§1 常微分方程的基本概念

第十三章 常微分方程简介

本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。

微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。

由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。

本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。

§1 常微分方程的基本概念

像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1 两个实例

例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。

解 平面上的曲线可由一元函数来表示

设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx

dy

2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。

另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。

从而得到 12 (1.1)|2(1.2)

x dy x dx y =ì??=?í??=??，。

为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得

?+=+==C x C x xdx y 22

2

22，

我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。

再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即

C +=2121=?C 。 故所求曲线的方程为12+=x y 。

再看一个例子：

例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。求质点运 动的位移与时间t 的关系。

解 这是一个物理上的运动问题。 设质点运动的位移与时间的关系为

)(t s s =。

则由二阶导数的物理意义，知a t

d s d =22

，这是一个含有二阶导数的方程。 再由题意000

|0

|t t s v v ==ì=??í

?=??，因此，)(t S S =应满足问题 22

000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt

s v v ==ì??=?í??==???，，。

要解这个问题，我们可以将(1.3)两边连续积分两次，即

1C at dt

ds

+=， (1.5) ??++=21C dt C tdt a s ，即 212

C t C t a s ++=， (1.6)

其中21,C C 为任意常数。

由条件(1.4)，因为0|0==t s ，代入(1.6)，得02=C ；

再由00|v v t ==，代入(1.5)，得01v C =。

故得 t v t a s 02

2

+= 为所求。 下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。 1.2 微分方程的基本概念

总结所给出的两个具体的例子，我们看到：

(1) 例1.1的)1(式和例1.2 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）；

(2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；

(3) 所求函数除满足等式外，还满足约束条件（例1中的)2(式和例2 中的)2(式）（初始条件：例1有一个初始条件，例2有两个初始条件）。

由此，我们得到如下的概念。 1 微分方程的概念

定义1.1 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。

注 (1) 方程中强调含有未知函数的导数。因此，它是反映未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程在微分方程中未知函数几自变量可以不单独出现，但必须出现未知函数的导数。

(2) 微分方程中的自变量由问题而定。如x dx dy 2=的自变量是x ，2at dt

ds

=的自变量是t ，

y x dy

dx

+=的自变量是y 。 (3) 微分方程中只含一个自变量的叫常微分方程。

例如，2233x y x y x y x ='+''+'''是常微分方程；x xe y =不是微分方程；

02222

2=??+??+??z

u

y u x u 是偏微分方程（本章不研究）。 2 微分方程的阶

定义1.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。

例如，

x dx

dy

2=是一阶微分方程； a dt s

d =2

2是二阶微分方程； 2233x y x y x y x ='+''+'''是三阶微分方程； n x y ='是一阶微分方程；

一般地，0),,(='y y x F 是一阶微分方程的一般形式是

0),,,,()(='n y y y x F ， (1.7)

其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程(1.7)中，)(n y 是必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

01)(=+n y

中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。

如果能从方程(1.7)中解出最高阶导数，得微分方程

()(1)(,,,,)n n y f x y y y -￠=L 。 (1.8)

以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且(1.8)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。

3 微分方程的解

定义1.3 如果把某函数)(x y ?=代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么称此函数为微分方程的解。确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()

[,(),(),,()]0n F x x x x j j j ￠oL ，那么函数)(x y ?=就叫做微分

方程(1.7)在区间I 上的解。

例如 ① C x y +=2是

x dx dy

2=的解； ② 12+=x y 也是x dx dy

2=的解； ③ 212

2C t C t a s ++=是2at dt ds =的解；

④ t v at s 02

2

+=

也是2at dt ds =的解。 定义1.4(通解、特解) 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。确定了通解中任意常数，就得到了微分方程的特解。

如 ①，③是通解。②，④是特解。

注 (1) 微分方程的解有三种形式：显式解 )(x f y =或)(y g x =；隐式解

由方程0),(=y x ?确定的函数关系（通积分）；参数方程形式的解 ()

()

x t y t j y ì=??í

?=??。 (2) 微分方程的通解：是指含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的解。

(3) 微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。如0122=-+'y y 的通解为)sin(C x y +=，但1±=y 也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因为无论

C 取何值都得不到1±=y 。

4 微分方程的初始条件

在例1.1中，当1=x 时2=y ，通常记为2|1==x y 或2)1(=f ； 在例1.2中，当0=t 时0=s 即0|0==t s ，当0=t 时0v dt

ds

=即00|v s t ='= 这些用来确定任意常数的条件为初始条件。

一般来说，一阶微分方程0),,(='y y x F 有一个初始条件00|y y x x ==； 二阶微分方程0),,,(='''y y y x F 有两个初始条件00|y y x x ==与10|y y x x ='=； …………

n 二阶微分方程0),,,,()(='n y y y x F 有n 个初始条件。 5 初值问题

求微分方程满足初始条件的特解，称为初值问题。 如例1.1中的⑴、⑵；例1.2中的⑴、⑵。 一般一阶微分方程的初值问题记作

0(,,)0|x x F x y y y y =ì￠=??í?=??； (1.9) 二阶微分方程的初值问题记作

000

1

(,,,)0||x x x x F x y y y y y y y ==ì?ⅱ?=???

=í???￠=??? 。 (1.10) 6 微分方程解的几何意义

常微分方程的特解的图形为一条曲线，叫做微分方程的积分曲线； 微分方程的通解的图形是以C 为参数的曲线族，且同一自变量x 对应的曲线上的点处处切线的斜率相同。

初值问题(1.9)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 的那条积分曲线。 初值问题(1.10)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 且在该点的斜率为1y 的那条积分曲线。

例1.3 验证：函数

kt C kt C x sin cos 21+= (1.11)

是微分方程

0222=+x k dt

x

d (1.12) 的解。

解 求出所给函数(1.10)的导数

,cos sin 21kt kC kt kC dt

dx

+-= (1.13)

)sin cos (sin cos 212

22122

2kt C kt C k kt C k kt C k dt

x d +-=--= 把 22dt

x

d 及 x 的表达式代入方程(1.11)得

)sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡

函数(1.10)及其导数代入方程(1.11)后成为一个恒等式，因此函数(1.10)是微分方程(1.11)的解。

例1.4 已知函数(1.10)当 0k ≠ 时是微分方程(1.11)的通解，求满足初始条件

00

|,

0t t dx

x A dt ==== 的特解。

解 将条件“0t = 时，x A =”代入(1.10)式得

1C A =。

将条件“0t = 时，

0dx

dt

=”代入(1.12)式，得 20C =。

把12,C C 的值代入(1.10)式，就得所求的特解为

cos x A kt =。

练习13.1

1．选择题：

（1）微分方程222e x d y dy

y dx dx

++=是____________。

（A ）齐次的； （B ）线性的； （C ）常系数的； （D ）二阶的。

（2）微分方程220d y

y dx

+=的通解是______________。

（A ）sin y A x =； （B ）cos y B x =； （C ）sin cos y x B x =+； （D ）sin cos y A x B x =+。 （3）下列方程中是一阶微分方程的有___________。

（A ）2()20x y yy x ''-+=； （B ）2457()5()0y y y x '''+-+= （C ）2222()()0x y dx x y dy -++=； （D ）0xy y y '''++=。 （4）下列等式中是微分方程的有___________。

（A ）()u v uv uv '''+=； （B ）e sin x y x '=+；

（C ）(e )e x x

dy d y dx dx

++=； （D ）340y y y '''++=。

2．填空题：

（1）方程2()369y y '++=是__________阶微分方程。 （2）方程ln xy y y '=的通解是_____________________。 （3）方程348y y y '''--=的通解是____________________。 （4）方程sin y x x ''=+的通解是_________________________。

（5）设1e x y =，2e x y x =+是线性微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解， 则该方程的通解为____________________。

（6）函数21e x y =，22e x

y x =所满足的二阶常系数齐次线性微分方程为

________。

3．指出下列微分方程的阶数：

（1）02)(2=+'-'x y y y x ； （2） 0)(5)(6543=+-'+''x y y y ； （3） 022=+''+'''y x y y x ； （4） 0)()(2222=++-dy y x dx y x 。 4．验证微分方程后所列的函数是否为微分方程的解，是否是通解． （1） y y x 2='，25x y =； （2） 0)(2=+'-'-'y y x y y ，cx y =； （3） 0=+''y y ，x x y cos 4sin 3-=； （4） 02=+'-''y y y ，x x y e =； （5） y x y y x -='-2)2(,c y xy x =+-22。

5．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度

2/4.0s m -。问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶

了多少路程？

6．确定函数关系式212()x y C C x e =+中所含的参数，使其满足初始条件

(0)0y =，(0)1y ￠=。

7．设曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分，试确定该曲线满足的微分方程。

11美容的基本概念

第1单元 美容业概述 1.1 美容的基本概念 1.2 美容发展史 1.3 美容师的基本职业素养 引导语 美容业是一个与现代人生活密切相关的产业。近年来，美容消费已经成为中国人继房地产、汽车、旅游之后的另一消费热点；美容行业的高速增长，使美容从业人员的就业空间不断扩大，同时对服务人员的专业素质要求也在不断提高。因为高水准的美容服务最终体现在美容师专业化的技能，职业化的服务和高度的责任心上。 本单元通过对美容的起源和中外美容文化发展历史的追溯，旨在激发美容初学者及美容爱好者对美容专业的学习热情。 此外，美容师初学者还应正确认识到自身的职业素养将是其职业生涯成败的关键因素，在学好职业技能的同时，遵循美容师的职业道德，培养自己良好的职业行为习惯。 在欧美国家，美容师享有人体造型师的美誉，具有仅此于律师、医生的社会地位；在中国，美容师也是首批被纳入《中华人民共和国工种分类目录》的职业之一。美容师这一职业不仅是一份较稳定的工作，也将成为可充分发挥个人创造力、实现个人的人生价值的一项可为之奋斗终身的事业。 1.1 美容的基本概念 1.1.1 美容的分类 美容起源于人类祖先。自从有了人类，就有了美容。美容即是美化人们的容貌。伴随着人类社会的发展和科技的日新月异，美容从内容到形式都有着不断的变化和提升。 中国是一个有着五千年悠久历史文化的文明古国，中国的美容体系也受着中华传统文化的影响，因此形成了一个独特的与西方美容有着明显区别的美容体系。根据美容的内涵不同，现代美容可分为生活美容与医学美容两大部分。

1.生活美容 生活美容是指专业人士使用专业护肤品、化妆品和专业美容仪器，运用各类专业的护肤方法、按摩手法、SPA水疗法等不侵入皮肤的美容手段，对人体的肌肤进行全面的护理和保养，并对人体的容貌与体形进行美化和修饰。 生活美容可分为护理美容和修饰美容两大类，其中又涉及不同的美容项目，见表1—1 生活美容分类表 生活美容内容项目举例 护理美容 面部护理 面部基础护理清洁护理、补水护理等 损美性问题皮肤护理色斑、痤疮、老化皮肤护理等 特殊局部护理唇部护理、眼部护理等 面部芳香美容面部淋巴引流 头、面部经络美容经穴按摩、刮痧美容等 身体美容 护理 肩、颈部护理肩、颈部按摩 手部护理手部按摩、手蜡护理、干燥手护理等 美体塑身减肥、塑身、美胸等 SPA水疗 全身经穴美容按摩 五感疗法 全身指压 修饰美容化妆 生活化妆、宴会化妆、 舞台化妆等 职业妆、新娘妆、生活晚宴妆、模 特妆、影视妆 美睫修饰睫毛专业烫睫毛、染睫毛、嫁接睫毛等 脱毛永久性脱毛、暂时性脱毛热蜡脱毛、冻蜡脱毛等 美甲修甲、艺术美甲贴甲片、水晶甲制作等

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分

第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到

11《基本概念与运算法则》测试题

2020年3月《基本概念与运算法则》试题 单位: 姓名：成绩： 一、填空。(30分) 1.数量关系的本质是(多与少 ), 数之间最基本的关系是(大与小）。 2.数是对(数量 )的抽象;数量是对( 现实生活中事物量 )的抽象。 3.数学的本质是在认识数量的同时认识(数量 )之间的关系，在认识数的同时认识( 数 )之间的关系。 4.表示自然数的关键是( 十个符号 )和( 数位 )。 5.分类的核心是( 构建一个标准 )，对自然数的分类主要有两种，一种是（奇数与偶数的分类）；一种是（素数与合数的分类）。 6.抽象的核心是(舍去现实背景 )，联系的核心是(回归现实背景)。 7.模型是构建( 数学 )与( 现实世界)的桥梁。 8.方程的本质是(描述现实世界中的等量关系 )。 9.方程中的（等号）是问题的核心，方程的特征是（用字母表示数）。 10.在统计与概率的教学过程中一定要强调(数据),强调(数据分析观念) 二、选择题。(20分) 1.分数的本身是( C )。 A运算 B一种关系 C数 2.为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解( B )。 A数位 B十进制 3.数学中的直观包含( ABD )。 A几何直观 B代数直观 C模型直观 D统计直观 4.下面不是逻辑形式的三个最古老的原则是( A )。 A充足理由律 B矛盾律 C排中律 D同一律 5.下面不是推理三段论的是（D）。 A小前提 B大前提 C结论 D证明 6.数学证明在本质上就是( C ), 在形式上就是( A )。 A三段论 B一种结论 C演绎推理 7.( C )是人们认识世界最为基本的概念。 A图形与几何 B多与少 C时间和空间

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m

pkcs#11基本概念

周总结（2012第43周） 本周主要是对PKCS #11密码令牌接口标准的相关知识进行学习，熟悉了Cryptoki定义的一些基本概念，主要包括：槽、令牌、用户、会话、类、对象、机制、属性、模板、会话句柄、对象句柄等。Cryptoki通过上述定义的概念来抽象对密码设备的操作过程。 Cryptoki是一种应用程序与各种密码设备(基于智能卡、USBKey、PCMCIA 卡以及智能软盘)间的一种接口，该接口提供与设备细节无关的密码令牌给应用程序使用。下面归纳介绍了Cryptoki几种常用的概念。 1、槽：槽包含一个令牌的逻辑阅读器，当一台密码设备存在于阅读器中，一个令牌就存在于该槽中。 2、令牌：令牌是一个能存储对象、执行密码功能的设备。作为密码令牌接口开放标准，Cryptoki为拥有密码信息（密钥或证书）和执行密码学函数的用户设备定义了一个应用程序接口，将设备的细节抽象化，并把密码设备（如USBKey、加密卡）的通用模型称作密码令牌，以提供给应用程序。 3、会话：会话是应用程序和令牌之间的逻辑连接。打开一个会话后，应用程序便访问令牌的公共对象。概括来讲：一个打开的会话能用来执行三大种类的操作：管理操作（如注册），对象管理操作（如在令牌上建立或销毁一个对象）和密码操作（如计算一个消息摘要）。 4、对象：对象是属性的集合，对象可根据生命周期分为：会话对象和令牌对象；应用打开一个会话时，Cryptoki以会话句柄方式标识会话，便于应用使用会话句柄访问会话，同时应用可通过调用Cryptoki接口创建或查询对象，而Cryptoki以对象句柄方式标识对象，便于会话通过对象句柄访问对象；Cryptoki 定义了四类存储对象：数据对象、证书对象、密钥对象、密码算法域参数对象。 对象按使用期限和可见性可以分为TOKEN(令牌)对象和SESSION(会话)对象。TOKEN对象对所有的应用程序可见，并且一直保存在TOKEN中，即使在会话关闭或令牌从槽中拔出后。SESSION对象则是暂时的，当会话关闭时，该 会话产生的所有会话对象就会自动被破坏，只有产生会话对象的应用程序能够查看它们。 5、密钥：密钥可以是一个公钥或一个私钥或一个保密密钥或为一个OTP密钥。这几类密钥都有用在特别机制中的子类型。 6、机制：机制详细说明某种加密过程是如何执行的，一个机制作为一个对象，明确指定了一个密码处理是如何被执行。Cryptoki中定义的机制被不同的密码操作支持。对于一个特定的令牌，一个特定的操作只支持Cryptoki中定义的机制集合的一个子集。

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程

2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)

第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：

1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换.

常微分方程教材

第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的 特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方

向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-