高数-导数的概念、定义及求法
导数的概念
在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数，
，求质点在t
0的瞬时速度？我们知道时间从t
有增量△t时，质点的位置有增量
，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：
.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在
t
0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t
时的瞬时速度，即：质点在t
时的瞬时速度=
为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数
在点x
0的某一邻域内有定义，当自变量x在x
处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函
数有增量
，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为
在x
处的导数。记为：
还可记为：
，
函数
处存在导数简称函数
在点x
在点x
处可导，否则不可导。若函数
在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数
在区间(a,b)内可导。这时函数
对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数
的导函数。
注：导数也就是差商的极限
左、右导数
前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限
存在，我们就称它为函数
处的左导数。若极限
在x=x
存在，我们就称它为函数
在x=x
处的右导数。
注：函数
在x
处的左右导数存在且相等是函数
在x
处的可导的充分必要条件
函数的和、差求导法则
函数的和差求导法则
法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：
。其中u、v为可导函数。
例题：已知
，求
解答：
例题：已知
，求
解答：
函数的积商求导法则
常数与函数的积的求导法则
法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成：
例题：已知
，求
解答：
函数的积的求导法则
法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成：
例题：已知
，求
解答：
注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。
函数的商的求导法则
法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成：
例题：已知
，求
解答：
复合函数的求导法则
在学习此法则之前我们先来看一个例子!
例题：求
=?
解答：由于
，故
这个解答正确吗?
这个解答是错误的，正确的解答应该如下：
我们发生错误的原因是
是对自变量x求导，而不是对2x求导。下面我们给出复合函数的求导法则
复合函数的求导规则
规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：
，其中u为中间变量例题：已知
，求
解答：设
,则
可分解为
,
因此
注：在以后解题中，我们可以中间步骤省去。
例题：已知
，求
解答：
反函数求导法则
根据反函数的定义，函数
为单调连续函数，则它的反函数
,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：定理：若
是单调连续的，且
，则它的反函数
在点x可导，且有：
注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。
即：
是对y求导，
是对x求导
例题：求
的导数.
解答：此函数的反函数为
，故
则：
例题：求
的导数.
解答：此函数的反函数为
，故
则：
高阶导数
我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：
，而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：
，或
。这种导数的导数
叫做s对t的二阶导数。下面我们给出它的数学定义：
定义：函数
的导数
仍然是x的函数.我们把
的导数叫做函数
的二阶导数，记作
或
，即：
或
.相应地，把
的导数
叫做函数
的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，…，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.
分别记作：
，
，…，
或
，
，…，
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。
例题：已知
，求
解答：因为
=a，故
=0
例题：求对数函数
的n阶导数。
解答：
，
，
，
，
一般地，可得
隐函数及其求导法则
我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x 等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.
一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！
隐函数的求导
若已知F(x,y)=0，求
时，一般按下列步骤进行求解：
a)：若方程F(x,y)=0，能化为
的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)：若方程F(x,y)=0，不能化为
的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数
，用复合函数求导法则进行。
例题：已知
，求
解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，
，
，故
=
注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数
，在x=0处的导数
解答：两边对x求导
，故
，当x=0时，y=0.故
。
有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法
对数求导法
对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。
例题：已知
x＞0，求
此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下
解答：先两边取对数：
，把其看成隐函数，再两边求导
因为
，所以
例题：已知
，求
此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导
解答：先两边取对数
再两边求导
因为
，所以
高等数学-导数的概念-教案
例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业
高等数学导数的概念学习教案.docx
教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分 1.导数的定义。对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。与物理学中定义米/秒是一个性质的。把函数f(x)的导数看做是关于x 的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。（以上的“x0”中的“0”都是x的下标，下同。） 导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。 2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。如图所示。绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。比如说求y=x2在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)2-a2)/Δx的极限。求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x2的导数的过程。 4.函数的可导性与连续性的关系。我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)
高数-导数的概念、定义及求法
导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数
处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数
在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知
2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理北师大版
§3.1 导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 ，那么这个值就是函数 平均变化率趋于一个固定的值时，如果0趋于x Δ，即0x 趋于1x 当(1)y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常 用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x1→x0 错误!＝错误!错误!. (2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝ lim Δx→0错误!，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜 ． )0x ′(f ＝k ，即k 率 3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为y x′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 知识拓展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ×) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ×) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ×) 题组二教材改编 2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝. 答案2e 解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.
考研数学导数的定义
导数的定义 1.函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x ' 引例2()f x x =，求2()f x x =在0x 处的切线的斜率及切线方程 解：22 2 000000000()()()2()lim lim lim 2x x x f x x f x x x x x x x k x x x x ?→?→?→+?-+?-?-?====??? 切线方程()()00y f x k x x -=-即()()0002y f x x x x -=- 定义1 000000000 ()()()()()lim lim lim x x x x f x x f x f x f x y f x x x x x x x x ?→?→→+?--?'===+???-存在 ?函数()y f x =在点0x 处可导?函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义且 00 ()() lim x x f x f x x x →--存在 逆否命题一定成立： 000000 ()()()() lim lim x x x f x x f x f x f x x x x x x x ?→→+?--=+??-不存在或函数()y f x =在点0x 的某个邻域内没有定义?函数()y f x =在点0x 处不可导 题型1 利用导数的定义求0()f x ' 例1设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1 (1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!n n -- （C ）1 (1) !n n --（D ）(1)!n n - 解：方法1 ' ' 22()(2)()(1)(2)()x x nx x x nx f x e e e n e e e n ??=--+---?? 所以' (0)f =1 (1) (1)!n n ---，故选（A ） 。 方法2 200()(0)(1)(2)() (0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==- ()()1200 1lim lim(2)()11!x n x nx x x e e e n n x -→→-=?--=-- 故选（A ）。 例2设00()(2)(2)g x f x x f x x =+--其中()f x 在(,)-∞+∞上有定义，在点0x 处可导存