同余理论在数学竞赛中的应用
初中数学竞赛定理大全
欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式：
塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。
四年级数学上册应用题竞赛试卷
四年级数学上册应用题竞赛试卷 一、填空。 1、计算：99999＋9999＋999＋99＋9＝（）。 2、有30位同学排成一行，如果从左边数起第11位是小华，那么从右边数起第（）位还应是小华。 3、在一道有余数的除法算式里，已知商是18，余数是17。那么这道除法算式的被除数至少是（）。 4、如果算式175225275★的积的末尾六位数字都是0，那么★所代表的数最小是（）。 5、学校举行春季运动会时，在操场周围插上了彩旗。已知操场的周长为500米，每隔5米插一面红旗，每两面红旗之间插一面黄旗。那么一共要插红旗（）面，要插黄旗（）面。 6、有甲、乙、丙、丁四个数。甲数除以4商2019余2，乙数除以8商2019余4，丙数除以12商2019余6，丁数除以16商2019余8。那么甲、乙、丙、丁四个数的总和除以4 的商是（）。 7、如果把12、20、24、30、42、56这六个数分为两组（每组三个数），分别作为下面等式中的因数： 那么，与12分在同一组中的两个数分别是（）和（）。 8、有A、B、C、D四张扑克牌，其中： A、B、C三张扑克牌上的点数之和是15； A、B、D三张扑克牌上的点数之和是16；
A、C、D三张扑克牌上的点数之和是19； B、C、D三张扑克牌上的点数之和是22。 那么A、B、C、D四张扑克牌上的点数分别是（）、（）、（）和（）。 9、有两个数，它们相加的和是252，其中一个数末位上的数字是0。如果去掉这个0，就正好等于另一个数的一半。那么这两个数相乘的积是（）。 二、解答题。 1、小猴和小熊轮流共同完成一批玩具的组装，他们用8天时间共组装了112件玩具。小猴每天可以完成20件。小熊每天只能完成12件。问：小猴工作了多少天? 2、小芳和小明进行5分钟电脑打字比赛，他们约定每打对一个字得1分，每打错一个字扣3分。小芳每分钟可以打40个字，小明每分钟可以打35个字，可我5分钟打错了7个字。小芳要想确保获胜,那5分钟内打错的字不能超过几个？ 3、文苑小区有一栋居民楼，每户人家都订了2份不同的报纸，一共订了3种报纸。其中《都市报》订了34份，《晚报》订了30份，《周报》订了22份。问：有多少户人家同时订了《都市报》和《周报》？ 4、小明购买甲乙两种书共60本，总价值780元，如果把购
【高中数学(竞赛)知识点提纲】
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality）6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
数学竞赛定理
欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。 欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr 九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。 海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝ 21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝ ))()((c p b p a p p --- 塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则 1=??FB AF EA CE DC BD 密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线 摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：
1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b
四年级奥林匹克数学竞赛专题 应用题(无答案)
应用题 专题简析： 解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。 . 例1：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？ 分析：如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。 例2：一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问：油和桶各重多少千克？ 分析：原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）。 例3：有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？ 分析：由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。 例4：一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？ 分析：这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5：有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等？分析：由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 课后练习 （1）新华小学买了两张桌子和5把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌子多少元？ （2）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式
()() αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，<2x 设12 π ≥ ≥≥z y x ，且2 π = ++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理 概念 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商 三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数 之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的 商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部 分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
高中数学竞赛定理
重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部
五年级下册数学应用题竞赛(3)
五年级下册数学应用题竞赛表面积计算 班级：姓名： 1、做10个棱长8厘米的正方体铁框架，至少需多长的铁丝 2、用铁皮做一个铁盒，使它的长、宽、高分别是分米，分米和分米，做一个这样的铁盒至少要用铁皮多少平方米 3、做一个没盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是3分米，至少需要玻璃多少平方米 > 4、我们学校要粉刷教室，教室长8米，宽7米，高米，扣除门窗、黑板的面积平方米，已知每平方米需要5元涂料费。粉刷一个教室需要多少钱 5、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积最大是多少平方厘米 6、木版做长、宽、高分别是分米，分米和分米抽屉，做5个这样的抽屉至少要用木版多少平方米 ： 7．有一个养鱼池长18米，宽12米，深米，要在养鱼池各个面上抹一层水泥，防止渗水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克 8、加工厂要加工一批电视机机套，（没有底面）每台电视机的长60厘米，宽50厘米、高55厘米，做1000个机套至少用布多少平方米 9．做24节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少用多少平方米的铁皮 " 10、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）
五年级下册数学应用题竞赛体积计算 班级：姓名： 1、一个长方体的长是4分米，宽是分米，高是3分米，求它的体积是多少立方分米 ~ 2、一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深米，如果每立方米黄沙重吨，这黄沙重多少吨 3．有一种长方体钢材，长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重千克，这根方钢材重多少千克 4、一个长方体，底面积是30平方分米，高3米，它的体积是多少立方分米 5、一张写字台，长宽、高有20张这样的写字台要占多大空间 [ 6、一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积48平方分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深 7、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水，把这些水倒入一个长10分米，宽7分米，高8分米的长方体水槽里，水槽里的水深是多少 8、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚（损耗不计） 9. 一个长方体油桶，底面积是18平方分米，它可装千克油，如果每升油重千克，油桶内油高是多少 10、一个长方形铁皮长30cm,宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子用了多少铁皮它的容积是多少 ` 11、把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形，将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器，这块木板原来的宽是多少 12、一个长方体游泳池长60米，宽30米，深2米，游泳池占地多少平方米沿游泳池的内壁米处用红漆划一条水位线，这条线的长度是多少现在游泳池内的水正好到达水位线，求池
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -=
三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x
余数性质及同余定理(B级)
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
数学应用题竞赛
六年级上册数学应用题 1、一个车轮的直径是60厘米，车轮转动一周长约前进多少米？ 2、一种压路机的前轮直径是1.6米，每分钟转10圈，压路机每分钟前进多少米？ 3、某乡今年苹果大丰收，产量达到了3.6万吨，比去年增产了二成，去年苹果的产量是多少万吨？ 4、大正方形的边长是7cm，小正方形的边长是6cm， （1）大小正方形的边长之比是（）。 （2）大小正方形的周长之比是（）。 （3）大小正方形的面积之比是（）。 5、一块甘蔗地，今年收甘蔗6吨，比去年增产两成，去年收甘蔗多少吨？ 6、一件100元的商品，先提价10％，再降价10％，现价是多少钱？ 7、学校运来200棵树苗，老师栽种了10％，剩下的按5：4：3分配给甲、乙、丙三个班，丙班分到多少棵树？ 8、一个直径为8米的圆形花坛，要在花坛外围修一条1米宽的石头小路。 （1）石头小路的面积是多少？ （2）如果每平方米需要花费100元，修这条石头小路总共要花费多少钱？ 9、2001年，李叔叔买了30000元定期五年的国家建设债券，年利率为3.14％，他想用利息买这台电脑，够吗？
4500元 10、图中圆与长方形面积相等，长方形长6.28米。阴影部分面积多少平方米？
11、如下图示，AB＝4厘米，求阴影部分的面积。 A O B 12、张师傅加工了500个零件，比计划多100个，实际比计划多百分之几？
13、长鹿农庄用传统的石磨作为粮食加工工具吸引游客。一位游客沿着半径是1m的圆周推磨，走了200圈，大约走了多少米？ 14、王叔叔把4000元存入银行，整存整存3年，年利率为3.15%，三年后王叔叔的本金加税后利息一共多少元？（现在的利息税为5％） 15、一个水塔的圆形塔底的半径是5米，现在要在它的周围抹上2米宽的环形水泥面，每平方米水泥面的造价是100元，那抹这个环形水泥面需要多少元？ 16、生产一批零件，王师傅第一天完成了这批零件的，第二天完成的是第一天的，这时还剩这批 零件的几分之几没有完成？ 17、一个长方形操场的周长是420米，长与宽的比是4：3。这个操场的面积是多少平方米？ 18、一批货物，第一次运走40%，第二次运走15吨，两次一共运走这批货物的70%，这批货物原来有多少吨？ 19、一辆自行车轮胎的外直径70厘米，如果每分钟转100圈，通过一座1099米的大桥需要多少分钟？
【数学竞赛各阶段书籍推荐】
金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）
2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》
高中数学竞赛讲义(8)平面向量
高中数学竞赛讲义（八） ──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos
数论之同余问题
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除