高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种映射法则f ,对于集合A 中的任一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到集合B 的映射,记作f :A →B 。 注意点:(1)对映射定义的理解; (2)判断一个对应是映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. 注意:(1)A 中的每一个元素都有象,且唯一; (2)B 中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一; (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ={x |0 ≤ x ≤ 6},B ={y |0 ≤ y ≤ 2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 ( ). A . f :x →y = 12x B . f :x →y =1 3 x C . f :x →y =14x D . f :x →y =16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射,下列说法正确的有 ( ) (1)A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像; (4)像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素:①定义域;②对应法则;③值域 两个函数是同一个函数的条件:当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.
【例题1】下列各对函数中,相同的是( ) A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f (x )=x ,2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形,其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 ( ) A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( ) 3.下列四个图象中,不是函数图象的是( ) 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1
一、配方法 例1:当01≤≤-x 时,求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值. 解析:34)3 22(32 + --=x y ,当01≤≤-x 时,122 1≤≤x .显然由二次函数的性质可得1min =y ,3 4max = y . 二、判别式法 对于所求的最值问题,如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题,则常可利用判别式求得函数的最值. 例2:已知012442 2 =-++-x x xy y ,求y 的最值. 解析:由已知,变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y . 因此 4 5 max = y ,无最小值. 例3:若x 、R y ∈且满足:022 2 =-+++y x xy y x ,则m ax x = min y = 解析:由已知,变形得:0)()12(2 2 =++-+x x y x y ,R y ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(22≥+--x x x ,于是018≥+-x ,即 81≤ x .即 8 1max =x . 同理,0)()12(2 2 =-+++y y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(22≥--+y y y ,于是018≥+y ,即 81-≥y .即 8 1 min -=y . 注意:关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程,通常用此法 例4:已知函数1 1 34522+++=x x x y ,求y 的最值. 解析:函数式变形为:0)1(34)5(2 =-+--y y x y ,R x ∈,由已知得05≠-y , 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ,即:0762≤--y y ,即:71≤≤-y . 因此 7max =y ,1min -=y .
O O O O (1) (2) (3) (4) 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一:函数的基本概念 1、函数的概念: 一般地,设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作: A x x f y ∈=,)(。 x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,y 叫函数值,y 的取值范围叫函数的值域。 说明:①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值,按照某种确定的对应关系f ,都有唯一的y 值与它对应,这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义:)(x f y =是一个整体,)(x f 并不表示f 与x 的乘积,它是一种符号,可以是解析式,也可以是图象,还可以是表格; 2、函数的三要素:定义域,值域和对应法则 3、区间的概念:三种区间:闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等:同时满足(1)定义域相同;(2)对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数: 说明:①在求分段函数的函数值时,首先要确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 ( ) (A ) (B) (C ) (D) 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .x x y y ==,1 B .1,112 -=+?-=x y x x y C .3 3 ,x y x y = = D . 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为 ( ) (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。 A 、(1)(2)(4) B 、(4)(2)(3) C 、(4)(1)(3) D 、(4)(1)(2) 4.下列对应关系:( ) ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f :x x →的平方根 ②,,A R B R ==f :x x →的倒数 ③,,A R B R ==f :2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-:A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A .①③ B .②④ C .③④ D .②③ 5.在国内投寄平信,每封信不超过20克重付邮资80分,超过20克重而不超过40克重付邮资160分,将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数,其表达式为()f x =____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ,则)9(f = ,)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ,若)(x f =13,则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = . 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-;②()f x x =与2()g x x =; ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ;④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
高中数学函数最值问题的常见求解方法 一、配方法 例1.当01≤≤-x 时,求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值. 解析:3 4)322(32 + - -=x y ,当01≤≤-x 时, 12 2 1≤≤x .可得1min =y ,3 4max = y . 二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题,则常利用判别式求得函数的最值. 例2.若x 、R y ∈且满足:022 2 =-+++y x xy y x ,则max x = , min y = . 解析:由已知,变形得:0)()12(22=++-+x x y x y ,R y ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ,于是018≥+-x ,即 8 1≤ x .即 8 1max = x . 同理,0)()12(22=-+++y y x y x ,R x ∈,则0≥?,即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ,于是018≥+y ,即 8 1- ≥y .即 8 1min - =y . 例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下,求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值. 解:设x t sin =,因0(∈x ,)2 π,故 10≤≤t ,则2 ) 1()1(t t t y +-= ,即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ,故01≠+y ,于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。 将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ,]1,所以8 1max = y . 注意:因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ,]1的必要条件,因此,必须 将8 1= y 代入方程中检验,看等号是否可取. 练习:已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-,求常数b a ,.(答案: 3=b ,4±=a ) 三、换元法 (一)局部换元法 例4.求函数x x y 21-+=的最值. 解析:设x t 21-= (0≥t ),则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取 等号.故1max =y ,无最小值. 例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值. 解析:2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ,于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时,21 22 max + + =a a y ;当a t -=时,)1(2 1 2 min -= a y . 注意:若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +,可考虑用换元法解. (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈,4122≤+≤y x .求22y xy x u ++=的最值. 解析:设θcos t x =,θsin t y =,(t 为参数),因 4122≤+≤y x ,故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时,6max =u ;当12=t 且12sin -=θ时,2 1max =u . 练习1:实数x 、y 适合:545422=+-y xy x ,设22y x S +=,则 max 1S +min 1S =____。 练习2:已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+,求y x +的最值. 解析:化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ,得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x , 故 2 101)(max +=+y x ,2 101)(min - =+y x . (三)均值换元法 例7.已知1=+b a ,求证:4 4b a +的最小值为 8 1. 解析:由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数,故不能用三角换元,但根据其和为1,我们可
新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法: 求函数的零点: 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点______________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤: (1)确定区间[a,b],验证____________,给定精确度ε; (2)求区间(a,b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0,则________________; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4).
高一数学函数的知识点和例题 (一)、映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射. 2、对于函数的概念,应注意如下几点: (1)掌握构成函数的三要素,会判断两个函数是否为同一函数. (2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式. (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)为内函数,f(u)为外函数. 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤: (1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y); (3)将x,y对换,得反函数的习惯表达式y=f-1(x),并注明定义域. 注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起. ②熟悉的应用,求f-1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算. (二)、函数的解析式与定义域 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可.如: ①分式的分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等. 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集). (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可. 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式. (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法.比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可. (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域. (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式. (三)、函数的值域与最值 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.
初升高:高一数学必修一函数知识点总结 函数知识点总结篇一 1. 函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ; (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2. 复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然; (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于 直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为 2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱ a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数; (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数; 5.方程 (1)方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域); (2)a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min;