矢量计算

如图I-1，a×b是a和b垂直的矢量，其数值等于absinφ,即等于由a和b构成的平行四边形的面积。

但ccosθ等于图中所示的平行六面体的高，因此c?(a×b)等于由这三个矢量构成的平行六面体的体积。同理a?(b×c)和b?(c×a)都等于同一个体积。又因为a×b = ? b×a，所以c?(b×a) = ? c?(a×b)。总括起来，混合积有如下性质：

（I.1）

上式表明，把三个矢量按循环次序轮换，其积不变；若只把两矢量对调，其积差一负号。

（2）三矢量的矢积

a×b是与a和b都垂直的一个矢量d，而c×d是与d垂直的一个矢量f，因此f必在a和b构成的平面上，即可表为a和b的线性组合。用矢积的分量表示可以直接算出结果。令

先算f的x分量f1：

同样可算出f2和f3，结果是

（I.2）

把c和(a×b)对调，矢积差一负号，由上式得

（I.3）

由公式和可得规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来，所得的项为正号，另一项为符号。

2. 散度、旋度和梯度

（1）矢量场f (x,y,z)的散度

设闭合曲面S围着体积ΔV。当ΔV→0时，f对S的通量与ΔV之比的极限称f为的散度

（I.4）

（2）矢量场f (x,y,z)的旋度

设闭合曲线L围着面积ΔS。当ΔS→0时，f对L的通量与ΔS之比的极限称f为的散度

（I.5）

上式可以写作，当ΔS→0时，

（I.5a）

（3）标量场φ(x,y,z)的梯度

设沿线元dl上，标量场φ(x,y,z)的数值改变dφ.dφ/dl称为φ(x,y,z)的梯度沿dl方向的分量

（I.6）

上式可以写作，

（I.6a）

（4）积分变换式

由上述定义可得积分变换式

（I.7）

式中S为区域V的界面。

（I.8）

式中L为S的边界线。

（5）直角坐标系中散度、旋度和梯度的表示式

（I.9）

（I.10）

（I.11）

式中ex,ey,ez是直角坐标系的三个单位矢量

（6）▽算符

在直角坐标系中▽算符定义为

（I.12）

利用▽算符，可以把散度、旋度和梯度表为

（I.13）

在式中与另一矢量的标积和矢积形式上按一般矢量的标积和矢积运算。

3. 关于散度和旋度的一些定理

（1）标量场的梯度必为无旋场

（I.14）

[证]令f = ▽φ,

同理可证其他分量为0，因此▽×▽φ= 0。

（2）矢量场的旋度必为无源场

（I.15）

[证]

（3）无旋场必可表为标量场梯度

（I.16）

（4）无源场必可表为另一矢量的旋度

（I.17）

4. ▽算符运算公式

下面先把公式列出，再加以说明。公式中φ，ψ代表标量场，f，g代表矢量场。

（I.18）

（I.19）

（I.20）

（I.21）

（I.22）

（I.23）

（I.24）

（I.25）

[说明]以上公式都可以同直角分量展开直接验证。例如（I.19）式，

事实上，我们不必这样用分量展开，只要我们正确地考虑到▽算符的特性，就可以把上列公式简单地写出来。

▽算符在方向关系上是一个矢量，所以它的运算具有矢量运算的特点；另外，▽算符不同于普通矢量，它是微分算符，所以在其运算中我们必须考虑到微分运算的特点，不能把它和普通矢量任意对调位置。我们举例说明如下：（I.18）式：▽是微分算符，这公式和一般对两因子乘积的微分运算公式一样。

（I.19）式：作为微分算符，▽既要作用到φ上，有要作用到f上，再考虑到▽的矢量性质，就必须把点乘放在正确位置上。例如(▽?φ)f是没有意义的，必须写成(▽φ)?f。

（I.21）式：从微分运算看，▽既要对f作用，又要对g作用，所以应该有两项。从矢量运算看，这式子相当于三个矢量的混合积，我们必须注意三个矢量▽，f和g的次序。在右边第一项中，三个矢量次序没有对调，因此这两项取正号。从混合积公式看，?和×的位置本来无关重要，但在这里必须写成(▽×f)?g，因为另一写法(▽?f) ×g是没有意义的。是右边第二项中三个矢量顺序发生对调，所以这项取负号。

（I.22）式：从矢量性质看，这是三矢量的矢积。用公式（I.2），暂时不管▽的微分性质，得两项

（I.26）

从▽的微分性质看，每一项都既要对g微分，又要对f微分。考虑到这点，把第一项变为两项

式中第一项是g的散度乘上f，第二项是要对f作微分运算，即

（I.26）的第二项也变为两项。

由此即得（I.22）式。

（I.25）式：从矢量性质看，这是三矢量的矢积。由公式（I.2）得

这里要注意的是所有▽算符都要写在的前面。

力学分析软件的简单介绍

前言 ? 软件只是工具，多用就能熟练，而理论 知识才是软件的灵魂，掌握必要的理论知 识 有助于正确的使用软件以及理解软件 识，有助于正确的使用软件以及理解软件 各个数据的含义。
?

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1.应力 1. 应 应力 应力的国际单位是Pa 应力的国际单位是 Pa，也就是牛 ，也就是牛/ /米2，简 单来说就是指单位面积上物体所受到的力 它 单来说就是指单位面积上物体所受到的力，它 是衡量物体受力状态是否安全的重要参数，正 应力的代号是“σ”、剪应力的代号是 应力的代号是 剪应力的代号是“τ”。 2.应变 2. 应变 应变的国际单位是1 应变的国际单位是 1，简单来说就是指杆件 的绝对伸长量与杆件长度的比值，代号为 “ε”。

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3 弹性模量 3.弹性模量 3. 弹性模量的单位是Pa 弹性模量的单位是 Pa，和应力单位一 ，和应力单位一 致，对于同一种材料，它是衡量应力与应 变关系的常量，也就是说弹性模量只与物 体的材质有关。弹性模量的代号为“E 体的材质有关。弹性模量的代号为“ E”。

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4.物体的几种受力状态 4 4.物体的几种受力状态 ㈠ 受压受拉状态 物体两端受挤压力或拉伸力的状态，此 时的物体只受正应力 正应力= 时的物体只受正应力，正应力= 时的物体只受正应力，正应力 正应力=端部力 端部力/ /物 体截面积。 ㈡ 受剪受扭状态 剪 态 受剪状态主要是指杆件长度与杆件截面 相差不大时，杆件两端固定，中间受垂直 于杆件截面的力的状态 例如销轴 剪应 于杆件截面的力的状态，例如销轴。剪应 力=中间垂直力 中间垂直力的一半 的一半/ /杆件截面积。

常用地一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

数学运算解题常用六大公式.

数学运算解题常用六大公式 行测数学运算解题常用六大公式之往返运动问题公式 往返运动问题公式=2v1v2 / (v1+v2) (其中v1和v2分别代表往、返的速度) 【例1】(国家1999-39)有一货车分别以时速40km和60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少?() A. 55km B. 50km C. 48km D. 45km [答案]C [解析]设甲、乙两地间的距离为S，从甲地到乙地的速度为v1，从乙地到甲地的速度为v2， 则往返平均速度为v=2S/(t1+t2)=2S/ (S/v1+ S/v2)=2v1v2 /(v1+v2)=2×40×60 / (40+60)=4800/100=48。 [注释]往返运动问题核心公式：v=2v1v2 / (v1+v2)(其中v1和v2分别代表往、返的速度) 【例2】一辆汽车以10千米/时的速度从A地开往B地，它又以15千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为多少千米/小时?() A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 [答案]B [解析]根据往返运动问题核心公式：v=2v1v2 / (v1+v2)=2×10

×15/(10+15)=300/25=12。 【例3】(广东2004上-8)一辆汽车驶过一座拱桥，拱桥的上、下坡路程是一样的。汽车行驶拱桥上坡时的时速为6公里;下坡时的时速为12公里。则它经过该桥的平均速度是多少公里/小时?() A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 [答案]B [解析]根据往返运动问题核心公式：v=2v1v2 /(v1+v2)=2×6×12/(6+12)=8。 【例4】(江苏2007B类-78) 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米?() A. 45 B. 48 C. 50 D. 24 [答案]B [解析]根据往返运动问题核心公式：v=2v1v2/(v1+v2)=2×20×30/(20+30)=24(千米/小时); 2S=v×4=24×4 S=48千米。 【例5】一人骑车从M地到N地速度为每小时12千米，到达N地后，立刻接到通知返回M地。为了使其往返于两地之间的平均速度为

CFD—计算流体动力学软件介绍

CFD 流体动力学软件介绍 CFD—计算流体动力学，因历史原因，国一直称之为计算流体力学。其结构为： 提出问题—流动性质（流、外流；层流、湍流；单相流、多相流；可压、不可压等等），流体属性（牛顿流体：液体、单组分气体、多组分气体、化学反应气体；非牛顿流体） 分析问题—建模—N-S方程（连续性假设），Boltzmann方程（稀薄气体流动），各类本构方程与封闭模型。 解决问题—差分格式的构造/选择，程序的具体编写/软件的选用，后处理的完成。 成果说明—形成文字，提交报告，赚取应得的回报。 CFD实现过程： 1.建模——物理空间到计算空间的映射。 主要软件： 二维： AutoCAD： 大家不要小看它，非常有用。一般的网格生成软件建模都是它这个思路，很少有参数化建模的。相比之下AutoCAD的优点在于精度高，草图处理灵活。可以这样说，任何一个网格生成软件自带的建模工具都是非参数化的，而对于非参数化建模来说，AutoCAD应该说是最好的，毕竟它发展了很多很多年！ 三维： CATIA：航空航天界CAD的老大，法国人的东西，NB，实体建模厉害，曲面建模独步武林。本身可以生成有限元网格，前几天又发布了支持ICEM-CFD的插件ICEM-CFD CAA V5。有了它和ICEM-CFD，可以做任何建模与网格划分！ UG：总觉得EDS脑袋进水了，收了I-deas这么久了，也才发布个几百M的UG NX 2.0，还被大家争论来争论去说它如何的不好用！其实，软件本身不错，大公司用得也多，可是就这么打市场，早晚是走下坡路。按CAD建模的功能来说它排不上第一，也不能屈居第二，尤其是加上了I－DEAS更是如虎添翼。现

矢量计算题

矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。

小学数学所有图形计算公式

小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r

(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇 目录 一、函数与极限 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、定积分 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、不定积分 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、定积分的应用 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、微分方程 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选)

一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x →0时) 3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n 阶导数公式 特别地,若n =λ

3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x 很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆)

三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 ()(x f 在],[b a 连续,),(b a 可导 ) 罗尔定理 ( 端点值相等)()(b f a f = ) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0)('≠x g ≠0 ) 2.高阶中值定理 ()(x f 在),(b a 上有直到)1(+n 阶导数 ) 泰勒中值定理 n R 为余项 (ξ在x 和0x 之间) 令00=x ,得到麦克劳林公式 3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)

计算流体力学软件

计算流体力学（CFD）是近代流体力学，数值数学和计算机科学结合的产物，是一门具有强大生命力的边缘科学。它以电子计算机为工具，应用各种离散化的数学方法，对流体力学的各类问题进行数值实验、计算机模拟和分析研究，以解决各种实际问题。 计算流体力学和相关的计算传热学，计算燃烧学的原理是用数值方法求解非线性联立的质量、能量、组分、动量和自定义的标量的微分方程组，求解结果能预报流动、传热、传质、燃烧等过程的细节，并成为过程装置优化和放大定量设计的有力工具。计算流体力学的基本特征是数值模拟和计算机实验，它从基本物理定理出发，在很大程度上替代了耗资巨大的流体动力学实验设备，在科学研究和工程技术中产生巨大的影响。目前比较好的CFD软件有：Fluent、CFX,Phoenics、Star-CD，除了Fluent 是美国公司的软件外，其它三个都是英国公司的产品 ------------------------------------------------------ FLUENT FLUENT是目前国际上比较流行的商用CFD软件包，在美国的市场占有率为60%。举凡跟流体，热传递及化学反应等有关的工业均可使用。它具有丰富的物理模型、先进的数值方法以及强大的前后处理功能，在航空航天、汽车设计、石油天然气、涡轮机设计等方面都有着广泛的应用。其在石油天然气工业上的应用包括：燃烧、井下分析、喷射控制、环境分析、油气消散/聚积、多相流、管道流动等等。 Fluent的软件设计基于CFD软件群的思想，从用户需求角度出发，针对各种复杂流动的物理现象，FLUENT软件采用不同的离散格式和数值方法，以期在特定的领域内使计算速度、稳定性和精度等方面达到最佳组合，从而高效率地解决各个领域的复杂流动计算问题。基于上述思想，Fluent开发了适用于各个领域的流动模拟软件，这些软件能够模拟流体流动、传热传质、化学反应和其它复杂的物理现象，软件之间采用了统一的网格生成技术及共同的图形界面，而各软件之间的区别仅在于应用的工业背景不同，因此大大方便了用户。其各软件模块包括： GAMBIT——专用的CFD前置处理器，FLUENT系列产品皆采用FLUENT公司自行研发的Gambit 前处理软件来建立几何形状及生成网格，是一具有超强组合建构模型能力之前处理器，然后由Fluent 进行求解。也可以用ICEM CFD进行前处理，由TecPlot进行后处理。 Fluent5.4——基于非结构化网格的通用CFD求解器，针对非结构性网格模型设计，是用有限元法求解不可压缩流及中度可压缩流流场问题的CFD软件。可应用的范围有紊流、热传、化学反应、混合、旋转流（rotating flow）及震波（shocks）等。在涡轮机及推进系统分析都有相当优秀的结果，并且对模型的快速建立及shocks处的格点调适都有相当好的效果。 Fidap——基于有限元方法的通用CFD求解器，为一专门解决科学及工程上有关流体力学传质及传热等问题的分析软件，是全球第一套使用有限元法于CFD领域的软件，其应用的范围有一般流体的流场、自由表面的问题、紊流、非牛顿流流场、热传、化学反应等等。 FIDAP本身含有完整的前后处理系统及流场数值分析系统。对问题整个研究的程序，数据输入与输出的协调及应用均极有效率。 Polyflow——针对粘弹性流动的专用CFD求解器，用有限元法仿真聚合物加工的CFD软件，主要应用于塑料射出成形机，挤型机和吹瓶机的模具设计。 Mixsim——针对搅拌混合问题的专用CFD软件，是一个专业化的前处理器，可建立搅拌槽及混合槽的几何模型，不需要一般计算流力软件的冗长学习过程。它的图形人机接口和组件数据库，让工程师

中国计算力学软件现状

袁明武北京大学力学与工程科学系 摘要：本文从国际、国内以有限元方法为基础的计算力学软件的现状和对比出发，探讨了我国在开发、营销、维护等诸多环节中的若干问题，进行了一些思考，提出了为发展我国的计算力学软件的若干参考性的意见。 关键词：有限元、计算力学软件 国际上计算力学软件的现状 从1965年第一次出现“有限元”这个名词，到70年代美国第一个有限元结构分析系统SAP问世，到今天已有25年的时间。整整一代人在这一方面做了艰苦卓绝的努力，已经形成了若干国际上著名的大型计算力学系统，解决了成千上万个工程实际课题，为科学技术的发展和工程应用做出了不可磨灭的贡献。目前这些系统已经相当成熟，在国际市场上拥有大量的用户。 比如美国的ANSYS系统擅长于多物理场和非线性问题的有限元分析，ABAQUS长于非线性有限元分析，NASTRAN系统长于线性有限元分析和动力计算，LSDYNA长于冲击、接触等非线性动力分析。它们都是国际上非常优秀的大型有限元分析系统，突出的显示了在计算力学方面深厚、先进的科学基础。美国ANSYS系统是长期独立开发的大型线性、非线性有限元分析系统，他的强大的功能、灵活方便的用户界面博得了世界上众多用户的钟爱，美国MSC-NASTRAN系统以最早期的主要用于航空航天方面的线性有限元分析系统为基础，兼并了PDA公司的PATRAN，又在以冲击、接触为特长的DYNA3D的基础上组织开发了非线性程序DYTRAN，美国ABAQUS系统由三位年轻人以两千美元起家编写程序，到今天发展成为国际上著名的有限元程序系统，经历了艰苦的开发、应用、经营的路程，达到了巨大的成功。 为什么这么多著名的、重要的有限元程序系统都集中在美国得以实现，以个人的见解主要有以下原因： 1）美国的科学界、工程界非常重视把科学研究的成果转化为生产力； 2）美国的软件被公认为是一种高技术的知识密集型产品，能够以较高的价格转让，经营者可以从收益中得到足够的回报来支持进一步开发，维护和技术服务； 3）知识产权的法律意识很强，盗版的现象很少； 4）有优秀的维护、培训、建立文档的传统，在软件质量上精益求精，有良好的信誉； 5）许多学者、软件公司的负责人既有较高的学术水平，又有丰富而杰出的管理、经营方面的经验，敢于做出重大的决策； 6）在利益合理分配的原则下能够合作、共事，使企业越办越大。 作者以为国际上许多成功的例子是值得借鉴的，特别是值得我国科技界的决策人物所汲取。 我国计算力学软件的现状 我国计算力学软件是从70年代开始的，起步算是早的。第一个自行开发的软件系统当

高数上册归纳公式篇 完整

公式篇 目录 一、 1.常用双曲函数 2.常用等价无穷小 3.两个重要极限 二、 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 2.n阶导数公式 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算 三、 1.一阶中值定理 2.高阶中值定理 3.部分函数使用麦克劳林公式展开 4.曲率 四、 1.部分三角函数的不定积分 2.几个简单分式的不定积分 五、 1.利用定积分计算极限 2.积分上限函数的导数 3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理 4.三角相关定积分 5.典型反常积分的敛散性 6.Γ函数(选) 六、 1.平面图形面积 2.体积 3.弧微分公式 七、 1.可降阶方程 2.变系数线性微分方程 3.常系数齐次线性方程的通解 4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式 5.特殊形式方程(选) 一、函数与极限 1.常用双曲函数( sh(x).ch(x).th(x) ) 2.常用等价无穷小(x→0时)

3.两个重要极限 二、导数与微分 1.常用三角函数与反三角函数的导数公式 (凡是“余”求导都带负号) 2.n阶导数公式 特别地,若n λ = 3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较 函数的0阶导数可视为函数本身 4.参数方程求导公式 5.微分近似计算(x?很小时) (注意与拉格朗日中值定理比较) 常用: (与等价无穷小相联记忆) 三、微分中值定理与导数的应用 1.一阶中值定理 () a连续,) a可导 ) (b , [b f在] (x , 罗尔定理 ( 端点值相等) a f f= ) ( (b ) 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (0 ) x g≠0 ) ('≠ 2.高阶中值定理 () (+ a上有直到)1 n阶导数 ) (x f在) , (b

常见数学图形计算公式大全

常见数学图形计算公式大全 1 、长方形的周长 = （长 + 宽） × 2 C= （ a + b ） × 2 2 、长方形的面积 = 长 × 宽 S=a × b 3 、正方形的周长 = 边长 × 4 C=a × 4 4 、正方形的面积 = 边长 × 边长 S=a × a 5 、三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 S=a × h ÷ 2 6 、平行四边形的面积 = 底 × 高 S=a × h 7 、梯形的面积 = ( 上底 + 下底 ) × 高 ÷ 2 S= ( a + b ) × h ÷ 2 8 、圆的周长 = 圆周率 × 直径 C= π × d 9 、圆的面积 = 圆周率 × 半径 × 半径 S= πr 10 、长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 高×宽）× 2 S 表 = （ a × b + a × h + h × b ）× 2 11 、长方体的体积公式 = 长 × 宽 × 高ｖ =a × b × h 12 、正方体的表面积 = 棱长 × 棱长 × 6 S 表 = a × a × 6 13 、正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 V=a × a × a 14 、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 S 侧 =C 底 × h 15 、圆柱的表面积 = 侧面积 +2 个底面积 S 表 =S 侧 +2 S 底

16 、圆柱的体积 = 底面积 × 高 V= S 底 × h 17 、圆锥的表面积 = 圆锥的侧面积 + 底面圆的面积 S 表 = S 侧 +S 底 18 、圆锥的体积 = 底面积 × 高 ÷ 3 V= S 底 × h ÷ 3 19 、环形的面积 = 外圆的面积 - 内圆的面积 S=S 外圆 - S 内圆 20 、平行四边形的周长 = ( 长边 + 短边） ×2 S= (a+b ） ×2

小学数学常用公式大全数量关系计算公式

小学数学常用公式大全（数量关系计算公式） 1、单价×数量＝总价 2、单产量×数量＝总产量 3、速度×时间＝路程 4、工效×时间＝工作总量 5、加数+加数＝和一个加数＝和＋另一个加数 被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝减数＋差 因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数 被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数 有余数的除法：被除数＝商×除数+余数 一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6＝90÷（5×6） 6、1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米 1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米 1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤 1公顷＝10000平方米。 1亩＝平方米。 1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米 7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18 9、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 10、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18 11、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y 12、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x×y = k( k一定)或k / x = y 百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

§1 矢量的基本知识和运算法则

§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4

3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为

数学各种运算定律和公式

三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式： V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2圆柱的侧面积：圆柱的侧面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式： S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式： V=1/3Sh

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 读懂理解会应用以下定义定理性质公式 一、算术方面 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

计算力学复习资料.doc

1.什么是等参数单元？（教材）坐标变换和单元内的场函数采用相同数日的节点参数及相同的插值函数，这种变换方法是等参数变换，这种变换方式能满足坐标变换的相容性，采用等参数变换的单元称之为等参数单元。 2.等参数单元的特点、基本条件、划分单元应注意的问题（教材习题）3?应用等参数单元时为什么要釆用高斯积分，高斯积分点的数冃如何确定？（教材习题）4.薄板弯曲问题的基本假设是什么？（其他参考书）（1）板弯曲钱垂直于中而的法线，在板弯曲后保持为直线，并垂直于弯曲后的中而。（2）板而各水平层之间相互挤压（3）薄板受垂直于中而的载荷时可以为中间层各点设有平行于板而的位移.5?位移插值必须满足的三个条件：（教材）（1）位移插值函数应能满足单元的刚体位移（2）位移插值函数应能反映常量应变一一常应变准则（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性一一变形协调准则6. 什么是轴对称问题？（其他参考书）:轴对称物体的形变及应力分布不一定是轴对称的，只有当约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形及应力分布才是轴对称的。我们把满足上述条件的系统应力分析问题称为轴对称问题。 （教材）:如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力，都是绕某一轴对称的，则弹性体的应力、应变和位移也就对称于这一轴，这种问题称为轴对称问题。 7 ?刚度矩阵性质（总刚）：（1）对称性，关于正对角线对称（2）稀疏性，矩阵中有大量的零元素（3）带状分布，矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布10.形函数的性质。（教材）（1）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1 ,即Ni+Nj+Nm=l. （2）在节点i:Ni=l,Nj=0, Nm=0 在节点j:Ni=0, Nj=l,Nm=0在节点m:Ni=0, Nj=0,Nm=l 11.有限元法的特点（其他参考书）（1）概念清楚，容易理解（2）适应性强，应用范围广。（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用数字计算机的优势。 （4）有限元法的主要缺点是解决工程问题必须首先编制计算机程序，必须运用计算机求

我国计算力学软件的现状与思考

我国计算力学软件的现状与思考 袁明武北京大学力学与工程科学系，北京，100871 （原载《现代力学与科技进步》，北京，1997年8月） 摘要：本文从国际、国内以有限元方法为基础的计算力学软件的现状和对比出发，探讨了我国在开发、营销、维护等诸多环节中的若干问题，进行了一些思考，提出了为发展我国的计算力学软件的若干参考性的意见。 关键词：有限元、计算力学软件 1 国际上计算力学软件的现状 从1965年第一次出现“有限元”这个名词，到70年代美国第一个有限元结构分析系统SAP问世，到今天已有25年的时间。整整一代人在这一方面做了艰苦卓 绝的努力，已经形成了若干国际上著名的大型计算力学系统，解决了成千上万个工程实际课题，为科学技术的发展和工程应用做出了不可磨灭的贡献。目前这些系统已经相当成熟，在国际市场上拥有大量的用户。 美国MSC-NASTRAN系统以最早期的主要用于航空航天方面的线性有限元分析系 统为基础，兼并了以前后处理闻名全球的PDA公司的PATRAN，以及以有限元建 模著名的ARIS,又在以冲击、接触为特长的DYNA3D的基础上组织开发了流体、 固体相互作用的非线性程序DYTRAN,同时又与国际上著名的非线性有限元分析 程序ABAQUS联手，推出了MSC-ABAQUS,从而形成了集国际上最优秀的有限元分 析系统之大成的规模最大的有限元分析系统，它突出的显示了在计算力学方面深厚、先进的科学基础，杰出的经营、管理思想和现代集成化的做法，在短时间内以兼并为主要手段把世界上最好的技术集中起来为我所用，形成了国际上规模最大、功能最全、质量最好的大型集成化计算力学软件系统。美国ANSYS系统是长期独立开发的大型线性、非线性有限元分析系统，他的强大的功能、灵活方便的用户界面博得了世界上数千家用户的钟爱，美国非线性有限元分析系统ABAQUS 由三位年轻人以两千美元起家在自己的汽车库里开始写程序，到今天发展成为国际上著名的能求解高难度非线性问题的通用有限元程序系统，经历了艰苦的开发、应用、经营的路程，达到了巨大的成功。 为什么这么多著名的、重要的有限元程序系统都集中在美国得以实现，以个人的见解主要有以下原因： 1）美国的科学界、工程界非常重视把科学研究的成果转化为生产力； 2）美国的软件被公认为是一种高技术的知识密集型产品，能够以较高的价格转让，经营者可以从收益中得到足够的回报来支持进一步开发，维护和技术服务；3）知识产权的法律意识很强，盗版的现象很少； 4）有优秀的维护、培训、建立文档的传统，在软件质量上精益求精，有良好的信誉； 5）许多学者、软件公司的负责人既有较高的学术水平，又有丰富而杰出的管理、经营方面的经验，敢于做出重大的决策； 6）在利益合理分配的原则下能够合作、共事，使企业越办越大。 作者以为国际上许多成功的例子是值得借鉴的，特别是值得我国科技界的决策人物所汲取。 2 我国计算力学软件的现状

高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式 ● 极限的概念 当x 无限增大（x →∞）或x 无限的趋近于x 0（x →x 0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A ，则称函数f(x)当x →∞或x →x 0时，以常数A 为极限，记作： lim ∞ →x f(x)=A 或 lim 0 x x →f(x)=A ● 导数的概念 设函数y=f(x)在点x 0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx ＝x- x 0，函数有增量Δy=f(x)-f(x 0)，如果增量比 x y ??当Δx →0时有极限，则称函数f(x)在点x 0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x 0的导数，记为f ’(x 0)，即 f ’(x0)＝lim →?x x y ??=lim 0x x →0 0)()(x x x f x f -- 也可以记为y ’=|x=x0，dx dy |x=x0或dx x df ) (|x=x0 ● 函数的微分概念 设函数y=f （x ）在某区间内有定义，x 及x+Δx 都在此区间内，如果函数的增量 Δy=f （x+Δx ）-f(x)可表示成 Δy=A Δx+αΔx 其中A 是常数或只是x 的函数，而与Δx 无关，α当Δx →0时是无穷小量( 即αΔx 这一项是个比Δx 更高阶的无穷小)，那么称函数y=f （x ）在点x 可微，而A Δx 叫函数y=f （x ）在点x 的微分。记作dy ，即： dy=A Δx=f ’(x)dx

● 不定积分的概念 原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。 不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作 ?dx x f )( 求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。 其中“?”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。 ● 定积分的概念 设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点 a=x 0

《计算结构力学与应用软件》

《计算结构力学与应用软件》课程教学大纲 课程编号：031214 学分：2 总学时：34+34（上机）大纲执笔人：朱慈勉大纲审核人：许强 一、课程性质与目的 《计算结构力学》是建筑工程专业的一门技术基础课，本课程教学目的是使学生在结构力学的基础上掌握利用计算机进行杆件结构分析的基础理论和基本技能，同时，也应为学习各种连续体结构的计算分析课程提供必要的基础。 二、课程基本要求 课程要求如下： 1、掌握杆件结构静力分析的矩阵位移法原理，了解结构动力、稳定性分析的有限单元法。 2、掌握结构分析程序的设计原理与应用，掌握平面桁架、平面刚架静力分析程序的设计与应用，了解刚架动力、稳定分析程序的设计与应用。 三、课程基本内容 （一）绪论 1、计算结构力学课程的形成、作用和地位。 2、计算结构力学的学科发展。 3、计算结构力学课程的学习内容与任务、学习方法与要求。 （二）结构静力分析的矩阵方法 1、矩阵位移法的基本概念。 2、直接刚度法的计算机处理；总刚度矩阵的计算机存贮；位移边界条件的处理。 （三）平面桁架静力分析程序设计与应用 1、平面桁架静力分析主程序。 2、平面桁架静力分析子程序及其功能。 数据输入；形成单元刚度矩阵；生成总刚度矩阵；单刚送总刚；边界条件处理；线性方程组求解；杆件内力计算；计算结果输出。 3、平面桁架静力分析程序的应用。 （四）平面刚架静力分析程序设计与应用 1、平面刚架静力分析主程序。 2、平面刚架静力分析子程序及其功能。 数据输入；形成单元刚度矩阵；单元刚度矩阵的坐标转换；杆件内力计算；计算结果输出。 3、平面刚架静力分析程序的应用。 （五）结构动力分析程序设计与应用 1、结构动力分析的有限单元法。 2、用虚功原理推导单元刚度矩阵。 用结点位移表示单元的位移模式；用结点位移表示应变和应力；由虚功原理导出梁单元的刚度矩阵。

小学生常用数学公式：计算公式-

小学生常用数学公式：计算公式 要想在考试中取得好成绩就必须注重平时的练习与积累，本文库为大家整理了小学生常用数学公式，小朋友们一定要仔细阅读哦! 数量关系式: 1、每份数份数=总数总数每份数=份数总数份数=每份数 2、 1倍数倍数=几倍数几倍数1倍数=倍数几倍数倍数=1倍数 3、速度时间=路程路程速度=时间路程时间=速度 4、单价数量=总价总价单价=数量总价数量=单价 5、工作效率工作时间=工作总量工作总量工作效率=工作时间工作总量工作时间=工作效率 6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数 7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数 8、因数因数=积积一个因数=另一个因数 9、被除数除数=商被除数商=除数商除数=被除数 ****************************************************** 和差问题的公式 (和+差)2=大数 (和-差)2=小数 和倍问题 和(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 (或者和-小数=大数) 差倍问题 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 (或小数+差=大数) ****************************************************** 植树问题:

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长株距-1 全长=株距(株数-1) 株距=全长(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长株距 全长=株距株数 株距=全长株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数=段数-1=全长株距-1 全长=株距(株数+1) 株距=全长(株数+1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长株距 全长=株距株数 株距=全长株数 ****************************************************** 盈亏问题 (盈+亏)两次分配量之差=参加分配的份数 (大盈-小盈)两次分配量之差=参加分配的份数 (大亏-小亏)两次分配量之差=参加分配的份数 ****************************************************** 相遇问题 相遇路程=速度和相遇时间 相遇时间=相遇路程速度和 速度和=相遇路程相遇时间 ****************************************************** 追及问题