矢量加法和矢量排列次序无关，即服从交换律 A B B A C +=+= (1.5) 矢量加法也服从结合律 D B C A D C B A D C B A +++=+++=+++)()()( (1.6) 矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量。 例如把矢量A 放在直角坐标系中，可以 分解为x A ，y A 和z A ，A 为这三个矢量之和，如图1.3所示。 z y x A A A A ++= (1.7) 在直角坐标系中，三个轴方向上的单位矢量分别为x a ，y a 和z a 。矢量x A ， y A 和z A 的模分别为矢量A 在x ，y 和z 轴方向上的投影，用x A ，y A 和z A 表示则 z z y y x x a A a A a A A ++= 可见，A 的模为 (a) (b)

2221/2||()x y z A A A A =++ (1.8) A 的单位矢量a 为 22 21/2 ||()||||||x x y y z z x y z y x z x y z A a A a A a A a A A A A A A A a a a A A A ++==++=++ (1.9) 由图1.3可知 cos ||x A A α= cos ||y A A β= cos ||z A A γ= (1.10) 其中α，β和γ分别为矢量A 的方向角，即矢量A 与三个坐标轴方向的夹角。 αcos ，βcos 和γcos 称为矢量A 的方向余弦。 设有三个矢量A ，B 和C ，在直角坐标系中分别表示为 z z y y x x a A a A a A A ++= z z y y x x a B a B a B B ++= z z y y x x a C a C a C C ++= 则三个矢量相加为 z z z z y y y y x x x x a C B A a C B A a C B A C B A )()()(++++++++=++ (1.11) 在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性。例如，同一个矢量在不同的坐标系中，分解的情况是不同的。 1.2.2 矢量减法 矢量减法可以视为矢量加法的特例，即 )(B A B A -+=- (1.12)

最新向量的运算基本定律

向量的运算基本定律 1．实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： ⑴结合律：λ(μa )=(λμ) a ; ⑵第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ; ⑶第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2．向量的数量积的运算律： ⑴ a ·b= b ·a （交换律）; ⑵（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; ⑶（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3．平面向量基本定理： 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实 数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4．向量平行的坐标表示： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 5．a 与b 的数量积(或内积)： a · b =|a ||b |cos θ． 55. a ·b 的几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 6．平面向量的坐标运算： ⑴设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. ⑵设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. ⑶设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. ⑷设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ. ⑸设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 7．两向量的夹角公式： cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). 8．平面两点间的距离公式： ,A B d =||AB AB AB =?=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 9．向量的平行与垂直： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则

矢量的基本代数运算

矢量的基本代数运算 《微分几何简介》笔记 Ch.1矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量e i，e2， e3，构成一个直角坐标系（或标架）。用[O；e,e2,e3]表示；O称为的原点，e i，e2，e3称为的基矢（或底矢）。 若P为空间任意一点，以0为始点，P为终点的矢量r OP称为P点在标架里的径矢。P 点在里的坐

标x i, X2，X3就是r径矢在里的分量： r X i e i X2e2 X a e a 若P、Q为空间两点，它们在里的径矢依次为 r X i e i X2e2 X a e a，s y i e i y z e? y a e a 则矢量 PQ OQ OP s r （y i xje i （y? X2）e2 （y a X a）e a

其中y i X i （i 1,2,3） 就是该矢量在 里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是 它们的分量依次相等 若|a 1 , a 为单位矢量（幺矢）。|a 0，则 a i / a 叫做a 在里的方向余弦，它们是a 和e i 间的角［0, 之间 的余弦。零矢没有方向余弦。 i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角 形）法则。 a B (a i b i )e i (a 2 b 2 )e 2 (a 3 b 3 )e 3 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或 三角形）法则，为加法的逆运算。 a B （a i b i ）e i （a ? b 2）e 2 （a 3 b 3）e 3 3） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则 况 a 〔e i a 2e 2 a 3e 3 4）数积（点乘）：矢量a , B 的数积是纯量 a B a i b i a 2b 2 a 3b 3 a Bcos 矢量a a ?e 2 a 3e 3 的长为 1.2矢量的基本代数运算 现有矢量a a i e i a 2e 2 a 3e 3 和 B b i e i b 2e 2 b 3e 3 a 2 2 a ? a 3

向量及向量的基本运算

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的 积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意 与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移 到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反 向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；

高中物理模型组合27讲(Word) 矢量运算模型

模型组合讲解——矢量运算模型 ［模型概述］ 矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，所以在进行模块讲解之前，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。 ［模型讲解］ 例. （2005年安丘市统考） 如图1所示，平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为G 。在平行四边形内任取一点O ，作矢量OA 、OB 、OC 、OD ，则这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于（ ） 图1 A. 4OG B. 2AB C. 4GB D. 2CB 解析：如图2所示，延长OG 至P ，使GP ＝OG ，连结PA 、PB 、PC 、PD ，得平行四边形AODP 和平行四边形COBP 。由力的平行四边形定则知道，矢量OA 、OD 所代表的两个共点力F F A D 、的合力F AD 可用矢量OP 表示，即F OP OG AD ==2。 图2 同理，矢量OB 、OC 所代表的两个共点力F F B C 、的合力F BC 也可用矢量OP 表示，即F OP OG BC ==2。 从而，F F F F A B C D 、、、四个共点力的合力F F F OG AD BC =+=4。所以A 项正确。 评点：由于题中的O 点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直接计算肯定行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点问题就解决了。其实对该部分的考查往往是从特殊的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。 总结：（1）当两分力F 1和F 2大小一定时，合力F 随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于F F F max =+12；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力

空间矢量算法计算

啊一直以来对SVPWM原理和实现方法困惑颇多，无奈现有资料或是模糊不清，或是错误百出。经查阅众多书籍论文，长期积累总结，去伪存真，总算对其略窥门径。未敢私藏，故公之于众。其中难免有误，请大家指正，谢谢！ 此文的讲解是非常清楚，但是还是存在一些错误，本人做了一些修正，为了更好的理解整个推导过程，对部分过程进行分解，并加入加入7段和5段时调制区别。 1 空间电压矢量调制 SVPWM 技术 SVPWM是近年发展的一种比较新颖的控制方法，是由三相功率逆变器的六个功率开关元件组成的特定开关模式产生的脉宽调制波，能够使输出电流波形尽可能接近于理想的正弦波形。空间电压矢量PWM与传统的正弦PWM不同，它是从三相输出电压的整体效果出发，着眼于如何使电机获得理想圆形磁链轨迹。 SVPWM技术与SPWM相比较，绕组电流波形的谐波成分小，使得电机转矩脉动降低，旋转磁场更逼近圆形，而且使直流母线电压的利用率有了很大提高，且更易于实现数字化。下面将对该算法进行详细分析阐述。 SVPWM基本原理 SVPWM 的理论基础是平均值等效原理，即在一个开关周期内通过对基本电压矢量加以组合，使其平均值与给定电压矢量相等。在某个时刻，电压矢量旋转到某个区域中，可由组成这个区域的两个相邻的非零矢量和零矢量在时间上的不同组合来得到。两个矢量的作用时间在一个采样周期内分多次施加，从而控制各个电压矢量的作用时间，使电压空间矢量接近按圆轨迹旋转，通过逆变器的不同开关状态所产生的实际磁通去逼近理想磁通圆，并由两者的比较结果来决定逆变器的开关状态，从而形成PWM 波形。逆变电路如图 2-8 示。 设直流母线侧电压为Udc，逆变器输出的三相相电压为UA、UB、UC，其分别加在空间上互差120°的三相平面静止坐标系上，可以定义三个电压空间矢量 UA(t)、UB(t)、UC(t)，它们的方向始终在各相的轴线上，而大小则随时间按正弦规律做变化，时间相位互差120°。假设Um为相电压有效值，f为电源频率，则有： （2-27） 其中，，则三相电压空间矢量相加的合成空间矢量 U(t)就可以表示为： （2-28） 可见 U(t)是一个旋转的空间矢量，它的幅值为相电压峰值的倍，Um为相电压峰值，且以角频率ω=2πf按逆时针方向匀速旋转的空间矢量，而空间矢量 U(t)在三相坐标轴（a，b，c）上的投影就是对称的三相正弦量。 图 2-8 逆变电路 由于逆变器三相桥臂共有6个开关管，为了研究各相上下桥臂不同开关组合时逆变器输出的空间电压矢量，特定义开关函数 Sx ( x = a、b、c) 为： （2-30） (Sa、Sb、Sc)的全部可能组合共有八个，包括6个非零矢量 Ul(001)、U2(010)、U3(011)、U4(100)、U5(101)、U6(110)、和两个零矢量U0(000)、U7(111)，下面以其中一种开关组合为例分析，假设Sx ( x= a、b、c)= (100)，此时 （2-30）求解上述方程可得：Uan=2Ud /3、UbN=-U d/3、UcN=-Ud /3。同理可计算出其它各种组合下的空间电压矢量，列表如下：

VV接矢量图及矢量计算

电压互感器V/V接矢量图及矢量计算 编辑ABC569499305 2012年10月22日 一、电网电源矢量图 电网电源的矢量表示方式。三相电源互差120o，,相电压相序依次为U A(U AO)、U B(U BO)、U C(U CO)，线电压相序依次为U AB、U BC、U CA。矢量图上各个电压用带箭头的线段和带下标的字母来表示，下标的第一个字母是电压的高电位端，如U AB表示A 端的电位高于B端，在矢量图上箭头指向A。如下图 二、两台单相互感器V/V连接方式与矢量图 1、接线方式。 两台单相互感器V/V连接有多种方式，通常接法是首尾连接法。电压互感器一次侧与二次侧接线柱傍都有标记。老标准一次侧首端为A，末端为X，二次侧首端为a，末端为x。新标准一

次侧首端为A，末端为B，二次侧首端为a，末端为b。通常接线方式为一次侧AB-AB，二次侧ab-ab。实物接线图（右）及接线原理图（左）如下。 2、矢量图。 V/V连接的电压互感器一次侧电压的矢量关系与电源是一致的，在接线原理图上的标示如上右图（参见“三相矢量图”）。电压互感器二次侧的电压是从一次侧感应过来的，各相电压的相位、相序是不会改变的。这样我们就可以根据两个互感器一次侧的矢量图和一二次侧的同名端，在接线原理图上标出二次侧电压方向（上左图中的箭头）。依照接线原理图上电压方向（上左图中的箭头），参照矢量图就可以绘制出两个互感器二次侧矢量图。具体方法如下： 1、u ab与U AB（电源线电压）相位相同（参见三相矢量图），即与水平线成60度夹角，箭头左上方。u bc与U BC相位相同，即与水平线成0度夹角，箭头向右。