关于钢材下料问题的数学建模论文

B题钢管下料问题

摘要

应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。故该原料下料问题为典型的优化模型。钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。

第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。

第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。

第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432

3

1

3

8

1

5

.

7

m

=

+-+--

m

m

h

a m

6

6

.

1

1

3

8

2

4

3

1

.

7

9

.

7

2

（a为总售出额）。

第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。

关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合

问题重述

某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。

假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：

钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题：

（1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；

（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少； （3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。

（4）如果要求A 类钢管切割模式有1m 种、B 类钢管钢管切割模式有2m 种，每类钢管都需要切割成n 种不同尺寸，且不同钢管种每种尺寸的订货量也不同，试给出求钢管厂最大收益的一般数学模型。

问题分析

对于原料下料问题首先要确定采用哪些合理的切割模式。本题要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，于是问题便转化为在满足客户需要的条件下，求出有哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可

以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最省，二是切割原料钢管的总根数最省。

第一问即为解决总余料最少的情况。本问我们计划运用整数规划模型，以最短余料长度为目标函数，运用线性规划、整数规划和非线性规划算法求出最优解。

第二问即为解决总根数最少的情况。我们还是运用整数规划模型，但以最少原料根数为目标函数，运用线性规划和非线性规划算法求出最优解。

第三问，我们站在钢厂的角度，在考虑成本及实际情况的基础上，用一部分A类钢管替代B类钢管生产3米的成品钢管。我们计划运用双目标规划模型，分别以钢厂收益和B类钢管可生产出的长度为3米的成品钢管根数为自变量建立目标函数求解。

第四问为解决整个原料下料问题的模型的推广。

模型假设

1. 假设原料钢管切割过程中的无原料损耗；

2. 假设原料钢管切割过程无因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；

3. 假设原料钢管与顾客所需钢管的大小一致；

4. 假设原料钢管进货正常，没有额外追加订单；

5. 假设切割得钢管均为合格品。

符号说明

模型建立与求解

首先要确定采用哪种切割模式是可行的。所谓切割模式，是按照实际需要在原料上安排切割组合。确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理切割模式的余料应该小于客户需要的钢管的最小尺寸。在这种合理性假设下，切割模式情况如下表所示。问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，切割多少根钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准：a.切割后剩余的总余料量最少；b.切割原料钢管的总根数最少。下面将对这两个目标分别讨论。

表1 A类钢管满足条件的切割模式

表2 B 类钢管满足条件的切割模式

5.1 问题一：余料最少

5.1.1 模型的建立：

针对问题一，我们设定决策变量：

:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5

,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；

:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；

:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；

:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。

下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：

()?

?

?∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i i

i i i i ，、、、、20543218753194321

成品钢管根数满足的约束条件：

??????

?≥++++≥++++≥++++≥++++604070305454443432421415354343332321315

25424323222121515

414313212111x r x r x r x r x r

x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r

B 类钢管： 余料长度：

()?

?

?∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i i

i i i i ,20543218753294321、、、、

成品钢管根数满足的约束条件：

??????

?≥++++≥++++≥++++≥++++457035255454443432421415354343332321315

25424323222121515

414313212111x r x r x r x r x r

x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r

目标函数：最短余料长度

5

544332211min x m x m x m x m x m z ++++=

该问题的线性规划模型为：

5

544332211min x m x m x m x m x m z ++++= ()()1234123412341234..

19357812345307040

60

29357812345307040

6002,.(12345j=1234)

i i i i i

i i

i i

i i

i i

i i i i i

i i

i i

i i

i i

i i i ji s t m r r r r i r

x r x r x r x m r r r r i r x r x r x r

x m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、

、、、、

，，x r 、、、、，、、、

5.1.2 模型求解：

在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：使生产出的成品钢管除满足客户要求外，多处要求的钢管根数在合理的变化范围内。用Lingo 求解时，我们分别对客户要求3m 、5m 、7m 、8m 钢管根数数量上分别各增加5、10、15(根)，通过大量计算和比较，我们找出了在各增加5根时解较优，如下：

表一 A 类钢管的5种切割模式

表二 B 类钢管的5种切割模式

需A 类钢管65根，采用第一种切割模式切割20根、第二种20根，第三种20根，第四种5根，第五种0根，余料共20米。

需B 类钢管40根，采用第一种切割模式切割0根、第二种25根，第三种15根，第四种0根，第五种0根，无余料。 5.2 问题二：根数最少

5.2.1 模型的建立

针对问题二，我们设定决策变量：

:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5

,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；

:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；

:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；

:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。

下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：

()?

?

?∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i i

i i i i ，、、、、20543218753194321

成品钢管根数满足的约束条件：

??????

?≥++++≥++++≥++++≥++++604070305454443432421415354343332321315

25424323222121515

414313212111x r x r x r x r x r

x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r

B 类钢管： 余料长度：

()?

?

?∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i i

i i i i ,20543218753294321、、、、

成品钢管根数满足的约束条件：

??????

?≥++++≥++++≥++++≥++++457035255454443432421415354343332321315

25424323222121515

414313212111x r x r x r x r x r

x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r

目标函数：切割原料钢管的总根数最少

5

4321min x x x x x z ++++=

该问题的线性规划模型为：

5

4321min x x x x x z ++++= ()()1234123412341234..

19357812345307040

60

29357812345307040

6002,.(12345j=1234)

i i i i i

i i

i i

i i

i i

i i i i i

i i

i i

i i

i i

i i i ji s t m r r r r i r

x r x r x r x m r r r r i r x r x r x r

x m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、

、、、、

，，x r 、、、、，、、、

5.2.2 模型的求解

在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：即分成有预料和无余料两种情况求的较优解。

Ⅰ、有余料时：

表三有余料时A类钢管的5种切割模式

表四有余料时B类钢管的5种切割模式

运用Lingo软件求解，得：

需A类钢管65根，采用第一种切割模式切割20根、第二种1根，第三种2根，第四种25根，第五种17根，余料共2米。

需B类钢管38根，采用第一种切割模式切割0根，第二种15根，第三种2根，第四种20根，第五种1根，余料共2米。

Ⅱ、无余料时：

表五无余料时A类钢管的5种切割模式

表六 无余料时B 类钢管的5种切割模式

需A 类钢管75根，采用第一种切割模式切割0根、第二种5根、第三种或第四种50根、第五种20根，无余料。

需B 类钢管39根，采用第一种切割模式切割1根、第二种12根、第三种21根、第四种5根、第五种0根，无余料。 5.3 问题三：收益最大

5.3.1 模型的建立

因B 类钢管无法全部完成3米成品钢管的生产，我们欲用成本较低的A 类钢管代替一部分B 类钢管生产3米的成品钢管，但具体替换率不得大于40%，为使钢厂的收益最大、节约成本，我们计算给出替代比例与最小成本之间的关系，进而求出替代比例与最大收益的关系。

决策变量：

:m 用A 类钢管代替B 类钢管生产3米长成品钢管的比例；

:i x 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式切割的A 类钢管的根数； :i y 表示按照第j

()5

,4,3,2,1=j 种切割模式切割的B 类钢管的根数； :t 表示A 类钢管的单价；

:1i r 表示按照第i ()5

,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；

:2i r 表示按照第i ()5

,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管

的根数；

:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；

:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数；

:1j s 表示按照第j ()5

,4,3,2,1=j 种切割模式下用B 类钢管生产的3米成品钢管的根数；

:2j s 表示按照第j ()5

,4,3,2,1=j 种切割模式下用B 类钢管生产的5米成品钢管的根数；

:3j s 表示按照第j ()5

,4,3,2,1=j 种切割模式下用B 类钢管生产的7米成品钢管的根数；

:4j s 表示按照第j ()5

,4,3,2,1=j 种切割模式下用B 类钢管生产的8米成品钢管的根数；

约束条件：

用A 类钢管生产的4种成品钢管根数满足客户要求：

()?????

????≥=≥≥≤+≥∑∑∑∑∑60

5,4,3,2,1407055253043211i i i i i i i i i i x r i x r x r x r m

x r

B 类钢管可生产出的长度为3米的成品钢管根数：

()125251j j s y m ≥≥

-∑

用B 类钢管生产的4种成品钢管根数满足客户的要求：

()

?

????

?

?≥=≥≥≤∑∑∑∑45

5,4,3,2,17035254321j j j j j j j j y s j y s y s y s

第i 种切割模式下每根A 类钢管生产出的4种长度成品钢管根数的要求：

()5,4,3,2,1198753174321=≤+++≤i r r r r i

i i i

第j 种切割模式下每根B 类钢管生产出的4种长度成品钢管根数的要求：

()5,4,3,2,1298753274321=≤+++≤j s s s s j

j j j

所有决策变量显然为非负整数。 该问题的目标函数h （即最大收益）：

h=a-z （a 为总售出额（一定），z 为成本额） 即转化为z(成本额最小)为：

()()5

4321543215.2min y y y y y t x x x x x t z +++++++++=

下面为该问题的线性规划模型：

()()5

4321543215.2min y y y y y t x x x x x t z +++++++++=

()

()

(

)()(

)

112341123412341234..

302555701,2,3,4,5

40602512535701,2,3,4,5

45

173578191,2,3,4,5

273578291,2,3,4,5

0i i i i i i i i i i j j j j j j j j j j i i i i j j j j s t r x m r x r x i

r x r x s y m s y s y s y j s y r r r r i

s s s s j m ≥+≤≥=≥≥≥-≤≥≥=≥≤+++≤=≤+++≤=<=<∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

0.4

z t =除m 、、外所有变量均为非负整数

5.3.2 模型的求解

为了便于运算，取t=1，再运用Lingo 软件求的较优解（最低成本）为： 当4.0=m 时，最小值是159

为了求出替代比例与最大收益之间的关系，我们分别给m (替代比例)赋值，运用Lingo 软件求得： 0=m 时，最小值是160。

当1

.0=m 时，最小值是160。

当2.0=m 时，最小值是160。

当3.0=m 时，最小值是161

结合上面几个表，对替代比例与最小成本进行多项式拟合，最总得出四次拟合较合适，得下图：

图一 替代比例与最小成本四次拟合图

由上图，我们可以得出替代比例与最小成本的关系如下：

近而我们可得出替代比例和最大收益之间的关系如下：

432

2083.31416.7279.1715.833160

h a m m m m =+-+-- （这里的关系只是单价为单位一的情况，需要时取t 倍，便可得到题目所要的解） 5.4 问题四：问题的推广

5.4.1 模型的建立

结合第三问，我们将问题进行推广：A 类钢管切割模式为1m 种；B 类钢管切割模式为2m 种；每类钢管都需要切割成n 种不同尺寸。

针对问题四，我们设定决策变量：

:1p A 类钢管的单价; :2p B 类钢管的单价;

:i x 表示按照第i ()1

,,2,1m i =种切割模式切割的A 类钢管的根数； :j y 表示按照第j

()2

,,2,1m j =种切割模式切割的B 类钢管的根数； :k h 表示满足客户要求的A 类钢管的k 种成品长度()n

k ,,2,1 =； :m h 表示满足客户要求的B 类钢管的m 种成品长度()n

m ,,2,1 =； :ki r 表示按照第i ()1

,,2,1m i =种切割模式下A 类钢管生产长度为k h 的根数； :mj s 表示按照第j ()2

,,2,1m j =种切割模式下B 类钢管生产长度为m h 的根

数；

:k d 表示客户对A 类钢管长度为k h 的需要量； :m t 表示客户对B 类钢管长度为m h 的需要量； 本问的约束条件：

A 钢管在第i 种切割模式下满足客户对长度为k h 的需求量：

()n k d x r k

i

m i ki ,,11

1

=≥∑

=

432

2083.31416.7279.1715.833160z m m m m =-+-++

第i 种切割模式下每根A 类钢管生产出的n 种长度成品钢管根数的要求：

()∑==≤≤n

k ki

k m i r h 11

,,11917

B 钢管在第j 种切割模式下满足客户对长度为m h 的需求量：

()n m t y s m

j m

j mj ,,11 =≥∑

=

第j 种切割模式下每根B 类钢管生产出的n 种长度成品钢管根数的要求：

()2

1,,12927m j s h n

m mj m =≤≤∑=

所有决策变量显然为非负：

0,0,0,0,00≥≥≥≥≥≥mj

ki m k j i s r h h y x ，，并且都为整数

目标方程(厂方收益)：

∑∑==+=12

1

1

21max m i m j j i y p x p z

该问题的规划模型：

∑∑==+=12

1

1

21max m i m j j i y p x p z

钢管下料问题

钢管下料 摘要 在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。本文研究的是钢管下料问题。用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。 对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。 ①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下： 7 17 1min ,1,2,3..0,1,2,,7i i i ji i j i i z c x a x b j s t x i ===?≥=???≥=?∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。总余料量为27m 。 ②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。总余料量为35m 。 在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。 对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下： 3 13 1 41 41min ,1,2,3,4 ,1,2,3..,1,2,30,1,2,3i i ji i j i j ji j j ji j i z y r y b j c r m i s t c r n i y i =====?≥=???≥=????≤=??≥=?∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。 此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。 关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划

线材下料问题-线性规划

一、问题陈述 (下料问题)某工厂要做150套钢架，每套钢架分别需要长度为米、米和米的圆钢各一套。已知原料每根长10米，问应如何下料，可使所用原料最省 二、问题分析 该问题是运筹学在实际运用中比较经典的“线材下料问题”，从第一部分问题陈述中可以看出，该问题的一般提法是，要做N套产品，需要用规格不同的M种线材，各种规格的长度分别为l1，l2，l3，...，l m，每一套产品需要不同规格的原料分别为m1，m2，m3，...，m m根，已知原材料的长度为一定的长度，问应该如何下料，从而使原材料的耗用最省。 因此，在解决此类问题时应分两步考虑：1、确定可行的切割模式：即按照客户需要在原材料钢材上安排切割的一种组合；2、确定合理的切割模式：合理的切割模式的预料不应该大于或等于客户需要的钢材的最小尺寸。 对于如上第一分部提出的线材下料问题，可以用运筹学中线性规划的方法求解，通过建立线性规划模型来具体分析。 三、模型建立 建立线性规划模型时，对于约束条件这里为切割要满足客户对钢材数量的最低要求，本题将对标准钢材的切割（米、米、米），从而组合成一套钢架，要求为150套等因素建立约束条件。但是，对于目标函数而言，会有这样两种情况：1、求的钢材原材料总根数最少；2、求的钢材原材料余料最少。在本文的分析中，我们选择前者，即：求解使用的钢材原材料总根数最少。 为了建立模型方便，我们把下料后余下的小于最短用料的钢材称为废弃钢材，把下料得到的长为，，的钢材称为规格钢材，把10米长的原材料钢材称为原钢。因此，所用的原钢可以分解成三部分：1、成套利用的规格钢材；2、剩余的规格钢材；3、废弃钢材。通过分析计算，可以得到原钢的11种下料方式如下：

数学建模 生产计划问题

第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产 答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产 第二题：工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。

工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。 答： 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数

数学建模钢管下料问题

重庆交通大学 学生实验报告 实验课程名称数学建模 ^ 开课实验室数学实验室 学院信息院11 级软件专业班 1 班 学生姓名 学号 ￥ 开课时间2013 至2014 学年第 1 学期

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/ 实验一 钢管下料问题 摘要 ( 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料 ` 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通

过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . 》 （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下 每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?+2x ?+3x ?+4x ?）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) ( 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850

数学建模之钢管下料问题案例分析

钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819 k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有

1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥??++≥??=? 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当

数学建模之下料问题

数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式LINGO软件线性整数

一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明

数学建模钢管

数学建模钢管下料问题

实验一 钢管下料问题 摘要 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？ 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明

（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2， i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?1.1+2x ?1.2+3x ?1.3+4x ?1.4）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850 （8） 1750≦290?14r +315?24r +350?34r +455?44r ≦1850 （9） 由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于 （15?290+28?315+21?350+30?455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于 （15?290+28?315+21?350+30?455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有 i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)

钢管下料问题作业

钢管下料问题的数学模型 组员 一、问题的提出 1、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时，得到原料19米，现有乙客户需要50根4米，20根6米，15根8米，如何下料最省？ 2、摘要：生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题. 二、引言：钢管、钢筋在隧道施工中用途极为广泛,然而,钢铁厂因为大规模生产,出厂的钢管、钢筋大多为半成品,长度极少能满足工程建设的需要。作业队伍要根据图纸所要求的钢管、钢筋长度对半成品的钢管、钢筋进行再加工。加工剩下的废料因为长短不一,往往无法再次利用,只能当作废铁贱卖,白白浪费。建设者长期因为找不到最佳解决方案而苦恼。因此,如何巧妙安排,运筹谋划使下料后的废料达到最小化,是一个非常重要的、值得进行深入研究的课题。数学建模在隧道施工钢管下料中的应用就是研究如何针对不同要求进行统筹分配,

使在保证需求数量的情况下,达到最佳效果的一种运筹学方法。下面将通过介绍高速公路隧道钢管下料中如何应用这一研究方法和技术,并应用LINDO 软件求解,来达到在条件限制下的总体废料最小化 三、问题的分析： 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 1、问题一： 某钢管零售商以钢管厂进货，将钢管按顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时得到原料19m 建立模型 引入决策变量，x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 目标函数 1 钢管数最少：=Z min 7654321x x x x x x x ++++++ 2 余下的钢管最少76543213333m in x x x x x x x Z ?+++?+?++?= 经过以上分析，可转化为下述线性规划问题 约束条件： 1、??? ??≥?++≥?++?+≥++? +?+?++++++=15 2203250234min 753 6542543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 问题一： 2、 76543213333m in x x x x x x x Z ++++++= ??? ??≥++≥+++≥++++15 220 3250 234753 654254321x x x x x x x x x x x x

数学建模论文——下料问题

3.下料问题 班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130 摘要： 本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。主要考虑到两方面的问题。钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。 关键词：余料、原材料、加工费、总费用。 一、问题背景 工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。 相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。 二．问题描述及提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 在该目标下要求考虑下面两个问题： 1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售 出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。

数学建模--钢管下料问题

钢管下料问题 摘要: 如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点, 本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。 大规模数学规划的描述分为四个部分： model: 1．集合部分（如没有，可省略） SETS: 集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS 2．目标函数与约束部分 3．数据部分（如没有，可省略） 4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end 关键字：材料 Lingo 软件 整数规划 问题描述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 （1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。应如何下料最节省。 （1）问题简化： 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根

(完整版)钢管下料问题

钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++

123672567 346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥?? ++≥??=?L 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 1234468519k k k k +++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 利用Matlab 程序求出所有模式见表2。 求出所有模式的Matlab 程序： number=0; for k1=0:4 for k2=0:3 for k3=0:2 for k4=0:3 r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4); if(r>=0)&(r<4) number=number+1; fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d %2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r); end

下料问题数学建模(钢管)

防盗窗下料问题 摘要 本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。 关键词：钢管下料；最优化；lingo；

问题提出 某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。 根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。 请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。 基本假设和符号说明 1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏； 2、假设余料不可焊接； 3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限； 4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别； 5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。 为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示： 问题分析与模型建立 问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。 首先要确定针对6米和4米不同规格的圆形管合理的截取模式各有哪几种。然后我们从所有截取模式中选取若干种截取模式，并设计出最佳的截取方案。 问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，所用的原料必然都要用于切割，不存在使用总钢管数量最少的说法，故我们可建立模型使截得后剩余方形管总余量最小。

关于钢材下料问题的数学建模论文

B题钢管下料问题 摘要 应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。故该原料下料问题为典型的优化模型。钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。 第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。 第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。 第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432 3 1 3 8 1 5 . 7 m = +-+-- m m h a m 6 6 . 1 1 3 8 2 4 3 1 . 7 9 . 7 2 （a为总售出额）。 第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。 关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合

数学建模1-中级职称_工程系列电气装备专业技术人员继续教育线上学习

中级职称_工程系列电气装备专业技术人员继续教育线上学习_答案 数学建模1 1.在敏感问题调查中，为了减轻被调查者的抵触情绪，瓦纳设计了一种随机问答法，这种方法需要向调查者提几个问题（6.0分） A.1 B.2 C.3 D.4 我的答案：B √答对 2.如果原料钢管的长度为19米，当客户的需求为4米、6米、8米有几种合理的切割模式？（6.0分） A.6 B.7 C.8 D.不确定 我的答案：B √答对 3.原料钢管的长度为19米，客户的需求为4米50根、6米20根、8米15根，则需要的最少原料钢管数为（6.0分） A.24 B.25 C.26

D.27 我的答案：B ×答错 4.在合理切割模式下，余料的长度应该（6.0分） A.小于客户需要钢管的最小长度 B.小于客户需要钢管的最大长度 C.大于客户需要钢管的最小长度 D.大于客户需要钢管的大长度 我的答案：A √答对 5.为调查大学中某一年级学生参加外语考试作弊的比例，用随机问答法进行调查。设计的两个问题为：问题1：你在这次考试中有作弊行为；问题2：你在这次考试中无作弊行为。设计的题号卡共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2。请200名学生根据任意抽得的卡上的标号对问题1或问题2用“是”或“否”回答（抽出的卡再放回），结果有60名回答为“是”，则该年级学生外语考试作弊的比例约为（ 6.0分） A.1% B.5% C.10% D.15% 我的答案：C √答对

1.钢管下料问题中，对于大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式时采用的做法是（8.0分）） A.增加约束 B.缩小可行域 C.减小约束 D.增大可行域 我的答案：AB √答对 2.利用瓦纳的随机问答法进行敏感问题调查时,调查结果与下列哪些量有关（8.0分）） A.调查的人数 B.回答“是”的人数 C.标有不同数字的题号卡所占的比例 D.进行调查的时间 我的答案：ABC √答对 3.钢管下料问题2中，在客户增加了需求之后，客户需求的钢管米数为（8.0分）） A.4 B.5 C.6 D.8 我的答案：ABCD √答对 4.钢管下料问题中，在合理切割模式下，余料的米数可以为（8.0分））

下料问题

关于一维下料问题的研究 摘要：“下料问题”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题．此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用．在生产实践中通常要求解决用料最省、浪费最少等问题．下料问题即是其一。属最优化研究范畴．一维下料问题是生产实践中常见的问题，优化下料要求最大限度地节约原材料，提高原材料的利用率。本文介绍了两种方法，其一提出分支定界算法优化一维下料问题，并用MATLAB编写程序，通过计算机来完成这一复杂的过程。另一种方法-lingo，针对单一原材料的一维下料问题, 建立了整数规划模型, 然后将模型转化为求解最优下料方式问题; 利用lingo进行编程, 实现循环调用得到一维下料问题的局部最优解。实际上本文就是给出了解决适当规模下料问题的求解方法．该方法既可手工演算又可通过计算机求解。在实践中可以借鉴使用．Abstract： The “℃utting Stock Problem”is a problem of dividing raw materials in the same shape into several parts in different shapes． This kind of problem has important and wide appliance in engineering and industry production．Being living to give birth to in the practice requires use to anticipate to save most usually and Squanders at least and so on ，First of all Immediate future the cutting stock problem is ，The category optimization is researched the category 。For one thing, One—dimensional cutting stock problems can be encountered at the production stage of many areas，the optimization of cutting requests to save raw material at most and improve the use of raw materia1．A branch and bound algorithm for solving one—dimensional cutting stock problems can be completed by computer．For another,Aimed at raw material for a single one-dimensional cutting stock problem, This paper established integer programming model and then transformed into themodel under optimal feeding method for solving the problem;the use of lingo programming to achieve loop calls are one- dimensional cutting stock problem of the locally most optimal solution.Actually, Resolution means that the original is give out ，the proper scale issue may be resolved ，As yet the handwork performs mathematical calculations，But may solve a problem by means of the calculating machine ，Being living in the practice may draw lessons from the use． 关键词：一维下料问题分支定界算法 ILp函数最优化 one—dimensional cutting stock problems branch-and—bound algorithm ILp function Optimization 问题的提出 研究背景 下料问题”是把相同形状的原材料分割加工成若干不同规格大小的零件的问题，根据原材料长度是否相等，一维优化下料可以分为单一型材的优化下料和多型材的优化下料其中

钢管下料问题解答

线性整数规划案例——钢管下料问题 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小这种工艺过程，称为原料下料问题(cutting stock problem)。按照进一步的工艺要求，确定下料方案，使用料最省，或利润最大，是典型的优化问题。 本节通过两个实例讨论用数学规划模型解决这类问题的方法。 钢管下料问题: 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19米长。现有一客户需要50根4米长、20根6米长和15根8米长的钢管。应如何下料最节省？ 问题分析I： 首先，应当确定哪些切割模式是可行的。 所谓一个切割模式，是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将19米长的钢管切割成3根4米长的钢管，余料为7米；或者将19米长的钢管切割成4米、6米和8米长的钢管各1根，余料为1米。显然，可行的切割模式是很多的。 其次，应当确定哪些切割模式是合理的。通常假设一个合理的切割模式的余料不应该大 于或等于客户需要的钢管的最小尺寸。例如，将19米长的钢管切割成3根4米的钢管是可 行的，但余料为7米，可以进一步将7米的余料切割成4米钢管（余料为3米），或者将7 米的余料切割成6米钢管（余料为1米）。在这种合理性假设下，切割模式一共有7种，如 表1所示。 表1 钢管下料：19米长钢管的所有切割模式

问题分析II ： 还有，问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。 而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小；二是切割原料钢管的总根数最少。这两个目标并不一致。下面将对切割后剩余的总余料量最小这个目标为例进行讨论。 模型建立： （1）决策变量：用x i 表示按照第i 种模式（i =1, 2, …, 7）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数。 （2）决策目标：以切割后剩余的总余料量最小为目标，则由表1可得 765432113333x x x x x x x Z Min ++++++= (1) 或者以切割的钢管根数最少为目标，则由表1可得 11234567=++++++min Z x x x x x x x (1’) （3）约束条件：为满足客户的需求，按照表1应有 5023454321≥++++x x x x x (2) 20326542≥+++x x x x (3)