解析几何基础知识100题
解析几何基础100题
一、选择题：
1. 若双曲线22
221x y a b -=-的离心率为54
，则两条渐近线的方程为
A
0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043
X Y
±= 解 答：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
解 答：D
易错原因：短轴长误认为是b
3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是
A k>2
B -3 C k<-3或k>2 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 2240D E F +-> 4．设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点， 已知原点到直线L 的距离为 4 ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或 3 解答：D 易错原因：忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5．已知二面角β α- -l的平面角为θ，PAα ⊥，PBβ ⊥，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,，当θ变化时，点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答： D 易错原因：只注意寻找,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。 6．若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答：C 易错原因：将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7．P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（） A 21 B 0 C –1 D -3 4 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。 8．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰好有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的一个值为（ ） A 2 B 5 C 3 D 35 正确答案： C 错因：学生不能借助圆心到直线的距离来处理本题。 9．P 1(x 1,y 1)是直线L ：f(x,y)=0上的点，P 2(x 2 ,y 2)是直线L 外一点，则方程f(x,y)+f(x 1,y 1)+f(x 2,y 2)=0所表示的直线（ ） A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合 正确答案： C 错因：学生对该直线的解析式看不懂。 10．已知圆()3-x 2+y 2=4 和 直线y=mx 的交点分别为P 、Q 两点，O 为坐标原点， 则︱OP ︱·︱OQ ︱=( ) A 1+m 2 B 2 15 m + C 5 D 10 正确答案： C 错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP ︱·︱OQ ︱等于切线长的平方来解题。 11．在圆x 2+y 2=5x 内过点（25，2 3）有n 条弦的长度成等差数列， 最短弦长为数列首项a 1,最长弦长为a n ，若公差d ∈?? ? ??31 ,61，那么n 的 取值集合为（ ） A {}654、、 B {}9876、、、 C {}543、、 D {}6543、、、 正确答案：A 错因：学生对圆内过点的弦何时最长、最短不清楚，不能借助d 的范围来求n. 12．平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ） A y 2 =2x B y 2 =2x 和 ? ??≤=00x y C y 2=4x D y 2=4x 和 ???≤=0 x y 正确答案：D 错因：学生只注意了抛物线的第二定义而疏忽了射线。 13．设双曲线22a x －22b y ＝1与22b y －22 a x ＝1（a ＞0, b ＞0）的离心率分 别为e 1、e 2，则当a 、 b 变化时，e 21+e 22最小值是（ ） A 4 B 42 C 2 D 2 正确答案：A 错因：学生不能把e 21+e 22用a 、 b 的代数式表示，从而用基本不等式求最小值。 14．双曲线92x －4 2 y ＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是 （ ） A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案：D 错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 15．已知α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=5 1则方程x 2sin α－y 2cos α=1表示（ ） A 焦点在x 轴上的双曲线 B 焦点在y 轴上的双曲线 C 焦点在x 轴上的椭圆 D 焦点在y 轴上的椭圆 正确答案：D 错因：学生不能由sin α+cos α=5 1判断角α为钝角。 16．过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于P 、Q 两点，又过P 、Q 分别作抛物线对称轴OF 的平行线交抛物线于M ﹑N 两点,则M ﹑N ﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案：B 错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 17．曲线xy=1的参数方程是( ) A x=t 2 1 B x=Sin α C x=cos α D x=tan α y=t 21- y=csc α y=See α y=cot α 正确答案：选D 错误原因：忽视了所选参数的范围，因而导致错误选项。 18．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是( ) A 、2 9 B 、4 C 、5 D 、2 正确答案：B 错误原因：忽视了条件中x 的取值范围而导致出错。 19．双曲线x 2 n －y 2=1(n>1)的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上 ，且满足：｜ PF 1|+|PF 2|=2n+2 ，则ΔPF 1F 2的面积是（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、1 2 正确答案： A 错因：不注意定义的应用。 20．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条 正确答案：C 错解：设直线的方程为1+=kx y ，联立???+==1 42kx y x y ，得()x kx 412=+， 即：01)42(22=+-+x k x k ，再由Δ＝0,得k=1,得答案A. 剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。 21．已知动点P （x ,y ）满足 ，则P 点的轨迹是 （ ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆 正确答案：A 错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0 | 1143|)2()1(52 2 -+=-+-y x y x 上。 22．在直角坐标系中，方程()() 02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 正确答案：D 错因：忽视定义取值。 23．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点， 则OA OB ?u u u r u u u r =（ ） A ．3 4 B ．34 - C ．3 D ．-3 正确答案：B 。 错因：向量数量积应用，运算易错。 24．直线13 4=+y x 与椭圆19162 2=+y x 相交于A 、B 两点，椭圆上的点P 使PAB ?的面积等于12，这样的点P 共有（ ）个 A ．１ B ．２ C ．３ D ．４ 正确答案：B 错因：不会估算。 25．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是（ ） A 2k > B 32k -<< C 3k <-或2k > D 都不对 正确答案：D 26．已知实数x ，y 满足250x y ++= A ．5 B ．10 C ．25 D ．210 正确答案：A 27．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是 A ． [2,2]- B ． [0,2] C ．[2,22] D ． [2,22]- 正确答案：D 28．设ｆ(x )= x 2+ax+b ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 则点(a ，b )在aOb 平面上的区域的面积是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．92 正确答案：B 29．当x 、y 满足约束条件0,, 20x y x x y k ≥??≤??++≤? （k 为常数）时，能使3z x y =+的最大值为12的k 的值为（ ） A ．－9 B ．9 C ．－12 D ．12 正确答案：A 30．已知关于t 的方程20t tx y ++=有两个绝对值都不大于1的实数根，则点(,)P x y 在坐标平面内所对应的区域的图形大致是 正确答案：A 31．能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为（ ） A B C D A ．2 Ｂ． C ．3 D ． 正确答案：C 32．抛物线y=4x 2的准线方程为（ ） A 、x=－1 B 、y=－1 C 、x=161 - D 、y=16 1- 答案：D 点评：误选B ，错因把方程当成标准方程。 33．对于抛物线C ：y 2=4x ，称满足y 02<4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y=2(x+x 0)与曲线C （ ） A 、恰有一个公共点 B 、恰有两个公共点 C 、可能有一个公共点也可能有2个公共点 D 、无公共点 答案：D 点评：条件运用不当，易误选C 。 34．直线l 过点),1(),1,2(2m B A ，那么直线l 倾斜角α的取值范围是（ ）。 A. [0,π) B. [0,4π ]Y (2 π, π) C. [4 π,π] D. [0,4π] Y (2 π, π) 正解：B Θ),1(),1,2(2m B A 02>m ∴ 点A 与射线y x (1=≥0)上的点连线的倾斜角，选B 。 误解：选D ，对正切函数定义域掌握不清，故2 π =x 时，正切函数视为 有意义。 35．设F1和F2为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点在双曲线上且满 足ο9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是（ ）。 A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 正解：A 14 22 =-y x 5,2==C a 4||||||21=-∴PF PF 16||||||2||222121=+-?PF PF PF PF ① 又Θο9021=∠PF F ∴22221)52(||||=+PF PF ② 联立①②解得2||||21=∴PF PF ∴121=?PF F S 误解：未将4||||||21=-∴PF PF 两边平方，再与②联立，直接求出 ||||21PF PF 。 36．已知直线1l 和2l 夹角的平分线为x y =，若1l 的方程是 )0(0>=++ab c by ax ，则2l 的方程是（ ）。 A. 0=++c ay bx B. 0=+-c by ax C. 0=-+c ay bx D. 0=+-c ay bx 正解：A 法一：1l ：b c x b a y c by ax --=?=++0，而1l 与2l 关于直线x y =对称，则2l 所表示的函数是1l 所表示的函数的反函数。 由1l 的方程得0=++?--=c ay bx b c y b a x 选A 法二：找对称点（略） 误解：一般用找对称点法做，用这种方法有时同学不掌握或计算有误。 37．直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆14 22 =+y x 截得的最大弦 长是（ ） A.4 B.2 C.3 3 4 D.不能确定 正解：C 直线1+=kx y ，恒过P(0,1)，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点P 与椭圆上任意一点Q 的距离，设椭圆上任意一点Q )sin ,cos 2(θθ。 5sin 2sin 3)1(sin )cos 2(||2222+--=-+=∴θθθθPQ 316 ||31sin 2max =-=∴PQ 时，当θ 33 4 ||max =∴PQ ，故选C 误解：不能准确判断1+=kx y 的特征：过P(0,1)。若用标准方程求解，计算容易出错。 38．已知直线αsin :1x y l =和直线c x y l +=2:2，则直线1l 与2l （ ） 。 A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直 C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形 D. 通过1l 上某一点旋转可以重合 正解：D 。 只要 1 1 2sin --≠ a ，那么两直线就相交，若相交则可得到（D ）。 误解：A ，忽视了αsin 的有界性，误认为1 1 2sin --=a 误解：B 、C ，忽视了αsin 的有界性。 39．已知R c b a ∈,,，且0,=++>>c b a c b a ，则下列判断正确的是（ ） A. 0,0,0<>>c b a B.0,0,0<=>c b a C.212-<< -a c D.221< c 正解：C 。 由c b a c b a --==++得0①，又b a b a -<-∴>② 由①②c a a --> c a ->2 得2->a c 同理由c b -<-得2 1- c 综上：2 12-<< -a c 误解：D ，不等式两边同乘－1时，不等号未变号。 40．一条光线从点M （5，3）射出，与x 轴的正方向成α角，遇x 轴后反射，若3tan =α，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. 123-=x y B.123--=x y C.123+=x y D .123+-=x y 正解：D 。 直线MN ；3120x y --=，∴与x 轴交点(4,0)N ，反射光线方程为123+-=x y M 误解：反射光线M N '的斜率计算错误，得13 或13 -。 41．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为)0,0(,>>±=b a x a b y ，若双曲线上有一点M （00,y x ），使||||00x b y a >，那双曲线的交点（ ）。 A.在x 轴上 B.在y 轴上 C.当b a >时在x 轴上 D.当b a <时在y 轴上 正解：B 。 由00a y b x >得 00y b x a >，可设000,0x y >>，此时OM 的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在y 轴上。所以选B 。 误解：设双曲线方程为22 22x y a b λ-=，化简得：222222b x a y a b λ-=， 代入00(,)x y ，22222222000b x a b a y b x λ-=>，0λ∴>，∴焦点在x 轴上。这个方法没错，但λ确定有误，应0λ<，∴焦点在y 轴上。 误解：选B ，没有分组。 42．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一条直线交抛物线于 ),(),,(2211y x B y x A ，则 2 12 1x x y y 为（ ） A .4 B.－4 C.2p D.2p - 正解：B 。 特例法：当直线垂直于x 轴时， 212212 (,),(,),4224 y y p p p A p B p p x x --==- 注意：先分别求出1212,x x y y 用推理的方法，既繁且容易出错。 43．过点A （a ，0）作椭圆1:22 221=+b y a x C 的弦，弦中点的轨迹仍是椭 圆，记为2C ,若1C 和2C 的离心率分别为e 和'e ，则e 和'e 的关系是（ ）。 A.e ＝'e B.e ＝2'e C.2e ＝'e D.不能确定 正解：A 。设弦AB 中点P （),y x ，则B （)2,2y x α- 由22 )2(αα-x +22 4b y =1，2 2)2(4a a x -+224b y =1*442 22b a c -=∴ 2 22 2a b a e -= ∴=a b a 22- 'e e =∴ 误解：容易产生错解往往在*式中前一式分子不从括号里提取4，而导致错误。 44．直线),2 (,2tan ππ αα∈+?-=x y 的倾斜角是（ ）。 A. α B. 2 π α- C. α- D. απ- 正解：D 。由题意得：κ=)tan(tan απα-=- )2 ,0(),2(π απππα∈-∴∈Θ ∴ 在[0，π]内正切值为κ的角唯一 ∴ 倾斜角为απ- 误解:倾斜角与题中显示的角α混为一谈。 45．过点（1，3）作直线l ，若l 经过点)0,(a 和),0(b ，且*,N b a ∈，则可作出的l 的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 多于3 错解: D ． 错因：忽视条件*,N b a ∈,认为过一点可以作无数条直线. 正解: B ． 46．已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是 A ．－1或2 B ．0或1 C ．－1 D ．2 错解：A 错因：只考虑斜率相等，忽视21b b ≠ 正解：C 47．若圆222)5()3(r y x =++-上有且仅有两个点到直线0234=--y x 的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）． A ．（4，6） B ．[4，)6 C ．（4，]6 D ．[4，6] 错解: B 或 C 错因：:数形结合时考虑不全面,忽视极限情况,当r =4时,只有一点,当 r =6时,有三点. 正解: A 48．半径不等的两定圆12O O 、无公共点，动圆O 与12O O 、都内切，则圆心O 是轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 双曲线的一支或椭圆 D. 抛物线或椭圆 错解: A 或 B 错因：两定圆12O O 、无公共点，它们的位置关系应是外离或内含,只考虑一种而错选. 正解: C. 49．与圆3)5(22=++y x 相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、6条 答案：C 错解：A 错因：忽略过原点的圆C 的两条切线 50．若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是（ ） A 、21- B 、21 C 、2 1± D 、2± 答案：B 错解：C 错因：没有挖掘出隐含条件b a > 51．双曲线14 92 2=-y x 中，被点P （2，1）平分的弦所在的直线方程为 （ ） A 、798=-y x B 、2598=+y x C 、694=-y x D 、不存在 答案：D 错解：A 错因：没有检验出798=-y x 与双曲线无交点。 52．已知圆 (x-3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则OQ OP ?的值为 （ ） A 、1+m 2 B 、2 15 m + C 、5 D 、10 正确答案：（C ） 错误原因：遗忘了初中平几中的相关知识 53．能够使得圆x 2+y 2-2x+4y=0上恰有两个点到直线2x+y+C=0的距离等于1的C 的一个值为（ ） A 、2 B 、5 C 、3 D 、35 正确答案：C 错误原因：不会结合图形得出已知条件的可行性条件。 54．设f(x)=x 2+ax+b, 且,4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f 则点(a,b)在aob 平面上的区域的面积是 ( ) A 、21 B 、1 C 、2 D 、2 9 正确答案：（B ） 错误原因：未能得出准确平面区域 55．设P 为双曲线19 162 2=-y x 右支异于顶点的任一点，F 1，F 2为两个焦 点，则△PF 1F 2的内心M 的轨迹方程是 （ ） A 、x=4, (y ≠0) B 、x=3 ,(y ≠0) C 、x=5 ,(y ≠0) D 、x=5 16 , (y ≠0) 正确答案：(A) 错误原因：未能恰当地运用双曲线的定义解题。 56．过函数y=- 2 9 4--x x 的图象的对称中心，且和抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、不存在 正确答案：（B ） 错误原因 ：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。 57. 已知椭圆 C ：22 2 20)1(x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为 A 1，A 2，且 以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ． B ． C ． D ．13 正确答案：(A) 58. 已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 正确答案：(A) 二填空题： 59．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________. 解答： (-3, 0) 易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。 60．双曲线上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点 ()的距离_______。 错解 设双曲线的两个焦点分别为,, 由双曲线定义知 所以或 剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1, 所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求 61．直线xcosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。 正确答案：[0，4 π ]∪[ 4 3π ，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。 62．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。 正确答案：6x+2y —3=0 错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。 63．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。 正确答案：5x+12y+21=0或x=3 错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。 19 162 2=-y x 0,5-)0,5(1-F )0,5(2F 8||||||21=-PF PF 5.16||1=PF 5.0||1=PF 5.0||1=PF 5.16||1=PF 64．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。 正确答案：148 16)2(2 2=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。 65．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。 正确答案：3 错误原因：认为与抛物线只有一个共点的直线只能与抛物线相切而出错。 66．双曲线142 2=+k y x 的离心率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是 ________。 正确答案：(—12，0) 错误原因：混淆了双曲线和椭圆的标准方程。 67．已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线12 22=-b y a x 上一点，PF 1⊥PF 2 且tan ∠PF 1F 2=2 1 ，则此双曲线的离心率为_______________。 正确答案：5 错误原因：忽视双曲线定义的应用。 68．过点M(—1，0)的直线l 1与抛物线y 2=4x 交于P 1，P 2两点，记线段P 1P 2的中点为P ，过P 和这个抛物线的焦点F 的直线为l 2，l 1的斜率为K ，试把直线l 2的斜率与直线l 1的斜率之比表示为k 的函数，其解析式为________，此函数定义域为________。 解析几何题库 一、选择题 1.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为 A.2 2(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C.2 2(1) (1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B 2.直线 1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+= 的距离2d = = ，而012 < <，选B 。 【答案】B 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．2 2(2)1x y +-= B ．2 2(2)1x y ++= C ．2 2(1) (3)1x y -+-= D ．2 2(3)1x y +-= 解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。 解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为2 2(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。 【答案】A 4.点P （4，－2）与圆2 24x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A.2 2(2)(1)1x y -++= B.2 2(2) (1)4x y -++= C.2 2(4) (2)4x y ++-= D.2 2(2) (1)1x y ++-= 【解析】设圆上任一点为Q （s ，t ），PQ 的中点为A （x ，y ），解得：? ??+=-=224 2y t x s ，代入圆方程，得（2x －4）2 ＋（2y ＋2）2 ＝4，整理，得：2 2(2) (1)1x y -++= 【答案】A 5.已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。 第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴ 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 ++=OL +OM +ON . [证明] +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(OM +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +), OM ＝2 1 (OB +), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则 又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.解析几何试题库完整
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