小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)

第八章 小波分析及应用

8.1 引言

把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。

1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2)

()()π2,02

L x f ∈?，()∑∞

-∞

==

k ikx

k

e

c x f (8.1-1)

其中 ()dx e x f c ikx k -?=π

π20

21 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)

()()dx e x f F x j ωω?

∞∞

-= (8.1-3)

()()ωωπ

ωd e F x f x

j -∞∞-?=

21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时

间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适应通讯理论[3]。”

为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT ）的概念：

定义8.1-1 若()R L W 2∈选择得使W 与它的傅里叶变换W

?满足： ()()()()R L W

R L t tW 22?,∈∈ωω 那么使用W 作为窗函数，在式(8.1-5)中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”(STFT)：

()()()()

()()dt b t W t f e f g t j b -=?∞

∞

--ωω~ (8.1-5)

当窗函数选择为高斯(Gaussian)函数时，则为Gabor 变换[2]。

STFT 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT 无法满足要求，此外，STFT 的冗余很大，增加了不必要的计算量。

小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多的领域得到应用。

小波分析方法的出现可以追溯到1910年Haar 提出Haar 规范正交基，以及1938年Littlewood-Paley 对傅里叶级数建立的L-P 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1984年法国地球物理学家Morlet 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学方面所做的探索主要是R. Coifman 和G . Weiss 创立的“原子”和“分子”学说，这些“原子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron 使用了非常象“小波”的函数构造了Stein 和Weiss 的空间1H 的无条件基。直到1986年，法国数学家Meyer 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，它的二进伸缩与平移

()(){}

Z k j k t t j j k j ∈-=--,:222/,ψψ构成()R L 2的规范正交基。

此前，人们普遍认为这是不可能的，如Daubechies,Grossman 和Meyer 都退而研究函数系()

002/0kb t a a j

j ---ψ构成()R L 2的框架的条件去了。

Lemarie 和Battle 继Meyer 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat 快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies 构造了具有紧支集的正交小波基。Coifman, Meyer 等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A. Cohen, I. Daubechhies 等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。 近年来，一种简明有效的构造小波基的方法--提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发展和重视[4,5]。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤[6]，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为

是第二代小波[5]。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。

8.2 小波变换及其基本性质 8.2.1 连续小波变换

()()R L t f 2∈?，()t f 的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：

()()0,

,2

/1≠??

? ??-=?

∞

∞

--a dt a b t t f a

b a WT f ψ (8.2-1)

或用内积形式：

()

b a f f b a WT ,,,ψ= (8.2-2)

式中()??

?

??-=-a b t a t b a ψψ2

/1,

要使逆变换存在，()t ψ要满足允许性条件：

()∞<=?∞

∞-ωω

ωψ

ψd C 2

? (8.2-3)

式中()ωψ

?是()t ψ的傅里叶变换。 这时，逆变换为

()()()2

,1

,a

da db

b a WT t C t f f b a ??

∞∞-∞

∞

--=ψψ

(8.2-4)

ψC 这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于()R L 2的函数ψ的类，尤其是若还要求ψ是一个窗函数，那么ψ还必须属于()R L 1，即

()∞

∞

∞

-dt t ψ

故()ωψ

?是R 中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得ψ?在原点必定为零，即 ()()00?==?∞

∞-dt t ψψ

(8.2-5) 从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。 连续小波变换具有如下性质： 性质1（线性）：设()()()t h t g t f βα+=，则

()()()b a WT b a WT b a WT h g f ,,,βα+=

性质2（平移不变性）：若()()b a WT t f f ,?，则()()ττ-?-b a WT t f f ,。平移不变

性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。

性质3（伸缩共变性）：若()()b a WT t f f ,?，则()()cb ca WT c

ct f f ,1?

，其中c>0。

性质4（冗余性）：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数()t b a ,ψ存在许多可能的选择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结果的困难。

8.2.2连续小波变换的离散化

由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取

Z k j a k b j

j ∈==

,;21,2，这时 ()()()k t t t j j k b a j

j -==222/2,21,ψψ

ψ

常简写为：()t k j ,ψ。

变换形式为：k j j

j f f k WT ,,2

,21ψ=??

?

??

为了能重构信号()t f ，要求{}Z k j k j ∈,,ψ是()R L 2的Riesz 基。

定义8.2-1 一个函数()R L 2∈ψ称为一个R 函数，如果{}Z k j k j ∈,,ψ在下述意义上是一个Risez 基：Z k j k j ∈,,,ψ的线性张成在()R L 2中是稠密的，并且存在正常数A 与B ，

∞<≤

{}

{}2

,2

2

,,2,22

l

k j j k k

j k j l k j c B c c A ≤≤

∑

∑∞

-∞=∞

-∞

=ψ

对所有二重双无限平方可和序列{}k j c ,成立，即对于{}∞<=

∑∑∞-∞=∞

-∞

=2,2,2

j k k

j l k j c

c 的{}k j c ,成

立。

假定ψ是一个R 函数，那么存在()R L 2的一个唯一的Riesz 基{}

Z

k j k

j ∈,,ψ，它在意义

Z m l k j m k l j m l k j ∈=,,,,

,,,,,δδψψ

上与{

}k j ,ψ对偶。这时，每个()()R L t f 2∈有如式(8.2-6)的唯一级数表示： ()()∑∑

∞-∞=∞

-∞

==

j k k

j k j t f t f ,,,ψ

ψ (8.2-6)

特别地，若{}Z k j k j ∈,,ψ构成()R L 2的规范正交基时，有k j k j ,,ψψ= 重构公式为：

()()t f t f j k j k k j ∑∑

∞-∞=∞

-∞

==

,,,ψψ (8.2-7)

8.3 多分辨分析与Mallat 算法 8.3.1 多分辨分析

Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当[7]。

定义8.3-1 空间()R L 2的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列{}Z j j V ∈，使其具有以下性质：

（1） 单调性（包容性）

??????--21012V V V V V

（2） 逼近性：(){}0,

2==?

??

???∞

-∞

=∞-∞= j f

j f V

R L V close

（3） 伸缩性：

()()12-∈?∈j j V t V t φφ

（4） 平移不变性： ()()Z k V k t V t j j j ∈?∈-?∈-,21φφ

（5）Riesz 基存在性：存在()0V t ∈φ，使得(){

}Z k j k t ∈--2φ构成j V 的Riesz 基。

在定义8.3-1中，j V 对应于j -2分辨率，在有些文献中[2,8]，j V 对应于j 2分辨率，这

时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。

定理8.3-1 令{}Z j j V ∈是()R L 2空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数

()()R L t 2∈φ使得 ()Z k k t j j k j ∈-=--,222/,φφ (8.3-1) 必定是j V 内的一个标准正交基，其中()t φ称为尺度函数。

式(8.3-1)中的系数2/2j -是为了使k j ,φ的2L 范数为1。引入尺度函数的目的是为了构造正交小波基，图8.3-1(a)为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，图(b)是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。

(a)尺度函数的图形 (b)尺度函数的傅里叶变换

图8.3-1 DB9尺度函数

若()t φ生成一个多分辨分析，那么0V ∈φ也属于1-V ，并且因为{

}Z k k ∈-:,1φ是1-V 的一个Riesz 基，所以存在唯一的2l 序列{})(k h ，它描述尺度函数φ的两尺度关系：

()()()∑∞

-∞

=-=k k t k h t 22φφ (8.3-2)

由性质（1）可知Z j V V j j ∈?∈+,1，所以

11++⊕=j j j W V V (8.3-3)

反复应用式(8.3-3)，得

()j Z

j W R L ⊕∈=2 (8.3-4)

同样，象()t φ生成0V 一样，存在一个函数()t ψ生成闭子空间0W ，且有与式(8.3-2)类似的

双尺度方程

()()()∑∞

-∞

=-=k k t k g t 22φψ (8.3-5)

式(8.3-5)称为小波函数双尺度方程。由式(8.3-2)、(8.3-5)可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数{}{})(,)(k g k h 的设计，若令()()()()k

j k k k

j e k g G e

k h H ωωωω-∞

-∞

=∞

-∞

=-∑

∑

=

=

2

,2

，则把尺度函数和小波函数的设计可以归结为滤波器()()ωωG H ,的设计。构造正交小波时滤波器()ωH 与()ωG 必须满足以下三个条件：

()()12

2

=++πωωH H (8.3-6)

()()12

2=++πωωG G (8.3-7) ()()()()0**=++πωωωωG H G H (8.3-8)

联合求解式(8.3-7)和(8.3-8)可得

()()πωωω+=-*H e G j (8.3-9)

由式(8.3-9)立刻可得

()()()Z k k h k g k

∈--=-,11*1 (8.3-10)

所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器()ωH 。

8.3.2正交小波变换

式(2.2-7)式说明由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢？若存在是什么样的呢？ 这样的小波母函数是存在的，节8.3.1的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面先给出几个具有解析表达式的例子[9]。 Haar 小波母函数：

()???

??????

≤<-<≤=other t t t h ,0121,1210,1

Shannon 小波母函数：

()??

? ??-?

?? ??--??? ??-=

21212sin 21sin t t t t πππψ

Shannon 小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的Haar 小波母函数要优越，可是Haar 系函数的支集是紧的，Shannon 系的函数不仅不是紧支的，且当∞→t 时趋于

零的速度仅为???

? ??O t 1，故当用Shannon 系对函数进行分解时，分解系数不能很好地反映信号的局部特征。

Haar 小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方法，这就构成了由B 样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B 样条函数构造小波的方法[2]。下面式(8.3-11)给出一个用B 样条构造的正交小波母函数的例子，是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里叶反变换获得，不过实际中只能通过数值运算获得其时域的函数图形。

()??? ??+-??? ??-+?-=-4sin 84sin

834sin 3

214

sin 214

sin 16?4222

4

2

2

ωωωω

ω

ω

ωψ

ω

i

e

(8.3-11)

Daubechies 构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基，其对应

的滤波器是有限长的[10]。不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且，除Haar 基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对称或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。下面是Daubechies 小波滤波器的一个例子D4：(-0.129409522551,-0.224143868042,0.836516303738, -0.482962913145)。更多的例子请参见附录。

8.3.3 双正交小波变换

在图像处理中经常希望所用滤波器具有线性相位，Cohen 、Daubechies 等人放弃了小波、尺度函数的正交性，给出了构造具有对称性的双正交基的方法，这时对应的滤波器具有线性相位[11]。

取代小波函数、尺度函数的正交性的是所谓的双正交条件：

()n k n j k j -=δφφ,,~

, (8.3-12)

()

()n k m j n m k j --=δδψψ,,~, (8.3-13) 此时相应的多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种：

2101221012~

~~~~----????????V V V V V V V V V V (8.3-14) 在双正交的条件下，子空间j V 与j W 不是正交补空间，但是若令

{}Z k j close W k

j j ∈=,:~~,ψ则有以下正交补的关系： j j j j W V W V ⊥⊥~

,~ (8.3-15) 相应的双尺度方程为：

()()()()()()k t k h t k t k h t N k N k -=-=∑∑-=-=2~

~2~

,221

20

1

20

φφφφ

()()()()()()∑

∑-=-=-=-=120

120

2~~2~,22N k N k k t k g t k t k g t φψ

φψ (8.3-16) 依据式(8.3-15)得

()()()()()()12,,1,012~1121~-=?

??+--=+--=N k k N h k g k N h k g

k k (8.3-17)

所以，在设计双正交小波滤波器时，实际上只要设计两个尺度滤波器。有关双正交小波滤波器的例子请参见附录。

8.3.4 小波包变换

短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等Q 滤波器组，语音、图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。当对某类信号，等宽和等Q 滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合的滤波器，这就引出了小波包的概念。Coifman 及Wickerhauser 在多分辨分析的基础上提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。

小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是： 令

Z j W U V U j j

j

j ∈?????==,1

0 (8.3-18)

定义子空间n j U 是函数()t w n 的闭包空间，而n

j U 2是函数()t w n 2的闭包空间，并令n w 满足如下双尺度方程：

()()()k t w k h t w n k

n -=∑222 (8.3-19)

()()()∑-=+k

n n k t w k g t w 2212 (8.3-20)

式中()()()k h k g k

--=11即两系数也具有正交关系。其等价表示是：

+++∈∈⊕=Z n Z j U U U n j

n j n j ,,1

221 (8.3-21)

定义8.3-2（小波包）：由式(8.3-19)、(8.3-20)构造的序列{}+∈Z n n w 称为由基函数()()

t t w φ=0

确定的小波包。

j W 空间分解的子空间列可以写成m

j l

U +-21， ,2,1;,,2,1;12,,1,0==-=j j l m l 。若

n 是一个倍频程细划分的参数，即令m n l +=2，则有小波包的简略记号

()()k t t j n j n k j -=--222/,,ψψ，其中()()t w t l m l n l

2222/+=ψ。与小波()t k j ,ψ相比较可知，小波

包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数n ，正是由于这个频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n 表示()t n ψ的零交叉个数，也就是其波形的振荡次数。

8.3.5 一维Mallat 算法

Mallat 在著名的用于图像分解的金字塔算法(Pyramidal algorithm)的启发下，结合多分辨分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为Mallat 算法。

设()()R L t f 2∈，并假定已得到()t f 在j -2分辨率下的粗糙象j j V f A ∈，{}Z j j V ∈构成

()R L 2的多分辨分析，从而有11++⊕=j j j W V V ，即

f D f A f A j j j 11+++= (8.3-22)

式中()∑∞

-∞

==k k j k

j j t C

f A ,,ψ，()∑∞

-∞

==

k k j k

j j t D

f D ,,ψ，

于是

()()()∑∑∑∞

-∞

=++∞

-∞

=++∞

-∞

=+

=

k k j k

j k k j k

j k k j k

j t D

t C

t C

,1,1,1,1,,ψφφ (8.3-23)

由尺度函数的双尺度方程可得

()()()∑∞

-∞

=+-=

k k

j m j t m k h t ,,12φφ

利用尺度函数的正交性，有

()

m k h k j m j 2,,,1-=+φφ (8.3-24)

同理由小波函函数的双尺度方程可得

()

m k g k j m j 2,,,1-=+φψ (8.3-25)

由式(8.3-23)、(8.3-24)和(8.3-25)立即可得：

()∑∞

-∞=+-=

k k

j m j m k h C

C 2*,,1 (8.3-26)

()∑∞

-∞

=+-=

k k

j m j m k g C

D 2*,,1 (8.3-27)

()()∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=++-+

-=

m m m

j m

j k j D

m k g C

m k h C ,1,1,22 (8.3-28)

引入无穷矩阵[]∞

-∞==k m k m H H ;,，[]∞

-∞==k m k m G G ;,，其中()()m k g G m k h H k m k m 2,2*,*,-=-=则式(8.3-26)、(8.3-27)和(8.3-28)可分别表示为：

??

?===++J j GC D HC C j

j j

j ,,1,011 (8.3-29)

和 0,1,,1,,

1*1* -=+=++J J j D G C H C j j j (8.3-30)

其中**,G H 分别是H 和G 的共轭转置矩阵。

式(8.3-29)为Mallat 一维分解算法，式(8.3-30)为Mallat 一维重构算法，如图8.3-2所

示：

H H H

0C 1C 2C 3C

G G G

1D 2D 3D

(a)分解算法

*H *H *H

0C 1C 2C 3C *

G *

G *

G 1D 2D 3D

(b)重构算法

图8.3-2 Mallat 小波分解和重构算法示意图

利用Mallat 分解与重构算法进行信号处理时，不必知道具体的小波函数是什么样的，

此外，在对数字信号进行处理时，通常假定相应的连续函数属于0V ，但即使如此，该函

数在0V 空间的投影的系数与由采样得到的离散序列一般不一样，但实际上都是直接把由采样得到的信号作为最高分辨率的信号来处理，这时更多的是把小波变换当作滤波器组来看待。

在实际应用Mallat 算法时，由于实际信号都是有限长的，存在如何处理边界的问题。比较常用的方法是周期扩展和反射扩展。主要目的是要降低边界不连续性所产生的在边界上变换系数衰减慢的问题。

8.3.6 二维Mallat 算法

在进行图像处理时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，下面的定理给出了构造二维可分离正交小波基的方法。

定理8.3-1[12] 令()Z j V j ∈2是()22R L 的可分离多分辨分析，并令()()()y x y x φφφ=,是相应

的二维尺度函数，()x ψ是与尺度函数对应的一维标准正交小波。若定义三个“二维小波”

()()()

()()()()()()??

???===y x y x y x y x y x y x ψψψφψψψφψ,,,32

1 (8.3-31) 则

()

()()

()??

???∈---------------2

321,,2,222,222,22Z n m n y m x n y m x n y m x j j j j

j j j j j ψψψ (8.3-32)

分别是()22R L 内的标准正交基。

设()2,j V y x f f ∈=为待分析的图像信号，其二维逼近图像为

f D f D f D f A f A j j j j j 3

121111+++++++= (8.3-33)

式中

()()

()()3

,2,1,,,,,1111

1

1==

=∑

∑∑∑∞

-∞=∞

-∞

=+++∞-∞=∞

-∞

=+++i n m n m D f D n m n m C f A m n j i

j i j m n j j j φφ (8.3-34)

利用尺度函数和小波函数的正交性，由式(8.3-32)、(8.3-33)和(8.3-34)立即得

()()()()∑∑∞-∞=∞

-∞

=+--=

k l j

j l k C n l h m k h n m C ,22,1 (8.3-35)

以及

()()()()()()()()()????

?????--=--=--=∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞

-∞=+∞-∞=∞-∞=+∞-∞=∞

-∞=+k l j j k k j j k l j j l k C n l g m k g D l k C n l h m k g D l k C n l g m k h D ,22,22,22312

11

1 (8.3-36)

引入矩阵算子，令r H 和c H 分别代表用尺度滤波器系数对阵列{}()2,,Z l k l k C ∈的行和列作用的算子，r G 和c G 分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子，二维Mallat 分解算法为

J j C G G D C H G D C G H D C H H C j

c r j j

c r j j

c r j j

c r j ,,1,0,312

1111 =???????====++++ (8.3-37)

二维Mallat 重构算法为：

3

1**21***1**1**+++++++=j c r j c r j c r j c r j D G G D H G D G H C H H C (8.3-38)

图8.3-3示出了二维图像的分解和重构算法：

对行滤波 对列滤波

f A j 1+ f D j 1

1+ f A j f D j 21+ f D j 31+

(a) 分解算法示意图

f A j 1+ f D j 11+ f A j

f D j 21+ f D j 31+

(b) 重构算法示意图

图例 下采样：对列滤波时，两列去一列，对行滤波时，两行去一行

上采样：对列滤波时，两列中加0，对行滤波时，两行中加0

图8.3-3 二维Mallat 小波分解和重构算法示意图

对图2.2-3所示的二维小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分

别由对行进行一维小波变换，然后再对按行变换后的数据按列进行一维小波变换来完成。与一维的情形类似，在实际应用中，由于图像信号总是有限区域的，也存在如何处理边界的问题。典型的处理方法是周期扩展和反射扩展。在用小波变换进行图像压缩时，由于边界的不连续性，会使得在边界处的小波变换系数的衰减变慢，从而影响图像的压缩比，因而在图像压缩应用中，若使用的是具有对称性质的双正交小波滤波器，一般对边界采用反射扩展的方式，使边界保持连续，以提高压缩性能。

8.4 利用提升方案(Lifting Scheme)构造小波 8.4.1提升方案的基本原理

小波函数()t k j ,ψ通常定义为一个属于()R L 2空间的母小波的二进伸缩(Dilates)和平移(Translate)：

()()k t t j j k j -=222/,ψψ (8.4-1)

这样的小波称为第一代小波。然而，在更一般的情况下，小波并不必须是彼此的伸缩与平移，但仍然具有第一代小波的特点，这样的小波称为第二代小波，利用提升方案可以构造它们。

第一代小波具有如下性质：

P1：是()R L 2空间的Riesz 基，还是Lebesgue 、Lipschitz 、Sobolev 和Besov 空间的无条件基。

P2：小波及其对偶在空间和频域是局域化的，有些小波还是紧支的。 P3：小波分析可纳入多分辨分析的框架，这导致了快速小波变换算法。 在研究中常有如下需要：

G1：第一代小波提供了定义在n R 上函数的基，但在象数据分割、在一般定义域上的微分和积分方程的求解，需要定义在任意的、可能不光滑的域上的小波。

G2：第一代小波典型地只提供具有不变测度的空间的基，而微分方程的对角化、在曲线或表面上的分析等需要可适应加权测度的基。

G3：第一代小波隐含对数据进行规则采样，而实际问题经常要处理不规则采样的数据。

具有性质P1-P3而又满足G1-G3性质的第一代小波的推广称为第二代小波。这儿的关键问题是平移与伸缩并不是属性P1-P3所必须的，放弃平移和伸缩，隐含着傅里叶变换不能再用作构造工具。下面介绍利用提升方案构造第二代小波的方法。

考虑信号{}Z k k k R x x X ∈∈=|，把X 分成二个不相交的集合：偶下标采样{}Z

k k e x X ∈=2和奇下标采样{}Z k k o x X ∈+=12，通常情况下这两个集合是紧密相关的，因而从一个集合能很好地建立另一个集合的预测P

()o e x P x d -= (8.4-2)

知道了d 和奇采样值，可立即恢复信号

()o e x P d x += (8.4-3)

若P 性能好，则d 将是一个稀疏集，换言之，我们期望d 的一阶熵小于o x 的。 令 Z k x x k k k k ∈==++,,1212,022,0λλ 取 Z k k k ∈=-,2,0,1λλ (8.4-4) 利用相邻两偶采样对奇采样进行预测，记下差值

()1,1,112,0,121

+--+-+-=k k k k λλλγ (8.4-5)

若信号是相关的，则大多数小波系数k ,1-γ将很小。在理论上，我们可以继续通过对

{}

Z

k k ∈-,1λ施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引入另一个条件，即

希望k j ,λ系数的平均值在每一次分解时保持一致，或者说使∑∑=

-k k

k k ,0,121

λλ，此前所进行的下采样很显然不具有这种特点，我们可通过借助于k ,1-γ对k ,1-λ进行提升来实现这点：

()k k k k ,11,1,1',14

1

-----++

=γγλλ (8.4-6)

现在，每一级小波变换由两步构成：首先计算小波系数，其次提升下采样系数。逆变换可立即得到：只需把式(8.4-6)中的加号换成减号，再把式(8.4-5)的等式中的项作一下移动即可。整个计算过程如图8.4-1所示：

12,+k j λ

k j 2,λ k j ,1-γ

22,+k j λ

(a) 小波系数的几何含义

… k j 2,λ 12,+k j λ 22,+k j λ …

-1/2 -1/2 -1/2 -1/2

… k j 2,λ k

j ,1-γ

22,+k j λ …

1/4 1/4 1/4 1/4

… k j ,1-λ k

j ,1-γ

k j ,1-λ …

(b) 分解过程

图8.4-1 提升方案示意图

从图8.4-1中可以看出，在进行小波变换时，可进行同址运算，即不需要辅助存储

器，这对硬件实现十分有利。下面的定理给出提升方案的一般方法。

定理8.4-1 给定双正交滤波器算子的初始集合{}

old

j

old j old j old j G G H H ~,,~,，那么可通过如下方法获得一个新的双正交滤波器算子集{}

j j j j G G H H ~,,~

,

old j

j old j

j

old

j

j old j j old j j old j

j G G H S G G G S H H H H ~~~~

~*=-=+==

式中j S 是一个从()()j M l 2到()()j K l 2的算子。 证明：利用矩阵形式表示提升方案

???

???????????=????????old j old j j j G H S G H ~~101~~ ?

?????????????-=??????old j old j

j j G H S

G H 101* 因为 ?

?

?

???=??????-??????1001101101S S 有 [

]

[]

?

?????-???

???????????=???

?????101~~101~~

****

S G H G H S G H G H o l d j o l d j o l d j o l d

j j

j

j j 根据双正交滤波器的定义有

[

]

??

????=???

?????1001~~**old

j

old

j old j old j

G

H G H 所以 [

]

??

?

???=??????-????????????=???

?????10011011001101~~

**

S S G H G H j j

j j (8.4-7)

另外

[]

[][][

]

1

1001

101101~~*

******

*

=????????=???

???????????=??

?

?????????????????-=???????

?o l d j o l d j o l d j o l d

j

o l d j o l d

j o l d j o l d

j o l d j o l d

j o l d j

o l d j

j j j j

G H G H G H G H G H S S G H

G H G H

(8.4-8)

根据定义，满足式(8.4-7)(8.4-8)两式的即为双正交滤波器。 证毕。

8.4.2 把小波变换分解成基本的提升步骤[6]

已经证明所有FIR 小波滤波器都有能分解成基本的提升步骤[6]。用矩阵表示时，一个提升步骤对应一个单元(elementary)矩阵。分解的基本理论依据是矩阵代数，根据矩阵代数，任何具有多项式元素项且行列式为1的矩阵都可以分解成一系列的单元矩阵。 首先把求自然数的最大公约数的Euclidean 算法推广到求两个多项式的最大公因子。

两个多项式的公因子取决于因子p z ,而且与自然数不同的是，在多项式的情形下，解并不是唯一的。

定理8.4-2 （多项式的Euclidean 算法）。设有两个多项式()z a 和()0≠z b ，而且()()z b z a ≥。令()()z a z a =0，()()z b z b =0，从i=0开始循环执行以下步骤

()()()()()

z b z a z b z b z a i i i i i %11==++

那么()()()()z b z a z a n ,gcd =，如果n 是使得()0=z b n 的最小数。

定理中()z a 定义为：若()∑=-=

ke

kb

k k k

z a

z a ，则()kb ke z a -=。

用矩阵形式表示为

()()()()?????

???????-=???

???∏=z b z a z q a n i i n 111000 相应地

()()()()???

????????

?=??????∏=00111z a z q z b z a n n i i 式中()1+≤z b n 。这样，()z a n 能整除()z a 、()z b ，如果()z a n 是一个单项式的话，那么

()()z b z a ,是互素的。

为了把FIR 小波滤波器(h, g)分解成基本的提升步骤，我们首先注意到()()z h z h o e ,必须是互素的[78]，而且，利用公约数的不唯一性，总是可以使公约数为常量K ，即

()()()∏=???

????????

?=??????n

i i o e K z q z h z h 10011 对于给定的滤波器h ，通过如下操作，总可以找到一个互补滤波器0g ， 即令

()()()()()()???

?????????=??????=∏=K K z q z g z h z g z h z P n i i o o e e /10001110

(8.4-9) 在式(8.4-9)中

()()()????????????=????????????=?????

?101

01100110101011z q z q z q i i i (8.4-10) 当i 为奇时使用式(8.4-10)的第一个等式，当i 为偶时使用第二个等式，有

()()()?????

?????????????=∏=-K K z q z q z P i n i i /100101

10122

/1120

(8.4-11) 通过一个提升步骤可获得滤波器g ，

()()()?

?

?

???=1010z s z P z P 由以上分析可得如下定理

定理8.4-3 给定互补滤波器对(h, g)，那么总是存在多项式()z s i 和()z t i ，n i ≤≤1，以及一个常量K ，使得

()()()?????

?????????????=∏=K K z t z s z P i n

i i /100101

1011 与对偶滤波器对()

g h ~

,~相关的多相(polyphase)矩阵为

()()()??

?

?????????-??????-=-=-∏K K z t z s z P i n i i 00/110

1101~

111

在正交小波滤波器时有()()z P z P ~

=，这就对应着两种不同的分解，也就是说，把FIR

小波滤波器分解成基本的提升步骤时，分解是不唯一的。

利用提升方案进行的小波变换如图8.4-2所示：

LP HP

(a)利用提升方案进行的小波分解示意图

(b) 利用提升方案进行的小波重构示意图

图8.4-2 利用提升方案进行分解与重构

作为例子，下面给出对具有两阶消失矩的D4正交小波的分解：

()3322110---+++=z h z h z h h z h ()1011223-+-+-=z h h z h z h z g

其中

2

431,2

433,2

433,2

4313210-=

-=

+=

+=

h h h h

多相矩阵是

()()??

?

???++--+==--01

21

31113120~

h z h z

h h h z h z h h z P z P 因式分解是

()()??

??

?

???

??

??-+??????????????-+??????-==-2130

021

310114234

3011031~

1

z z z P z P (8.4-12) 使用式(8.4-12)作为P(z)的分解，则分析用的多相矩阵为

()??????-??

?

?????-+??????????

?

??????

?-+=-130110

423431*********

13/1~1

z z

z P t

由此可得小波分解算法

()()()(

)

()

()()()

()()()()

2111

1211

12121212/

132/

134/234/33l l

l l l l l l l l l l l l d d s s s d d d d x s x x d -=+=+=-+

+=-=-++

由分解算法，通过反向进行操作，并改变相应的符号可得重构算法

()()()()()()()

()()(

)

()

()l

l l l l l l l l l l

l

l l x d x d d s x s d d s s d d 211211

11211

211234/234/32/

132/13+=---=-=-=+=

++-

基于小波变换的图像分割的研究

摘要 近年来，对图像分割的研究一直是图像技术研究的焦点。图像分割是一种很重要的图像分析技术，它的目的是把图像分为具有各种特性的区域并把感兴趣的部分提取出来。它融合了多个学科的成果，并且成功应用于工业、农业、医学、军事等领域，得到了广泛的应用。 图像分割是一个经典的问题，实现方法有很多种，但是至今仍没有一种通用的解决方法。经过研究发现，区分真正的噪声和边缘是图像分割的难题之一，然而小波变换则可以解决这一问题，小波变换是一种时--频两域的分析工具。本文则基于小波变换对图像分割技术进行研究，主要介绍了小波阈值分割方法。文中通过直方图、建立模型等手段对这两种方法做出具体的讨论，并利用Matlab分别对两种方法进行仿真，并得到了有效的结果。根据仿真结果我们可以看出不同分割方法的不同分割效果，从而更好地理解这些方法。 关键词：图像分割；小波变换；阈值；

Abstract In recent years, the study of image segmentation has been the focus of imaging technology. Image segmentation is an important image analysis, its purpose is to take the various characteristics part out of the image. It combines the results of multiple disciplines, and successfully applied to such fields as industry, agriculture, medicine, military, and a wide range of applications. There are many ways to achieve image segmentation, but could not find a common solution. After the study found that the distinction between real noise and the edge of one of the difficult problem of image segmentation, wavelet transform can solve this problem, wavelet transform is a time - frequency domain analysis tools. In this paper, image segmentation technique based on wavelet transform to study the two wavelet segmentation method, the wavelet thresholding segmentation method. Histogram, the establishment of model and other means to make a specific discussion of these two approaches, and use the Matlab simulation, and the effective results of the two methods, respectively. According to the results of the simulation we can see the different segmentation results of different segmentation methods, in order to better understand these methods. Key words：Image; Wavelet transform; Threshold

Matlab小波变换函数

Matlab小波函数 Allnodes 计算树结点 appcoef 提取一维小波变换低频系数 appcoef2 提取二维小波分解低频系数 bestlevt 计算完整最佳小波包树 besttree 计算最佳(优)树 *biorfilt 双正交样条小波滤波器组 biorwavf 双正交样条小波滤波器 *centfrq 求小波中心频率 cgauwavf Complex Gaussian小波 cmorwavf coiflets小波滤波器 cwt 一维连续小波变换 dbaux Daubechies小波滤波器计算 dbwavf Daubechies小波滤波器dbwavf(W) W='dbN' N=1,2,3,...,50 ddencmp 获取默认值阈值(软或硬)熵标准 depo2ind 将深度-位置结点形式转化成索引结点形式detcoef 提取一维小波变换高频系数 detcoef2 提取二维小波分解高频系数 disp 显示文本或矩阵 drawtree 画小波包分解树(GUI) dtree 构造DTREE类 dwt 单尺度一维离散小波变换

dwt2 单尺度二维离散小波变换 dwtmode 离散小波变换拓展模式 *dyaddown 二元取样 *dyadup 二元插值 entrupd 更新小波包的熵值 fbspwavf B样条小波 gauswavf Gaussian小波 get 获取对象属性值 idwt 单尺度一维离散小波逆变换 idwt2 单尺度二维离散小波逆变换 ind2depo 将索引结点形式转化成深度—位置结点形式*intwave 积分小波数 isnode 判断结点是否存在 istnode 判断结点是否是终结点并返回排列值 iswt 一维逆SWT(Stationary Wavelet Transform)变换iswt2 二维逆SWT变换 leaves Determine terminal nodes mexihat 墨西哥帽小波 meyer Meyer小波 meyeraux Meyer小波辅助函数 morlet Morlet小波 nodease 计算上溯结点 nodedesc 计算下溯结点(子结点)

近代数学 小波 简答题+答案

1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？） 答：设)()(2R L t ∈?,且其Fourier 变换)(ω? 满足可允许性（admissibility ）条件 +∞

小波变换详解

基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率

的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不

基于小波分析的机械故障诊断

绪 论 机械故障诊断技术作为一门新兴的科学，自从二十世纪六七十年代以来已经取得了突飞猛进的发展，尤其是计算机技术的应用，使其达到了智能化阶段。现在，机械故障诊断技术在工业生产中起着越来越重要的作用，生产实践已经证明开展故障诊断与状态预测技术研究具有重要的现实意义。 我国的故障诊断技术在理论研究方面，紧跟国外发展的脚步，在实践应用上还是基本落后于国外的发展。在我国，故障诊断的研究与生产实际联系不是很紧密，研究人员往往缺乏现场故障诊断的经验，研制的系统与实际情况相差甚远，往往是从高等院校和科研部门开始，再进行到个别行业，而国外的发展则是从现场发现问题进而反映到高等院校或科研部门，使得研究有的放矢[1]。 要求机械设备不出故障是不现实的，因为不存在绝对安全可靠的机械设备。因此，为了预防故障和减少损失，必须对设备的运行状态进行监测，及时发现设备的异常状况，并对其发展趋势进行跟踪：对己经形成的或正在形成的故障进行分析诊断，判断故障的部位和产生的原因，并及早采取有效的措施，这样才能做到防患于未然。因此，设各状态监测与故障诊断先进技术的研究对于保证复杂机械设备的安全运行具有重要意义。 关键词：小波分析，故障诊断，小波基选取，奇异性 基于小波分析的机械故障检测 小波奇异性理论用于机械故障检测的基本原理 信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系： 设)(x g 为一光滑函数，且满足条件0g(x) lim ,1x)dx ( g x ==∞→+∞ ∞-?，不妨设)(x g 为高斯函数，即σσπ2221)(x e x g -= ，令 d x,/x)( dg x)(=ψ由于?+∞ ∞-=0x)dx (ψ，因此，可取函数x)(ψ

matlab小波变换

matlab小波变换 Matlab 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现 Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；而函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下： A＝fft(X,N,DIM) 其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为 N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。 A＝fft2(X,MROWS,NCOLS) 其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。别可以实现一维、二维和 N 维 DFT A＝fftn(X,SIZE) 其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。 函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。 别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 例子：图像的二维傅立叶频谱 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现% 读入原始图像 I＝imread('lena.bmp');函数 fft、fft2 和 fftn 分 imshow(I) % 求离散傅立叶频谱 J=fftshift(fft2(I)); figure;别可以实现一维、二维和 N 维 DFT imshow(log(abs(J)),[8,10]) 2. 离散余弦变换的 Matlab 实现 Matlab

2.1. dct2 函数 功能：二维 DCT 变换 Matlab 格式：B=dct2(A) B=dct2(A,m,n) B=dct2(A,[m,n])函数 fft、fft2 和 fftn 分 说明：B＝dct2(A) 计算 A 的 DCT 变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝dct2(A,m,n) 和 B=dct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为 m×n。 2.2. dict2 函数 功能：DCT 反变换 格式：B=idct2(A) B=idct2(A,m,n)别可以实现一维、二维和 N 维 DFT B=idct2(A,[m,n]) 说明：B＝idct2(A) 计算 A 的 DCT 反变换 B ，A 与 B 的大小相同；B＝idct2(A,m,n) 和 B=idct2(A,[m,n]) 通过对 A 补 0 或剪裁，使 B 的大小为m×n。 Matlab 2.3. dctmtx函数 功能：计算 DCT 变换矩阵 格式：D＝dctmtx(n) 说明：D＝dctmtx(n) 返回一个n×n 的 DCT 变换矩阵，输出矩阵 D 为double 类型。 1. 离散傅立叶变换的 Matlab实现 3. 图像小波变换的 Matlab 实现函数 fft、fft2 和 fftn 分 3.1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt 函数 Matlab

小波分析考试题(附答案)

《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。 ()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程 解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ?∈?∈）（）（ψ?） （）和（t t ψ?1V

基于小波变换的图像处理.

基于小波变换的数字图像处理 摘要：本文先介绍了小波分析的基本理论，为图像处理模型的构建奠定了基础，在此基础上提出了小波分析在图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等图像处理方面的应用,最后在MATLAB环境下进行仿真，验证了小波变化在图像处理方面的优势。 关键词：小波分析；图像压缩；图像去噪；图像融合；图像增强 引言 数字图像处理是利用计算机对科学研究和生产中出现的数字化可视化图像 信息进行处理，作为信息技术的一个重要领域受到了高度广泛的重视。数字化图像处理的今天，人们为图像建立数学模型并对图像特征给出各种描述，设计算子，优化处理等。迄今为止，研究数字图像处理应用中数学问题的理论越来越多，包括概率统计、调和分析、线性系统和偏微分方程等。 小波分析，作为一种新的数学分析工具，是泛函分析、傅立叶分析、样条分析、调和分析以及数值分析理论的完美结合，所以小波分析具有良好性质和实际应用背景，被广泛应用于计算机视觉、图像处理以及目标检测等领域，并在理论和方法上取得了重大进展，小波分析在图像处理及其相关领域所发挥的作用也越来越大。在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。但短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行，所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整。 本文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，然后研究了小波分析在图像处理中的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像增强等,本文重点在图像去噪，最后用Matlab进行了仿真[1]。

小波变换的几个典型应用

第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。

小波分析考试题及答案

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨

基于小波变换的语音信号去噪(详细)

测试信号处理作业 题目：基于小波变换的语音信号去噪 年级：级 班级：仪器科学与技术 学号： 姓名： 日期：2015年6月

基于小波变换的语音信号去噪 对于信号去噪方法的研究是信号处理领域一个永恒的话题。经典的信号去噪方法，如时域、频域、加窗傅立叶变换、维纳分布等各有其局限性，因此限制了它们的应用范围。小波变换是八十年代末发展起来的一种新时-频分析方法，它在时-频两域都具有良好的局部化特性；并且在信号去噪领域获得了广泛的应用。 目前已经提出的小波去噪方法主要有三种：模极大值去噪、空域相关滤波去噪以及小波阈值去噪法。阈值法具有计算量小、去噪效果好的特点，取得了广泛的应用。然而在阈值法中，阈值的选取直接关系到去噪效果的优劣。如果阈值选取过小，那么一部分噪声小波系数将不能被置零，从而在去噪后的信号中保留了部分噪声信息；如果阈值选的偏大，则会将一部分有用信号去掉，使得去噪后的信号丢失信息。 1、语音信号特性 由于语音的生成过程与发音器宫的运动过程密切相关，而且人类发音系统在产生不同语音时的生理结构并不相同，因此使得产生的语音信号是一种非平稳的随机过程(信号)。但由于人类发生器官变化速度具有一定的限度而且远小于语音信号的变化速度，可以认为人的声带、声道等特征在一定的时间内(10- 30ms)基本不变，因此假定语音信号是短时平稳的，即语音信号的某些物理特性和频谱特性在10-30ms的时间段内近似是不变的，具有相对的稳定性，这样可以运用分析平稳随机过程的方法来分析和处理语音信号。在语音增强中就是利用了语音信号短时谱的平稳性。 语音信号基本上可以分为清音和浊音两大类。清音和浊音在特性上有明显的区别，清音没有明显的时域和频域特性，看上去类似于白噪声，并具有较弱的振幅；而浊音在时域上有明显的周期性和较强的振幅，其能量大部分集中在低频段内，而且在频谱上表现出共振峰结构。在语音增强中可以利用浊音所具有的明显的周期性来区别和抑制非语音噪声，而清音由于类似于白噪声的特性，使其与宽带平稳噪声很难区分。 由于语音信号是一种非平稳、非遍历的随机过程，因此长时间时域统计特性对语音信号没有多大的意义，而短时谱的统计特性对语音信号和语音增强有着十分重要的作用。语音信号短时谱幅度统计特性的时变性，使得语音信号的分析帧在趋于无穷大时，根据中心极限定理，其短时谱的统计特性服从高斯(Gauss)分布，而在实际应用时只能在有限帧长下进行处理，因此，在有限帧时这种高斯分布的统计特性是一种近似的描述，这样就可以作为分析宽带噪声污染的带噪语音信号增强应用时的前提和假设。

整数小波变换作业

小波变换：S 整数变换作业 1. 题目：用整数小波的S 或2/6变换对256*256 Lena 灰度图像进行非标准方法的3级分解与重构。 2. 总体设计：本题目的意义在于通过实验体会整数小波变换，由于MA TLAB 自身对矩阵操作的方便性，以及其丰富的库函数（如可以用来直接显示图象），我决定用MA TLAB 编程完成本次作业。要说明的是，这里并不是直接利用MA TLAB 中的wavelet 工具箱中的已有小波函数对图象进行整数小波分解，而是用下面的已知分解公式进行小波分解和重构。分解公式：1,,21,21,,21,[] j k j k j k j k j k j k d s s s s d -+--=-=+ 重构公式：,21,1,,211,,2[] j k j k j k j k j k j k s s d s d s --+-=-=+ ，其中[ ]表示取整。 进行非标准小波分解，即交替进行3次行变换和3次列变换，程序对每次变换后的结果都保存为位图文件，运行后可以在程序所在路径下看到保存的6个分解位图文件和6个重构位图文件。最后还会在一个图像中显示每次分解后的图像，以便于对比。 3. 实现方法：编写S 变换的分解和重构子程序，分别对图像数据进行一次行列分解和列行重构，程序返回该次变换后的行列矩阵，在主程序中可以连续三次调用行列变换，即完成对原始图像的3级分解和重构，这里的变换是完全可逆的，也就是能够完全恢复原图像数据。通过对比3次重构后返回的数据与原图像数据后发现它们完全相同。主要用的MA TLAB 工具函数有： imread( )---------读取图像数据，为uint8类型，需变为double 类型才能进行各种运算 imwrite()---------用于保存图像，这里用它来保存每一级变换后的图像 image( )----------显示图像，需要给出色谱表colormap ，这里是灰度图，用colormap ＝gray （256）即可 subplot( )--------用于分开绘图，即在一个窗口下绘制多个图像，在这里用于输出变换后的图像，以便对比。 更详细的内容请参考函数文件SDecompose.m 和SRecompose.m ，分别是分解和重构图像的函数，main.m 是演示主程序。 命令行下输入main 运行后，按照提示输入要处理的图像文件名称即可（要求是256×256的灰度图像，否则结果可能会出错。程序所在目录下的lena.bmp 和girl.bmp 就是256×256的灰度图像）可以直接按键盘‘d ’键，程序会默认使用lena.bmp 进行演示。 3级分解完成后，输出后面的3级分解效果图。命令窗中会给出提示，按下任意键将继续进行图像3级重构，完成后会输出后面的3级重构图。 进行分解和重构同时已经将分解和重构得到的图像存盘，在当前工作目录下即可看到保存的12个位图文件，其中分解和重构图像各有6个。若要查看清晰的变换图像，可以 打开它们查看。 4. 经验教训：本次作业用MA TLAB 而不是VC 实现，虽然看上去简单许多，但是对于我

基于小波变换的边缘检测技术(完整)

第一章图像边缘的定义 引言 在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。 由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。 经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。 小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。

§1.1信号边缘特征 人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。 §1.2图像边缘的定义 边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。

小波分析基础及应用期末习题

题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤

11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩

研究生《小波理论及应用》复习题

2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H

为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况

第五章 小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑ ∑∑∑+∞ -∞=+∞-∞ =+∞ -∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

博士复试题目+答案

1、小波变换在图像处理中有着广泛的应用，请简述其在图像压缩中的应用原理？ 答：一幅图像经过一次小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有微弱的细节信息。为此，如果只保留占总数数量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来代替，则就可以省略图像部分细节信息，而画面的效果跟原始图像差别不是很大。这样，就可以得到图像压缩的目的。 2、给出GPEG数据压缩的特点。 答：（1）一种有损基本编码系统，这个系统是以DCT为基础的并且足够应付大多数压缩方向应用。 （2）一种扩展的编码系统，这种系统面向的是更大规模的压缩，更高精确性或逐渐递增的重构应用系统。 （3）一种面向可逆压缩的无损独立编码系统。 3、设计雪花检测系统 答：1）获得彩色雪花图像。2）灰度雪花图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判断法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对雪花区域的定位。8）利用hough变换截下雪花区域的图片。 9）雪花图片几何位置调整。 4、用图像处理的原理设计系统，分析木材的年轮结构。 答：1）获得彩色木材年轮图像。2）灰度木材年轮图像。3）灰度拉伸以增加对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对木材年轮圈进行定位。8）图片二值化。9）利用边界描述子对木材的年轮结构进行识别。 5、给出生猪的尺寸和形貌检测系统。 答：1）获得彩色生猪图像。2）灰度生猪图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以除去噪声。 7）用梯度算子对生猪区域的定位。8）利用hough变换截下生猪区域的图片。9）生猪图片几何位置调整。10）生猪图片二值化。11）利用边界描述子对生猪尺寸和形貌的识别。 第二种答案：（类似牌照检测系统） 1）第一步定位牌照 由图像采集部件采集生猪的外形图像并将图像存储在存储器中，其特征在于：数字处理器由存储器中读入并运行于生猪外形尺寸检测的动态检测软件、从存储器中依次读入两幅车辆外形图像数据、经过对生猪外形图像分析可得到生猪的高度，宽度和长度数据即生猪的外形尺寸。通过高通滤波，得到所有的边对边缘细化（但要保持连通关系），找出所有封闭的边缘，对封闭边缘求多边形逼近，在逼近后的所有四边形中，找出尺寸与牌照大小相同的四边形。生猪形貌被定位。 2）第二步识别 区域中的细化后的图形对象，计算傅里叶描述子，用预先定义好的决策函数，对描述子进行计算，判断到底是数字几。 6、常用的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？ 答：目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++(面向对象可视化集成工具)和MATLAB的图像处理工具箱（lmage processing tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 微软公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来