高中数学选修2-2 定积分复习题(附答案)
定积分复习题
1、求下列定积分
（1）dx x x )cos sin 2(2
0+?π
2、dx b ax x M 2
311)(+-?=-，b a ,为何值时，M 最小。
3、 已知0))(13(10=++?dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ?的取值范围。
4、求抛物线x y =2
与直线032=--y x 所围成的图形的面积。
5、求由抛物线52x
y =
，12
-=x y 所围成图形的面积。
6、由抛物线
342
-+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的面积。
7、曲线C ：12322
3+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。
8、抛物线
bx ax y +=2在第一象限内与直线4=+y x 相切。此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。求使S 达到最大值的a ，b 值，并求max S 。
课外练习：
1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ）
A. dx x 110?
B. dx x p 10?
C. dx x p )1(10?
D. dx n x p )(10?
2. 下列等于1的积分是（ ）
A. xdx 10?
B. dx x )1(10+?
C. dx 11
0? D. dx 21
10
?
3.
=
-?dx x 4210（ ）
A. 321
B. 322
C. 323
D. 325
4. 已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）
A. 320gt
B. 20gt
C. 220gt
D. 620
gt
5. 曲线
]
23
,0[,cos π∈=x x y 与坐标所围成的面积（ ） A. 4 B. 2 C. 25
D. 3
6.
=+?-dx e e x x )(10（ ） A.
e e 1+
B. e 2
C. e 2
D. e e 1
- 7. 求由1,2,===y x e y x
围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间
为（ ）
A.
],0[2
e B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1] 8. 由直线1,+-==x y x y ，及x 轴围成平面图形的面积为（ ） A. dy y y ])1[(1
0--? B. dx x x ])1[(210
-+-? C. dy y y ])1[(210--?
D. dx x x )]1([1
0+--?
9. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是（ ）
A. 0.18
B. 0.26
C. 0.12
D. 0.28
10. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）
A. dx x ρ32?
B. dx x ρ)2(21+?
C. dx x ρ1
0? D. dx x ρ)1(3
2+?
11. 将和式)212111(
lim n n n n +++++∞
→ 表示为定积分 。
12. 曲线
1,0,2
===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。 13. 由x y cos =及x 轴围成的介于0与π2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
。
14. 计算下列定积分的值。
（1）dx x x )4(2
31-?-
（2）dx x 5
21)1(-?
（3）dx x x )sin (2
0+?π
（4）
xdx
222
cos ππ-?
15. 求曲线x x x y 22
3++-=与x 轴所围成的图形的面积。
16. 设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。 （1）求)(x f y =的表达式；
（2）求)(x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线t x -=（10< 等分，求t的值。 【试题答案】 1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B 8. C 9. A 10. A 11. dx x 11 10 +? 12. dx x )1(2 10-? 13. dx x cos 20π? 14.（1） 3132 2 31 |)32()4(---=-?x x dx x x 320]3)1()1(2[)3332(32 32= -----?= （2）4 32324343|)12273()127()4)(3(x x x dx x x dx x x +-=+-?=--?=61- （3）2 02 20|)cos 2()sin (π π x x dx x x -=+?1 8)10(]2cos 2)2([22+=---=πππ （4） dx x xdx 2 2cos 1cos 22 222 +?=?- -π π ππ22sin 41222 22ππ ππ π=+= --x x 15. 解：首先求出函数x x x y 22 3++-=的零点：2,0,1321==-=x x x ，又易判断出在（－1，0）内，图形在x 轴下方，在（0，2）内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为 1237 )2()2(2 3202301= ++-?+++-?-=-dx x x x dx x x x A 16. 解：（1）设c bx ax x f ++=2 )(，则b ax x f +='2)( 又已知22)(+='x x f ∴ 2,1==b a ∴ c x x x f ++=2)(2 又方程0)(=x f 有两个相等实根 ∴ 判别式044=-=?c ，即1=c 故 12)(2 ++=x x x f （2）依题意，有所求面积 31|)31()12(0 1 23201=++=++?=--x x x dx x x （3）依题意，有 dx x x dx x x t t )12()12(2 021++?=++?--- ∴ 0 23123|)31(|)31(t t x x x x x x ---++=++ t t t t t t +-=+-+-232331 3131，0166223=-+-t t t ∴ 1)1(23-=-t ，于是 3 21 1-=t 定积分复习题（教师版） 1、求下列定积分 （1）dx x x )cos sin 2(2 0+?π xdx xdx cos sin 22 020π π?+?= 3)01()10(2|sin |cos 220 20=-+--=+-=π πx （2） dx x 122 0-? ∵ ?????≤≤-≤≤-=-=10121112 2 2 x x x x x y ∴ dx x dx x dx x )1()1(12 21210220-?+-?=-? 2) 131()238()311(|)3(|)3(21 3103=---+-=-+-=x x x x 2、dx b ax x M 2 311)(+-?=-，b a ,为何值时，M 最小。 解： dx b ax x b ax x M ])(2)[(2 32311+-+-?=- 17582)53(32) 31 5271(2|)31 5271(2)2(2222210 232572 224610=+-=++-=++-=++-?=b a b a a x b x a ax x dx b x a ax x ∴ 0,53==b a 时， 1758min = M 3、 已知0))(13(10=++?dx b x ax ，R b a ∈,，试求b a ?的取值范围。 解：dx b x ax ))(13(1 0++? dx b x ab ax ])13(3[2 10 +++?=0)13(21 =+++ =b ab a 即01)(23=+++b a ab 设t b a =? ∴ 21 3+- =+t b a b a ,为方程 021 32=+++ t x t x 两根 44)13(2≥-+=?t t ∴ 91 ≤t 或1≥t ∴ ) ,1[]91 ,(+∞?-∞∈?b a 4、求抛物线x y =2 与直线032=--y x 所围成的图形的面积。 解：由?? ?=--=0322y x x y ∴ A （1，－1）B （9，3） dx x x dx x x S )]3(21[)]([9 1 10--?+--?=332= 5、求由抛物线 52x y = ，12 -=x y 所围成图形的面积。 解：)0,1(),21,45(),21,45(1 522P B A x y x y -????? ?-== 32]15[245 145 = --? =?dx x dx x S 6、由抛物线342 -+-=x x y 及其在点A （0，－3），B （3，0）处两切线所围成图形的 面积。 解：34:-=x y l A 切，62:+-=x y l B 切 ∴ P （3 ,23） dx x x x dx x x x S )]34()62[()]34()34[(2 32 32230 -+--+-?+-+---?= 49= 7、曲线C ：12322 3+--=x x x y ，点)0,21(P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积。 解：设切点),(000y x P ，则 26602 0--='x x y 切线l ：))(266(]1232[0020 020 3 x x x x x x x y ---=+---过P （0 ,21 ） ∴ ] 21[]266[]1232[002 002030x x x x x x -?--=+--- 0)364(02 00=+-x x x ∴ 1,000==y x A （0，1） ∵ )0(21:--=-x y l 切 ∴ 012=-+y x ∴ ????? -== ????-=+--=22321123223y x x y x x x y B （2,23 -） ∴ 3227)23(3223 = -?=dx x x S 8、抛物线bx ax y +=2 在第一象限内与直线4=+y x 相切。此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S 。求使S 达到最大值的a ，b 值，并求max S 。 解：依题设可知抛物线为凸形，它与x 轴的交点的横坐标分别为a b x x /,021-==， 所以3 22061)(b a dx bx ax S a b = +?=- （1） 又直线4=+y x 与抛物线bx ax y +=2 相切，即它们有唯一的公共点 由方程组 ???+==+bx ax y y x 24 得04)1(2=-++x b ax ，其判别式必须为0，即016)1(2 =++a b 于是2) 1(161+-=b a ，代入（1）式得： 52 43)1(3)3(128)(),0()1(6128)(+-='>+=b b b b S b b b b S 令0)(='b S ；在0>b 时得唯一驻点3=b ，且当30<'b S ；当3>b 时，0)(<'b S 。故在3=b 时，)(b S 取得极大值，也是最大值，即3,1=-=b a 时，S 取得最 大值，且 29max = S 【模拟试题】 1. 将和式的极限)0(321lim 1>+++++∞→p n n p p p p p n 表示成定积分（ ） A. dx x 110? B. dx x p 10? C. dx x p )1(10? D. dx n x p )(10? 2. 下列等于1的积分是（ ） A. xdx 1 0? B. dx x )1(10+? C. dx 110 ? D. dx 21 10 ? 3. = -?dx x 4210（ ） A. 321 B. 322 C. 323 D. 325 定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ） 定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()( 3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)( 定积分高考试题精选 1、（2013江西卷（理））若222 2123111 1,,,x S x dx S dx S e dx x ===???则123S S S 的大小关系为 （ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S << 【答案】B 2、（2013北京卷（理））直线l 过抛物线C: x 2 =4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ） A ． 4 3 B ．2 C ． 83 D ． 162 3 【答案】C 3、（2013湖南卷（理））若 20 9,T x dx T =? 则常数的值为_________. 【答案】3 4、（2013湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25 731v t t t =-+ +（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是（ ） A ．125ln5+ B ．11 825ln 3 + C ．425ln5+ D ．450ln 2+ 【解析】令 ()257301v t t t =-+ =+，则4t =。汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ?? -+=+ ?+? ??，故选C 。 【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 5、【2012湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 A ．2π 5 B ．43 C ．32 D ．π2 【答案】B 【解析】根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为 1 2311114 (1)()33 S x dx x x --=-+=-+=?. 6、【2012江西理11】计算定积分 =+? -dx x x 1 1 2)sin (___________。 【答案】 3 2 【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。 【解析】 3 2)cos 31()sin (1 131 1 2=-=+--?x x dx x x 。 7、【2012山东理15】设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2 a ，则a =______. 【答案】9 4 =a 【解析】由已知得2 23023032|32a a x x S a a ====?，所以3221 =a ，所以9 4=a 。 8、【2012上海理13】已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2 1 (B 、)0,1(C ，函数 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 定积分在高考中的常见题 型 Last revision on 21 December 2020 定积分在高考中的常见题型解法 贵州省印江一中（555200） 王代鸿 定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么?-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。 2、例题讲义 例1、计算?+e dx x x 1)21( 解：因为 x x x x 21 )ln 2+='+（ 所以?+e dx x x 1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算?b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数)(x F 。 跟踪训练：1计算?+2 0)cos (π dx x e x 二、利用定积分的几何意义求定积分。 1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在 []b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b, y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=?b a dx X f )( 2、例题讲义： 例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________ 解： 联立方程组 （如图所示） ? ??-=+=11x y x y 解得???==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++? =dx x x dx x )1(11112 14210--++++????）（）（ = 412231023|)22 132(|)3221x x x x x +-+++（ =3 8 【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积 和 例3、求dx x ?+402)2-4（ 的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42 2≥+-=y x y 及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π221)2-1402==+?A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的特点 求其定积分。 练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A. 415 B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2 三、利用变换被积函数求定积分 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2
定积分高考试题
定积分高考试题精选
高中数学定积分知识点
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容
定积分在高考中的常见题型
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题与详细讲解
相关文档
- 高中数学选修2-2定积分的计算
- 人教版高中数学选修2-2《定积分的概念》优质教案
- 高二选修2数学课件：定积分在几何中应用
- 高中数学选修2-2 定积分复习题(附答案)
- 166-高中数学选修系列2 选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2
- (完整版)高中数学定积分知识点
- 成才之路北师大数学选修22习题 第4章 定积分§1 含解析
- 《》20132014学讲义年高中数学苏教版选修22备课资源152定积分
- 北师大版高中数学选修22定积分微积分基本定理
- 高中数学选修2-2 定积分的简单应用
- 高二数学选修2-2定积分试题
- 人教新课标版数学高二-A版选修2-2课件1.7.2定积分在物理中的应用
- 人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念
- 高中数学选修2-2 同步练习 定积分的概念+微积分基本定理+定积分的简单应用(解析版)
- 高二数学选修2-2154定积分的应用
- 最新高中数学选修2-2-定积分的简单应用
- 高中数学定积分知识点
- 高中数学选修系列2选修22《微积分学基本定理定积分计算》教案
- 高中数学选修22-.2定积分在物理中的应用课件
- 高中数学选修系列2选修22《微积分基本定理与定积分计算》 教案