小波分析及其应用孙延奎2005
《小波分析及其应用》（孙延奎，2005）第5章 可分离二维小波变换算法实现的问题与讨论
孙延奎
摘要：总结分析可分离二维小波变换算法实现的细节，澄清一些概念与问题，纠正例5-2中“转置”的错误，回答读者的问题。
教材中三个方向小波的定义：
12
3(,)()()
(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
,11,22,33
,,,,,,,,,,,,(,)j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m
k m
k m
g x y d d d ψψψ=++∑∑∑ （5.5）
经简单计算可得，
1
,1,,,11,,,,22
,,,,33
,,,,,,,j k m j k m j k m j k m j k m j k m
j k m j k m
c f
d f d f d f ?ψψ
ψ++?=??=??=??=
??
我们称序列
{},1
,2,3,,,j
j j j c d
d d 为1j c +的（一级）二维小波变换。下面讨论二维小波变换
的快速算法。
设一维多分辨分析
{}j
V 的两尺度方程和小波方程为：
(
)()
(
)()
22k k
k k
t h t k t g t k φφψφ=-=-
其中，
{}
k
h 为实滤波器，()11k
k
k g h -=-。则类似一维正交多分辨分析的推导，由
1,11,22,33
1,1,,,,,,,,,,,,,,,(,)j j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m j k m k m
k m
k m
k m
f x y c d d d φψψψ+++=+++∑∑∑∑
()(
)()(
)()*,,,,,****1**1**1*1*1,**,,,,2(2)(2),2(22)(22)2,(22)(22)l n j k m j k m j k m R
R
j j j R
R
j j j R R
l n j j j l n R
R
l n
l n l c f f x y x y dxdy f x y x k y m dxdy
f x y h x k l h y m n dxdy
h h f x y x k l y m n dxdy
h h φφφφφφφφ+++++===--??
=---- ???
=----=??
???
?
∑?
?
21**1**1
2,22,22,,,,l k j j j k l m n n m l n
k l m n l n n
l n
l n
c h h c h h c -+++++---==∑∑
∑()()()
()(
)()*
,111,,,,,****1**
1**
1*1*1,*,,,,2(2)(2),2(22)(22)2,(22)(22)j k m
j k m
j k m
R
R
j j j R
R
j j j l n R R
l n j j j l n
R
R
l n
l d
f f x y x y dxdy
f x y x k y m dxdy
f x y h x k l
g y m n dxdy
h g f x y x k l y m n dxdy
h ψ
ψ
φψφφφφ+++++===--?=----??
=----=?
????
?
∑??
*1**1**1
2,222,22,,,,j j j n k l m n l k n m l n
k l m n l n l n
l n
l n
g c h g c h g c +++++----==∑∑∑
得二维Mallat 算法如下（假设h 是实滤波器）：
11
,22,22,,,,1
11
,22,22,,,,211
,22,22,,,,311
,22,22,,,j j j k m l k n m l n k l m n l n
l n l n
j j j k m l k n m l n k l m n l n
l n l n j j j k m l k n m l n k l m n l n l n l n j j j k m l k n m l n k l m n l n l l n c h h c h h c d h g c h g c d g h c g h c d g g c g g c ++----++----++----++----========∑∑∑∑∑∑∑n ??????
?
???
???
∑ （5.6）
重构算法：
1,1,2,3
,22,22,22,22,,,,,j j j j j k m k l m n l n k l m n l n k l m n l n k l m n l n l n
l n
l n
l n
c h h c h g
d g h d g g d +--------=+++∑∑∑∑（5.7）
评注：
1） 在关履泰 编著“小波方法与应用”中，空间分解表示与我教材中是一致的，但二维可
分离小波1ψ与2ψ的意思正好与我的相反。其j α与j β对应我教材中的,2
j d 和,1
j d
。经
理论分析及试验验证，Matlab 中的用法与关履泰书中的一致。
2） 在Mallat 编著“信号处理的小波导引”中，空间分解表示及二维可分离小波1ψ，2ψ，
2ψ，,1j d ，,2j d 等都与教材中的一致。只是最后对变换的结果的表示略有不同：
教材中采用的方法是：
,1,2
,3j
j j j c d d
d ??
????
而Mallat 著作中，最后的表示为
,2,1
,3j
j j j c d d
d ??????
如对下面一幅图像，
图1
教材中的表示如下右图所示，其中左上角表示低频系数，左下表示垂直边缘； 右上角表示水平边缘；右下角表示对角边缘。
图2
而在Mallat 的著作“信号处理的小波导引”中（图7－26）中，各个分辨率下的图像中水平边缘与竖直边缘的位置正好相反。其中，左上角表示低频系数，左下表示水平细节系数（水平边缘）；右上角表示垂直细节系数；右下角表示对角细节系数。
可分离双正交基：
可将一维双正交小波基推广到2
2
()L R 的可分离正交小波基。令,φψ和,φψ是生成2
()L R 的双正交小波基的两对对偶的尺度函数与小波。则
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
所定义的1ψ，2ψ，3ψ的对偶小波是：
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
可以证明：
{}
3
123
,,,,,,j n
j n j n j n Z
ψ
ψψ∈和{
}
3
123
,,,,,,j n j n j n j n Z
ψψψ∈是22()L R 的双正交Riesz 基。
二维可分离小波的频率特性分析：
二维可分离小波1ψ，2ψ，3ψ在不同的尺度和方向上提取图像细节。即用1ψ和2ψ计算出的小波系数分别在水平和垂直边缘上取得大的值。分别提取图像的水平与垂直特征。小波3ψ在角点上产生大的系数，提取对角边缘。具体的，
1ψ： 垂直高频，提取水平边缘
2ψ： 水平高频，提取垂直边缘
在正频率上，?φ
和?ψ的能量分别集中在[]0,π和[],2ππ上。由可分离小波1
ψ，2
ψ，3
ψ的表达式可推出：
()()()()()()()()()123?????????,,,,,x y x y x y x y
x y x y ψωωφωψωψωωψωφωψωωψωψω=== 因此，在低的水平频率x ω处和高的垂直频率y ω处()1
?,x
y
ψωω大；在高的水平频率x
ω
处
和低的垂直频率y ω处()
2?,x y ψ
ωω大；而在高的水平频率x ω和垂直频率y ω处
()3?,x y ψ
ωω大。可显示出正交小波对应的可分离小波的傅立叶变换图。 在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，塔式分解写法中低频子带与三个高频子带的位置正好反映它们对频域的内在划分，注意，该书中1
ψ，2
ψ，3
ψ的定义与教材相同。
即
??
2?ψ j
c ,2
j d
1?ψ
3?ψ ,1
j d ,3
j d
若用L 表示低通滤波器，用H 表示高通滤波器，则滤波器LL,LH,HL 和HH 构成4个具有
不同频率特性和方向特性的滤波器。 LL 用于检索图像中的低频分量，LH 用于检测水平方向的边缘、细节分量，HL 用于检测垂直方向的边缘、细节分量，HH 用于检测主对角与副对角方向的分量。【这里的LH ，意思是先用L 做行变换，再H 做列变换。与教材中的意思相反。】
可见，采用以下表示
,2,1
,3j
j j j c d d d ??
????
能够与它们对频域的划分一致。
其它著作中有关问题的描述：
1. 在杨福生著的“小波变换的工程分析与应用”中（P117），三个小波1ψ，2ψ，3ψ与本教材的是一致的。它指出：三个小波1ψ，2ψ，3ψ中都至少包含一个带通的()x ψ或()y ψ，因此，它们都是带通的，也就是说，这三部分反映的都是高通细节。
指出，对(),f x y ，先沿x 方向分别用()x φ和()x ψ作分析，把(),f x y 分成平滑逼近和细节这两部分，然后对这两部分再分别用()y φ和()y ψ作类似分析。得到一个平滑逼近与三个细节函数。
注意：该著作中（5.13a ）, （5.13b ）的写法不够严谨。 其中，()
()
()
123,,,j j j j A f D D D 的含义同本教材中的,1
,2,3,,,j
j j j c d
d d 。
图5.4中的b,c,d 是否与()
()
()
123,,j j j D D D 相对应，没有指出。是对应的。 图5.6中()
()
12,j j D D 的位置搞错了。
2) 李弼程等编著的“小波分析及其应用”，在P40页指出：一幅图像可分解为一个低频子图
j c 和水平、垂直与对角线3个方向的高频子图,1,2,3,,j j j d d d 。但没有对“水平、垂直与对
角线”做进一步的解释。
以下通过例子分析可分离二维小波变换的计算过程，主要用于理解概念。
第一种方法，很直观，将可分离二维小波变换看成是：先对各行进行小波变换，然后对各列进行小波变换。反之也可以。
例5.1 一个2x2图象的二维Haar 小波变换。这里采用非标准的Haar 小波滤波器。
1621010???行小波变换
97100?????列小波变换00,10,20,39.5 3.50.5 3.5c d d d ??
??=????-????
如果按照Mallat 书中的写法，也可以交换0,1
d
与0,2
d
的位置，将变换结果写成
0,10,1
0,39.50.53.5 3.5c d d
d -????=???????? 先列变换，再行变换，结果相同：
1621010???列小波变换
1363??-行小波变换00,10,2
0,39.5 3.50.5 3.5c d d
d ????=????-????
例5.2 一个4x4图像的二维Haar 小波变换。 先行变换，后列变换：
二次小波变换
????
?
????--------175.05.125.01015.15.025.1375
.65.15.05.43
??
???
?
?
???????3695
217683544321
??
????
-------5.125.475.05.05.15.65.25.05.55.45.05
.05
.35
.1
左上角二维
小波变换一次小波变换
4.31250.56250.5 1.50.5625 1.3125 1.250.51.51010.25
1.50.751--??
??---????--??
---??
这种结果对应下述表示（不够严谨）：
0,11,10,2
0,3
1,21,3c d d d
d d d ?????????
?
如果按照Mallat 书中的写法，也可以交换0,1
d ，0,2
d
及1,1d ，1,2
d
的位置，将变换结果写成
4.31250.5625 1.5
10.5625 1.31250.25 1.50.5 1.5011.250.50.751---????
---?
???--??--??
同理可以验证，先列后行结果相同。
二次小波变换
??
????
????--------175.05.125.01015.15.025.1375.65.15.05.43
??
?
???????3695
217683544321
??
????????-------5.125.47
5.05.05.15.65.25.05.55.45.05
.05
.35
.1
左上角二维
小波变换一次小波变换
4.31250.56250.5 1.50.5625 1.3125 1.250.51.51010.25 1.50.751--??
??---????--??---??
第二种方法: 利用（5－6）进行验证：
1
,22,,,11,22,,,21
,22,,,3
1
,22,,j j k m l k n m l n l n
j j k m l k n m l n l n
j j k m l k n m l n
l n
j j k m l k n m l n l n c h h c d h g c d g h c d g g c +--+--+--+--?=??=???=??
?=??
∑∑∑∑ （5－6） 改写（5-6）中第一个公式：
()()
()
()
1122,22,,122,11
22,2,11,,2,j j l k n m l n n m l k l n l n n l j m n k l l n
n l j j m n m n k n k n n n
j j j k m
k m
k m
h h c h h c h h c h h c h c h c D h c c ++----+--++--++??=??
????=??
??
????=*=????=*=*=∑∑∑∑∑∑∑
工程解释：对任一固定的列数n ，先用h 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用h 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到j c 。
类似的，
1） 对任一固定的列数n ，先用h 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用g 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,1j d 。
2） 对任一固定的列数n ，先用g 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用h 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,2j d 。
3） 对任一固定的列数n ，先用g 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用g 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,3j d 。
现在以例5.2为例进行说明：
1111,,,,2222h g ????==-????????
21234453867125
96
3c ???
???=
??????
则对应于1
c 的计算过程为：
2
1234453867125963c ?????
?
=??
??
??
0.51
1.52
2.5
3.5366255.58 3.5 2.52.5
4.53 1.5??
??????
??
??????
2.5
3.53
65.58 3.5 2.5??????
1.253
3.25
4.532.75 6.75
5.753 1.25????
与每列卷积
每列向下二抽样
与每行卷积
每行向下二抽样
13
4.56.753c ??=????
h h
对应于1,1
d 的计算过程为：
2
1
234453867125963c ?????
?
=??
??
??
0.51
1.52
2.5
3.5366255.58 3.5 2.52.5
4.53 1.5??
??????
??????
2.5
3.53
65.58 3.5 2.5??????
1.250.50.25 1.53
2.75 1.25 2.250.5 1.25---
--与每列卷积
每列向下二抽样
每行向下二抽样
1,1
0.5 1.51.250.5d --?=?-??
h
对应于1,2
d的计算过程为：
21234 4538 6712 5963
c
??
??
??
=
??
??
??
0.51 1.52
1.5 1.502
1113
0.51 2.50.5
2.5 4.53 1.5
----
??
??
---
??
??
--
??
---
??
??
??
1.5 1.502
0.51 2.50.5
---
??
??
---
??
0.75 1.50.7511
0.250.25 1.75 1.50.25
-----
?
?
----?
每列向下二抽样
每行向下二抽样
1,2
1.51
0.25 1.5
d
--
??
=
??
--
??
g
与直接先行后列或先列后行的结果都相同，结果均为
11,1
1,21,3
c d
d d
??
??
??
流程图可写成：
图3
另一种解释方法：
()()
()()
()
11
22,22,
,
1
22,
11
22,
,2
11
,
2,,
j j
l k n m l n l k n m l n
l n l n
j
k l m n l n
l n
j j
k l k l l m
l m
l l
j j j
k m
k m k m
h h c h h c
h h c
h h c h c
h c D h c c
++
----
+
--
++
--
++
??
=??
??
??
=??
??
??
=*=
??
=*=*=
∑∑∑
∑∑
∑∑
1
j
c+
1
j
d+
列卷积1j c+
行卷积
一维列变换
一维行变换
行抽样:保留
偶数行列抽样:
保留偶数列
工程解释：对任一固定的行数l，先用h与1j c+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到j
1
c+；然后，用h与1j c+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到j c。
类似的，
1）对任一固定的行数l，先用h与1j c+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1j c+；
然后，用g与1j c+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,2j d。
2）对任一固定的行数l，先用g与1j c+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1j c+；
然后，用h与1j c+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,1j d。
3）对任一固定的行数l，先用g与1j c+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1j c+；
然后，用g与1j c+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,3j d。
例子：
21234 4538 6712 5963
c
??
??
?
=
?
??
??
0.5 1.5 2.5 3.52
4.54
5.54
6.54 1.51
2.577.5 4.5 1.5
??
??
?
??
??
1.5 3.5
4.5
5.5
6.5 1.5
7 4.5
??
??
??
??
??
??
0.75 1.75
3 4.5
5.5 3.5
6.753
3.5 2.25
??
??
??
??
??
??
??
??
与每行卷积
每列向下二抽样
与每列卷积每列向下二抽样
1
3 4.5
6.753
c
??
=
??
??
h
h
21234 4538 6712 5963
c
??
??
??
=
??
??
??
0.50.50.50.52
20.51 2.54
30.530.51
2.52 1.5 1.5 1.5
----
??
?
---
??
??
---
??
--
??
0.50.5
0.5 2.5
0.50.5
2 1.5
--
??
??
--
??
??
--
??
-??
0.250.25
0.5 1.5
0.5 1.5
1.250.5
10.75
--
??
??
--
??
??
--
??
-??
??
-??
与每行卷积
每列向下二抽样与每列卷积
每行向下二抽样
1,1
0.5 1.5
1.250.5
d
--?
=
?
-??
g
h
（保留偶数列）
（保留偶数行）
2
1234
4538
6712
5963
c
??
??
??
=
??
??
??
0.5 1.5 2.5 3.52
4.54
5.54
6.54 1.51
2.577.5 4.5 1.5
??
??
?
??
??
1.5 3.5
4.5
5.5
6.5 1.5
7 4.5
??
??
??
??
??
??
0.75 1.75
1.51
12
0.25 1.5
3.5 2.25
--
??
??
--
?
?-
?
--
??
??
??
与每行卷积
每列向下二抽样
每列向下二抽样
1,2
1.51
0.25 1.5
d
--
??
=
??
--
??
h
（保留偶数列）
（保留偶数行）
对应的流程图为：
图4
以上实验表明，Matlab 中关于dwt2()函数的说明中，()()()
,,h v d CD CD CD
分别指
,2,1,3,,j j j d d d 。当然，如果想从形式上交换,2,1,j j d d 的顺序，则这对应小波的以下定义：
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψψφψφψψψψ?=?=??=?
即将我们定义中1
ψ代替2
ψ；反之亦然。这等价于一开始提到的关履泰书中的定义。这在一开始就曾指出过。
以下通过Matlab 试验来说明这一点： X = [1,2,3,4;4,5,3,8;6,7,1,2;5,9,6,3]; Lo_D = [1/2,1/2]; Hi_D = [-1/2,1/2];
[cA,cH,cV,cD] = dwt2(X,Lo_D,Hi_D); X cA cH cV cD % X = %
% 1 2 3 4 % 4 5 3 8 % 6 7 1 2 % 5 9 6 3
行卷积
列抽样:保留
偶数列
一维行变换 列卷积
行抽样:
保留偶数行
一维列变换
,1
j d ,2j d
% % % cA = %
% 3.0000 4.5000 % 6.7500 3.0000 % % % cH = %
% -1.5000 -1.0000 % -0.2500 -1.5000 % % % cV = %
% -0.5000 -1.5000 % -1.2500 0.5000 % % % cD = %
% 0 1.0000 % 0.7500 -1.0000
评注：现讨论“行变换”的确切理解问题。我查了一下，小波书中很少谈到“行变换”的具
体定义。在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，提到“对{}
1
,j l n
c +进行行变换（n 固定）。”我认为，当n 固定时，实质上是对{}
1,j l n c +的第n 列变换，所以，称之为“列变换”更为合适。也就是说，当行下标l 固定时，对{}
1
,j l n c +进行的变换才是行变换，
这在上面也都是这么理解的。按照这种传统的理解方法，Mallat 著作（中译本）第236页的流程图7-27a 也是不正确的。
注意：根据以上的分析与讨论，可对例5-4做修正（略）。关键是不要转置。 原则上，根据教材中的符号意义，应为
,2,1
,3j j j j LL
HL c d LH HH d
d ??
??=???
?????
最后，对P123上半页的表述进行修正（为修改最少，参考图4中的表述方法）： 将P123中第4行中的“k ”改为l ；将第7行与第8行中的,1
j d
和,2
j d
互换。
近代数学 小波 简答题+答案
1什么是小波函数？（或小波函数满足什么条件？） 答：设)()(2R L t ∈?,且其Fourier 变换)(ω? 满足可允许性（admissibility ）条件 +∞
研究生《小波理论及应用》复习题
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
小波分析及其在通信中的应用 张天雷
小波分析及其在通信中的应用 专业：电子信息工程 姓名：张天雷 学号：123408148 河南城建学院 2011年05月29日
小波分析及其在通信中的应用 摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。 关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题， 小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。因此，它被誉为“学显微镜”。 小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。 小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。 一、小波分析在通信系统中的研究动态 如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课
小波分析考试题(附答案)
《小波分析》试题 适用范围：硕士研究生 时 间：2013年6月 一、名词解释（30分） 1、线性空间与线性子空间 解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。2、基与坐标 解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （） 。an ...a a 11，，，3、内积 解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。，()T n x x x x ,...,,21= ，令，称为x 与y 的内积。 ()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间 解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。线性（linearity ）：对任意 f ， g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。内积（inner product ）：
小波变换的几个典型应用
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
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科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
浙江大学小波变换及工程应用复习题
小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点： 1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号； 2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波； 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ，因此这组滤波 器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3）适当的选择基本小波，使)(t ?在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ；0>λ 此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。 答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件
当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，?c 便是对 )(t ?提出的容许条件，若∞→?c ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。 2）能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件 为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?，n p ~1:，且n 值越大越好， 此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01 ωψω ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。 4）重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ； 重建核：><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用 框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答： 1）基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明： a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ?（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于：1~0-=N r
小波分析考试题及答案
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨
小波分析基础及应用期末习题
题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤
11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
博士复试题目+答案
1、小波变换在图像处理中有着广泛的应用，请简述其在图像压缩中的应用原理？ 答：一幅图像经过一次小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有微弱的细节信息。为此，如果只保留占总数数量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来代替，则就可以省略图像部分细节信息，而画面的效果跟原始图像差别不是很大。这样，就可以得到图像压缩的目的。 2、给出GPEG数据压缩的特点。 答：（1）一种有损基本编码系统，这个系统是以DCT为基础的并且足够应付大多数压缩方向应用。 （2）一种扩展的编码系统，这种系统面向的是更大规模的压缩，更高精确性或逐渐递增的重构应用系统。 （3）一种面向可逆压缩的无损独立编码系统。 3、设计雪花检测系统 答：1）获得彩色雪花图像。2）灰度雪花图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判断法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对雪花区域的定位。8）利用hough变换截下雪花区域的图片。 9）雪花图片几何位置调整。 4、用图像处理的原理设计系统，分析木材的年轮结构。 答：1）获得彩色木材年轮图像。2）灰度木材年轮图像。3）灰度拉伸以增加对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对木材年轮圈进行定位。8）图片二值化。9）利用边界描述子对木材的年轮结构进行识别。 5、给出生猪的尺寸和形貌检测系统。 答：1）获得彩色生猪图像。2）灰度生猪图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以除去噪声。 7）用梯度算子对生猪区域的定位。8）利用hough变换截下生猪区域的图片。9）生猪图片几何位置调整。10）生猪图片二值化。11）利用边界描述子对生猪尺寸和形貌的识别。 第二种答案：（类似牌照检测系统） 1）第一步定位牌照 由图像采集部件采集生猪的外形图像并将图像存储在存储器中，其特征在于：数字处理器由存储器中读入并运行于生猪外形尺寸检测的动态检测软件、从存储器中依次读入两幅车辆外形图像数据、经过对生猪外形图像分析可得到生猪的高度，宽度和长度数据即生猪的外形尺寸。通过高通滤波，得到所有的边对边缘细化（但要保持连通关系），找出所有封闭的边缘，对封闭边缘求多边形逼近，在逼近后的所有四边形中，找出尺寸与牌照大小相同的四边形。生猪形貌被定位。 2）第二步识别 区域中的细化后的图形对象，计算傅里叶描述子，用预先定义好的决策函数，对描述子进行计算，判断到底是数字几。 6、常用的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？ 答：目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++(面向对象可视化集成工具)和MATLAB的图像处理工具箱（lmage processing tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 微软公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来
时间序列的小波分析
时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ?
数字图像处理复习题(选择题及相应答案)解析
第一章 1.1.1可以用f(x,y)来表示：（ABD） A、一幅2-D数字图像 B、一个在3-D空间中的客观景物的投影； C 2-D空间XY中的一个坐标的点的位置； D、在坐标点（X,Y）的某种性质F的数值。 提示：注意3个符号各自的意义 1.1.2、一幅数字图像是：(B) A、一个观测系统； B、一个有许多像素排列而成的实体； C、一个2-D数组中的元素 D、一个3-D空间的场景。 提示：考虑图像和数字图像的定义 1.2.2、已知如图1.2.2中的2个像素P和Q，下面说法正确的是：(C) A、2个像素P和Q直接的De距离比他们之间的D4距离和D8距离都短： B、2个像素p和q之间的D4距离为5； C、2个像素p和q之间的D8距离为5； D、2个像素p和q之间的De距离为5。 1.4.2、半调输出技术可以：(B) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用抖动技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：半调输出技术牺牲空间分辨率以提高幅度分辨率 1.4.3、抖动技术可以(D) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用半输出技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：抖动技术通过加入随即噪声，增加了图像的幅度输出值的个数 1.5.1、一幅256*256的图像，若灰度级数为16，则存储它所需的比特数是：(A) A、256K B、512K C、1M C、2M 提示：表达图像所需的比特数是图像的长乘宽再乘灰度级数对应的比特数。1.5.2、图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于：(A)(平滑区域内灰度应缓慢变化，但当图像的灰度级数不够多时会产生阶跃) A、图像的灰度级数不够多造成的； B、图像的空间分辨率不够高造成； C、图像的灰度级数过多造成的 D、图像的空间分辨率过高造成。 提示：图像中的虚假轮廓最易在平滑区域内产生。 1.5.3、数字图像木刻画效果的出现是由于下列原因所产生的：（A） A、图像的幅度分辨率过小； B、图像的幅度分辨率过大； C、图像的空间分辨率过小； D、图像的空间分辨率过大；
《水文小波分析原理及其应用》带答案
《水文小波分析原理及其应用》考试试题 课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷 一、写出下列专业术语的英文表达（每小题1分，共10分） （1）小波分析: wavelet analysis； （2）小波变换：wavelet transformation； （3）小波函数：wavelet function； （4）小波消噪：Wavelet denoising； （5）小波方差：Wavelet variance ； （6）连续小波变换：Continuous wavelet transform； （7）离散小波变换：Discrete wavelet transform ； （8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model； （9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model； （10）快速小波变换算法：Fast wavelet transform algorithm。 二、论述学习“水文小波分析原理及其应用”课程的目的与意义。（10分）答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水－环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。 小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”。利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。
近代数学小波计算题答案
2．计算下列分形维数： （1）康托尔集合（the Cantor set） l o g l o g2 0.631 l o g l o g3 s m D c =-=≈ （2）科赫曲线（Koch） log4 1.262 log3 s D=-≈ （3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵 地毯： log log8 1.893 log log3 f D β κ ==≈ 垫片: log log3 1.585 log log2 f D β κ ==≈ 海绵： log log20 2.763 log log3 f D β κ ==≈ （4）阿波罗尼斯垫圆： 解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数 （5）皮亚诺曲线： log ln9 2 1ln3 log() s N D β === 1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维 初始元： 生成元： （a）（b）（c） (a) log ln8 1.5 1ln4 log() s N D β ==≈ (b) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈ (c) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈
2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维 解：相似维：log ln 2 0.63111log()ln 3s N D β= =≈ Hausdorff 维：log log 20.631log log 3 f D βκ= =≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端） ε=1/10 ()N ε=N(1/10) ()ln ln 54ln 54 1.732 1ln ln10ln 10B N D εε=- =-=≈
小波变换理论及应用
2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）
（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247
小波变换及其应用_李世雄
现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞ 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3）小波变换及应用
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