数学毕业论文如何构造辅助函数

渭南师范学院

本科毕业论文

题目：如何构造辅助函数

专业：数学与应用数学

系班：数学系09级专升本1班

毕业年份： 2011年

姓名：王婉丽

学号： 090721085 指导教师：薛利敏

职称：教授

渭南师范学院教务处制

目录

本科毕业论文任务书 (1)

本科毕业论文开题报告 (3)

本科毕业论文登记表 (5)

本科毕业论文文稿 (7)

本科毕业论文答辩记录 (15)

渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书

注：1. 任务书由指导教师填写、经教研室主任及系主管教学副主任审批后，在第七学期末之前下达给学生.2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅.

渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告

注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写.

渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表

如何构造辅助函数

王婉丽

（渭南师范学院数学与信息科学学院数学系09级专升本1班）

摘要:简单探讨了微积分解题中辅助函数的构造方法，微积分中构造辅助函数解决有关问题是一种创造性的思维过程,具有较好的灵活性和技巧性，它可以架起一座连接条件和结论的桥梁,从而可化难为易,使问题得以解决。因此,总结和研究了微积分解题中构造辅助函数的原函数法并对其给以相应的例题加以说明。

通过对微积分解题中辅助函数构造方法的总结探讨,不但使我们对辅助函数的作用有了深刻的认识理解,而且对辅助函数的构造方法及应用有了进一步的掌握,为微积分中诸多综合复杂问题的解决提供了较为便捷的思路与方法。

关键词：罗尔定理；辅助函数；微积分

1预备知识

定理1.1[2]（罗尔中值定理）若函数()

f x满足如下条件：

（i）()

f x在闭区间[]b a,上连续；

a,内可导；

（ii）()

f x在开区间()b

（iii）)

f

a

f=，

(b

)

(

a,内至少存在一点ξ,使得

则在()b

fξ'=。

()0

定理1.2[2]

（介值定理）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠若μ介于()f a 与()f b 之间的任何实数(()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得

0()f x μ=。

2 方法及应用

原函数法其实是一种逆向思维的方法,在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时,要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点,这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数,然后用以下步骤求辅助函数：

第一步：将结论通过恒等变换,化为容易积分的函数形式,在结论积分不是 很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；

第二步：用x 替换变换后等式中的变量；

第三步：用观察法或凑微分法求出原函数,则原函数即为所要构造的辅助函数；

第四步：最后结合微分中值定理,推导出结论来。

例 2.1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==,求证：存在(0,1)ξ∈，使2()()1f f ξξξ

'''=-。 分析： 这个辅助函数的构造可以根据要证结论的等式进行变换,则可得

()2()1f x f x x

''='-，两边积分可得ln ()2ln 1ln f x x c '=--+，得2(1)()c x f x '=-，这样就找出了所需要构造的辅助函数。

证明： 设辅助函数2()(1)()F x x f x '=-,因为()f x 在[0,1]上二阶可导,则()f x 在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,而(0)(1)0f f ==满足罗尔定理,则存在1(0,1)ξ∈内,使1()0f ξ'=.在1(,1)ξ内

又

2111()(1)()0F f ξξξ'=-=，2(1)(11)(1)0F f '=-=

则可知()F x 满足罗尔定理,所以存在1(,1)(0,1)ξξ∈?,使得()0F ξ'=

又

2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''''=--+-

所以

2()2(1)()(1)()0F f f ξξξξξ''''=--+-=

即得

2()()1f f ξξξ

'''=- 证毕。

例 2.2 设函数()f x 在[,]a b 上可导，试证明存在(,)z a b ∈，使得()()()()bf b af a f z zf z b a

-'+=-。 分析： 本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x 替换变换后等式中的变量z ，再求出原函数，即函数()f x ，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。

证明：将要证得结论变形为：

()()()()0bf b af a f z zf z b a

-'+-

=-， 则根据积分构造辅助函数 ()()()()()[()()]()bf b af a bf b af a F x f x xf x dx xf x b a b a --'=+-

=---? 可知函数满足罗尔定理的条件，即()()F a F b =，所以，存在(,)z a b ∈，使得

()()()()()0bf b af a F z f z xf z b a

-''=+-

=-。 证毕。 例 2.3 ()f x 在[,]a b 连续，(,)a b 可导，则存在(,)a b ξ∈

222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。

证明：（证明一）将要证的结论变形得

22()()()2f b f a f b a

ξξ-'=?-，

将等式中的ξ记为x ，即

22()()()2f b f a f x x b a

-'=

?-， 然后积分得 222

()()()f b f a f x x c b a -=?+-， 得到辅助函数 222()()()()f b f a F x c f x x b a -==-

?-， 显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为

2222

()()()()b f a a f b F a F b b a -==-， 满足罗尔定理，所以存在(,)a b ξ∈，使得

()0F ξ'=，

故

222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。

证毕。

本例题证明中在构造辅助函数时使用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]a b 上的性质，然后运用罗尔定理，导出结论。如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下 （证明二）：将要证明的等式中的ξ记为x ，然后积分得

222(()())()()x f b f a b a f x -=-，

得到辅助函数

222()(()())()()F x x f b f a b a f x '=---，

可知

()()F a F b =.

故由罗尔定理可得

222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。

证毕。

通过例2.3的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强，方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。

例 2.4设()f x 在[,](0)a b a b <<上连续，在(,)a b 内可导，且()0()f x a x b '><<， ()()0af b bf a -=.证明在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()

f f ξξξ='。 分析：要证()()0f f ξξξ'-=，即证

2()()0f f ξξξξ'-=， 即证2()()[]0x xf x f x x ξ='-=，即证()[]0x f x x

ξ='=。 从而作辅助函数()()f x F x x

=，并对()F x 在[,]a b 上使用罗尔定理即可。 证明：令

()()f x F x x

=， 由题设知，()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，

又： ()()()()f a f b F a F b a b

=== 由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈，使0F '=，即

()()

f f ξξξ='。 证毕。

例 2.5 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12

f =，试证至少存在一个(0,1)ξ∈，使()1f ξ'=。

分析：()1()1()()0f f x f x x f x x ξ''=?=?=?-=，

令 ()()F x f x x =-。

证明：令()()F x f x x =-，则显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导.

又

(1)(1)110((1)0)F f f =-=-<=， 11111()()0(()1)22222

F f f =-=>=。

由零点存在定理可知，?一个1(,1)2

η∈，使()0F η=。 又

(0)(0)00F f =-=，

对()F x 在[0,]η上用罗尔定理，存在(0,)(0,1)ξη∈?使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=。 证毕。

例 2.6 设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1)2

f =

，(2)2f =，证明存在点(1,2)ξ∈，使得2()()f f ξξξ'=。

分析：以本题为例，介绍求辅助函数()F x 的不定积分法，具体步骤为：

（1）将所证等式中的ξ换成x ，2()()f x f x x '=

； （2）将上式变形为易于积分的形式，

()2()f x f x x '=； （3）两边积分()2()f x dx dx f x x '=?

?，得 2ln ()2ln ,()f x x c f x cx =+=；

（4）解出c ，

2

()f x c x =， 作辅助函数2()()f x F x x =，容易验证： 24

()2()()0f f F ξξξξξξ'-'==， 等价于 2()

()f f ξξξ'=。

证明：令2

()()f x F x x =

。显然()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导， 又 1(1)(1)2F f ==，(2)1(2)42

f F ==. 由罗尔定理知，存在(1,2)ξ∈，使()0F ξ'=，即

2()

()f f ξξξ'=。

证毕。

构造辅助函数的方法中，原函数是常用的，因此，熟悉一些常见函数的导数形式对寻找原函数是有用的。下面介绍一些常见表达式中的原函数。

(1)要证()()()()0f g f g ξξξξ''+=，即证[()()]0x f x g x ξ='=，所以可令()()()F x f x g x =。

(2)要证()()()()0f g f g ξξξξ''-=，(()0)g x ≠，

即证2()()()()0()f g f g g ξξξξξ''-=，即证()0()x f x g x ξ

='??=????，所以可令()()()

f x F x

g x =。 (3)要证()()()0f f g ξξξ''+=，即证()[()()()]0g e f f g ξξξξ''+=，即证

()[()]0g x x e f x ξ='=，所以可令()()()g x F x e f x =。

3 总结

在微积分解题中构造辅助函数方法灵活多样,具体问题应具体分析,仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆推理,就可以构造出合适的函数,除了以上应用外，还有很多应用，我们关键是要学习这种解题的思想。

（指导老师：薛利敏）

参考文献：

[1] 李国成.利用微分中值定理解题中辅助函数的构造[J].江西教育学院学报，2009:30

（6）.

[2]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001:119-169.

[3]陈小亘.浅析辅助函数的构造及应用[J].湛江师范学院学报,2009,30(6)：2-4.

[4]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社,2004：85-90．

[5]许金泉.浅谈数学分析中构造法的应用[J].惠州学院学报(自然科学版),2005：25（6）：

104-107．

[6]陈文灯.考研数复习指南[M].北京：世界图书出版公司,2009：120-125．

[7]陈静,王来生,周志坚.浅析一元微积分中的构造辅助函数法[J].高等数学研究,2006：9

（6）：6-18．

[8]王文珍.微积分中辅助函数的运用[J].高等数学研究,2005,8(6)：3-35.

[9]高明成,刘子瑞.大学数学－微积分[M].科学出版社,2003：8．

How To Construct Auxiliary Function

WANG Wan-li

(Class 1 grade 2009 upgraded , School of Mathematical and Information Science , Department of mathematics ,Weinan Teacher University )

Abstract: Easy to solve the problem of the calculus of the function of the auxiliary method, The construction of auxiliary function in calculus to solve relevant problems is a creative thinking process, equipped with better flexibility and advanced techniques, it could build a bridge to connect the conditions and the conclusions, consequently the problems will be simplified and solved. Based on this notion, this paper summarizes and studies various methods of constructing auxiliary function in calculus, including the original function method, the constant value method, the differential equation general solution, the determinant method, the analysis method etc, at the same time, giving corresponding examples to illustrate.

The summary and study of constructing methods of auxiliary function in calculus allows us not only to have a profound understanding of the effectiveness of the auxiliary function, but also have a further grasping of the constructing methods of the auxiliary function and its application, providing some convenient methods and ideas to solve many complex issues in calculus.

Keywords：Roller's theorem; Auxiliary functions; Calculus

渭南师范学院本科毕业论文答辩记录

构造辅助函数证明微分中值定理及应用

构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications

Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6)

2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，

使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;

中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用

分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5

论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日

摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application

谈谈数学归纳法 本科论文

本科生毕业论文（设计）册 作者姓名： 指导教师： 所在学部：信息工程学部 专业：数学与应用数学 班级（届）：2014届2班 二〇一四年五月十日

学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者（签名）：指导教师确认（签名）： 年月日年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 （保密的学位论文在年解密后适用本授权书） 论文作者（签名）：指导教师（签名）： 年月日年月日

河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书 编号：2014230302099 学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班 学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务 通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考. 2、论文（设计）的主要内容 （1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型； （2）研究数学归纳法解决的常见题型； （3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧； （4）数学归纳法的推广应用. 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导. 研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议． 4、主要参考文献 [1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999, (2):102-106. [2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38． [3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11． [4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社, 2014:183-201 [5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59． 指导教师: 年月日教研室主任: 年月日

中值定理有关的证明题辅助函数法

与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍 一．积分法 例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ， 满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-?--?= 左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 22 ()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得 22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取 2222 ()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心 （2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈， 使得 22()()()2f b f a f b a ξξ '-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理 二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+= 分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能 由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子 因为任给一个()0x ?≠，有 2()()0()[2()()]0f f f f ξξξ?ξξξξ''+=?+= 从而求证式等价于2()()()()0f f ?ξξ?ξξξ'+= 上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()() 2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ??'''=+'=+ 令 () () ()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x ???''==?== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 () ()222 u x u x du u du dx x dx x u x '=?==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =?=+? ? 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x =

中值定理构造辅助函数

中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…

数学归纳法以及其在数论中的应用开题报告

_ 成 绩 评 定 答辩小组评语： 论文首先介绍了五种数学归纳法，并给出相关的例题。紧接着又介绍了数学归纳法在初等数论中的应用且应注意的问题。该生参考了一定的文献资料，对其理解和应用一般，文章篇幅基本符合学院规定，内容基本完整，层次结构安排基本恰当，但论文选题一般且缺乏个人见解。论文选题符合专业培养目标，题目有一定难度，但工作量一般，基本达到了本科毕业论文的要求。 论文观点明确，文字基本通顺，答辩时表达基本清楚，回答问题基本正确，经答辩小组充分讨论，一致同意通过毕业论文答辩。 评定成绩（优秀、良好、中等、及格、不及格）： 答辩小组组长签名： 年 月 日 分学位委员会意见： 分学位委员会主席签名： 年 月 日 洛阳师范学院 本科生毕业论文（设计）基本情况表 __数学科学学院__院（系） 开 题 报 告 姓 名 性别 学 号 专 业 年 级 孙** 女 110412016 数学与应用数学 2011级 题 目 数学归纳法及其在初等数论中的应用 课题来源 （2） 综 述 选题目的、国外研究现状、选题意义、需要解决的主要问题及可行性等。 选题目的：数学归纳法我们从中学就开始接触，但是有时对的原理并非特别清楚。在诸多证明方法中，数学归纳法那种机械又明快的结构，特立独行. 它的思想性价值很高，是从有限通向无限的第一条高速公路，有里程碑式的作用。特别是在初等数论中的应用。 国内外研究现状：在国内外大学教育中，数学归纳法是数学研究中必不可少的一部分，具有特别重要的地位，因此引起了大量学者对它的研究，其研究也是比较完整和全面的。 选题意义：虽然在课本上有许多例题应用数学归纳法，但是并没有详细介绍它的来源和原理，而且它在证明初等数论中的定理和各种各样的数学问题时，还有着非常广泛 的应用，这就是这篇论文产生的必要性。 需要解决的主要问题及可行性：大学课本上关于数学归纳法定理的证明不是十分完整。本文将会补充完整.说明一些定理在初等数论中成立，最后再将这些定理通过一些例题进行应用。 思 路 及 方 法 思路：首先叙述数学归纳法内容和它的定理的证明，在此基础上再用数学归纳法来 证明初等数论中的例题，最后说明应用数学归纳法在初等数论中应该注意的问题。 方法：本论文采用文献研究法，演绎推理，反证法等多种方法。 指导教师签名： 年 月 日 课题来源：（1）教师建议；（2）学生拟定；（3）企业和社会征集；（4）科研单位提供

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

中值定理构造辅助函数

【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．

构造辅助函数

构造辅助函数解题 一、 直接构造 1.实数k 为何值时，不等式x e kx ≥对x R ?∈恒成立？ 二、稍作变形 2. 设函数()1(01)ln f x x x x x =>≠且 (I)求()f x 的单调区间； (II)已知12a x x >对(0,1)x ?∈成立，求实数a 的取值范围. 三、适当放缩 3. 设函数1()ln(1)(1)n f x x x = +--.其中n N *∈.求证：对n N *?∈，当2x ≥时，有()1f x x ≤-. 四、化离散为连续 4.证明：对n N *?∈，不等式23 111ln(1)n n n +> -都成立.

五、二次构造 5.函数()2 2 ln (1)1x f x x x =+-+ (1)求()f x 的单调区间； (2)若不等式11n a e n +??+≤ ??? 对任意的n N *∈都成立，求a 的最大值. 六、构造双函数 6.证明：对0x ?>，都有12ln x x e ex > -成立. 七、注意繁简之分 7.设()ln f x x =. (1)求函数()()1g x f x x =+-的最大值； (2)已知0a b <<，求证：()()22 2()a b a f b f a a b --> +. 附2012年高考题分类： 一、数列与不等式 1.已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. (1)求a 的值； (2)若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；

(3)证明：12ln(21)2()21n i n n N i *=-+<∈∑ - 2. 设函数()1(0)x x f x ae b a ae =++> （Ⅰ）求()f x 在[)0,+∞内的最小值； （Ⅱ）设曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y= 32x ,求a,b 的值。 3. 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈. （Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ??? 内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12?? ???内的零点，判断数列23,,,n x x x 的增减性。 4.（I ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<，求()f x 的最小值； （II ）试用（I ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求道 公式()1x x ααα-'=. 5.函数()223f x x x =--，定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()(4,5),(,)n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点 的横坐标. (1)证明：123n n x x +≤<<； (2)求数列{}n x 的通项公式.

数学(本科)毕业论文题目汇总

数学毕业（学位）论文题目汇总 一、数学理论 1.试论导函数、原函数的一些性质。 2.有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。 3.数学中一些有用的不等式及推广。 4.函数的概念及推广。 5.构造函数证明问题的妙想。 6.对指数函数的认识。 7.泰勒公式及其在解题中的应用。 8.导数的作用。 9.Hilbert空间的一些性质。 10.Banach空间的一些性质。 11.线性空间上的距离的讨论及推广。 12.凸集与不动点定理。 13.Hilbert空间的同构。 14.最佳逼近问题。 15.线性函数的概念及推广。 16.一类椭圆型方程的解。 17.泛函分析中的不变子空间。 18.线性赋范空间上的模等价。 19.范数的概念及性质。 20.正交与正交基的概念。 21.压缩映像原理及其应用。 22.隐函数存在定理的再证明。 23.线性空间的等距同构。 24.列紧集的概念及相关推广。 25.Lebesgue控制收敛定理及应用。 26.Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 27.重积分与累次积分的关系。 28.可积函数与连续函数的关系。 29.有界变差函数的概念及其相关概念。 30.绝对连续函数的性质。 31.Lebesgue测度的相关概念。 32.可测函数与连续函数的关系。 33.可测函数的定义及其性质。 34.分部积分公式的推广。 35.Fatou引理的重要作用。 36.不定积分的微分的计算。 37.绝对连续函数与微积分基本定理的关系。 38.Schwartz不等式及推广。 39.阶梯函数的概念及其作用。 40.Fourier级数及推广。

41.完全正交系的概念及其作用。 42.Banach空间与Hilbert空间的关系。 43.函数的各种收敛性及它们之间的关系。 44.数学分析中的构造法证题术， 45.用微积分理论证明不等式的方法 46.数学分析中的化归法 47.微积分与辩证法 48. 积分学中一类公式的证明 49.在上有界闭域的D中连续函数的性质 50.二次曲线中点弦的性质 51.用射影的观点指导中学初等几何内容 52.用近代公理分析中学几何中的公理系统 53.球上Hardy空间上的加权复合算子 54.多圆盘上不同Bergman空间上的加权复合复合算子 55.从加权Bergman空间到Bloch空间的加权复合算子 56.从加权Bergman空间到加权Bloch空间的加权复合算子 57.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 58.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 59.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 60.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 61.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2. 62.试述函数在数学中的地位和作用。 63.阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。 64. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用 65.论在数学教学中培养学生的创新精神。 66.初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用 67.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。 68.构造函数证题的妙想与思维方法的特点 69.数学知识的分类及其教学策略 70.数学知识的分类测量与评价 71.关于导函数性态的讨论与研究 72.泰勒公式及其应用 73.概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用 74.随机变量函数的分布密度及其求法 75.用微积分理论证明不等式的方法 76.数学分析中的化归法 77.微积分与辩证法 78.刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R为Pid)中的素理想，其中I为整数环，K为域。 79.给出求方程X2+Y2=Z2 的所有整数解的三种不同方法。 80.对于每个n≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z上的n 阶矩阵环. 81.给出Euler定理(若(a,m)=1，则) 的三种不同证明。 82.试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n≥2.

微分中值定理怎样构造辅助函数

微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.

zt4专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造

专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造 构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=f(x)— ()() f b f a b a - - x c + 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数.

数学归纳法论文

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目录 摘要 (1) 1.数学归纳法的定义概述 (2) 1.1常用数学证明方法 (2) 1.2数学归纳法的定义 (3) 2.数学归纳法的步骤 (4) 3.易错分析 (5) 3.1弄不清n k =+时的式子变化 (5) =到1 n k 3.2运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件 (5) 4.运用数学归纳法的典型例题 (5) 5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6) 参考文献 (6) 致谢 (6)

数学归纳法在恒等式中的应用 【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。 【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法 【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking. 【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof 1 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻

中值定理构造辅助函数.docx

微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>